1 Rappels sur les champs électriques

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1 Rappels sur les champs électriques. Cadre de l étude On considère un diélectrique homogène ie ayant les mêmes propriétés dans tout le volume). On note E le champ électrique global et D le champ excitation électrique. Tout diélectrique soumis à un champ optique ou non) réagit face à cette excitation électromagnétique : on appelle vecteur polarisation le vecteur caractérisant cette réaction. Ce vecteur, noté P dépend du ou des) champs) appliqués. On a la relation suivante : D = ε E + P ) Dans le cas général : P = f E). Le raisonnement qui suit est un raisonnement simplifié. Il permet de comprendre les différentes relations mais est un peu inexact en comparaison de modélisations plus réalistes.. Cas d un matériau linéaire Lorsque le diélectrique est linéaire, son vecteur polarisation est proportionnel au sens large) au champ E global. Deux cas sont à envisager : soit le matériau est isotrope, soit anisotrope... Matériau isotrope Dans ce cas, la relation entre P et E est la suivante : P = P lin = ε χ E ) où χ est la susceptibilité linéaire d ordre ) du matériau. Ce coefficient est indépendant du champ E sinon un développement limité de ce dernier ferait apparaitre un terme d ordre en E : le matériau serait non linéaire). On en déduit : ε r est la permittivité relative du matériau... Matériau anisotrope Dans ce cas, la relation entre P et E est la suivante : D = ε + χ) ε r E 3) P = P lin = ε [χ] E 4) où [χ] est le tenseur sucseptibilité d ordre. Ce tenseur est indépendant de E. On en déduit : D = ε [] + [χ]) E 5) [ε r] [ε r ] resp.[ε] = ε [ε r ]) est le tenseur permittivité relative resp. tenseur permittivité) du matériau.

2 .3 Cas d un matériau non linéaire Lorsqu on applique un champ électrique externe à certains diélectriques, des phénomènes non linéaires vis à vis du vecteur polarisation) apparaissent. Le vecteur polarisation P est la somme d un vecteur polarisation linéaire Plin cf paragraphe précédent) et d un vecteur polarisation non linéaire P nl. On notera E le champ électrique global associé au champ électromagnétique et Ea le champ électrique appliqué. Deux effets non linéaires peuvent apparaitres : un effet d ordre effet Pockels) et un effet d ordre 3 effet Kerr) :.3. Effet Pockels L effet Pockels est caractérisé par la relation suivante : P nl = ε χ ) E a E 6) Dans le cas le plus général, les coefficients sont des tenseurs la notation a été volontairement oubliée, pour simplifier). C est bien un effet d ordre non linéaire), puisque c est associé à un tenseur susceptibilité d ordre et que le vecteur polarisation est proportionnel au carré d un champ électrique. Mais c est un effet linéaire par rapport au champ électrique appliqué E a! Partant de cette expression, on peut montrer que l ellipsoïde des indices varie proportionnellement au sens des tenseurs!) au champ électrique appliqué : ) n Ea. On en déduit que : ) D = ε + χ + χ ) E a E 7).3. Effet Kerr L effet Kerr est caractérisé par la relation suivante : P nl = ε χ 3) E a E 8) Dans le cas le plus général, les coefficients sont des tenseurs. C est bien un effet d ordre 3 non linéaire), puisque c est associé à un tenseur susceptibilité d ordre 3 et que le vecteur polarisation est proportionnel au cube d un champ électrique. Mais c est quadratique par rapport au champ électrique appliqué E a! Partant de cette expression, on peut montrer que l ellipsoïde des indices varie proportionnellement au sens des tenseurs!) au carré du champ électrique appliqué : ) n E a. On peut alors écrire : D = ε + χ + χ ) Ea) E 9)

3 Correction du TD5 ) x + y + z n n n e = ou encore : ɛ i,j) [,3] K ij x i x j = avec : ɛ [K] = n n n e et x = x, x = y et x 3 = z. )Sous champ : ɛ i,j) [,3] K ij + K ij ) x i x j = avec : r 3 E z r 3 E z ɛ [ K] = [r]e = r 33 E z D où l équation de l éllipsoïde des indices : 3) Donc : + n r 3 E z n /n x + y + z n n n e ) + r 3 E z x + r 3 E z y + r 33 E z z = ) ) + n x + r 3 E z + n y + e r 33 E z z = n /n n n = + n r 3 E z ) n n r 3 E z n n e e = + n e r 33 E z n e n e r ) 33 E z } n e {{ } /n e La variation d indice est bien linéaire vis à vis du champ appliqué. 4.a) L onde ne voit qu un indice n. 4.b) Oui, il y a biréfringence induite car variation des indices). 4.c) Entre la situation sans champ appliqué et sous champ, on a une variation des indices. On aura donc une variation de phase : une variation de tension permet de moduler la phase de l onde électromagnétique. La variation de phase associée est la suivante si d est l épaisseur du matériau) : φ = π n n )d = π n r 3 E zn d 3

4 On caractérise le matériau par la tension V π : c est la tension qu il faut appliquer pour obtenir un déphasage de π. Sachant que E z = dv : π = π n r 3 n V π Soit : V π = n 3 r 3 AN : V π = 6 kv. 4.d) On ne peut pas faire de modulation d amplitude : cf td filtre de Lyod la modulation d amplitude se fait en faisant interférer deux rayons). 5) Application au LCD 5.a) Soit u le vecteur unitaire portant l axe du polariseur et x et y les deux axes propres de la lame quart d onde dont l un est l axe optique). Alors : u = / / La lame est quart d onde : cela signifie que le déphasage entre les deux champs ordinaire et extraordinaire) vaut π/ à π près) : φ = π/ π) ) = π n }{{} n n e e ) La lame est telle que le chemin optique ne vaut /4 e est l épaisseur de la lame). Après le polariseur, le champ électrique est polarisé rectilignement suivant u : D = D u. Comme ce dernier fait un angle de π/4 avec les axes : Après traversée dans la lame : D = D = D = D D e = D D = D ej π n e D e = D ej π nee Soit en changeant la référence des temps et en reportant le déphasage dans une des deux composantes, cf TD) : D = D = D ej π n n e)e D e = D Puis ce champ se réfléchit sur le miroir et traverse à nouveau la lame, donnant lieu à un champ D : D D = = D ej π n n e)e D e = D 4

5 D après l équation : ) π n n e )e = π = π D où : D = D = D ejπ = D D e = D Ce champ fait donc un angle de π/ par rapport à l axe du polariseur. Aucune composante ne ressort du système : le système est noir. En effet, le champ sortant du dispositif est le champ orienté selon u l axe du polariseur), correspondant à la projection de D sur u : D. u = D + D = 5.b) Par effet électro-optique, l application d une tension permet de modifier le déphasage : φ = π n }{{} e ) n n e π Donc dans ce cas : D D = = D ej π n n e)e D e = D Le champ de sortie n est plus perpendiculaire à u : une partie de l onde ressort du polariseur. Le système réfléchit de la lumière. Le champ sortant est selon u et correspond à la projection de D sur l axe du polariseur : D. u = D cos π n n e )e ) + D 5.c) Ainsi : sans champ appliqué, le système ne réfléchit pas la lumière incidente : l écran est noir. En appliquant une tension, une partie de la lumière incidente est réfléchie : l écran est blanc. On commande l affichage à l aide d une tension. 6) On peut distinguer 3 cas en ne considérant qu une onde polarisée rectilignement en entrée) : Soit D est colinéaire à l axe optique : dans ce cas, le champ ne voit qu un indice extraordinaire, indice qui varie en fonction de la tension appliquée. La variation d indice induit une variation de la phase : on peut faire comme dans le cas de la configuration longitudinale de la question 4) de la modulation de phase. La polarisation n est pas affectée. soit D est colinéaire à l axe propre ordinaire : dans ce cas, le champ ne voit qu un indice ordinaire, qui varie aussi en fonction de la tension. L état de polarisation est identique. On ne peut faire que de la modulation de phase. 5 3)

6 Soit D est quelconque : on projette alors le champ sur les deux axes propres. Chaque composante D et D e ) voit un indice différent. Le déphasage entre les deux composantes est fonction des indices et varie en fonction de la tension appliquée. L onde ressort elliptique. En plaçant un polariseur à la sortie, on ne conserve que la projection de chacune des composantes sur l axe du polariseur : D sortie = D. u + D e. u ) u. On fait donc interférer les deux faisceaux cf filtre de Lyot) : on obtient de la modulation d amplitude. 7) cf question 4, en remplaçant n par n e. AN : V π =.9 kv. Cette tension est plus faible plus avantageux). 8.a) Pour cette question, on s aidera du TD sur le filtre de Lyot. L angle du polariseur fait π/4 avec les axes neutres : les amplitudes des champs ordinaires et extraordinaires sont égales. Nous avions montré que l intensité se met sous forme : I = I + cos φ)) Le déphasage φ entre les deux composantes vaut : φ = π n e n )d = π [ n e n ) + ] E zn 3 r 3 n 3 er 33 ) d avec : = φ + π V V π E z = V d φ = π n e n )d déphasage à V= V π = n 3 r 3 n 3 e r 33 8.b) La courbe est une sinusoïde décalée cf figure ). 8.c) Pour transmettre une information analogique utile par modulation d amplitude, il faut que l amplitude I ait une variation linéaire vis à vis de la tension V la tension V correspond à l information à transmettre). Pour être linéaire, il faut se placer au milieu de la décroissance du sinus. 8.d) Pour avoir une variation d intensité linéaire par rapport à la tension afin de pouvoir effectuer de la modulation analogique), il faut avoir : φ = π/. Dans ce cas, l intensité vaut : I = I π V V π ) Cette condition implique : d =. 4n e n ) 6

7 I I V Zone linéaire Fig. Modulation d intensité 7