Probabilités conditionnelles

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1 22 Probabilités conditionnelles Ω, B, P est un espace probabilisé. 22. Définition et propriétés des probabilités conditionnelles Considérons l expérience aléatoire qui consiste à lancer deux fois un dé équilibré et les événements A et B définis par : et A «la somme des chiffres obtenus est 9» B «le premier lancé donne 5» En supposant qu il y a équiprobabilité, on a : P A P {3, 6, 4, 5, 5, 4, 6, 3} Mais, si on sait que l événement B est réalisé, c est-à-dire que le premier lancé a donné 5, il semble raisonnable de dire que : P B A P {4} 6 9 Sachant que B est réalisé on est donc amené à changer d univers. Dans le premier cas, où on ne dispose d aucune information sur le premier lancé, un univers adapté est Ω {i, j i, j 6} avec la probabilité : P : P Ω [0, ] A card A P A card Ω avec card Ω 6 2 et dans le deuxième cas où on dispose de l information «B est réalisé» un univers adapté est Ω B {i i 6} avec la probabilité : avec card Ω B 6. P B : P Ω B [0, ] A card A P B A card Ω B 543

2 544 Probabilités conditionnelles Pour calculer de telles probabilités conditionnelles P B A, une idée naturelle est de répéter un grand nombre de fois l expérience dans les mêmes conditions. Si pour n expériences, on note n E le nombre de fois où un événement E est réalisé, la quantité : f B A n A B n B n A B n n B est la fréquence relative de réalisation de A sur n coups sachant que B est réalisé. Plus n sera grand, plus f B A se rapprochera d une quantité qui sera la probabilité de réalisation de A sachant que B est réalisé. Il est donc naturel de poser : P B A lim f B A n + n P A B P B Définition 22. Soient A, B deux événements dans B avec P B 0. La probabilité de A sachant B est le réel : P A B P B A. P B Théorème 22. Pour tout événement B B de probabilité non nulle, l application : est une probabilité sur Ω, B. Démonstration. On a : P B : B [0, ] A P A B P B A P B P B Ω P Ω B P B P B P B. Si A n n N est une suite d événements deux à deux incompatibles, il est de même de la suite A n B n N et : P A n B P A n B P B A n n N n0 n N P B P A n B P B n0 n N P B A n P B On dit que P B est la probabilité conditionnelle sur Ω, B sachant B et par définition, on a : On note aussi P B A P A B. P A B P B A P B Théorème 22.2 Si n 2 et A,, A n sont des événements dans B tels que P on a alors : n P A k P A P A 2 A P A 3 A A 2 P A n n A k n A k 0,

3 Définition et propriétés des probabilités conditionnelles 545 Démonstration. Comme n A k p et les probabilités conditionnelles P p On vérifie alors que : n P A P A p+ p A k pour tout p compris entre et n, on a : p n P A k P A k > 0 p A k A k sont bien définies. P A P A A 2 P A A 2 A 3 P A P A A 2 n P A k. n P P n A k A k Théorème 22.3 Formule des probabilités totales Si A,, A n est un système complet d événements dans B tel que P A k 0 pour tout k compris entre et n, on a alors pour tout événement A B : n P A P A A k P A k Démonstration. On a la partition : A A Ω A n A k n A A k qui nous donne : P A n P A A k n P A A k P A k Exercice 22. Un fumeur essaye de ne plus fumer. S il ne fume pas un jour donné, alors la probabilité qu il ne fume pas le lendemain est p ]0, [. S il fume un jour donné, alors la probabilité qu il ne fume pas le lendemain est q ]0, [.. Calculer la probabilité p n que cette personne ne fume pas le n-ème jour. 2. Calculer lim n + p n. Solution 22. Pour n 0, on note respectivement F n et Ω \ F n les événements : F n : «il fume le n-ème jour» F n Ω \ F n : «il ne fume pas le n-ème jour» On connaît p P F n F n et p P Fn F n pour n.

4 546 Probabilités conditionnelles. Comme F n, F n est un système complet d événements, on a : p n P F n q P Fn + p P F n p n q + p n p p q p n + q La suite p n n N est donc une suite arithmético-géométrique et on a : où r q p q. 2. On a lim n + p n r q p q. p n r + p 0 r p q n Théorème 22.4 Formule de Bayes Si A,, A n est un système complet d événements dans B tel que P A k 0 pour tout k compris entre et n, on a alors pour tout événement B B de probabilité non nulle et tout entier j compris entre et n : P A j B P B A j P A j n P B A k P A k Démonstration. On a : P A j B P A j B P B P B A j P A j n P B A k P A k Exercice 22.2 Des études sur une population ont montré que l on pouvait admettre que la probabilité p n qu une famille ait exactement n enfants est définie par : n, p n αp n avec 0 < p <, α > 0 et + α p <. On suppose que les naissances des garçons et des filles sont équiprobables.. Calculer la probabilité pour une famille de ne pas avoir d enfants. 2. Calculer la probabilité pour une famille d avoir exactement k garçons. 3. Étant donnée une famille ayant au moins un garçon, quelle est la probabilité qu elle en ait deux ou plus? Solution 22.2 Pour tout entier n 0, on note respectivement E n et G n les événements :. On a p n P E n αp n pour n et : E n «la famille a n enfants» G n «la famille a n garçons» p 0 P E 0 n αp n α p p + α p p

5 Définition et propriétés des probabilités conditionnelles Comme E n n 0 est un système complet d événements, on a pour k : G k G k E n pour 0 n < k et : P G k α nk nk + n0 G k E n P G k E n p n C k n 2 + nk k 2 nk n k G k E n P E n P G k E n dans une famille de n enfants, il y a Cn k façons de placer l ordre de naissance des garçons k n k et par chacune d elles la probabilité de réalisation est si les naissances des 2 2 filles et des garçons sont supposées équiprobables. On a donc : P G k α Cn k nk soit en tenant compte de : nk p 2 n α k! p 2 k + nk n n n k x n k p n k n n n k 2 k x k! x k+ Pour k 0, on a : P G k α k! p 2 k k! p k+ 2α k p 2 p 2 p 2 P G 0 3. La probabilité cherchée est : + P G k k2 2α 2 p αp p 2 p + G k k p 2α 2 p 2 p p 2 p α p + p2 p 2 p + P G k k2 + P G k P G P G 0 p 2 p p 2 p P G 0 P G P G 0 Exercice 22.3 Deux joueurs A et B possèdent un capital de a et b euros respectivement. Ils jouent à pile ou face en misant euro par partie jusqu à la ruine de l un d eux. Déterminer la probabilité de ruine de chacun.

6 548 Probabilités conditionnelles Solution 22.3 On désigne, pour tout entier n 0, par A n l événement : et par A l événement : Pour n, on a : et en notant p n P A n, on déduit que : avec p 0, p a+b 0, ce qui donne p n A n «A possède n euros et terminera ruiné» A «A gagne un tirage de Pile ou Face» A n A n A A n+ Ω \ A P A perd p a p n 2 p n + p n+ n a + b et : 22.2 Événements indépendants b a + b, P B perd p b a a + b. Dans le cas où P A B P A, on déduit que le fait que soit B soit réalisé ne change rien sur le calcul de P A. Dans ces conditions, on dit que A et B sont des événements indépendants. Définition 22.2 On dit que deux événements A et B dans B sont indépendants ou stochastiquement indépendants si : P A B P A P B. Remarque 22. Si P B 0, on a alors, pour tout A B, 0 P A B P B 0, donc P A B P A P B 0 et A et B sont indépendants. Si P B 0, les événements A et B sont indépendants si, et seulement si, P A B P A. Remarque 22.2 Deux événements peuvent être incompatibles, sans être indépendants. Par exemple, si P A p ]0, [, on a alors : P A P Ω \ A p p 0 P A Ω \ A. Exercice 22.4 SoitΩ, B, P un espace probabilisé.. Soient A, B deux événements tels que P A 0.2 et P A B 0.5. Quelle est la valeur de P B si A et B sont incompatibles? 2. Soient A, B deux événements tels que P A 0. et P A B 0.6. Quelle est la valeur de P B si A et B sont indépendants? Solution Si A et B sont incompatibles, on a alors : et P B P A B P A + P B P B

7 Événements indépendants Si A et B sont indépendants, on a alors : et P B P A B P A + P B P A B P A + P B P A P B P B Exercice 22.5 Montrer que A et B sont indépendants dans B si, et seulement si, A et Ω \ B sont indépendants et que A et Ω \ B sont indépendants si et seulement si, Ω \ A et Ω \ B sont indépendants. Solution 22.5 On a A Ω \ B A \ A B et : P A Ω \ B P A \ A B P A P A B ce qui donne pour A et B sont indépendants : P A Ω \ B P A P B P A P Ω \ B qui signifie que A et Ω \ B sont indépendants. Réciproquement si A et Ω\B sont indépendants, il en est alors de même de A et B Ω\Ω \ B. Comme A et B jouent des rôles symétriques, il en résulte que : A et Ω \ B indépendants Ω \ A et Ω \ B indépendants Plus généralement, on définit l indépendance mutuelle de plusieurs événements comme suit. Définition 22.3 On dit que des événements A,, A n, où n 2, sont mutuellement indépendants dans B si pour toute partie J non vide de {, 2,, n}, on a : P A j P A j. Remarque 22.3 Des événements mutuellement indépendants sont deux à deux indépendants il suffit de considérer toutes les parties à 2 éléments de {, 2,, n}, mais la réciproque est fausse. En effet, considérons l expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé deux fois et les événements A, B, C définis respectivement par «le premier chiffre est pair», «le deuxième chiffre est impair», «la somme des chiffres est paire». En supposant l équiprobabilité, on a : P A P B P C 2 P A B P A C P B C donc les événements A, B, C sont deux à deux indépendants, mais : P A B C P 0 P A P B P C et A, B, C ne sont pas mutuellement indépendants.

8 550 Probabilités conditionnelles Exercice 22.6 Soient A,, A n, où n 2, des événements mutuellement indépendants dans B.. Montrer que Ω \ A, A 2,, A n sont mutuellement indépendants. 2. En déduire que pour tout entier k compris entre et n, les événements Ω \ A,, Ω \ A k, A k+,, A n sont mutuellement indépendants. Solution On note A Ω \ A, A k A k pour k compris entre 2 et n et on se donne une partie J non vide de {, 2,, n}. Si / J, on a : P A j P A j P A j P A j. Si J a plus de 2 éléments et J pour J {}, il n y a rien à montrer, on a alors : A j Ω \ A et : P A j 2. On procède récurrence finie. P \{} \{} A j A j P A j \{} P A \{} A j \ P A j P A j \{} P A j A j P A j Exercice 22.7 Soit n 2 un entier naturel. On choisit de manière équiprobable un entier compris entre et n. Soient p un diviseur positif de n et A p l événement :«le nombre choisi est divisible par p».. Calculer P A p. 2. Montrer que si p,, p r sont les diviseurs premiers de n, alors les événements A p,, A pr sont mutuellement indépendants. 3. On désigne par ϕ la fonction indicatrice d Euler définie sur N par ϕ n card {k {,, n} k n } Montrer que ϕ n n p premier p divise n. p Solution 22.7 On se place sur Ω, P Ω, P, où Ω {,, n} et : k Ω, P {k} n.

9 Événements indépendants 55. Pour p divisant n, on a n pq et : donc : A p {k Ω j Ω ; k pj} {p, 2,, qp} P A p card A p card Ω q n p. 2. Soit J une partie non vide de {, 2,, r}. Les entiers p j pour j J sont premiers et distincts, donc premiers entre eux et un entier est divisible par tous les p j si, et seulement si, il est divisible par leur produit. On a donc : A et : P A pj PA Donc les événements A p,, A pr A pj p i p i p i p j sont mutuellement indépendants. P A pj. 3. Si A désigne l événement : «l entier choisi est premier avec n», on a alors : P A card A card Ω ϕ n n et en désignant par p,, p r tous les diviseurs premiers de n, on aura k A si, et seulement si, k n est divisible par aucun des p i, donc : A r Ω \ A pi. i Comme les événements Ω \ A pi sont indépendants exercice précédent, on en déduit que : P A r P Ω \ A pi i r i pi. Exercice 22.8 On se fixe un réel s > et on considère l espace probabilisé Ω, P Ω, P, où Ω N et : n Ω, P {n} ζ s n s en désignant par ζ la fonction de Riemann définie par ζ s Pour tout entier n, on désigne par A n l événement :. Calculer P A n pour tout n. n A n {multiples de n} {k n k N } 2. Montrer que, si P désigne l ensemble des nombres premiers, alors la famille A p p P est indépendante, c est-à-dire que pour toute suite finie p k k r de nombres premiers distincts, les événement A p,, A pr sont mutuellement indépendants. n. s

10 552 Probabilités conditionnelles 3. En déduire que : p s puis l identité d Euler : P {} p P s >, ζ s p P p s. Solution On a : P A n P {k n} ζ s n s k s n. s 2. Pour p < p 2 < < p r dans P, comme les p k sont premiers entre eux, on a : r P A pk P {multiples de p, p 2,, p r } P { multiples de r s r p k p s k } r p k P r P A pk et les événement A p,, A pr sont mutuellement indépendants. 3. L entier n est divisible par aucun nombre premier, donc : {} p P Ω \ A p A r p k et : P {} P Ω \ A p p PP Ω \ A p p P P A p p P p P p s et comme P {}, il en résulte que : ζ s ζ s p s p P Une définition équivalente de la notion de famille d événements mutuellement indépendants est donnée par le théorème suivant. Théorème 22.5 Soient A,, A n, où n 2, des événements dans B. Ces événements sont mutuellement indépendants si, et seulement si, pour toute partie J de {, 2,, n} telle que P A j 0 et tout indice i {, 2,, n} \ J, on a : P A i A j P A i.

11 Événements indépendants 553 Démonstration. Supposons A,, A n mutuellement indépendants. Pour J {, 2,, n} telle que P A j 0 et i {, 2,, n} \ J, on a : et : P {i} A j P A j P A i {i} P A i P A j P A j P A j P A i A j {i} P A i P A i A j. P A j P A j Réciproquement, supposons que P A i A j P A i pour tout J {, 2,, n} telle que P A j 0 et i {, 2,, n} \ J. Soit I {i,, i r } {, 2,, n} avec r 2. Si P A i 0, on a alors : i I Si P p P i I A i P A j P A i P A i2 A i P A ir i I P A i P A i2 P A ir i I r P A i A ik p 0, il existe alors un entier p {, 2,, r} tel que P A i A ik 0. Pour p, on a P A i 0 et P p 0 P P i I p A i P A ik P A ip A ik P i I p et P A ip 0 qui entraîne encore P A i P A i. i I i I A ik P A ik 0 et i I P A i et pour p 2, on a : A ip p A ik

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