Projet expérimental de Physique Statistique AIMANTATION

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1 Projet expérimental de Physique Statistique AIMANTATION Les domaines de Weiss d un matériau ferromagnétique observés en microscopie à effet Kerr. Les zones magnétiques polarisées (bit 0 ou 1) à la surface d un disque dur Janvier 2006

2 Projet expérimental de Physique Statistique AIMANTATION 1 DESCRIPTION DU PROJET OBJECTIFS MODE DE TRAVAIL THEORIE SIMPLIFIEE DE L AIMANTATION DEFINITIONS ET RELATIONS CLASSIFICATION DES MATERIAUX MATERIAUX SANS ORDRE MAGNETIQUE ORDRES MAGNETIQUES LE PARAMAGNETISME LE FERROMAGNETISME TRANSITION FERROMAGNETISME / PARAMAGNETISME MONTAGE EXPERIMENTAL PRINCIPE DE LA MESURE DE L AIMANTATION PAR LA METHODE D EXTRACTION IDEE GENERALE MODELISATION SIMPLE REFROIDISSEMENT ET CHAUFFAGE DE L ECHANTILLON LE GADOLINIUM NATURE DU TRAVAIL A EFFECTUER ETALONNAGE DE L APPAREILLAGE ETUDE DE LA TRANSITION FERROMAGNETIQUE / PARAMAGNETIQUE ETUDE DE L ETAT PARAMAGNETIQUE ETUDE DE L ETAT FERROMAGNETIQUE TRAVAIL BIBLIOGRAPHIQUE

3 1 Description du projet 1.1 Objectifs Ce TP constitue une approche expérimentale des concepts fondamentaux du magnétisme ainsi que des transitions de phase par l étude détaillée de la transition paramagnétique-ferromagnétique du Gadolinium et permet de s initier aux méthodes classiques de magnétométrie. L expérience consiste à étudier l aimantation d un corps en fonction de sa température. L analyse des variations de l aimantation permet ensuite d extraire des grandeurs caractéristiques du matériau telles que la température de Curie, la constante de champ moléculaire, le facteur de Landé, etc. 1.2 Mode de travail Au cours des journées préparatoires réparties sur le premier semestre, un cahier de TP permet à chaque binôme de retracer la mise au point de l'expérience, y compris la recherche bibliographique sur le sujet. Le cahier doit refléter la progression du travail du binôme. C'est un outil de travail, et en aucune façon il ne doit être considéré comme une œuvre d'art! Avant le début des séances du second semestre, chaque binômes rendra une étude bibliographique sur l expérience à mener. On pourra s inspirer du chapitre 5 de ce polycopié pour rédiger cette étude. Les mesures proprement dites sont également consignées dans le cahier de TP au fur et à mesure de leur déroulement, ainsi que les algorithmes de traitement employés et les résultats obtenus. Le but de ce cahier est de vous permettre de vous retrouver dans vos différentes mesures : dans quelles conditions les mesures ont-elles été faites, avec quelle méthode, etc. A la fin du dernier jour de cette période groupée, chaque binôme rédige un compte-rendu écrit du TP (trois copies doubles maximum, figures non comprises), dans lequel il présente l'expérience, décrit le montage et les algorithmes de prise de données et de traitement, puis fournit les grandeurs caractéristiques extraites des données expérimentales. Une journée supplémentaire est ensuite consacrée aux présentations orales des projets de chaque groupe. L'exposé d'un binôme ne doit pas dépasser 20 minutes, suivies d'une discussion d'une dizaine de minutes portant sur les divers aspects du projet (bibliographie, montage, analyse, etc.). Le compte-rendu et le cahier seront remis aux enseignants le jour de l'exposé oral. Remarques Il est vivement conseillé de garder trace du numéro de PC sur lequel vous travaillez. Cela peut permettre de récupérer vos fichiers en cas d'erreur du système de sauvegarde. De plus, effectuez régulièrement des sauvegardes sur l'ordinateur PC30 (via le réseau). Il est formellement interdit de copier les programmes sur disquette La communication entre binômes est encouragée, mais ne doit pas aller jusqu'au pompage optique. 2 Théorie simplifiée de l aimantation 2.1 Définitions et relations Les équations de Maxwell décrivent le comportement des champs électriques et magnétiques dans le vide. Le comportement de ces champs dans la matière est plus délicat à modéliser, de part la densité de particules chargées présentes (électrons et protons). Microscopiquement, il faut employer la théorie quantique pour décrire les diverses interactions et expliquer l origine des moments magnétiques dans la matière. Macroscopiquement, une description phénoménologique est possible : dans le cas du champ électrique, cela passe par l introduction du vecteur polarisation P ; dans le cas du champ magnétique, cela passe par l introduction du vecteur aimantation M. On définit l aimantation M (A/m) d un corps comme le moment magnétique (A.m 2 ) par unité de volume présent dans la matière. Cette aimantation va participer au champ magnétique total ; la matière magnétique agit sur elle- 2

4 même! On définit ainsi le champ magnétique total B (T) par B = µ 0 (H + M), où H (A/m) est l excitation magnétique ; µ 0 M est la contribution du magnétisme de la matière au champ magnétique, µ 0 H représente les autres contributions (par exemple, dans le cadre de ce TP, le champ créé par l aimant permanent). Note : attention, nous travaillons ici en unités SI. Ces quantités sont définies différemment dans d autres systèmes d unités, dont le plus connu est le système cgs : vous pouvez donc trouver des formules différentes dans des livres, à vous de faire attention au système utilisé. On définit également la susceptibilité magnétique χ par la relation suivante: M = χh. Cette relation n a de sens que dans la mesure où M est directement proportionnel à H. On parle alors de milieu linéaire. Ce n est pas toujours le cas, notamment dans le cas du ferromagnétisme, qui sera étudié dans ce TP, où une aimantation spontanée peut apparaître en l absence de champ appliqué. Note : Plusieurs effets sont négligés ici : l influence de la forme de l échantillon (facteur de forme), une éventuelle anisotropie du matériau (χ devient alors un tenseur), les effets non-linéaires (source de l optique nonlinéaire dans le cas de la susceptibilité de polarisation par exemple). Ainsi, dans ce cas, le champ total dans la matière vaut : B = µ 0 (H + M) = µ 0 (1 + χ)h = µ 0 µ r H, où μ r = 1+χ est la perméabilité relative du milieu et μ 0 la perméabilité du vide. 2.2 Classification des matériaux Le comportement des corps dans un champ magnétique permet de les classer en deux catégories : les corps qui présentent un ordre magnétique en dessous d une certaine température et les corps qui ne s ordonnent pas Matériaux sans ordre magnétique Matériaux diamagnétiques L intensité d aimantation est antiparallèle au champ et est très faible. La susceptibilité magnétique χ est négative et de l ordre de 10-5 à 10-6 en valeur absolue à l exception notable des supraconducteurs qui sont de parfaits diamagnétiques (χ=-1). Tous les matériaux sont à un certain degré diamagnétiques en raison de la réponse des électrons orbitaux à un champ magnétique qui est de type diamagnétique. Exemples : Silicium, or, halogènes alcalins Matériaux paramagnétiques L intensité d aimantation est parallèle au champ et faible. La susceptibilité magnétique χ est positive et de l ordre de 10-4 à Exemples : Sels de manganèse, de cobalt, de fer-oxygène Ordres magnétiques Matériaux ferromagnétiques Au-dessous d une température critique (dite température de Curie T C ), les porteurs de moment magnétique sont parallèles dans de grandes régions du matériau (appelées domaines de Weiss). L intensité d aimantation peut être très élevée, mais n est pas une fonction linéaire du champ ; elle tend vers une limite M S. Cette intensité d aimantation à saturation M S varie avec la température et s annule au dessus de T C. On notera qu au-dessus de leur température critique ces matériaux présentent un régime linéaire paramagnétique comme en décrit en Exemples : Fer (Fe), Cobalt (Co), Nickel (Ni), Gadolinium (Gd) 3

5 B Master de Physique Fondamentale Matériaux anti-ferromagnétiques En deçà d une certaine température (dite température de Néel T N ), les spins sont antiparallèles et l intensité d aimantation M S à saturation est nulle. La susceptibilité magnétique χ est positive, sensiblement constante au dessous de la température de Néel et, comme dans le cas ferromagnétique, elle est de type paramagnétique audessus de T N Autres structures magnétiques Il existe d autres types de structures magnétiques plus complexes : les matériaux ferri-magnétiques (superposition d un ferromagnétique et d un anti-ferromagnétique), les matériaux hélimagnétiques (les porteurs de moments sont disposés selon des hélices), etc. Ces dernières années, la recherche dans le domaine du magnétisme s est orientée vers des états encore plus exotiques en jouant sur la nature des couplages microscopiques entre moments pour obtenir des verres, glaces ou encore liquides de spins, analogues magnétiques des états de la matière. 2.3 Le paramagnétisme Un composé paramagnétique développe, en présence d une excitation magnétique H, une aimantation qui lui est proportionnelle et qui est orienté dans le même sens. Le champ magnétique total s écrit donc B = µ 0 (1+χ)H, avec χ positif. La façon classique de décrire le paramagnétisme est de considérer le matériau comme un ensemble de dipôles magnétiques identiques µ, sans interaction entre eux. Soit N le nombre de dipôles par unité de volume, on a alors M = N<µ>, où <µ> représente la moyenne de µ selon toutes les directions de l espace. Note : Formellement M est une grandeur locale, qui décrit l aimantation en un point de l espace. On est donc ici dans une échelle intermédiaire, où l aimantation est locale par rapport à la taille de l échantillon (macroscopique), mais représente une valeur moyenne par rapport à la distance entre les dipôles (typiquement une distance inter atomique) : à l échelle où l on travaille, le matériau est supposé continu et les détails atomiques ne sont pas discernables. En absence de champ magnétique, les dipôles sont orientés de façon aléatoire puisqu il n y a aucune interaction : l aimantation moyenne M est donc nulle. L énergie magnétique d un dipôle en présence d un champ magnétique est E = -µ.b = -µbcosϕ, où ϕ est l angle entre µ et B. Le champ magnétique va donc avoir pour effet de favoriser la direction ϕ = 0 pour chacun des dipôles. La température en revanche va favoriser une distribution aléatoire et va être en compétition avec l alignement des dipôles. La distribution de l orientation des dipôles va donc être statistique et suivre la distribution de Boltzmann. Il va en résulter une aimantation M non nulle, qui aura la même direction que B (par symétrie) et l amplitude M de la composante de l aimantation suivant B, est donnée par : M E / k BT E / k BT = N( μ cos( ϕ) e dω) /( e dω), où µcosϕ représente la composante d un dipôle selon la direction de B, et dω l angle solide élémentaire. La résolution de ces intégrales donne : M = NµL(y), avec y = µb/k B T B et où L(y) est la fonction de Langevin définie par L(y)=coth y 1/y (voir figure). Si l énergie magnétique domine l énergie thermique (µb >> k B T), alors les dipôles sont alignés et l aimantation sature M = Ms = Nµ. 4

6 Pour de petits y, le développement limité de la fonction de Langevin donne L(y) = y/3 + o(y 3 ). Dans ces conditions (c est-à-dire pour µb < kt), on obtient : M = Nµ 2 B/3k B T B. L aimantation diminue quand la température augmente, à cause de l augmentation de l agitation thermique. L aimantation augmente quand le champ magnétique augmente, car cela favorise l alignement. Dans ces conditions (y << 1), l aimantation est petite devant H, et donc B ~ µ 0 H. On peut alors calculer la susceptibilité χ = M/H ~ µ 0 M/B = µ 0 Nµ 2 /3k B T B. C est la loi de Curie, que l on écrit χ= C Curie /T, où C Curie est la constante de Curie. Dans cette approche, nous avons considéré que les dipôles magnétiques pouvaient prendre n importe quelle orientation dans l espace (approche classique). Un traitement quantique des dipôles va restreindre cette hypothèse puisque la projection du moment angulaire d un atome dans une direction est quantifiée. Le moment angulaire total est décrit par le nombre quantique J. On a la relation J = L+S, ou L décrit le magnétisme orbital et S le magnétisme de spin. L état fondamental d un atome est obtenu par la règle de Hund : on forme l état S maximum compatible avec le principe d exclusion et à l intérieur de cet état on forme la combinaison de L maximale. La valeur du moment angulaire total est L-S quand la couche électronique externe est moins qu à moitié pleine, et L+S quand elle est plus qu à moitié pleine. Quand elle est exactement à moitié pleine, on a L = 0 et J = S. En continuant de négliger les interactions entre dipôles, mais en tenant compte des restrictions quantiques sur le moment magnétique des dipôles, on obtient : χ = C/T, avec C = Nµ 0 µ 2 eff /3k B B µ eff est le moment effectif, il va dépendre des nombres quantiques J, L et S. On introduit μ B = eh le magnéton 2me de Bohr (μ B = 9, A.m 2 ), et g le facteur de Landé : 3 S( S+ 1) L( L+ 1) g = +. On a alors : 2 2J( J+ 1) μ = g J( J+1). On a g = 1 si le magnétisme est purement orbital, et g = 2 s il est purement intrinsèque. eff μ B 2.4 Le ferromagnétisme Jusqu à présent, nous avons négligé les interactions entre dipôles. Dans cette hypothèse, il est impossible d expliquer l apparition d un ordre magnétique (ferromagnétique, antiferromagnétique, ou plus compliqué). Dans un solide, les interactions entre les moments magnétiques μ i et μ j des ions i et j peuvent se traduire par un potentiel V(μ i, μ j, r ij ) où r ij est la distance les séparant. Le problème est a priori extrêmement complexe. Une hypothèse simplificatrice (hypothèse du champ moléculaire théorie de Weiss) consiste à écrire le champ efficace agissant sur un porteur de moment μ i sous la forme : B = B+ avec B n M eff Bm où B est le champ extérieur, BBm le champ moléculaire, M l aimantation moyenne et n la constante de champ moléculaire. B mb est supposé proportionnel à M, puisqu il traduit l effet des moments environnants sur le moment considéré : on fait ici une hypothèse dite de «champ moyen». Cette hypothèse va permettre d expliquer l apparition du ferromagnétisme. Dans le cadre d une approche classique, le champ moléculaire BBm est purement phénoménologique («tout se passe comme si»). Seule l approche quantique, à partir de l hamiltonien de Heisenberg, permet de justifier ce champ : les interactions entre dipôles sont alors décrites par l énergie d échange (selon le signe de cette énergie, l ordre magnétique résultant sera ferro ou antiferro). Dans le cadre de l hypothèse de champ moléculaire, on peut reprendre l approche classique développée lors du paragraphe précédent, en remplaçant B par BBeff. m = 5

7 Regardons d abord ce qui ce passe en absence de champ magnétique extérieur (B = 0). On obtient alors M/M s = L(y), avec y = µnm/k B T. B Il n est pas possible d isoler facilement M dans cette équation, mais on peut la résoudre graphiquement en utilisant y comme variable intermédiaire, comme le montre la figure suivante : L aimantation d équilibre sera donnée par l intersection entre la courbe M/M s = L(y) et M/M s = k B Ty/µnM B s. Cette dernière relation est l équation d une droite passant par l origine, dont la pente augmente proportionnellement avec la température. Il va donc exister une température critique T C au-dessus de laquelle les deux courbes auront pour seule intersection M = 0. En dessous de T C en revanche, il y aura trois intersections, dont deux avec une aimantation non nulle et opposée (voir figure). On peut montrer que dans ces conditions la solution M = 0 est instable : une aimantation spontanée apparaît donc, c est le ferromagnétisme. Graphiquement, on voit que cette aimantation spontanée va augmenter quand la température décroît, jusqu à atteindre la saturation. La température 2 critique vaut T C = Nnµ /3k. BB Si on applique un champ magnétique B, on a alors M/M s = L(y), avec y = µ(b+nm)/k B BT. La solution graphique est présentée sur la figure suivante : La loi que suit l aimantation devient complexe, mais le régime à haute température peut se simplifier. Si on suppose que l on applique un petit champ magnétique B à une température supérieure à T C telle que l aimantation résultante soit petite (c est-à-dire y < 1). On peut alors faire le développement limité de la fonction de Langevin, et on obtient : M/Ms ~ µ(b+nm)/3k B T B = (TC/nM s )(B+nM)/T De cette relation, on montre que le rapport M/B ne dépend pas de B : on peut donc définir la susceptibilité magnétique : χ = M/H ~µ 0 M/B = C / (T-T C ) avec C = µ 0 T C /n. C est la loi de Curie-Weiss. Si la température est supérieure à T C, un corps ferromagnétique aura donc un comportement paramagnétique. Si au contraire la température est inférieure à T C, le corps aura une aimantation non nulle lorsque le champ extérieur sera nul. 6

8 Ce modèle de Weiss décrit bien les comportements expérimentaux des ferromagnétiques. Mais les valeurs de champs moléculaires obtenues (1000 T pour le fer, par exemple) sont trop élevées pour représenter un champ magnétique réel : pour décrire correctement ces phénomènes, il faut utiliser le formalisme de la physique quantique et modéliser les interactions entre dipôles par l énergie d échange. Qualitativement, on obtient alors les mêmes résultats, c est-à-dire l existence d une température de Curie T C, en dessous de laquelle une aimantation spontanée apparaît. Au-dessus de T C, l aimantation suit une loi paramagnétique et la susceptibilité peut également s écrire : χ = C T Tc avec μ 2 eff μ0 C = N et T C = nc/ µ 0 3k B 2.5 Transition ferromagnétisme / paramagnétisme La détermination expérimentale de la température de Curie est assez délicate, la transition ferromagnétique / paramagnétique n étant pas aussi brusque que le prévoit la théorie. On peut montrer qu il existe une température de Curie ferromagnétique et une température de Curie expérimentale «paramagnétique». Dans la zone de transition, le matériau garde le souvenir de son état ferromagnétique. 3 Montage expérimental La manipulation a pour but d étudier les variations d aimantation d un corps en fonction de la température. On mesure l aimantation par la méthode dite d extraction. Les principaux éléments du montage expérimental sont indiqués sur les figures 3-1 et 3-2. Leurs fonctions respectives sont détaillées dans ce chapitre. Entrée d air chaud Aimant permanent Support du piston Réservoir à azote liquide Alimentation de la pompe Pompe du système de refroidissement Alimentation de l électrovanne Figure 3-1 : Montage expérimental 3.1 Principe de la mesure de l aimantation par la méthode d extraction Idée générale L échantillon est placé dans une induction magnétique connue à une température donnée. On l extrait rapidement du champ magnétique grâce à un piston alimenté par de l air comprimé. 7

9 uuuuuur L aimant permanent produit un champ magnétique H ( x) 0 sur son axe (on supposera que le diamètre de l échantillon est suffisamment petit pour que l on puisse considérer qu il se déplace sur l axe de l aimant) qui, uur lors du passage de l échantillon magnétique en son centre, engendre une intensité d aimantation M. Celle-ci, en ur ur uur retour, est à l origine d une induction magnétique B qui engendre une variation du flux Φ = BdS. non dφ nulle à travers les spires de la bobine. En vertu de la loi de Lenz ( e = ), on a donc l apparition d une force électro-motrice (fem) aux bornes de la bobine. C est cette tension que l on détectera avec la carte PCI 6024E. Bobine Aimant permanent Figure 3-2 : Bobine et aimant permanent Modélisation simple Pour avoir une idée qualitative de ce qui se passe lors du passage de l échantillon poussé par l air comprimé, on modélise dans un premier temps l expérience de façon simple : on considère que le champ produit par l aimant permanent est constant et vaut H 0 à l intérieur de l aimant et est nul à l extérieur, que les spires de la bobine ont une épaisseur b, que la bobine elle-même a une longueur a, l échantillon une longueur l, et une section S, et qu il a une vitesse constante v lorsqu il traverse la bobine. (Attention, ce modèle est ultra simplifié (voir faux), mais il permet d appréhender la mesure réalisée.) On a, par spire concernée : ur uur uuur uur Φ = BdS. = (1 + χ) μ H. ds= ± (1 + χ) μ H S 0 O 0 suivant le sens du champ magnétique de l aimant par rapport au déplacement de l échantillon En l absence d échantillon on a un flux, toujours par spire : uuur uur Φ = μ H ds = ± μ H S. 0 0 O 0 0 Ainsi la force électromotrice vaut : d(( Φ Φ0) N) e = où N est le nombre de spires traversées par l échantillon. 0 8

10 Alors, si l échantillon rentre dans la bobine à t = 0, on distingue 3 intervalles de temps : l Pour 0 t l échantillon est partiellement entré dans la bobine, la force électromotrice vaut alors : v vt d( χμ0h0s) d(( Φ Φ0) N) e = = m b v = m χμ0hs 0 b Pour l t a l échantillon est entièrement entré dans la bobine, on a de façon analogue : v v l d( χμ0h0s) d(( Φ Φ0) N) e = = m b = 0 Pour a t a + l l échantillon est partiellement sorti de la bobine, la force électromotrice vaut v v alors : l ( vt a) d( χμ0h0s) d(( Φ Φ0) N) e = = m b v =± χμ0hs 0 b Figure 3.3 : Allure de l évolution de la fem dans le temps si le champ est parallèle à la vitesse de déplacement de l échantillon dans la bobine. t=0 correspond au moment où l échantillon pénètre dans la bobine. Les unités sont arbitraires t La demi-intégrale de cette courbe est indépendante de la vitesse et permet de quantifier l aimantation de l échantillon. Le principe de la mesure sera donc de mesurer la fem aux bornes de la bobine pendant l introduction et l extraction de l échantillon, et de calculer son aimantation à partir de cette mesure. 9

11 3.2 Refroidissement et chauffage de l échantillon Pour refroidir l enceinte contenant l échantillon, on aspire de l azote liquide contenu dans un Dewar par une pompe à membrane. On réglera le débit de la pompe de manière à obtenir la température souhaitée. ATTENTION : Ne pas ouvrir trop la vanne régulant la pompe sous peine d aspirer une trop grande quantité d azote et de geler l intérieur de l enceinte, auquel cas il faut réchauffer l ensemble du dispositif. Pour réchauffer l échantillon, on introduit un sèche-cheveux dans l enceinte externe qui entoure celle contenant l échantillon. Les mesures de température se font via une thermosonde en platine. En effet, la résistance de l enroulement de platine varie beaucoup avec la température selon une loi de variation connue. Cette résistance est mesurée à l aide d une petite source de courant alimentée en 5 V et de la carte d acquisition. 3.3 Le gadolinium Z = 64 M = 157,25g.mol -1 Structure électronique périphérique : 6s 2, 5d 1, 4f 7. A l état solide métallique, chaque atome de gadolinium cède 3 électrons (s et d) à l ensemble du métal, ceux-ci étant alors conducteurs du courant. Le magnétisme du gadolinium est donc celui de Gd 3+ (6s 0, 5d 0, 4f 7 ) d état de base 8 S 7/2. Le magnétisme n est dû qu aux couches f. 4 Nature du travail à effectuer On dispose d un échantillon de fer et de gadolinium pur. La température de Curie du fer est d environ 1048 K. A basses températures, ces deux corps sont ferromagnétiques. On étalonne l installation à l aide du fer dont l aimantation à saturation est connue avant d étudier l échantillon de gadolinium. 4.1 Etalonnage de l appareillage On commence par faire la mesure à température ambiante : régler la position de l échantillon de manière à avoir un signal symétrique et maximal. Comparer l allure de vos mesures à celle décrite par le modèle présenté dans ce polycopié. Comparer les flux mesurés. Expliquer pourquoi ce modèle ne reflète pas vos mesures. Expliciter les approximations de ce modèle. Décrire votre procédure d étalonnage pour obtenir la valeur d une aimantation. Dans le domaine de températures considérées, l aimantation du fer varie peu avec la température. Si on prend alors l aimantation à température ambiante comme valeur de l aimantation à saturation, quelle est l erreur que l on fait? 4.2 Etude de la transition ferromagnétique / paramagnétique Evaluer la température de transition à l aide de la courbe M = f(t) La température de transition est-elle la même pour les températures croissantes et décroissantes? 4.3 Etude de l état paramagnétique Comparer le comportement expérimental de χ(t) aux prédictions théoriques Peut-on en déduire la température critique Θ P et la constante de Curie C? Que vaut la constante de champ moléculaire n? Peut-on en déduire les valeurs du moment effectif μ e et du facteur de Landé g? 10

12 4.4 Etude de l état ferromagnétique Evaluer l aimantation à saturation au zéro absolu, et comparer votre résultat à la valeur théorique. Comparer le comportement expérimental de M S (T) aux prédictions théoriques Que vaut la température de Curie T C? Comparer T C à la température critique Θ P Données : V A (Gd) = m 3.mol -1 (20 cm 3.mol -1 ) S(Gd) = 7/2 V A (Fe) = m 3.mol -1 M s (Fe, 0 K) = A.m -1 M s (Fe, 293 K) = A.m -1 H 0 = A.m -1 5 Travail bibliographique Pour le travail bibliographique on pourra par exemple traiter l un des thèmes suivants : - traitement quantique du paramagnétisme, loi de Brillouin ; - cycle d hystérésis d un ferromagnétique, application à l enregistrement magnétique ; - les différents types de comportement magnétique ; - les interactions entre moments magnétiques à l échelle microscopique ; - magnétisme non conventionnel : les verres de spin. Quelques ouvrages de référence pour vous aider : - C. Kittel, Physique de l état solide, Dunod Université - Ashcroft/Mermin, Solid state physics, S+aunders college publishing - E. du Trémolet de Lacheisserie, Magnétisme I et II, collection Grenoble Sciences - S. Blundell, Magnetism in Condensed Matter, Oxford Press 11