Simulation du problème à trois corps : Jupiter Io Europe

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1 Simulation du à trois corps : Jupiter Io Europe École Normale Supérieure de Lyon 3 janvier 2

2 Restriction de l étude Objectif du point Étude en 2D Obtenir numériquement la trajectoire de deux satellites de Jupiter en tenant compte de leur interaction mutuelle, et en supposant l ensemble des trois corps isolés Vérification des trois lois de Kepler Existence d intégrales premières du mouvement

3 2 3 PFD 4 5

4 PFD Hypothèses du point : corps considérés ponctuels donc rotation sur eux-même négligée. Méthode de résolution Utilisation des algorithmes d Euler ou de Runge-Kutta pour résoudre l équation différentielle du mouvement qui découle de la seconde loi de Newton : a i ( r) = j i Gm j r ij r 3 ij Paramètres du programme : masses, positions et vitesses initiales, nombre d itérations NMAX, ainsi que le pas temporel dt. ()

5 PFD Adimensionnement des variables Choix des unités : L = 6,7 8 m : distance initiale Jupiter-Europe. M = 4,8 22 kg : masse de Europe. V =,374 4 m s : vitesse initiale de Europe. D où l unité de temps : T = L /V = 4,88 4 s =,5653 j, avec dt très inférieur à l unité de temps.

6 PFD Visualisation des trajectoires Trajectoires RK4 DT=T/5 TMAX=5 ( tours) Trajectoires RK4 DT=T/5 TMAX=5 ( tours) Jupiter Io Europe Jupiter Io Europe.5.5 Position y reduite Position y reduite Position x reduite Position x reduite FIGURE : Trajectoires avec la méthode d Euler. FIGURE 2: Trajectoires avec la méthode de Runke-Kutta. Avantage de la méthode de Runge-Kutta : trajectoire plus stable. D où la possibilité de prendre un pas plus important et de gagner en rapidité et en mémoire.

7 PFD Conservation de l énergie.6 Energies Euler DT=T/5 TMAX=5 ( tours) Energie totale.2 Energies Euler DT=T/5 TMAX=5 ( tours) Energie totale.4. Energie reduite Energie reduite Nb iterations Nb iterations FIGURE 3: Énergies avec la méthode d Euler. FIGURE 4: Énergies avec la méthode de Runke-Kutta. Conservation de l énergie non exactement vérifiée : Méthode d Euler : variations de l énergie de 3%, Méthode de Runge-Kutta 4 : variations de l énergie de,4%. Par la suite, utilisation de la méthode de Runge-Kutta d ordre 4.

8 PFD Programme limité uniquement par la mémoire du disque dur, mais divergence à l infini des trajectoires en raison de la sensibilité aux conditions initiales. Modélisation limitée essentiellement par l hypothèse simplificatrice d un système isolé de points matériels en 2D et non par les performances technologiques de la machine. Inutile de poursuivre la simulation sur des temps trop grands.

9 A et B isolés, de masses M et M 2, repérés par r et r 2, dans le référentiel barycentrique R de centre G. Mise en équation et régularisation Réduction du : particule fictive P( r) dans R M M 2 M + M 2 d 2 r dt 2 = GM M 2 r ρ 3 (2) avec ρ = r et G = 6,67428 m 3 kg s 2. Adimensionnement des variables : r = r/r, ρ = ρ/r et t = ( G(M + M 2 )/R 3 ) /2 t d 2 x ρ 3 x = dt 2 et d 2 y y = dt 2 ρ 3 (3)

10 Coordonnées : Nouvelles coordonnées : x = u 2 v 2 et y = 2uv, ρ = u 2 + v 2, et τ = dt /ρ Expression de l énergie : ( ( E = 2 ) 2 ( ) ) 2 du dv ρ + dτ dτ ρ Équations du mouvement : d 2 u dτ 2 = E 2 u et d 2 v dτ 2 = E 2 v (4)

11 {Jupiter-Galileo} Paramètres et conditions initiales : t = s et t f, temps auxquels débute et finit la simulation ; M =, kg, masse de Jupiter ; M 2 = 238 kg, masse de Galileo ; R = 795 km, distance initiale entre Jupiter et la sonde ; v, vitesse initiale de la particule fictive en norme ; α = π/2, angle entre (Ox) et v à l instant initial. Résolution des équations (4) par la méthode de Runge-Kutta d ordre 4 Trajectoires obtenues dans R : v c = 2(M + M 2 )G/ρ v > v c, soit E > : trajectoires hyperboliques ; v = v c, soit E = : trajectoires paraboliques ; v < v c, soit E < : trajectoires elliptiques et périodiques. E = /2ρ : trajectoires circulaires

12 Trajectoires possibles de Galileo et Jupiter dans R : d(jupiter,galileo) t= Trajectoires de la sonde Galileo et de Jupiter en referentiel barycentrique d(jupiter,galileo) t= Jupiter Sonde FIGURE 5: t f =,75 4 ms, v = 2 v c : trajectoires hyperboliques de Jupiter et Galileo. d(jupiter,galileo) t= Trajectoires de la sonde Galileo et de Jupiter en referentiel barycentrique d(jupiter,galileo) t= FIGURE 6: t f = 3,5 5 s, v = v c : trajectoires paraboliques de Jupiter et Galileo. Jupiter Sonde

13 .6 Trajectoires de la sonde Galileo et de Jupiter en referentiel barycentrique Jupiter Sonde Trajectoires de la sonde Galileo et de Jupiter en referentiel barycentrique Jupiter Sonde.4 d(jupiter,galileo) t= d(jupiter,galileo) t= FIGURE 7: t f = 3,5 5 s, v = v c /2 : trajectoires elliptiques de Jupiter et Galileo. d(jupiter,galileo) t= d(jupiter,galileo) t= FIGURE 8: t f = 3,5 5 s, v = v c / 2 : trajectoires circulaires de Jupiter et Galileo.

14 En négligeant l influence mutuelle des deux satellites Idée : Trajectoires de Jupiter et Io dans R, Trajectoires de Jupiter et Europe dans R 2, Trajectoires de Io et Europe par composition galiléenne dans R centré sur Jupiter. Lois de Kepler : Trajectoire elliptique de P i dans R i dont G i est un foyer. Conservation de la vitesse aréolaire de P i dans R i au cours du mouvement. 4π Période de la trajectoire de P i dans R i : T i = 2 G Intégrales premières du mouvement : M +M i R 3 M M i i Invariance par translation temporelle : conservation de E i ; Invariance par translation spatiale : conservation de Pi ; Invariance par rotation : conservation de σ i.

15 Trajectoires de Io et Europe dans le référentiel R centré sur Jupiter, en négligeant l influence mutuelle des deux satellites : Orbites de Io et Europe avec Jupiter au centre dans le cadre du probleme a deux corps Orbites de Io et Europe avec Jupiter au centre dans le cadre du probleme a deux corps Io Europe.6 Io Europe FIGURE 9: Vue d ensemble. FIGURE : Zoom.

16 Énergie totale de chaque système supposé isolé, en négligeant l influence mutuelle des deux satellites : -.33e e e e+3 Energie totale du systeme {Jupiter-Io} isole dans le cadre du probleme a deux corps energie totale Energie totale du systeme {Jupiter-Europe} isole dans le cadre du probleme a deux corps e+3 energie totale e e e+3 energie totale (J) -.338e e e e+3 energie totale (J) e e e e e e e e e iteration -4.53e iteration FIGURE : Énergie totale du système isolé {Jupiter-Io}. FIGURE 2: Énergie totale du système isolé {Jupiter-Europe}.

17 En considérant l influence mutuelle des deux satellites Pour chaque système isolé, légère modification des équations (4). Trajectoires de Io et Europe dans R centré sur Jupiter, pour différents temps de simulation, avec un pas d intégration inférieur au pourcent. Instabilité des trajectoires de Io et Europe : périodes des orbites non perturbées de Io et Europe autour de Jupiter non multiples l une de l autre donc aucun instant où les deux satellites de nouveau en même temps à leur position initiale.

18 Trajectoires de Io et Europe dans le référentiel R centré sur Jupiter, en négligeant l influence mutuelle des deux satellites : Orbites de Io et Europe avec Jupiter au centre dans le cadre du probleme a trois corps Io Europe.6.4 Orbites de Io et Europe avec Jupiter au centre dans le cadre du probleme a trois corps Io Europe FIGURE 3: Trajectoires pour environ périodes de Europe (vue générale). FIGURE 4: Trajectoires pour environ périodes de Europe (zoom).

19 Trajectoires de Io et Europe dans le référentiel R centré sur Jupiter, en négligeant l influence mutuelle des deux satellites : Orbites de Io et Europe avec Jupiter au centre dans le cadre du probleme a trois corps Io Europe Orbites de Io et Europe avec Jupiter au centre dans le cadre du probleme a trois corps Io Europe FIGURE 5: Trajectoires pour environ périodes de Europe FIGURE 6: Trajectoires pour environ 2 périodes de Europe.

20 Trajectoires de Io et Europe en première approximation Efficacité de la méthode de Runge-Kutta d ordre 4 Intérêt d une régularisation avant traitement numérique Limites de la modélisation Durée de la simulation à cause de l instabilité des trajectoires Méthode inefficace et multiplication points singuliers avec PFD : méthode des perturbations Inclure d autres facteurs : autres satellites et planètes, Soleil, rotation des corps sur eux mêmes, mouvements à 3D,... Prolongement Problème de trois corps de masses proches : comètes

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