UNIVERSITÉ PARIS VI. Géométrie analytique et analyse semi-classique

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1 UNIVERSITÉ PARIS VI Mémoire en vue d obtenir l habilitation à diriger des recherches en Mathématiques Géométrie analytique et analyse semi-classique Mauricio D. Garay Soutenance le Mercredi 10 Décembre Jury composé de : Louis Boutet de Monvel Victor Goryunov Maxim Kontsevich Duco van Straten Claire Voisin San Vũ Ngoc Jean Zinn-Justin Rapporteurs : Victor Goryunov Claude Sabbah San Vũ Ngoc 1

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3 3 Avant-propos. Cette habilitation regroupe les travaux que j ai menés au cours des années 2001 à 2006, entre Paris, Mayence, Trieste et Bures-sur-Yvette. Ces travaux visaient à établir des bases de l analyse semi-classique complexe, en relation avec la théorie des déformations. Je remercie tous les amis et collègues qui m ont fait part de leur soutien et parfois de leur enthousiasme. Ils se reconnaîtront sans qu il me soit nécessaire de tous les nommer ici, la liste en serait trop longue. Je remercie particulièrement Duco van Straten sans lequel ce travail n aurait jamais abouti. Enfin, je veux remercier chaleureusement les membres du jury d avoir accepté de participer à cette habilitation. Bures-sur-Yvette, le 5 Décembre Mauricio Garay.

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5 Introduction L objet de ce travail est de développer l analyse semi-classique dans le cadre complexe analytique et formel, et d étudier les relations entre ces deux domaines, à l instar des relations entre géométrie formelle et géométrie analytique. Cette analyse sera ensuite appliquée à l étude du développement perturbatif pour le spectre, lorsque l on perturbe des systèmes quantiques en dimension 1, puis en dimension quelconque, dans le cadre des systèmes intégrables. En particulier, nous entendons donner un statut mathématique à ces développements perturbatifs en les interprétant comme des spectres sur des bases formelles ou analytiques. Comme dans le cas réel, cette étude est intimement liée à la géométrie des variétés lagrangiennes, une grande partie de ce travail leur sera donc consacrée. Une première approche de l analyse semi-classique dans un contexte analytique avait déjà été effectuée par Sjöstrand et ses collaborateurs, qui avaient mis en évidence l importance des développements Gevrey. Mais celle-ci, peut-être trop attachée à certaines traditions de l analyse, n avait pas permis d inclure en son sein les calculs perturbatifs de façon simple. Pour cette raison, j ai été contraint d introduire une autre approche, sans chercher, faute de temps, à établir le lien avec celle qui préexistait. Les auteurs de ces travaux voudront bien m en excuser. L approche classique de la théorie spectrale consiste à regarder le spectre formel, introduit dans les travaux fondateurs de la mécanique quantique, comme dénué d existence réelle. Seule l approche des espaces de Hilbert, dans les rares cas où elle permet de retrouver les mêmes résultats, lui confère un véritable statut mathématique. Notre vision de la théorie spectrale est différente : il existe des théories réelles et complexes, analytiques, formelles avec ou sans paramètres semi-classique, et des théorèmes de comparaison entre ces différentes catégories. Il ne sera pas question ici de comparer la théorie analytique avec la théorie spectrale des espaces de Hilbert. Pour pousser notre comparaison avec la géométrie, une telle étude correspondrait à des théorèmes 5

6 6 INTRODUCTION de comparaison entre la géométrie différentielle et la géométrie analytique. En revanche, il sera question de comparer la théorie analytique et la théorie formelle. Il faut cependant noter que dans le cadre analytique, il existe une troisième approche semi-classique que l on pourrait qualifier d approche purement topologique : celle de la méthode BKW complexe. On gagnerait certainement beaucoup a reformuler cette analyse BKW dans notre contexte. Mais c est un point que je n ai pas encore abordé de façon systématique, et qui ne sera pas du tout abordé dans ce texte. Comme pour la géométrie classique, l hypothèse d analyticité des données fournit à la théorie une richesse additionnelle qui s exprime par la relation profonde entre l étude topologique et l étude analytique. Nous montrerons comment l espace de déformation verselle d un système intégrable quantique est en correspondance avec celui de son symbole principal en géométrie symplectique. Nous serons ainsi amenés à étudier l espace de déformation verselle d une variété lagrangienne singulière. Nous verrons que cet espace est de nature topologique, et intimement lié au faisceau des cycles évanescents sur cette variété. Compte tenu des relations différentielles qui interviennent dans la définition d une variété lagrangienne, les calculs directs sont complexes. La nature topologique de l espace de déformation verselle lagrangienne fournit une alternative pratique à ces calculs. Du point de vue de l étude de l espace de déformation verselle lagrangienne, notre travail reste tout à fait incomplet. Mais paradoxalement, les conditions que l on pourrait considérer comme très restrictives le fait d être une intersection complète, de posséder des stratifications analytique complexes sont assez générales pour pouvoir traiter les exemples qui proviennent de la physique théorique et de l étude des systèmes intégrables de dimension finie. Quant à la question de la résurgence des séries perturbatives du spectre, due à Pham à Voros et à Zinn-Justin, elle reste ouverte, mais on peut espérer que ce travail rende son étude plus abordable.

7 CHAPITRE 1 Séries perturbatives en mécanique quantique 1. Rappels sur les développements asymptotiques On appelle secteur d ouverture θ R >0, un ouvert de C de la forme S θ,r = {x C/ Arg x < θ, x < r}. Un développement asymptotique associé à une fonction holomorphe est une série formelle n>0 a nx n telle qu il existe une fonction f : S θ,r C holomorphe dans un secteur telle que lim x 0 f (n) (x) = n!a n. La transformée de Borel abstraite d une série formelle d une variable est donnée par B : C[[x]] C[[x]], i 0 a i x i i 1 a i x i 1 (i 1)!. On dit que f est de classe Gevrey 2 si sa transformée de Borel est une fonction analytique. Comme il ne sera question que de classe Gevrey 2 dans la suite, nous dirons que f est Borel-analytique si elle est de classe Gevrey 2. Théorème 1.1 (voir [24]). Toute série formelle Borel-analytique est un développement asymptotique associé à une fonction holomorphe sur un demi-plan. Donc, pour montrer qu une fonction est un développement asymptotique d une fonction holomorphe sur le bord de son domaine de convergence, il nous suffit de montrer que le développement est Borelanalytique. 2. L algèbre Q L algèbre de Heisenberg universelle (en dimension 1) Q est l algèbre des séries formelles sur C engendrée par trois éléments a, a, vérifiant une seule relation de commutation non-triviale [a, a ] =. Dans les notations traditionnelles de la mécanique quantique, on a p = a + a 2, q = a a 2i 7

8 8 1. SÉRIES PERTURBATIVES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE qui satisfont la relation de commutation [p, q] = i. Avec Sjöstrand et Pham, nous allons définir une sous algèbre analytique de Q [30, 36]. Le symbole total s : Q C[[, x, y]] d un élément f Q est obtenu en écrivant f sous la forme f = i,j 0 α ij (a ) i a j puis en remplaçant les opérateurs a, a par des variables x, y C. Avec ces notations, nous conviendrons d appeler transformée de Borel dans l algèbre Q est l application B : Q C[[, x, y]], f ijk a ijk x i y j k k!. Comme cela a été observé par Pham, il découle des résultats de Boutet de Monvel-Krée que le sous-espace vectoriel Q Q formé par les éléments ayant une transformée de Borel en holomorphe en l origine est une sous algèbre [3, 30, 36]. Nous notons C Q les éléments qui ne dépendent que de (les constantes) et C {z} les séries analytiques à coefficients dans C : a jk z j k C {z} j,k 0 j,k 0 a jk z j k k! C{, z} où C{ } désigne l algèbre des fonctions holomorphes dans un voisinage de l origine. On peut remplacer dans cette construction le corps C par un anneau de séries formelles C[[λ]], λ = (λ 1,..., λ k ) : on définit de même une transformée de Borel en en considérant le symbole total de l opérateur et on note Q{λ} l algèbre des opérateurs dont la transformée de Borel est un germe de fonction analytique. On a 1 Q{λ} Q ˆ C{λ}, H{λ} H ˆ C{λ} C {λ, z}. Par la suite, lorsque l espace des paramètres est de dimension k = 1, il nous arrivera de noter t ou z la variable au lieu de λ. 3. Le module de Hilbert H A l aide de l algèbre de Heisenberg analytique Q, nous allons construire un spectre associé au éléments de Q et plus généralement de Q{λ}. Notons H = Q/Qa le quotient de l algèbre Q par l idéal à gauche engendré par a. Comme C -module, l espace H s identifie à l espace C {z} 1 Le symbole ˆ désigne le produit tensoriel topologique pour les structures habituelles d espaces DF.

9 3. LE MODULE DE HILBERT H 9 des germes de fonctions C -analytiques en une variable. En effet, modulo l idéal Qa tout opérateur peut s écrire sous la forme n α n(a ) n, l isomorphisme est donné par H C {z}, α n (a ) n α n z n. n Notons π : Q H la projection canonique. La multiplication à gauche dans Q par un élément H Q induit un diagramme commutatif Q H Q π H ρ(h) H et, par conséquent, donne lieu à une représentation de l algèbre Q. On démontre sans difficulté que l application ρ : Q Hom C (H, H) est injective. Par conséquent, nous pouvons identifier l algèbre Q avec une sous-algèbre d opérateurs agissant sur H. Via l isomorphisme de C -module H C {z}, la représentation ρ est définie par ρ(a) : C {z} C {z}, ψ z ψ et ρ(a ) : C {z} C {z}, ψ zψ. En restreignant ρ aux polynômes en, z et en posant = 1, on retrouve la correspondance habituelle de Bargmann qui fait correspondre à a et à a les opérateurs de multiplication par z et de dérivation par rapport à z. Plus généralement, la donnée d un automorphisme ϕ de l algèbre Q donne lieu à une nouvelle représentation ρ ϕ définie par le diagramme commutatif Q ρ ϕ ϕ Q ρ Hom C (H, H). Le spectre analytique de H est obtenu en choisissant une représentation pour que H soit diagonalisable et en prenant les éléments de la diagonales. Bien évidemment, très peu d élément de Q sont diagonalisables et on vérifie sans difficultés que la diagonalisation d une matrice correspond à une version quantique de la mise sous forme normale de Birkhoff. En remplaçant Q par ˆQ, on obtient une notion de spectre formel de H qui correspond à celle considérée par les fondateurs de la mécanique quantique [2]. Signalons que l on peut définir un produit intérieur C -linéaire sur Q à valeur dans C, analogue du produit hermitien de la représentation de Bargmann [12]. π

10 10 1. SÉRIES PERTURBATIVES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE 4. Le spectre relatif On peut étendre la notion de spectre au cas à paramètres, sans difficultés. La représentation ρ s étend en une représentation de l algèbre Q{λ} vers Hom C {λ}(h{λ}, H{λ}). Les considérations précédentes s adaptent mutatis mutandi à ce cas. Ainsi, le spectre de H sur l anneau C {λ} coïncide avec ce que l on appelle classiquement la notion de développement perturbatif d une valeur propre de H(λ, a, a ) à λ = 0. Nous avons donc deux notions de spectre analytique et formel ainsi qu une application naturelle induite par le plongement Q ˆQ. Sp(H) Ŝp(H) Théorème 1.2 ([12, 8]). Pour tout élément H Q{t} tel que la partie quadratique de H 0 := H(t = 0, ) Q soit non-dégénérée, l application naturelle est un isomorphisme. Sp(H) Ŝp(H) Autrement dit, dans une telle situation, les développements perturbatifs du spectre sont Borel analytique, i.e., ils deviennent analytiques après un transformée de Borel en la variable. Exemple 1.1 ([20]). Pour H(t, q, p) = 1/2(p 2 + q 2 ) + 1/4tq 4, on obtient E(t, h) = (n+1/2) + 3(n2 +n+1/2) 8 t 2 17n3 +51/2n 2 +59/2+21/2 64 t Le fait que H soit quasi-homogène dans les variables q, p, t de poids respectifs 1, 1, 2 se traduit par le fait que E/ est une série de la variable t. Le théorème affirme que cette série est Borel analytique en. Le Théorème 1.2 est une conséquence d un théorème de forme normale que nous allons à présent expliciter. 5. Le lemme de Morse quantique Notation. Pour ψ = n 0 a nz n C {λ, z} et H Q{λ}, nous noterons ψ H la série n 0 a nh n dont on vérifie sans difficulté que c est un élément de Q{λ} (à défaut de le vérifier sans difficulté, on pourra utiliser les résultats de [3] ou encore consulter [8]). Théorème 1.3 ([12]). Pour tout élément H Q{t} tel que la partie quadratique de H 0 := H(t = 0, ) Q soit non-dégénérée, il existe

11 5. LE LEMME DE MORSE QUANTIQUE 11 un automorphisme ϕ Aut(Q{t}) et une application ψ C {t, z} telles que ϕ(h) = ψ H 0. Le spectre de H est donc égal à l image du spectre de H 0 par ψ d où l isomorphisme entre spectre formel et spectre analytique, puisque ψ C {t, z}. Par exemple pour H 0 = 1/2(p 2 + q 2 ) on a Sp(H) = {ψ((n + 1/2) ), n 0}. La fonction ψ contient donc, à priori, davantage d information que le spectre. Dans le cas particulier, H = p 2 + q 2 + λq 4, ce théorème a été démontré par Simon [35] puis redécouvert par Pham [30]. Pour terminer, remarquons que le théorème ci-dessus admet le corollaire suivant. Théorème 1.4. Pour tout opérateur H 0 Q dont la partie quadratique est non-dégénérée il existe un automorphisme ϕ Aut(Q) et une application ψ C {z} telles que ϕ(h 0 ) = ψ (a a). Un cas particulier de ce résultat a été obtenu par Helffer-Sjöstrand (voir [21], Appendices).

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13 CHAPITRE 2 L approximation semi-classique La démonstration du lemme de Morse quantique demande de faire attention à un certain nombre de subtilités dues au fait que Q est un anneau non-commutatif. Pour simplifier notre exposition, nous allons considérer la version semi-classique des résultats et expliquer les démonstrations dans ce cas simplifié. Les résultats de ce chapitre à partir de la section 2 ainsi que du chapitre suivant restent valables pour les hypersurfaces à singularités isolées mais, en vue des applications que nous en ferons, nous ne considérons que le cas des courbes. 1. Principes de la limite semi-classique L algèbre Q est une déformation plate de l algèbre des germes de fonctions holomorphes à l origine C{x, y}, i.e., on a une suite exacte 0 Q Q σ C{x, y} 0 où x, y désigne les projection de a, a. L application σ s appelle le symbole principal. La structure non-commutative de Q induit sur C{x, y} un crochet de Poisson {, } c est à dire une bidérivation, antisymmétrique définie par : σ( 1 [f, g]) = {σ(f), σ(g)}. Ce crochet de Poisson est associé à la deux-forme symplectique dx dy (ou encore au bivecteur x y ), i.e. : {F, G}dx dy = df dg, F, G C{x, y} Tout automorphisme ˆϕ de l algèbre Q induit un germe de symplectomorphisme analytique ϕ dans C 2, i.e., un germe à l origine de biholomorphisme analytique qui préserve la 2-forme symplectique dx dy : ϕ(x) = σ( ˆϕ(a)), ϕ(y) = σ( ˆϕ(a )). Ainsi, tout problème de déformation sur Q donne lieu à un problème de déformation en géométrie symplectique sur C{x, y} que l on appellera le problème semi-classique associé. 2. Le lemme de Morse isochore Tout germe d application holomorphe de la forme f : (C 2, 0) (C, 0), (x, y) x 2 + y 2 + top, 13

14 14 2. L APPROXIMATION SEMI-CLASSIQUE où top désigne des termes d ordre plus élevés dans la série de Taylor, se ramène à sa partie quadratique par un changement de variable biholomorphe. En revanche, il est en général impossible de faire en sorte que ce changement de variable préserve la forme symplectique dx dy. Pour le voir, on pourra considérer à titre d exemple le germe d application (x, y) x 2 + y 2 + (x 2 + y 2 ) 2. Dans un petit voisinage de l origine, cette fonction et sa partie quadratique définissent pour dx dy des intégrales de périodes qui sont différentes, ou bien dit de façon encore plus terre à terre : les volumes des corps convexes {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 ε} et {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 + (x 2 + y 2 ) 2 ε} sont différents. Ces intégrales de périodes sont les uniques invariants analytiques comme le montre le théorème suivant dû à Vey. Théorème 2.1 ([39]). Pour tout germe d application holomorphe f : (C 2, 0) (C, 0) ayant un point critique à l origine dont la partie quadratique est non-dégénérée, il existe des applications biholomorphes ϕ : (C 2, 0) (C 2, 0), ψ : (C, 0) (C, 0) telles que ϕ préserve la forme symplectique dx dy et f ϕ(x, y) = ψ(xy). Dans l énoncé de ce théorème on aurait pu remplacer la forme quadratique xy par n importe quelle autre forme quadratique nondégénérée. Ce théorème a connu de nombreuses avatars dus entre autres à Arnold, Françoise, Givental, Kostov, Varchenko. Comparons ce résultat avec la limite semi-classique du Théorème 1.3 : Théorème 2.2 ([12]). Pour tout élément H C{t, x, y} tel que la partie quadratique de H 0 := H(t = 0, ) C{t, x, y} soit nondégénérée, il existe un automorphisme ϕ Aut(C{t, x, y}) qui préserve la structure de Poisson associée au bivecteur x y et une application ψ C{t, z} telles que H ϕ = ψ H 0. Ce théorème implique celui de Vey. En effet, définissons la famille de germes f t = (1 t)f + td 2 f dépendant du paramètre t [0, 1] où d 2 f désigne la différentielle quadratique de f à l origine. Pour tout t 0 [0, 1], le germe de f t en t = t 0, x = 0 est une déformation triviale de f t0. Par conséquent f t0 +ε est conjugué à f t0 par l action d un germe de symplectomorphisme de (C 2, 0) et d une application biholomorphe de (C, 0) pour tout ε suffisamment petit. Comme cette propriété est vraie pour tout t 0 [0, 1], on en déduit que f 0 et f 1 sont conjugués ; ce qui montre bien que le Théorème 2.1 s obtient comme un corollaire du Théorème 2.2.

15 3. DÉFORMATIONS VERSELLES ISOCHORES Déformations verselles isochores La démonstration que nous allons donner au chapitre suivant du lemme de Morse isochore est en fait suffisamment générale pour être adaptée à de nombreux exemples, parmi lesquels une conjecture de versalité due à Colin de Verdière [6]. Le déploiement d une déformation F : (C k C 2, 0) (C, 0) d un germe de fonction holomorphe f : (C 2, 0) (C, 0), que nous noterons F, est l application (C k C 2, 0) (C k C, 0), (λ, x, y) (λ, F (λ, x, y)). La déformation F est appelé RL-verselle si, pour toute autre déformation G de f, il existe un diagramme commutatif d applications holomorphes pour les déploiements de F et de G : (1) (C j C 2, 0) ϕ (C k C 2, 0) G (C j C, 0) ψ F (C k C, 0) Nous dirons que G est induite de F par le changement de base ψ. Pour être tout à fait précis, nous devrions dire que G est isomorphe à la déformation induite par le changement de base ψ. Nous dirons que la déformation F est isochore verselle si on peut choisir l application ϕ pour qu elle préserve la deux-forme dx dy modulo une deux-forme holomorphe constante sur les fibres de la projection C j C 2 C j ou, ce qui revient au même, qu elle préserve la structure de Poisson associée au bivecteur x y. On dira alors que la déformation G est isochore induite de F par ψ. Une déformation isochore verselle dépendant d un nombre minimal de paramètres est appelée isochore miniverselle. A un germe d application holomorphe f : (C 2, 0) (C, 0), nous associons le complexe C (f) : 0 C{x, y}/(f) C{x, y}/(f) 0 dont la différentielle est {f, }. Ici (f) désigne l idéal de C{x, y} engendré par f. Nous notons H (f) la cohomologie de ce complexe. Les résultats suivants ont été conjecturés par Colin de Verdière dans [6]. Théorème 2.3 ([9]). Une déformation F : (C k C 2, 0) (C, 0) d un germe d application holomorphe f : (C 2, 0) (C, 0) est isochore verselle pourvu que les restrictions à λ = 0 des classes des λi F engendrent l espace vectoriel H 1 (f). Théorème 2.4 ([9, 12]). Soit F : (C k C 2, 0) (C, 0) une déformation isochore miniverselle d un germe f : (C 2, 0) (C, 0). Pour toute déformation G : (C j C 2, 0) (C, 0) de f l application

16 16 2. L APPROXIMATION SEMI-CLASSIQUE de changement de base ψ : (C j C, 0) (C k C, 0) qui permet d induire G de F est unique. Ce théorème montre que les déformations miniverselles isochores sont universelles : une fois fixée une déformation miniverselle d un germe, tout autre déformation donne lieu à un invariant analytique ψ par lequel la déformation est induite de la déformation miniverselle. Cet invariant analytique est une variante semi-classique de la notion de spectre d un opérateur, car dans le cas d une singularité de Morse, la fonction ψ donne le terme dominant en des développements perturbatifs du spectre. Avant de passer à la démonstration de ces résultats, nous allons faire quelques rappels sur la théorie de Gauss-Manin afin d expliquer la nature topologique de l espace vectoriel H 1 (f).

17 CHAPITRE 3 La théorie de Gauss-Manin locale 1. Théorie topologique Étant donné un germe de fonction holomorphe f : (C 2, 0) (C, 0) à singularité isolée 1, on a une notion classique de représentant standard f : X S de ce germe, également appelé représentant de Milnor. Ces représentants sont obtenus de la façon suivante. Notons B R C 2 la boule fermée de rayon R centrée en l origine et ḂR son intérieur. On considère tout d abord un représentant holomorphe g : Ḃ r T du germe. On choisit ε 0 suffisamment petit pour que les sphères S ε de rayon ε centrées à l origine soient transverses à la fibre de g au-dessus de l origine pour tout ε ε 0. Par transversalité, on peut choisir un voisinage fermé S T de l origine tel que les fibres de g au dessus de S soient transverses à la sphère S ε0. L application f obtenue par restriction de f à X = g 1 (S) B ε0 est appelée un représentant standard du germe. On a alors le théorème : Théorème 3.1 ([25]). La restriction de l application f au-dessus du complémentaire de l origine est une fibration différentiable localement triviale. Cette fibration ne dépend du choix du représentant standard que par un isomorphisme C de fibrés. Cette fibration est appelée fibration de Milnor du germe f. Par la suite, nous désignerons abusivement le représentant standard et le germe par la même lettre. La fibre de la fibration de Milnor est une surface de Riemann ouverte, elle a donc le type d homotopie d un bouquet de cercles. Le théorème suivant précise le nombre de ces cercles. Théorème 3.2 ([27, 25]). La fibre de Milnor d un germe d application holomorphe f : (C 2, 0) (C, 0) à le type d homotopie d un bouquet de µ(f)-cercle avec µ(f) = dim O C 2,0/( x f, y f) L algèbre O C 2,0/( x f, y f) s appelle l algèbre de Milnor et l idéal ( x f, y f) O C 2,0 s appelle l idéal Jacobien de f. Lorsque le contexte le permet, nous désignerons simplement par µ le nombre de Milnor de la fonction considérée. 1 On dit que f est à singularité isolée si le germe de courbe V (f) est à singularité isolée ou de façon équivalente si l origine est un point critique isolé de f. 17

18 18 3. LA THÉORIE DE GAUSS-MANIN LOCALE Exemple 3.1. Prenons f(x, y) = x 2 + y 2, l algèbre de Milnor est engendré par la classe de 1 ; la fibre de Milnor a le type d homotopie d un cercle. 2. Théorie analytique 1 : le complexe de de Rham relatif Nous conservons les notations de la section précédente. A un représentant standard f : X S du germe f, on associe son complexe de de Rham relatif Ω X/S, les termes du complexe sont les Ωk X/S = Ωk X /df Ωk 1 X et la différentielle est induite par la différentielle du complexe de de Rham Ω X [18]. Les images directes R k f Ω X/S, k Z 0 de ce complexe de faisceau sont définies par les préfaisceaux U H k (f 1 (U), Ω X/S), k 0. Comme X est contenu dans un ouvert de Stein, l espace d hypercohomologie se calcule comme la cohomologie du complexe des sections globales restreintes à U : H k (f 1 (U), Ω X/S) H k (Ω X/S(f 1 (U))) H k (Ω X/S(X)) f 1 (U). Lorsque U, ne contient pas l origine, cet espace d hypercohomologie s identifie aux sections analytiques de la fibration de Milnor au-dessus de U, en effet, la restriction d une deux-forme différentielle du type df à une fibre {f = constante} est identiquement nulle. Si l ouvert U contient l origine alors on ne peut rien affirmer de façon évidente. Cependant, la philosophie générale de la théorie des singularités suggère une relation entre l espace de cohomologie H k (Ω X/S(f 1 (s))) H k (f 1 (s), C) C µ au dessus d une valeur régulière s S \ {0} et l espace de cohomologie H k (Ω X/S,0) concentré quant à lui au point singulier de la fibre singulière. C est le contenu du théorème suivant du à Brieskorn et à Deligne. Théorème 3.3 ([4]). L espace de cohomologie H f := H 1 (Ω X/S,0 ) associé à un germe d application holomorphe à singularité isolée f : (C 2, 0) (C, 0) est un C{f}-module libre de rang µ, où µ est le nombre de Milnor de f. De plus, on a un isomorphisme canonique (R 1 f Ω X/S ) 0 H f. Ce théorème reste vrai pour les germes d hypersurfaces à singularités isolés, dans ce cas la liberté du module conjecturée par Brieskorn a été démontrée par Sébastiani [33]. Ce résultat a été généralisé par Greuel au cas des intersections complètes à singularités isolées [17].

19 4. RELATION AVEC LES DéFORMATIONS ISOCHORES 19 Exemple 3.2. Reprenons l exemple du germe de fonction f(x, y) = x 2 + y 2. La classe de la différentielle α = fydx est un cocycle du complexe de de Rham relatif de f, en effet, on a d(fydx) = df ydx + fdy dx et 2fdy dx = df (ydx xdy) df Ω 1 X (X). Le nombre de Milnor de f étant égal à un, la 1-forme ydx n étant pas un cocycle, la différentielle α n est donc pas divisible par f ; par conséquent sa classe engendre le C{f}-module H f. 3. Théorie analytique 2 : le réseau de Brieskorn Soit f : X S un représentant standard d un germe f : (C 2, 0) (C, 0) à singularité isolée. Il existe une autre façon d obtenir des sections du fibré cohomologique de Milnor H 1 (f 1 (s), C) S \ {0} s S\{0} qui consiste à prendre le résidu de Gelfand-Leray d une deux forme sur l espace ambiant. Nous ne considérons que le cas des différentielles à pôle simple le long du graphe de la fonction. L étude plus générale, n est pas plus difficile et conduit à la construction de Pham, du D-module de Gauss-Manin et de sa version micro-locale [28, 29]. A l évidence pour toute fonction g : X S, la 2-forme ω = ω + df dg induit la même section du fibré cohomologique que ω. On définit ainsi le réseau de Brieskorn de la fonction f par H f = Ω 2 X,0/df do C 2,0. Théorème 3.4 ([4]). Pour tout germe à singularité isolé f : (C 2, 0) (C, 0), le réseau de Brieskorn est un module libre de rang µ(f) et le conoyau de l application H f H f, α α df est un espace vectoriel de dimension 2µ. L application 4. Relation avec les déformations isochores C{x, y} Ω 2 C 2,0, f fdx dy induit un isomorphisme entre l espace vectoriel H f /fh f et le premier espace de cohomologie H 1 (f) de f défini au chapitre 2, autrement dit on a une suite exacte 0 H f (C[t]) µ f H f H 1 (f) C µ 0. De telle sorte que les éléments de H 1 (f) se relèvent en des sections du fibré cohomologique de Milnor.

20 20 3. LA THÉORIE DE GAUSS-MANIN LOCALE Exemple 3.3. Considérons un représentant standard f : X S du germe f(x, y) = x 2 +y 2. La classe de 1 se relève en la forme ω = dx dy qui définit sur une section du fibré cohomologique de Milnor : à chaque valeur régulière s de f on associe la classe de cohomologie [ ] [ ] dx dy dx = H 1 (f 1 (s), C) df y La forme dx dy Ω 2 (X) induit une classe non nulle de H f et non divisible par f, par conséquent cette classe engendre le réseau de Brieskorn, i.e., H f = C{f}[dx dy]. Donc d une part la classe de 1 engendre l espace vectoriel H 1 (f), condition suffisante (et nécessaire) de versalité isochore d après le Théorème 2.3, et d autre part la classe de la forme différentielle (dx dy)/df engendre le groupe H 1 (f 1 (s), C) pour tout s S \ {0}. Ces deux assertions se vérifient d ailleurs immédiatement, la première par un calcul direct et la seconde du fait que l intégrale de (dx dy)/df = dx/y prise sur le cercle {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1} est non nulle, et que la fibre de Milnor se rétracte par déformation sur ce cercle.

21 CHAPITRE 4 Principes de correspondance Nous allons illustrer la technique de démonstration du théorème de rigidité en donnant une nouvelle démonstration du théorème de Vey (Théorème 2.1). 1. La méthode de Moser-Poincaré-Thom Pour démontrer, un théorème du type du Lemme de Morse, on se propose d employer la méthode du chemin. Cette méthode consiste à relier nos deux objets par un chemin (pour nous l opérateur et sa partie quadratique) puis à démontrer que la déformation est triviale. C est ce que nous avons fait dans la seconde formulation du lemme de Morse isochore. Ensuite, nous remplaçons la condition exacte par une condition infinitésimale : nous voulons résoudre l équation ψ t f t ϕ t = f; nous dérivons cette équation par rapport à t et multiplions le résultat à droite par ϕ 1 t et à gauche par ψt 1. Nous obtenons une équation du type a t (f t ) + L vt f t = g avec g donné et v t, a t pour inconnue. Si cette équation est résoluble, il suffit d intégrer v t et a t pour obtenir les familles d applications ψ t, ϕ t que nous cherchions. Dans le cas où l on ne fait pas d hypothèse sur la nature de ϕ t et f est un germe de fonction différentiable, c est la démonstration donnée par Thom du lemme de Morse [1]. 2. Spécificité du cas isochore Les applications ϕ t que nous cherchons préservent la deux forme dx dy, ce qui implique que le champ de vecteur non-autonome v t est un champ Hamiltonien. En effet, en dérivant la condition ϕ t dx dy = dx dy par rapport au paramètre t, on obtient L vt dx dy = 0, ce qui donne par la formule de Cartan L X = i X d + di X que i vt dx dy est fermée ; puis par le lemme de de Rham que i vt dx dy = dh t pour un certain germe de fonction holomorphe H t, en coordonnées locales : v t = H t y x H t x y. 21

22 22 4. PRINCIPES DE CORRESPONDANCE Par conséquent, la dérivation associée à v t est {, H t }. On peut donc récrire l équation infinitésimale comme (2) a t (f t ) + {f t, H t } = g. Pour comprendre cette équation commençons par faire t = 0 puis multiplions les deux membres par la 2-forme symplectique dx dy, on obtient a 0 (f)ω + df dh 0 = α 0. En désignant par [ ] la classe d un élément dans le réseau de Brieskorn de f, cette équation se récrit sous la forme a 0 (f)[ω] = [α 0 ]. Comme le réseau de Brieskorn est un module libre il suffit de résoudre l équation a 0 (f)[ω] = [α 0 ]( mod f) ou bien de façon encore équivalent de résoudre l équation a 0 (0)[1] = [g] dans H 1 (f). On peut donc résoudre l équation infinitésimale à t = 0, pourvu que la classe de 1 engendre l espace vectoriel H 1 (f) ; ce qui est vérifié comme nous l avons vu précédemment (cf. Exemple 3.2). Par conséquent, nous obtenons que le Théorème de Vey est conséquence d une variante à paramètres du théorème de finitude pour le réseau de Brieskorn (Théorème 3.4) [9]. Cette généralisation est ele-même un cas particulier du théorème de cohérence des images directes du complexe de de Rham pour les intersections complètes à singularité isolées [17]. Nous donnerons au chapitre 7, des théorèmes de finitude suffisamment généraux pour être appliqués à tous les cas que nous allons rencontrer. Remarquons qu il est inutile de savoir que le module est libre pour conclure à la convergence. Si le module est de type fini alors le lemme de Nakayama nous dis que pour qu un système d élément engendre le module il suffit que leurs restrictions à t = 0 engendre le module. Enfin, du fait que le réseau de Brieskorn (avec paramètres) est libre, on déduit l unicité de la fonction a t dans l équation Cas du théorème des déformations verselles isochores Commençons par rappeler une idée de Martinet qui relie déformations verselles et la stabilité par déformations. Je dis que le théorème suivant est équivalent au théorème de déformations verselles isochores (Théorème 2.3). Théorème 4.1. Soit F : (C k C 2, 0) (C, 0) une déformation d un germe d application holomorphe f : (C 2, 0) (C, 0) et G une déformation de F. Si les restrictions à λ = 0 des classes des λi F engendrent le module H 1 (f) alors G est isochore induite de F.

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