UNIVERSITÉ PARIS VI. Géométrie analytique et analyse semi-classique

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1 UNIVERSITÉ PARIS VI Mémoire en vue d obtenir l habilitation à diriger des recherches en Mathématiques Géométrie analytique et analyse semi-classique Mauricio D. Garay Soutenance le Mercredi 10 Décembre Jury composé de : Louis Boutet de Monvel Victor Goryunov Maxim Kontsevich Duco van Straten Claire Voisin San Vũ Ngoc Jean Zinn-Justin Rapporteurs : Victor Goryunov Claude Sabbah San Vũ Ngoc 1

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3 3 Avant-propos. Cette habilitation regroupe les travaux que j ai menés au cours des années 2001 à 2006, entre Paris, Mayence, Trieste et Bures-sur-Yvette. Ces travaux visaient à établir des bases de l analyse semi-classique complexe, en relation avec la théorie des déformations. Je remercie tous les amis et collègues qui m ont fait part de leur soutien et parfois de leur enthousiasme. Ils se reconnaîtront sans qu il me soit nécessaire de tous les nommer ici, la liste en serait trop longue. Je remercie particulièrement Duco van Straten sans lequel ce travail n aurait jamais abouti. Enfin, je veux remercier chaleureusement les membres du jury d avoir accepté de participer à cette habilitation. Bures-sur-Yvette, le 5 Décembre Mauricio Garay.

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5 Introduction L objet de ce travail est de développer l analyse semi-classique dans le cadre complexe analytique et formel, et d étudier les relations entre ces deux domaines, à l instar des relations entre géométrie formelle et géométrie analytique. Cette analyse sera ensuite appliquée à l étude du développement perturbatif pour le spectre, lorsque l on perturbe des systèmes quantiques en dimension 1, puis en dimension quelconque, dans le cadre des systèmes intégrables. En particulier, nous entendons donner un statut mathématique à ces développements perturbatifs en les interprétant comme des spectres sur des bases formelles ou analytiques. Comme dans le cas réel, cette étude est intimement liée à la géométrie des variétés lagrangiennes, une grande partie de ce travail leur sera donc consacrée. Une première approche de l analyse semi-classique dans un contexte analytique avait déjà été effectuée par Sjöstrand et ses collaborateurs, qui avaient mis en évidence l importance des développements Gevrey. Mais celle-ci, peut-être trop attachée à certaines traditions de l analyse, n avait pas permis d inclure en son sein les calculs perturbatifs de façon simple. Pour cette raison, j ai été contraint d introduire une autre approche, sans chercher, faute de temps, à établir le lien avec celle qui préexistait. Les auteurs de ces travaux voudront bien m en excuser. L approche classique de la théorie spectrale consiste à regarder le spectre formel, introduit dans les travaux fondateurs de la mécanique quantique, comme dénué d existence réelle. Seule l approche des espaces de Hilbert, dans les rares cas où elle permet de retrouver les mêmes résultats, lui confère un véritable statut mathématique. Notre vision de la théorie spectrale est différente : il existe des théories réelles et complexes, analytiques, formelles avec ou sans paramètres semi-classique, et des théorèmes de comparaison entre ces différentes catégories. Il ne sera pas question ici de comparer la théorie analytique avec la théorie spectrale des espaces de Hilbert. Pour pousser notre comparaison avec la géométrie, une telle étude correspondrait à des théorèmes 5

6 6 INTRODUCTION de comparaison entre la géométrie différentielle et la géométrie analytique. En revanche, il sera question de comparer la théorie analytique et la théorie formelle. Il faut cependant noter que dans le cadre analytique, il existe une troisième approche semi-classique que l on pourrait qualifier d approche purement topologique : celle de la méthode BKW complexe. On gagnerait certainement beaucoup a reformuler cette analyse BKW dans notre contexte. Mais c est un point que je n ai pas encore abordé de façon systématique, et qui ne sera pas du tout abordé dans ce texte. Comme pour la géométrie classique, l hypothèse d analyticité des données fournit à la théorie une richesse additionnelle qui s exprime par la relation profonde entre l étude topologique et l étude analytique. Nous montrerons comment l espace de déformation verselle d un système intégrable quantique est en correspondance avec celui de son symbole principal en géométrie symplectique. Nous serons ainsi amenés à étudier l espace de déformation verselle d une variété lagrangienne singulière. Nous verrons que cet espace est de nature topologique, et intimement lié au faisceau des cycles évanescents sur cette variété. Compte tenu des relations différentielles qui interviennent dans la définition d une variété lagrangienne, les calculs directs sont complexes. La nature topologique de l espace de déformation verselle lagrangienne fournit une alternative pratique à ces calculs. Du point de vue de l étude de l espace de déformation verselle lagrangienne, notre travail reste tout à fait incomplet. Mais paradoxalement, les conditions que l on pourrait considérer comme très restrictives le fait d être une intersection complète, de posséder des stratifications analytique complexes sont assez générales pour pouvoir traiter les exemples qui proviennent de la physique théorique et de l étude des systèmes intégrables de dimension finie. Quant à la question de la résurgence des séries perturbatives du spectre, due à Pham à Voros et à Zinn-Justin, elle reste ouverte, mais on peut espérer que ce travail rende son étude plus abordable.

7 CHAPITRE 1 Séries perturbatives en mécanique quantique 1. Rappels sur les développements asymptotiques On appelle secteur d ouverture θ R >0, un ouvert de C de la forme S θ,r = {x C/ Arg x < θ, x < r}. Un développement asymptotique associé à une fonction holomorphe est une série formelle n>0 a nx n telle qu il existe une fonction f : S θ,r C holomorphe dans un secteur telle que lim x 0 f (n) (x) = n!a n. La transformée de Borel abstraite d une série formelle d une variable est donnée par B : C[[x]] C[[x]], i 0 a i x i i 1 a i x i 1 (i 1)!. On dit que f est de classe Gevrey 2 si sa transformée de Borel est une fonction analytique. Comme il ne sera question que de classe Gevrey 2 dans la suite, nous dirons que f est Borel-analytique si elle est de classe Gevrey 2. Théorème 1.1 (voir [24]). Toute série formelle Borel-analytique est un développement asymptotique associé à une fonction holomorphe sur un demi-plan. Donc, pour montrer qu une fonction est un développement asymptotique d une fonction holomorphe sur le bord de son domaine de convergence, il nous suffit de montrer que le développement est Borelanalytique. 2. L algèbre Q L algèbre de Heisenberg universelle (en dimension 1) Q est l algèbre des séries formelles sur C engendrée par trois éléments a, a, vérifiant une seule relation de commutation non-triviale [a, a ] =. Dans les notations traditionnelles de la mécanique quantique, on a p = a + a 2, q = a a 2i 7

8 8 1. SÉRIES PERTURBATIVES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE qui satisfont la relation de commutation [p, q] = i. Avec Sjöstrand et Pham, nous allons définir une sous algèbre analytique de Q [30, 36]. Le symbole total s : Q C[[, x, y]] d un élément f Q est obtenu en écrivant f sous la forme f = i,j 0 α ij (a ) i a j puis en remplaçant les opérateurs a, a par des variables x, y C. Avec ces notations, nous conviendrons d appeler transformée de Borel dans l algèbre Q est l application B : Q C[[, x, y]], f ijk a ijk x i y j k k!. Comme cela a été observé par Pham, il découle des résultats de Boutet de Monvel-Krée que le sous-espace vectoriel Q Q formé par les éléments ayant une transformée de Borel en holomorphe en l origine est une sous algèbre [3, 30, 36]. Nous notons C Q les éléments qui ne dépendent que de (les constantes) et C {z} les séries analytiques à coefficients dans C : a jk z j k C {z} j,k 0 j,k 0 a jk z j k k! C{, z} où C{ } désigne l algèbre des fonctions holomorphes dans un voisinage de l origine. On peut remplacer dans cette construction le corps C par un anneau de séries formelles C[[λ]], λ = (λ 1,..., λ k ) : on définit de même une transformée de Borel en en considérant le symbole total de l opérateur et on note Q{λ} l algèbre des opérateurs dont la transformée de Borel est un germe de fonction analytique. On a 1 Q{λ} Q ˆ C{λ}, H{λ} H ˆ C{λ} C {λ, z}. Par la suite, lorsque l espace des paramètres est de dimension k = 1, il nous arrivera de noter t ou z la variable au lieu de λ. 3. Le module de Hilbert H A l aide de l algèbre de Heisenberg analytique Q, nous allons construire un spectre associé au éléments de Q et plus généralement de Q{λ}. Notons H = Q/Qa le quotient de l algèbre Q par l idéal à gauche engendré par a. Comme C -module, l espace H s identifie à l espace C {z} 1 Le symbole ˆ désigne le produit tensoriel topologique pour les structures habituelles d espaces DF.

9 3. LE MODULE DE HILBERT H 9 des germes de fonctions C -analytiques en une variable. En effet, modulo l idéal Qa tout opérateur peut s écrire sous la forme n α n(a ) n, l isomorphisme est donné par H C {z}, α n (a ) n α n z n. n Notons π : Q H la projection canonique. La multiplication à gauche dans Q par un élément H Q induit un diagramme commutatif Q H Q π H ρ(h) H et, par conséquent, donne lieu à une représentation de l algèbre Q. On démontre sans difficulté que l application ρ : Q Hom C (H, H) est injective. Par conséquent, nous pouvons identifier l algèbre Q avec une sous-algèbre d opérateurs agissant sur H. Via l isomorphisme de C -module H C {z}, la représentation ρ est définie par ρ(a) : C {z} C {z}, ψ z ψ et ρ(a ) : C {z} C {z}, ψ zψ. En restreignant ρ aux polynômes en, z et en posant = 1, on retrouve la correspondance habituelle de Bargmann qui fait correspondre à a et à a les opérateurs de multiplication par z et de dérivation par rapport à z. Plus généralement, la donnée d un automorphisme ϕ de l algèbre Q donne lieu à une nouvelle représentation ρ ϕ définie par le diagramme commutatif Q ρ ϕ ϕ Q ρ Hom C (H, H). Le spectre analytique de H est obtenu en choisissant une représentation pour que H soit diagonalisable et en prenant les éléments de la diagonales. Bien évidemment, très peu d élément de Q sont diagonalisables et on vérifie sans difficultés que la diagonalisation d une matrice correspond à une version quantique de la mise sous forme normale de Birkhoff. En remplaçant Q par ˆQ, on obtient une notion de spectre formel de H qui correspond à celle considérée par les fondateurs de la mécanique quantique [2]. Signalons que l on peut définir un produit intérieur C -linéaire sur Q à valeur dans C, analogue du produit hermitien de la représentation de Bargmann [12]. π

10 10 1. SÉRIES PERTURBATIVES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE 4. Le spectre relatif On peut étendre la notion de spectre au cas à paramètres, sans difficultés. La représentation ρ s étend en une représentation de l algèbre Q{λ} vers Hom C {λ}(h{λ}, H{λ}). Les considérations précédentes s adaptent mutatis mutandi à ce cas. Ainsi, le spectre de H sur l anneau C {λ} coïncide avec ce que l on appelle classiquement la notion de développement perturbatif d une valeur propre de H(λ, a, a ) à λ = 0. Nous avons donc deux notions de spectre analytique et formel ainsi qu une application naturelle induite par le plongement Q ˆQ. Sp(H) Ŝp(H) Théorème 1.2 ([12, 8]). Pour tout élément H Q{t} tel que la partie quadratique de H 0 := H(t = 0, ) Q soit non-dégénérée, l application naturelle est un isomorphisme. Sp(H) Ŝp(H) Autrement dit, dans une telle situation, les développements perturbatifs du spectre sont Borel analytique, i.e., ils deviennent analytiques après un transformée de Borel en la variable. Exemple 1.1 ([20]). Pour H(t, q, p) = 1/2(p 2 + q 2 ) + 1/4tq 4, on obtient E(t, h) = (n+1/2) + 3(n2 +n+1/2) 8 t 2 17n3 +51/2n 2 +59/2+21/2 64 t Le fait que H soit quasi-homogène dans les variables q, p, t de poids respectifs 1, 1, 2 se traduit par le fait que E/ est une série de la variable t. Le théorème affirme que cette série est Borel analytique en. Le Théorème 1.2 est une conséquence d un théorème de forme normale que nous allons à présent expliciter. 5. Le lemme de Morse quantique Notation. Pour ψ = n 0 a nz n C {λ, z} et H Q{λ}, nous noterons ψ H la série n 0 a nh n dont on vérifie sans difficulté que c est un élément de Q{λ} (à défaut de le vérifier sans difficulté, on pourra utiliser les résultats de [3] ou encore consulter [8]). Théorème 1.3 ([12]). Pour tout élément H Q{t} tel que la partie quadratique de H 0 := H(t = 0, ) Q soit non-dégénérée, il existe

11 5. LE LEMME DE MORSE QUANTIQUE 11 un automorphisme ϕ Aut(Q{t}) et une application ψ C {t, z} telles que ϕ(h) = ψ H 0. Le spectre de H est donc égal à l image du spectre de H 0 par ψ d où l isomorphisme entre spectre formel et spectre analytique, puisque ψ C {t, z}. Par exemple pour H 0 = 1/2(p 2 + q 2 ) on a Sp(H) = {ψ((n + 1/2) ), n 0}. La fonction ψ contient donc, à priori, davantage d information que le spectre. Dans le cas particulier, H = p 2 + q 2 + λq 4, ce théorème a été démontré par Simon [35] puis redécouvert par Pham [30]. Pour terminer, remarquons que le théorème ci-dessus admet le corollaire suivant. Théorème 1.4. Pour tout opérateur H 0 Q dont la partie quadratique est non-dégénérée il existe un automorphisme ϕ Aut(Q) et une application ψ C {z} telles que ϕ(h 0 ) = ψ (a a). Un cas particulier de ce résultat a été obtenu par Helffer-Sjöstrand (voir [21], Appendices).

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13 CHAPITRE 2 L approximation semi-classique La démonstration du lemme de Morse quantique demande de faire attention à un certain nombre de subtilités dues au fait que Q est un anneau non-commutatif. Pour simplifier notre exposition, nous allons considérer la version semi-classique des résultats et expliquer les démonstrations dans ce cas simplifié. Les résultats de ce chapitre à partir de la section 2 ainsi que du chapitre suivant restent valables pour les hypersurfaces à singularités isolées mais, en vue des applications que nous en ferons, nous ne considérons que le cas des courbes. 1. Principes de la limite semi-classique L algèbre Q est une déformation plate de l algèbre des germes de fonctions holomorphes à l origine C{x, y}, i.e., on a une suite exacte 0 Q Q σ C{x, y} 0 où x, y désigne les projection de a, a. L application σ s appelle le symbole principal. La structure non-commutative de Q induit sur C{x, y} un crochet de Poisson {, } c est à dire une bidérivation, antisymmétrique définie par : σ( 1 [f, g]) = {σ(f), σ(g)}. Ce crochet de Poisson est associé à la deux-forme symplectique dx dy (ou encore au bivecteur x y ), i.e. : {F, G}dx dy = df dg, F, G C{x, y} Tout automorphisme ˆϕ de l algèbre Q induit un germe de symplectomorphisme analytique ϕ dans C 2, i.e., un germe à l origine de biholomorphisme analytique qui préserve la 2-forme symplectique dx dy : ϕ(x) = σ( ˆϕ(a)), ϕ(y) = σ( ˆϕ(a )). Ainsi, tout problème de déformation sur Q donne lieu à un problème de déformation en géométrie symplectique sur C{x, y} que l on appellera le problème semi-classique associé. 2. Le lemme de Morse isochore Tout germe d application holomorphe de la forme f : (C 2, 0) (C, 0), (x, y) x 2 + y 2 + top, 13

14 14 2. L APPROXIMATION SEMI-CLASSIQUE où top désigne des termes d ordre plus élevés dans la série de Taylor, se ramène à sa partie quadratique par un changement de variable biholomorphe. En revanche, il est en général impossible de faire en sorte que ce changement de variable préserve la forme symplectique dx dy. Pour le voir, on pourra considérer à titre d exemple le germe d application (x, y) x 2 + y 2 + (x 2 + y 2 ) 2. Dans un petit voisinage de l origine, cette fonction et sa partie quadratique définissent pour dx dy des intégrales de périodes qui sont différentes, ou bien dit de façon encore plus terre à terre : les volumes des corps convexes {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 ε} et {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 + (x 2 + y 2 ) 2 ε} sont différents. Ces intégrales de périodes sont les uniques invariants analytiques comme le montre le théorème suivant dû à Vey. Théorème 2.1 ([39]). Pour tout germe d application holomorphe f : (C 2, 0) (C, 0) ayant un point critique à l origine dont la partie quadratique est non-dégénérée, il existe des applications biholomorphes ϕ : (C 2, 0) (C 2, 0), ψ : (C, 0) (C, 0) telles que ϕ préserve la forme symplectique dx dy et f ϕ(x, y) = ψ(xy). Dans l énoncé de ce théorème on aurait pu remplacer la forme quadratique xy par n importe quelle autre forme quadratique nondégénérée. Ce théorème a connu de nombreuses avatars dus entre autres à Arnold, Françoise, Givental, Kostov, Varchenko. Comparons ce résultat avec la limite semi-classique du Théorème 1.3 : Théorème 2.2 ([12]). Pour tout élément H C{t, x, y} tel que la partie quadratique de H 0 := H(t = 0, ) C{t, x, y} soit nondégénérée, il existe un automorphisme ϕ Aut(C{t, x, y}) qui préserve la structure de Poisson associée au bivecteur x y et une application ψ C{t, z} telles que H ϕ = ψ H 0. Ce théorème implique celui de Vey. En effet, définissons la famille de germes f t = (1 t)f + td 2 f dépendant du paramètre t [0, 1] où d 2 f désigne la différentielle quadratique de f à l origine. Pour tout t 0 [0, 1], le germe de f t en t = t 0, x = 0 est une déformation triviale de f t0. Par conséquent f t0 +ε est conjugué à f t0 par l action d un germe de symplectomorphisme de (C 2, 0) et d une application biholomorphe de (C, 0) pour tout ε suffisamment petit. Comme cette propriété est vraie pour tout t 0 [0, 1], on en déduit que f 0 et f 1 sont conjugués ; ce qui montre bien que le Théorème 2.1 s obtient comme un corollaire du Théorème 2.2.

15 3. DÉFORMATIONS VERSELLES ISOCHORES Déformations verselles isochores La démonstration que nous allons donner au chapitre suivant du lemme de Morse isochore est en fait suffisamment générale pour être adaptée à de nombreux exemples, parmi lesquels une conjecture de versalité due à Colin de Verdière [6]. Le déploiement d une déformation F : (C k C 2, 0) (C, 0) d un germe de fonction holomorphe f : (C 2, 0) (C, 0), que nous noterons F, est l application (C k C 2, 0) (C k C, 0), (λ, x, y) (λ, F (λ, x, y)). La déformation F est appelé RL-verselle si, pour toute autre déformation G de f, il existe un diagramme commutatif d applications holomorphes pour les déploiements de F et de G : (1) (C j C 2, 0) ϕ (C k C 2, 0) G (C j C, 0) ψ F (C k C, 0) Nous dirons que G est induite de F par le changement de base ψ. Pour être tout à fait précis, nous devrions dire que G est isomorphe à la déformation induite par le changement de base ψ. Nous dirons que la déformation F est isochore verselle si on peut choisir l application ϕ pour qu elle préserve la deux-forme dx dy modulo une deux-forme holomorphe constante sur les fibres de la projection C j C 2 C j ou, ce qui revient au même, qu elle préserve la structure de Poisson associée au bivecteur x y. On dira alors que la déformation G est isochore induite de F par ψ. Une déformation isochore verselle dépendant d un nombre minimal de paramètres est appelée isochore miniverselle. A un germe d application holomorphe f : (C 2, 0) (C, 0), nous associons le complexe C (f) : 0 C{x, y}/(f) C{x, y}/(f) 0 dont la différentielle est {f, }. Ici (f) désigne l idéal de C{x, y} engendré par f. Nous notons H (f) la cohomologie de ce complexe. Les résultats suivants ont été conjecturés par Colin de Verdière dans [6]. Théorème 2.3 ([9]). Une déformation F : (C k C 2, 0) (C, 0) d un germe d application holomorphe f : (C 2, 0) (C, 0) est isochore verselle pourvu que les restrictions à λ = 0 des classes des λi F engendrent l espace vectoriel H 1 (f). Théorème 2.4 ([9, 12]). Soit F : (C k C 2, 0) (C, 0) une déformation isochore miniverselle d un germe f : (C 2, 0) (C, 0). Pour toute déformation G : (C j C 2, 0) (C, 0) de f l application

16 16 2. L APPROXIMATION SEMI-CLASSIQUE de changement de base ψ : (C j C, 0) (C k C, 0) qui permet d induire G de F est unique. Ce théorème montre que les déformations miniverselles isochores sont universelles : une fois fixée une déformation miniverselle d un germe, tout autre déformation donne lieu à un invariant analytique ψ par lequel la déformation est induite de la déformation miniverselle. Cet invariant analytique est une variante semi-classique de la notion de spectre d un opérateur, car dans le cas d une singularité de Morse, la fonction ψ donne le terme dominant en des développements perturbatifs du spectre. Avant de passer à la démonstration de ces résultats, nous allons faire quelques rappels sur la théorie de Gauss-Manin afin d expliquer la nature topologique de l espace vectoriel H 1 (f).

17 CHAPITRE 3 La théorie de Gauss-Manin locale 1. Théorie topologique Étant donné un germe de fonction holomorphe f : (C 2, 0) (C, 0) à singularité isolée 1, on a une notion classique de représentant standard f : X S de ce germe, également appelé représentant de Milnor. Ces représentants sont obtenus de la façon suivante. Notons B R C 2 la boule fermée de rayon R centrée en l origine et ḂR son intérieur. On considère tout d abord un représentant holomorphe g : Ḃ r T du germe. On choisit ε 0 suffisamment petit pour que les sphères S ε de rayon ε centrées à l origine soient transverses à la fibre de g au-dessus de l origine pour tout ε ε 0. Par transversalité, on peut choisir un voisinage fermé S T de l origine tel que les fibres de g au dessus de S soient transverses à la sphère S ε0. L application f obtenue par restriction de f à X = g 1 (S) B ε0 est appelée un représentant standard du germe. On a alors le théorème : Théorème 3.1 ([25]). La restriction de l application f au-dessus du complémentaire de l origine est une fibration différentiable localement triviale. Cette fibration ne dépend du choix du représentant standard que par un isomorphisme C de fibrés. Cette fibration est appelée fibration de Milnor du germe f. Par la suite, nous désignerons abusivement le représentant standard et le germe par la même lettre. La fibre de la fibration de Milnor est une surface de Riemann ouverte, elle a donc le type d homotopie d un bouquet de cercles. Le théorème suivant précise le nombre de ces cercles. Théorème 3.2 ([27, 25]). La fibre de Milnor d un germe d application holomorphe f : (C 2, 0) (C, 0) à le type d homotopie d un bouquet de µ(f)-cercle avec µ(f) = dim O C 2,0/( x f, y f) L algèbre O C 2,0/( x f, y f) s appelle l algèbre de Milnor et l idéal ( x f, y f) O C 2,0 s appelle l idéal Jacobien de f. Lorsque le contexte le permet, nous désignerons simplement par µ le nombre de Milnor de la fonction considérée. 1 On dit que f est à singularité isolée si le germe de courbe V (f) est à singularité isolée ou de façon équivalente si l origine est un point critique isolé de f. 17

18 18 3. LA THÉORIE DE GAUSS-MANIN LOCALE Exemple 3.1. Prenons f(x, y) = x 2 + y 2, l algèbre de Milnor est engendré par la classe de 1 ; la fibre de Milnor a le type d homotopie d un cercle. 2. Théorie analytique 1 : le complexe de de Rham relatif Nous conservons les notations de la section précédente. A un représentant standard f : X S du germe f, on associe son complexe de de Rham relatif Ω X/S, les termes du complexe sont les Ωk X/S = Ωk X /df Ωk 1 X et la différentielle est induite par la différentielle du complexe de de Rham Ω X [18]. Les images directes R k f Ω X/S, k Z 0 de ce complexe de faisceau sont définies par les préfaisceaux U H k (f 1 (U), Ω X/S), k 0. Comme X est contenu dans un ouvert de Stein, l espace d hypercohomologie se calcule comme la cohomologie du complexe des sections globales restreintes à U : H k (f 1 (U), Ω X/S) H k (Ω X/S(f 1 (U))) H k (Ω X/S(X)) f 1 (U). Lorsque U, ne contient pas l origine, cet espace d hypercohomologie s identifie aux sections analytiques de la fibration de Milnor au-dessus de U, en effet, la restriction d une deux-forme différentielle du type df à une fibre {f = constante} est identiquement nulle. Si l ouvert U contient l origine alors on ne peut rien affirmer de façon évidente. Cependant, la philosophie générale de la théorie des singularités suggère une relation entre l espace de cohomologie H k (Ω X/S(f 1 (s))) H k (f 1 (s), C) C µ au dessus d une valeur régulière s S \ {0} et l espace de cohomologie H k (Ω X/S,0) concentré quant à lui au point singulier de la fibre singulière. C est le contenu du théorème suivant du à Brieskorn et à Deligne. Théorème 3.3 ([4]). L espace de cohomologie H f := H 1 (Ω X/S,0 ) associé à un germe d application holomorphe à singularité isolée f : (C 2, 0) (C, 0) est un C{f}-module libre de rang µ, où µ est le nombre de Milnor de f. De plus, on a un isomorphisme canonique (R 1 f Ω X/S ) 0 H f. Ce théorème reste vrai pour les germes d hypersurfaces à singularités isolés, dans ce cas la liberté du module conjecturée par Brieskorn a été démontrée par Sébastiani [33]. Ce résultat a été généralisé par Greuel au cas des intersections complètes à singularités isolées [17].

19 4. RELATION AVEC LES DéFORMATIONS ISOCHORES 19 Exemple 3.2. Reprenons l exemple du germe de fonction f(x, y) = x 2 + y 2. La classe de la différentielle α = fydx est un cocycle du complexe de de Rham relatif de f, en effet, on a d(fydx) = df ydx + fdy dx et 2fdy dx = df (ydx xdy) df Ω 1 X (X). Le nombre de Milnor de f étant égal à un, la 1-forme ydx n étant pas un cocycle, la différentielle α n est donc pas divisible par f ; par conséquent sa classe engendre le C{f}-module H f. 3. Théorie analytique 2 : le réseau de Brieskorn Soit f : X S un représentant standard d un germe f : (C 2, 0) (C, 0) à singularité isolée. Il existe une autre façon d obtenir des sections du fibré cohomologique de Milnor H 1 (f 1 (s), C) S \ {0} s S\{0} qui consiste à prendre le résidu de Gelfand-Leray d une deux forme sur l espace ambiant. Nous ne considérons que le cas des différentielles à pôle simple le long du graphe de la fonction. L étude plus générale, n est pas plus difficile et conduit à la construction de Pham, du D-module de Gauss-Manin et de sa version micro-locale [28, 29]. A l évidence pour toute fonction g : X S, la 2-forme ω = ω + df dg induit la même section du fibré cohomologique que ω. On définit ainsi le réseau de Brieskorn de la fonction f par H f = Ω 2 X,0/df do C 2,0. Théorème 3.4 ([4]). Pour tout germe à singularité isolé f : (C 2, 0) (C, 0), le réseau de Brieskorn est un module libre de rang µ(f) et le conoyau de l application H f H f, α α df est un espace vectoriel de dimension 2µ. L application 4. Relation avec les déformations isochores C{x, y} Ω 2 C 2,0, f fdx dy induit un isomorphisme entre l espace vectoriel H f /fh f et le premier espace de cohomologie H 1 (f) de f défini au chapitre 2, autrement dit on a une suite exacte 0 H f (C[t]) µ f H f H 1 (f) C µ 0. De telle sorte que les éléments de H 1 (f) se relèvent en des sections du fibré cohomologique de Milnor.

20 20 3. LA THÉORIE DE GAUSS-MANIN LOCALE Exemple 3.3. Considérons un représentant standard f : X S du germe f(x, y) = x 2 +y 2. La classe de 1 se relève en la forme ω = dx dy qui définit sur une section du fibré cohomologique de Milnor : à chaque valeur régulière s de f on associe la classe de cohomologie [ ] [ ] dx dy dx = H 1 (f 1 (s), C) df y La forme dx dy Ω 2 (X) induit une classe non nulle de H f et non divisible par f, par conséquent cette classe engendre le réseau de Brieskorn, i.e., H f = C{f}[dx dy]. Donc d une part la classe de 1 engendre l espace vectoriel H 1 (f), condition suffisante (et nécessaire) de versalité isochore d après le Théorème 2.3, et d autre part la classe de la forme différentielle (dx dy)/df engendre le groupe H 1 (f 1 (s), C) pour tout s S \ {0}. Ces deux assertions se vérifient d ailleurs immédiatement, la première par un calcul direct et la seconde du fait que l intégrale de (dx dy)/df = dx/y prise sur le cercle {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = 1} est non nulle, et que la fibre de Milnor se rétracte par déformation sur ce cercle.

21 CHAPITRE 4 Principes de correspondance Nous allons illustrer la technique de démonstration du théorème de rigidité en donnant une nouvelle démonstration du théorème de Vey (Théorème 2.1). 1. La méthode de Moser-Poincaré-Thom Pour démontrer, un théorème du type du Lemme de Morse, on se propose d employer la méthode du chemin. Cette méthode consiste à relier nos deux objets par un chemin (pour nous l opérateur et sa partie quadratique) puis à démontrer que la déformation est triviale. C est ce que nous avons fait dans la seconde formulation du lemme de Morse isochore. Ensuite, nous remplaçons la condition exacte par une condition infinitésimale : nous voulons résoudre l équation ψ t f t ϕ t = f; nous dérivons cette équation par rapport à t et multiplions le résultat à droite par ϕ 1 t et à gauche par ψt 1. Nous obtenons une équation du type a t (f t ) + L vt f t = g avec g donné et v t, a t pour inconnue. Si cette équation est résoluble, il suffit d intégrer v t et a t pour obtenir les familles d applications ψ t, ϕ t que nous cherchions. Dans le cas où l on ne fait pas d hypothèse sur la nature de ϕ t et f est un germe de fonction différentiable, c est la démonstration donnée par Thom du lemme de Morse [1]. 2. Spécificité du cas isochore Les applications ϕ t que nous cherchons préservent la deux forme dx dy, ce qui implique que le champ de vecteur non-autonome v t est un champ Hamiltonien. En effet, en dérivant la condition ϕ t dx dy = dx dy par rapport au paramètre t, on obtient L vt dx dy = 0, ce qui donne par la formule de Cartan L X = i X d + di X que i vt dx dy est fermée ; puis par le lemme de de Rham que i vt dx dy = dh t pour un certain germe de fonction holomorphe H t, en coordonnées locales : v t = H t y x H t x y. 21

22 22 4. PRINCIPES DE CORRESPONDANCE Par conséquent, la dérivation associée à v t est {, H t }. On peut donc récrire l équation infinitésimale comme (2) a t (f t ) + {f t, H t } = g. Pour comprendre cette équation commençons par faire t = 0 puis multiplions les deux membres par la 2-forme symplectique dx dy, on obtient a 0 (f)ω + df dh 0 = α 0. En désignant par [ ] la classe d un élément dans le réseau de Brieskorn de f, cette équation se récrit sous la forme a 0 (f)[ω] = [α 0 ]. Comme le réseau de Brieskorn est un module libre il suffit de résoudre l équation a 0 (f)[ω] = [α 0 ]( mod f) ou bien de façon encore équivalent de résoudre l équation a 0 (0)[1] = [g] dans H 1 (f). On peut donc résoudre l équation infinitésimale à t = 0, pourvu que la classe de 1 engendre l espace vectoriel H 1 (f) ; ce qui est vérifié comme nous l avons vu précédemment (cf. Exemple 3.2). Par conséquent, nous obtenons que le Théorème de Vey est conséquence d une variante à paramètres du théorème de finitude pour le réseau de Brieskorn (Théorème 3.4) [9]. Cette généralisation est ele-même un cas particulier du théorème de cohérence des images directes du complexe de de Rham pour les intersections complètes à singularité isolées [17]. Nous donnerons au chapitre 7, des théorèmes de finitude suffisamment généraux pour être appliqués à tous les cas que nous allons rencontrer. Remarquons qu il est inutile de savoir que le module est libre pour conclure à la convergence. Si le module est de type fini alors le lemme de Nakayama nous dis que pour qu un système d élément engendre le module il suffit que leurs restrictions à t = 0 engendre le module. Enfin, du fait que le réseau de Brieskorn (avec paramètres) est libre, on déduit l unicité de la fonction a t dans l équation Cas du théorème des déformations verselles isochores Commençons par rappeler une idée de Martinet qui relie déformations verselles et la stabilité par déformations. Je dis que le théorème suivant est équivalent au théorème de déformations verselles isochores (Théorème 2.3). Théorème 4.1. Soit F : (C k C 2, 0) (C, 0) une déformation d un germe d application holomorphe f : (C 2, 0) (C, 0) et G une déformation de F. Si les restrictions à λ = 0 des classes des λi F engendrent le module H 1 (f) alors G est isochore induite de F.

23 4. CAS DU LEMME DE MORSE QUANTIQUE 23 Montrons que le Théorème 4.1 implique le Théorème 2.3. Étant donnée deux déformations (λ, z) F (λ, z), (α, z) G(α, z) d un même germe f on peut former leur somme : F G : (λ, α, z) F (λ, z) + G(α, z) f(z). Supposons que F vérifie les conditions du théorème. Si le théorème est vrai alors F G s obtient à partir de F par un changement de base et une transformation de coordonnée isochore dépendant du paramètre et il en va donc de même pour G. Par conséquent, F est isochore verselle. Un induction évidente montre qu il suffit de démontrer le théorème pour les déformations à un paramètre, ce que nous faisons. Posons F t = G(t, ) de telle sorte F 0 = F. Il s agit de trouver ϕ t isochore et ψ t tels que ψ t F t ϕ t = F. En dérivant par rapport à t, on est ramené à l équation a t (F t ) + L vt F t = g qui, comme dans le cas du lemme de Morse isochore, pourra être résolue pourvue que le module C{t, λ, x, y}/{{f t, h}, h C{t, λ, x, y}} soit de type fini sur l anneau C{t, λ, z}. L universalité des déformations miniverselle sera quant à elle vérifiée pour peu que ce module soit libre (voir [9, 12] pour plus de détails). 4. Cas du lemme de Morse quantique Dans le cas quantique, on montre que l on peut ramener le lemme de Morse quantique (Théorème 1.3) à résoudre l équation [8] a t (f t ) + 1 [H t, f t ] = g. Pour cela, comme dans le cas du théorème de Vey, nous devons démontrer que le module M = Q{t}/ 1 [Q{t}, f t] est engendré par la classe de 1. Et cela sera automatiquement vérifié, si nous pouvons démontrer la finitude du module M sur l anneau C {t, z}. Ces théorèmes de finitude entraînent par ailleurs des versions quantiques des théorèmes de versalité et d universalité isochore [8]. On voit donc que dans chaque cas, on est ramené à un problème de finitude. Dans la théorie des singularités d applications différentiables, il en était déjà ainsi, mais à la grande différence des cas que nous considérons, la structure de module n est pas seulement définie sur l espace des paramètres mais également sur l espace ambiant, ce qui rend possible l application des théorèmes de divisions classiques (Weierstrass, Malgrange etc.). Dans notre cas, les relations différentielles qui interviennent rendent extrêmement complexe et limitée l application de tels théorèmes. Pour les problèmes de dimension 2, nous avons vu

24 24 4. PRINCIPES DE CORRESPONDANCE que les théorèmes de finitude sont assurés par la théorie de Gauss- Manin. En dimension supérieure, nous aurons d une part à développer la théorie de déformations des variétés lagrangiennes et d autre part à fournir des critères de finitude. 5. Géométrie analytique-analyse semi-classique Pour résumer, on peut dire que nous avons mis en rapport les problèmes de convergence de l analyse semi-classique avec les théorèmes de finitude de la géométrie analytique. Cette correspondance est illustrée par le tableau suivant : Géométrie analytique cohérence du réseau de Brieskorn le réseau de Brieskorn est un module libre cohérence du réseau de Brieskorn quantique le quantification du réseau de Brieskorn est un module libre Analyse semi-classique convergence des séries perturbatives dans la limite semi-classique les séries perturbatives sont définies de façon unique dans la limite semi-classique convergence Gevrey des séries perturbatives les séries perturbatives sont définies de façon unique Nous allons à présent considérer le cas de dimension supérieure : Géométrie analytique cohérence des images directes de l espace des déformations lagrangiennes le module de l espace des déformations verselles lagrangiennes est un module libre Analyse semi-classique convergence des séries perturbatives dans la limite semi-classique les séries perturbatives sont définies de façon unique dans la limite semi-classique Comme dans le cas des courbes, on peut quantifier ces résultats de façon à obtenir la convergence Gevrey des séries asymptotiques [12].

25 CHAPITRE 5 Déformations de variétés lagrangiennes singulières La théorie des déformations infinitésimales d une variété lagrangienne singulière est donnée par la cohomologie d un complexe de Koszul [34] (voir aussi [37]). On trouve déjà la description de cet espace pour certains cas particuliers dans [19]. 1. Complexes de Koszul Considérons un module M sur une C-algèbre commutative A. Soit D 1,..., D n : M M des applications A-linéaires qui commutent entre elles. Notons e 1,..., e n la base canonique de A n. L application n δ : M M A A n, h (D i h) e i s étend de façon unique en un endomorphisme d algèbre différentielle gradué sur M A A n que nous notons de la même façon. Concrètement n δ(h e i1 e ik ) = (D i h) (e i e i1 e ik ). i=1 Par exemple, le complexe de Koszul associé à M = C[x 1,..., x n ], A = C, D i = / x i s identifie au complexe de de Rham. De même à un faisceau de modules sur un faisceau de C-algèbres commutatives, on associe un complexe de Koszul qui est complexe de faisceaux sur l espace topologique considéré. i=1 2. Le complexe lagrangien Nous identifions la variété symplectique complexe T C n munie de sa forme symplectique standard à l espace C 2n muni de la deux-forme n i=1 dq i dp i. Une variété lagrangienne de C 2n est une variété analytique (réduite) de dimension pure n tel que la forme symplectique s annule sur la partie lisse. Il revient au même de dire que le crochet de Poisson de deux fonctions de l idéal de L est à nouveau dans l idéal de L. Soit L C 2n une variété lagrangienne qui soit une intersection complète et de Stein (dans la suite nous ne considérerons que ce cas, afin de simplifier notre exposition). Fixons une base f 1,..., f n de l idéal de L et posons f = (f 1,..., f n ). 25

26 26 5. DÉFORMATIONS DE VARIÉTÉS LAGRANGIENNES SINGULIÈRES Définition 5.1. Le complexe lagrangien, noté C (f) associé à f 1,..., f n est le complexe de Koszul obtenu en prenant M = O L, A = C et D i = {, f i }. Dans la suite, nous identifierons O L C n à O n. Remarque 5.1. Pour rendre la construction indépendante du choix des générateurs de l idéal il faut remplacer, le module O n par Hom OL ( I/I 2, O L ). Le choix de f 1,..., f n donne un isomorphisme entre ces deux modules induit par l isomorphisme Hom OL (I/I 2, O L ) O n, ϕ (ϕ(f 1 ),..., ϕ(f n )). On pourra se rapporter à [34] pour davantage de détails. Exemple 5.1. Pour n = 1, le complexe C (f) se réduit à deux termes et l unique différentielle est donnée par H {H, f} on retrouve le complexe C (f) introduit au chapitre 2. Exemple 5.2. Pour n = 2, le complexe C (f) se réduit à trois termes 0 C 0 (f) = O L C 1 (f) = O 2 L C 2 (f) O L 0. La différentielle est donnée sur C 0 (f) par : et sur C 1 (f) par : H {H, f 1 }e 1 + {H, f 2 }e 2 me 1 + ne 2 ({f 1, n} {m, f 2 })e 1 e 2. On note H (f) la cohomologie du complexe C (f). On a des définitions analogues pour les germes de variétés lagrangiennes. Proposition 5.1 ([34]). Le faisceau H 1 (f) s identifie au faisceau des déformations infinitésimales lagrangiennes de L modulo celle qui sont obtenues par des changements de coordonnées symplectiques. Exemple 5.3. Considérons le cas n = 2 et pour simplifier la situation supposons que {f 1, f 2 } = 0. Soit (F 1, F 2 ) = (f 1 + tm 1, f 2 + tm 2 ) une déformation au dessus de Spec(C[t]/t 2 ). La condition {F 1, F 2 } = 0 équivaut à {m 1, f 2 }+{f 1, m 2 } = 0 autrement dit δ(m) = 0. Supposons que F soit une déformation triviale, alors on peut trouver un symplectomorphisme ϕ t = Id + t{h, } tel que f ϕ t = F ; autrement dit m i = {H, f i } donc m = δ(h). Ce qui démontre la proposition dans ce cas particulier (le cas général est d ailleurs similaire). Cette construction s étend naturellement au cas à paramètres. Considérons un diagramme entre variétés complexes analytiques Z i S C 2n π S, S C k où π est la projection. Nous dirons que ce diagramme est une déformation lagrangienne si le morphisme π i est plat et si la projection des fibres

27 3. VARIÉTÉS PYRAMIDALES 27 de π i dans C 2n sont des variétés lagrangiennes. Supposons que Z soit intersection complète engendré par F 1,..., F n. Le complexe lagrangien relatif de F, noté C (F ) est obtenu en prenant le complexe de Koszul pour M = O Z, A = O C k, D i = {, F i }. Nous noterons H i (F ) la cohomologie de ce complexe. Les mêmes notions s appliquent au cas des germes de déformations. Considérons, à titre d exemple, un germe de fonction holomorphe f : (C 2, 0) (C, 0) à singularité isolé. Ce germe définit une déformation lagrangienne à un paramètre F : (C C 2, 0) C, (λ, x, y) f(x, y) λ. Ici (Z, 0) (C C 2, 0) est le graphe de f et le C{λ}-module H 1 (F ) est isomorphe au réseau de Brieskorn de f. 3. Variétés pyramidales Les variétés lagrangiennes de dimension au moins 2 sont difficilement susceptibles d avoir des singularités isolées, nous verrons par la suite des obstructions topologiques évidentes. Considérons la surface lagrangienne L C 4 définie par les équations p 1 q 1 = 0, p 2 = 0. La dérivation {, p 2 } = q2 défini un champ de vecteur dont le flot donne une trivialisation analytique qui décompose L dans le produit d une courbe singulière avec une droite complexe. Cette constatation nous amène au concept suivant. Soit f 1,..., f n les générateurs d une variété lagrangienne intersection complète dans C 2n. Posons f = (f 1,..., f n ) et considérons les variétés S k = {x M, rang Df(x) = k}. Définition 5.2 ([34]). La variété lagrangienne L est appelé pyramidale si elle satisfait la condition dim S k k. Une surface lagrangienne pyramidale est donc localement le produit d une courbe, éventuellement singulière, par une droite complexe sauf en un ensemble discret de points. En particulier, un produit de courbes à singularité isolées est une variété lagrangienne pyramidale. Un exemple typique est donné par le produit de deux courbes d équations p i q i = 0, i = 1, 2. La fibre au dessus de l origine du système intégrable de Henon-Heiles f 1 = p p 2 2 4q 3 2 2q 2 1q 2, f 2 = q 4 1 4q 2 1q p 1 (q 1 p 2 q 2 p 1 ) est une variété lagrangienne pyramidale. Plus généralement, si f 1, f 2 définissent l idéal d une variété lagrangienne L et si l une des deux fonctions est à singularités isolées alors L est pyramidale. On définit de même les déformations pyramidales. Une déformation lagrangienne d un germe de variété lagrangienne pyramidale sera ellemême pyramidale.

28 28 5. DÉFORMATIONS DE VARIÉTÉS LAGRANGIENNES SINGULIÈRES 4. Théorème de finitude et théorème de rigidité Théorème 5.1 ([10]). Les O C k,0-modules 1 H j (F ) associés à une déformation F : (C k C 2n, 0) (C n, 0) lagrangienne pyramidale sont des modules de type fini. Dans le cas absolu, i.e., pour k = 0, ce résultat est dû à Sevenheck et à van Straten [34]. Nous verrons que ce théorème est un cas particulier de la correspondance entre constructibilité et finitude. Considérons, à présent, une déformation lagrangienne F : (C k C 2n, 0) (C n, 0) et notons F D : (C C 2n, 0) (C n, 0) la restriction de F à un sous-espace vectoriel de dimension 1 (i.e. : la déformation obtenue par un changement de base linéaire C C k ). On a une application de Kodaira-Spencer lagrangienne θ D : C k H 1 (F D ), λi [ λi F λ D ], i = 1,..., k. Identifions C k au sous-espace de C k+1 dont la dernière coordonnée est nulle. Nous dirons qu une déformation lagrangienne est rigide si toute autre déformation au-dessus de C k+1 qui coïncide avec F au-dessus de C k s obtient à partir de F par changement de base et par un changement symplectique des coordonnées dépendant des paramètres. Théorème 5.2 ([10]). Soit F : (C k C 2n, 0) (C n, 0) une déformation lagrangienne pyramidale d une intersection complète. Les conditions suivantes sont équivalentes (1) la déformation F est rigide, (2) il existe une droite vectorielle D C k tel que l application de Kodaira-Spencer lagrangienne soit surjective. θ D : C k H 1 (F D ) Remarque 5.2. On montre que si l application de Kodaira-Spencer lagrangienne absolue θ : C k H 1 (f) est surjective alors F est rigide, en revanche on ne sait pas montrer que cette condition est nécessaire. 5. Nature topologique de la condition de rigidité Le calcul direct de la condition de surjectivité pour l application θ D peut s avérer difficile. Cependant, nous allons voir que cette condition est essentiellement de nature topologique, ce qui permet dans certains cas de montrer la rigidité des déformations tout en évitant les calculs. 1 Ici et dans la suite F x désigne la fibre au point x du faisceau F.

29 5. NATURE TOPOLOGIQUE DE LA CONDITION DE RIGIDITÉ 29 Tout d abord avec Sevenheck et van Straten remarquons que le produit intérieur avec la forme symplectique, noté i, induit un diagramme commutatif O L d δ CL 1 i Ω 1 L En un point lisse de L, l application i est un isomorphisme et par conséquent donne lieu à un isomorphisme d algèbre différentielles gradués entre le complexe lagrangien et le complexe de de Rham de L. Ainsi lorsque L = V (f 1,..., f n ) est lisse, on a H (L, C (f)) H (L, Ω L) H DR(L, C), f = (f 1,..., f n ) où H DR désigne la cohomologie de de Rham. Nous allons à présent étendre cette correspondance au cas singulier. Proposition 5.2 ([15]). Pour toute déformation lagrangienne pyramidale à un paramètre F : (C C 2n, 0) (C n, 0), l espace de cohomologie H 1 (C F ) est un O C,0-module libre. Démonstration. Notons t la coordonée sur C. La suite exacte de faisceaux : t 0 C (F ) C (F ) C (f) 0 entraîne une suite exacte longue en cohomologie. Mais la suite 0 H 0 (F ) t H 0 (F ) H 0 (f) 0 est exacte car H 0 (F ) = F 1 C{t} et H 0 (f) = C. Donc la multiplication par t est injective dans H 1 (F ), ce qui démontre la proposition. Remarque 5.3. Pour l instant, on ne sait pas si H 1 (F )/th 1 (F ) est toujours égal à H 1 (f) sous les hypothèses de la proposition. Le fait que H 1 (L, C (f)) soit isomorphe à H DR (L, C) lorsque L est lisse entraîne alors le résultat suivant. Corollaire 5.1 ([15]). Sous les hypothèses de la proposition précédente, le rang du module H 1 (F ) est égal au premier nombre de Betti d une fibre de Milnor. Théorème 5.3 ([15]). Pour toute déformation lagrangienne pyramidale F : (C k C 2n, 0) (C n, 0), l espace de cohomologie H 1 (C F ) est un O C n,0-module libre pourvue que F soient infinitésimalement lagrangienneverselle. Dans l énoncé du théorème infinitésimalement verselle signifie que il existe une droite vectorielle D C k telle que l application θ D : C k H 1 (F D ), λi [ λi F D ]

30 30 5. DÉFORMATIONS DE VARIÉTÉS LAGRANGIENNES SINGULIÈRES soit surjective. Par un mouvement de va-et-vient on peut ainsi démontrer le fait que pour une déformation donnée le module de déformation est libre et que la déformation est rigide. Exemple 5.4. Considérons la déformation lagrangienne à deux paramètres (λ, q, p) (q 1 p 1 + λ 1, q 2 p 2 + λ 2 ). Dans ce cas simple, nous pouvons décrire la topologie de la fibre de Milnor : c est le produit cartésien de la courbes planes d équations respectives q i p i + λ i = 0 Pour λ 1, λ 2 0, chacune de ces courbes est homotope à un cercle (poser q i = λ i e ϕ i, p i = e ϕ i ). La fibre de Milnor est donc homotope à un tore réel S 1 S 1. Les résultats que nous venons de décrire entraînent donc que le module H 1 (F D ) est de rang 2. Les classes de (1, 0) et (0, 1) étant indépendantes, elles engendrent ce module. La déformation F D est donc infinitésimalement lagrangienne verselle. Ceci implique d une part que le O C 2,0-module H 1 (F ) est lui-même de rang 2 et d autre part que la déformation F est rigide. Afin de pouvoir étendre cette approche à des cas moins triviaux, il nous faut pouvoir estimer le premier nombre de Betti de la fibre de Milnor lagrangienne. 6. Cycles évanescents d une variété lagrangienne Rappelons que le discriminant d une application consiste dans les valeurs du paramètre au-dessus desquels la fibre est singulière. Une fibre lagrangienne singulière a un lieu singulier de type A 1 transverse si, au voisinage d un point du lieu singulier, elle est localement isomorphe au produit de la courbe complexe {xy = 0} par un espace vectoriel. Théorème 5.4 ([13]). Soit F : (C 2n, 0) (C n, 0) une application holomorphe telle que (1) les composantes de F définissent l idéal d un germe de variété lagrangienne pyramidale, (2) au-dessus d un point générique du discriminant, le lieu singulier de la fibre est connexe de type A 1 transverse alors les cycles évanescents de dimension 1 engendrent librement le premier groupe d homologie de la fibre de Milnor. En particulier, le premier nombre de Betti de la fibre de Milnor lagrangienne est égal à la multiplicité du discriminant de F. Exemple 5.5. Considérons l application C 4 C 2, (q, p) (q 1 p 1, q 2 p 2 )

31 7. LE SYSTÈME INTÉGRABLE DE HÉNON-HEILES 31 Le discriminant de cet application est formé par les deux axes de coordonnées, il est, par conséquent, de multiplicité 2 à l origine. La fibre de Milnor lagrangienne est homotope à un tore S 1 S 1 dont le premier nombre de Betti est bien égal à deux. Ce théorème est un cas particulier de l étude des cycles évanescents pour les singularités non-isolées que nous avons faite en [13]. Cette étude s applique à de nombreux autres cas, par exemple ce théorème admet une variante pour les singularités d orbites coadjointes. 7. Le système intégrable de Hénon-Heiles Le système intégrable de Hénon-Heiles H 1 = 1 2 (p2 1 + p 2 2) 2q 3 2 q 2 1q 2, H 2 = q q 2 1q p 1 (p 1 q 2 p 2 q 1 ) définit une application pyramidale H = (H 1, H 2 ) qui satisfait les conditions du Théorème 5.4. Le discriminant de l application moment H = (H 1, H 2 ) est la courbe Σ = {(λ 1, λ 2 ) C 2 : λ 2 (λ λ 4 1) = 0}. On peut le calculer directement ou bien en utilisant la matrice de Lax ( ) xp L = 2 + p 1 q 1 x 2 + 2xq 2 q1 2 x 3 /2 + q 2 x 2 x(2q2 2 + q1/2) 2 + p 2. 1 xp 2 p 1 q 1 On a det L = 1 2 x5 2H 1 x H 2x et une analyse spectrale standard montre que les niveaux de H sont singuliers précisément lorsque ce polynôme de degré 5 en x a une racine double [16]. L application f définit une déformation lagrangienne à deux paramètres F : (C 2 C 4, 0) (H 1 (q, p) λ 1, H 2 (q, p) λ 2 ). Le discriminant Σ est de multiplicité 4 à l origine donc le module H 1 (F D ) est libre de rang 4. L application lagrangienne de Kodaira- Spencer associée à F n est donc pas surjective puisque son image est le sous-module de rang 2 engendré par les classes de (1, 0) et de (0, 1) d un module de rang 4. En revanche, la déformation à 4-paramètres G : (λ, q, p) F (λ, q, p) + λ 3 (q 2, 2q 2 1) + λ 4 (q q 2 2, 8q 2 1q 2 ) est rigide. En effet les classes de (1, 0), (0, 1), (q 2, 2q 2 1) et (q 2 1+4q 2 2, 8q 2 1q 2 ) sont indépendantes dans H 1 (F D ) et engendrent donc le module H 1 (F D ). Le Théorème 5.3 implique que les classes dans H 1 (F ) engendrent ce module.

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33 CHAPITRE 6 Formes normales des systèmes intégrables 1. Le théorème de Rüssmann-Vey classique Nous considérons l espace C 2n = {(q, p)} muni de la forme symplectique n i=1 dq i dp i. Notons M l idéal maximal de l anneau local O C 2n,0. Théorème 6.1 ([31, 40]). Soit H = (H 1,..., H n ) : (C 2n, 0) (C n, 0) un germe d application holomorphe dont les crochets de Poisson commutent. Supposons que H i = p i q i + r i où r i M 3 alors il existe des germes d applications biholomorphes ϕ : (C 2n, 0) (C 2n, 0), ψ : (C n, 0) (C n, 0) tels que ϕ est symplectique et H ϕ = ψ(p 1 q 1,..., p n q n ). Pour n = 1, le théorème se réduit au lemme de Morse isochore. Une application H = (H 1,..., H n ) : (C 2n, 0) (C n, 0) dont les crochets de Poisson commutent sera appelée application moment. Une déformation dont les crochets de Poisson commutent sera appelée une déformation intégrable. Théorème 6.2. Toute déformation intégrable G d un germe d application moment H = (H 1,..., H n ) : (C 2n, 0) (C n, 0) dont les crochets de Poisson commutent telle que H i = p i q i + r i, r i M 3, est symplectiquement triviale, i.e., il existe un diagramme commutatif d application holomorphe (C C 2n, 0) G (C n, 0) ϕ (C 2n, 0) ψ H (C n, 0) où ϕ préserve le crochet de Poisson. Une application dont les déformations intégrables sont triviales, sera appelée M-stable. On montre sans difficulté que toute germe d application H comme dans le théorème de Rüsmann-Vey se déforme de manière intégrable en sa partie quadratique (voir [40])). Le théorème de Rüsmann-Vey est donc conséquence du Théorème

34 34 6. FORMES NORMALES DES SYSTÈMES INTÉGRABLES 2. Le théorème de Rüssmann-Vey généralisé A un germe d application moment H : (C 2n, 0) (C n, 0), on associe la déformation lagrangienne H : (C n C 2n, 0) (C n, 0), (ε, q, p) H(q, p) ε. La différentielle du complexe étant H C H 1 O C n,0-linéaire, on a une structure naturelle de C{z 1,..., z n }-module en cohomologie : z i.α := H i α pour α H (C H). On note K H le complexe dont tous les termes sauf K1 H sont égaux au complexe lagrangien associé à cette déformation. Notons e C H 1,..., e n la base canonique de l espace vectoriel C n. On prend pour KH 1 le quotient de C 1 H = O n C 2n,0 par le C{z 1,..., z n }-module engendré par les e j. Théorème 6.3 ([11]). Un germe d application moment est M- stable si et seulement si H 1 (K H ) = 0. Une application évidente de ce théorème, est celle du théorème de Rüssmann-Vey, mais on peut trouver facilement de nombreux autres exemples. Le théorème suivant donne un critère pratique pour l annulation de l espace de cohomologie H 1 (K H ). Théorème 6.4 ([11, 12]). L espace de cohomologie H 1 (K H ) s annule si et seulement s il existe D C n générique pour lequel les classes des constantes engendrent l espace H 1 (C F D ). Dans le théorème D générique signifie que au-dessus d un point générique de D la fibre de Milnor est lisse. Pour les applications de corang 1, ce résultat est annoncé dans [6]. La nature topologique de l espace des déformations lagrangiennes implique le résultat suivant. Théorème 6.5 ([13]). Si une application pyramidale H : (C 2n, 0) (C n, 0) est stable alors le premier nombre Betti de la fibre de Milnor de H est au plus égal à n. Exemple 6.1. L application moment (C 2, 0) (C, 0), (q, p) p q 3 1 n est pas M-stable car le premier nombre de Betti de la fibre vaut 2 (et 2 > 1!). En revanche, elle admet la déformation lagrangienne verselle p q tq 1. Donc si l on considère l application moment (C 4, 0) (C 2, 0), (q, p) (p q 3 1, 0) + q 2 (q 1, 1) on obtient une application M-stable.

35 2. LE THÉORÈME DE RÜSSMANN-VEY GÉNÉRALISÉ 35 Exemple 6.2. Considérons le système intégrable de Hénon-Heiles H 1 = p p 2 2 4q 3 2 2q 2 1q 2, H 2 = q q 2 1q 2 2 4p 1 (q 1 p 2 q 2 p 1 ) Comme nous l avons vu ce système ne définit pas une déformation lagrangienne verselle, il ne peut donc pas être M-stable. En revanche, l application F : (C 8, 0) (C 4, 0) définie par (q, p) (H 1 ( q, p), H 2 ( q, p), 0, 0)+p 3 (q 2, 2q 2 1, 1, 0)+p 4 (q 2 1+4q 2 2, 8q 2 1q 2, 0, 1), où l on a posé q = (q 1, q 2 ), p = (p 1, p 2 ), est une déformation lagrangienne verselle. Elle est, par conséquent, M-stable. Pour terminer ce chapitre, remarquons qu il resterait encore à fixer le cadre axiomatique dans lequel l approche que nous avons suivie sur des exemples fonctionne. Comme nous l avons vu ce qu il faut c est avoir un module de déformation qui soit un module de type fini sur la base de la déformation. Cette propriété de finitude est liée à un problème de constructibilité comme nous allons le voir à présent. Pour les problèmes analytiques, on a le schéma : constructibilité = finitude = convergence des séries perturbatives. En revanche pour les problèmes qui ne sont pas de nature analytique, la plupart des questions restent ouvertes. Par exemple, on ne sait pas si le théorème de Rüsmann-Vey généralisé reste vrai dans le cas réel C. Néanmoins, pour le cas particulier d un germe d application moment dont la partie quadratique est générique,i.e., sa complexifiée se ramène au cas du théorème de Vey, ce théorème reste vrai comme cela a été montré par Miranda et Vũ Ngoc [26]. Dans le cas encore plus spécial d un Hamiltonien elliptique, ce résultat, bien connu des spécialistes de l analyse semi-classique, est dû à Eliasson [7]. La difficulté du cas C étant précisément l absence de théorème de finitude et par conséquent l impossibilité de conclure que H 1 (K H) = 0 = H 1 (K G) = 0 pour toute déformation G de H. Pour l étude des formes normales dans le cas C, on pourra se rapporter à [41].

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37 CHAPITRE 7 Théorèmes de finitude Les théorèmes de finitude que nous allons aborder à présent ont une longue histoire, qui remonte aux travaux de Cartan-Serre et de Schwartz [5, 32]. Kiehl-Verdier puis Houzel ont généralisé le travail de Schwartz au cas relatif [22, 23]. 1. Motivation : démonstration du lemme de Morse quantique Comme nous l avons vu sur l exemple du lemme de Morse isochore, n intervient dans l existence d une déformation verselle que la finitude du module des déformations associé. Pour le cas quantique, il s agit donc de résoudre l équation a t (f t ) + 1 [H t, f t ] = g. Pour cela, comme dans le cas du théorème de Vey, nous devons démontrer que le module M = Q{t}/ 1 [Q{t}, f t] est engendré par la classe de 1. Par Nakayama, il est suffisant de montrer que c est un C {t, z}-module de type fini. En effet, Si nous faisons t = 0 et prenons la limite semiclassique de ce module, nous obtenons M/(tM + M) O C 2,0/{O C 2,0, f} qui comme nous l avons vu est isomorphe au réseau de Brieskorn de f. La classe de 1 engendre le réseau de Brieskorn de f et, si M est de type fini, sa classe dans M engendre le module M par le lemme de Nakayama. 2. Le théorème de Schwartz Le théorème de Riesz affirme que si dans un C-espace vectoriel de Fréchet, il existe un ouvert compact alors cet espace est de dimension finie. En particulier s il existe un isomorphisme compact entre espaces de Fréchet alors ces espaces sont de dimension finie. Le résultat suivant est une généralisation de ce résultat. Théorème 7.1 ([32]). Soit u : E F un quasi-isomorphisme entre complexes de Fréchets. Si u est compact alors les espaces de cohomologies de E et F sont de dimension finie. 37

38 38 7. THÉORÈMES DE FINITUDE Si les complexes ont un seul terme alors on retrouve le théorème de Riesz que nous avons rappelé. Les théorèmes de finitude sont basés sur des variantes relatives de ce théorème. 3. Une variante du théorème de Cartan-Serre Dans [5, 32], Cartan-Serre et Schwarz ont démontré la finitude de la cohomologie cohérente sur une variété analytique compacte, nous commençons par une variante de ce résultat. Étant donné un faisceau F sur C n, nous notons F x sa fibre en un point x C n. Soit B r C n la boule fermée de rayon r. Théorème 7.2. Soit K un complexe de faisceaux cohérent défini sur B r. Si ce complexe est constructible alors sa cohomologie H (K ), K := K 0, est un espace vectoriel gradué de dimension finie. De plus pour ε < r suffisamment petit, l application canonique K (B ε ) K induit un isomorphisme d espaces vectoriels gradués H (K ) H (B ε, K ). Dans le théorème, l hypothèse de constructibilité signifie que le faisceau de cohomologie est constant sur une stratification de Whitney, on ne demande évidemment pas, à priori, qu il soit de dimension finie (sinon le théorème serait tautologique). Démonstration. Nous donnons une idée grossière de la démonstration, renvoyant à [14] pour plus de détails. En utilisant la théorie des stratifications de Whitney, on montre que l hypothèse de constructibilité montre que l application de restriction induit un quasi-isomorphisme entre les complexes K (Ḃε) et K (Ḃε ) pour ε < ε r suffisamment petits. Ces complexes sont munis de structure d espaces de Fréchet qui fait de l application de restriction, un opérateur compact. Le théorème résulte alors du Théorème 7.1. Exemple 7.1. Considérons le complexe Ω X des différentielles de Kähler sur X C n. Par exemple, si X est une hypersurface de C n, les termes de ce complexe sont les Ω k X = Ωk Cn/(df Ωk 1 C + fω k n Cn) où f est un générateur de l idéal de X et d est induite par la différentielle de de Rham. Le lemme de Poincaré affirme que dans les points lisses de X le complexe Ω X est une résolution du faisceau constant C X, donc si les points singuliers de X sont isolés, le complexe des différentielles de Kähler est constructible et par conséquent sa cohomologie est un faisceau d espaces vectoriels gradués de dimension finie sur X. Il en va de même pour tout complexe de faisceaux cohérents sur une variété de Stein pourvu que le faisceau de cohomologie du complexe ait sont support concentré en des points isolés. C est une variante locale du théorème de

39 4. LE THÉORÈME DE FINITUDE 39 Cartan-Serre. La démonstration du théorème que nous avons esquissée est d ailleurs calquée sur celle de Cartan-Serre. Exemple 7.2. Si L est une variété lagrangienne pyramidale, on voit sans difficulté que son complexe lagrangien est constructible, ses faisceaux de cohomologie sont donc des faisceaux d espace vectoriel de dimension finie [34]. 4. Le théorème de finitude Définition 7.1. Une application f : X S est dite stratifiée si les espaces X, S admettent des stratifications de Whitney X = i X i, S = S i telle que la restriction de f à chaque strate X i soit une submersion dans une strate S i dans S. Définition 7.2. Une application stratifiée satisfait la condition a f si pour toute suite de points x i X i telle que Ker df(x i ) converge vers un espace vectoriel T tangent à la strate de x = lim x i, on a Ker df(x i ) T. Nous dirons qu un germe satisfait la condition a f s il admet un représentant stratifié qui satisfait cette condition. Ces définitions sont dues à Thom [38]. Soit X C n un espaces analytique complexe réduit. Considérons un complexe K de O X -faisceaux cohérents sur une variété complexe lisse X et soit f : X S, une application holomorphe stratifiée satisfaisant la condition a f. Définition 7.3. Un faisceau F sur X est f-constructible si tout point x X admet un voisinage U dans sa strate tel que F U = (f 1 f F) U. Lorsque f est une application constante, on retrouve la notion habituelle de faisceau constructible. Un complexe de faisceau est dit f- constructible si sa cohomologie est f-constructible. Enfin, un complexe de O C n,0-modules cohérents K sera dit f-constructible pour un germe f : (C n, 0) (C k, 0) si le germe f admet un représentant f : X S stratifié vérifiant la condition a f et s il existe un complexe de O X - faisceaux cohérents et f-constructible dont la fibre en 0 est égale à K. Théorème 7.3 ([14]). Soit f : X S un représentant standard d un germe de fonction holomorphe f : (C n, 0) (C, 0) satisfaisant la condition a f. Soit (K, δ) un complexe de faisceaux cohérents dont la différentielle est f 1 O C k-linéaire. Si le complexe est f-constructible alors les faisceaux R k f K sont cohérents et on a l isomorphisme (R f K ) 0 H (K ), K = K 0. En particulier, le f 1 O C k,0-module gradué H (K ) est de type fini.

40 40 7. THÉORÈMES DE FINITUDE Remarque 7.1. La différentielle du complexe K n étant pas supposée O C n,0-linéaire mais seulement f 1 O C k,0-linéaire, il en résulte que les espaces de cohomologie H k (K ) sont des f 1 O C k,0-modules, mais en général ce ne sont pas des O C n,0-modules. Exemple 7.3. Soit f : X S un représentant standard d un germe de fonction holomorphe f : (C n, 0) (C, 0) à singularité isolée. Les images directes du complexe de de Rham relatif sont cohérentes (cf. Théorème 3.3). Exemple 7.4. Soit F : (C k C 2n, 0) (C k, 0) une déformation lagrangienne pyramidale. On vérifie aisément que le complexe lagrangien C (F ) est F -constructible donc les modules de cohomologie H j (F ) sont de type fini (voir [10]). 5. Le théorème de finitude bis Soit X C n, T C N des espaces analytiques complexes réduits, on note O X T X (resp.o C n+n Cn) le faisceau des fonctions holomorphes sur X T (resp. C n+n ) restreint à X {0} (resp. à C n {0}). La fibre du faisceau O X T X en un point x 0 X est l espace des germes de fonctions holomorphes sur X T au point x = x 0, t = 0. Nous dirons qu un faisceau F est O X T X -cohérent s il admet une présentation 0O m X T X O n X T X F 0. La notion de f-constructibilité s étend sans difficulté à ce cas. Théorème 7.4 ([14]). Soit f : (C n, 0) (C k, 0) un germe de fonction holomorphe satisfaisant la condition a f. Pour tout complexe f- constructible (K, δ) de O C n+n,0-modules cohérents dont la différentielle est f 1 O C k+n C k,0-linéaire, le f 1 O C k+n C k,0-module gradué H (K ) est de type fini. Plus généralement si (K, δ) est un complexe de faisceau isomorphe comme complexe de faisceaux d espaces vectoriels topologiques à un complexe de O C n+n,0-modules cohérents, le même résultat reste valable. Exemple 7.5. Soit A = Q{t}, g Q{t} tels que de H(t = 0, ) = aa. Soit K la complexe Q{t} Q{t}, h {h, H}. En prenant f : (C C 2, 0) (C C, 0), (t, x, y) (t, σ(h)(t, x, y)) où σ : Q{t} C{t, x, y} désigne le symbole principal. Le fait que σ(h(t = 0, ) soit à singularité isolée implique de façon immédiate que le théorème s applique, donc la cohomologie de K est un C{t, x, y}- module de type fini. (C est le module libre de rang 1, engendré par la classe de 1).

41 Bibliographie 1. V.I. Arnold, A.N. Varchenko, and S. Goussein-Zade, Singularity of differentiable mapping, vol. I, Nauka :Moscow, 1982, English transl. : Birkhauser, 382p., Basel(1986). 2. M. Born, W. Heisenberg, and P. Jordan, Zur Quantenmechaniks II, Z. Phys. 35 (1926), L. Boutet de Monvel and P. Krée, Pseudo differential operators and Gevrey classes, Annales de l Institut Fourier 17 (1967), no. 1, E. Brieskorn, Die Monodromie der isolierten Singularitäten von Hyperflächen, Manuscr. Math. 2 (1970), H. Cartan and J.P. Serre, Un théorème de finitude concernant les variétés analytiques compactes, Comptes Rendus à l Académie des Sciences 237 (1953), Y. Colin de Verdière, Singular lagrangian manifolds and semi-classical analysis, Duke Math. Journal 116 (2003), no. 2, H. Eliasson, Normal forms for Hamiltonian systems with Poisson commuting integrals-elliptic case, Commentar. Math. Helv. 65 (1990), no. 1, M.D. Garay, Analytic quantum mechanics, math-ph/ , To appear in Annales de l Institut Fourier. 9., An isochore versal deformation theorem, Topology 43 (2004), no. 5, , A rigidity theorem for Lagrangian deformations, Compositio Mathematica 141 (2005), no. 6, , Stable moment mappings and singular Lagrangian fibrations, Quarterly Journal of Mathematics 56 (2005), , Analytic geometry and semi-classical analysis, Proceedings of the Steklov Insitute of Mathematics 259 (2007), , Vanishing cycles in complex symplectic geometry, Moscow Mathematical Journal 8 (2008), no. 1, , Finiteness and constructibility in local analytic geometry, math.ag/ , To appear in L Enseignement Mathématique. 15. M.D. Garay and D. van Straten, On the topology of Lagrangian Milnor fibres, Int. Math. Research Notices 35 (2003), S. Gérardy, Le système de Hénon-Heiles, Annales de la faculté des sciences de Toulouse 6 (1997), no. 6, G.-M. Greuel, Der Gauss-Manin Zusammenhang isolierter Singularitäten von vollständigen Durchschnitten, Math. Ann. 214 (1975), A. Grothendieck, On the de Rham cohomology of algebraic varieties, Publications Mathématiques de l IHÉS 29 (1966),

42 42 BIBLIOGRAPHIE 19. Du c Nguyen H. and Pham F., Germes de configurations legendriennes stables et fonctions d Airy-Weber généralisées, Annales de l Institut Fourier 41 (1991), no. 4, W. Heisenberg, Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen, Zeitschrift für Physik 33 (1925), B. Helffer and J. Sjöstrand, Semiclassical analysis for Harper s equation. III. Cantor structure of the spectrum, Mémoire de la Société Mathématique de France 39 (1989), C. Houzel, Espaces analytiques relatifs et théorème de finitude, Math. Annalen 205 (1973), R. Kiehl and J.L. Verdier, Ein Einfacher Beweis des Kohärenzsatzes von Grauert, Math. Annalen 195 (1971), B. Malgrange, Sommation des séries divergentes, Expositiones Mathematicae 13 (1995), no. 2/3, J. Milnor, Singular points of complex hypersurfaces, Ann. Math. Studies., vol. 61, Princ. Univ. Press, 1968, 130 pp. 26. E. Miranda and S. Vũ Ngoc, A Singular Poincaré Lemma, Int. Math. Research Notices 58A10 (2005), no. 1, V.P. Palamodov, On the multiplicity of holomorphic mappings, Funct. Anal. and appl. 1 (1967), no. 3, F. Pham, Singularités des systèmes différentiels de Gauss-Manin, Birkhäuser, 1979, 339 pp. 29., La descente des cols par les onglets de Lefchetz, avec vues sur Gauss- Manin, Astérisque 130 (1985), , Resurgence, quantized canonical transformations, and multi-instanton expansions, Algebraic analysis (M. Kashiwara and T. Kawai, eds.), vol. II, Academic Press, Boston, MA, 1988, Papers dedicated to Professor Mikio Sato on the occasion of his sixtieth birthday, pp H. Rüssmann, Über das Verhalten analytischer Hamiltonscher Differentialgleichungen in der Nähe einer Gleichgewichtslösung, Math. Annalen 154 (1964), L. Schwartz, Homomorphismes et applications complètement continues, Comptes Rendus à l Académie des Sciences 236 (1953), M. Sebastiani, Preuve d une conjecture de Brieskorn, Man. Math. 2 (1970), C. Sevenheck and D. van Straten, Deformation of singular lagrangian subvarieties, Math. Annalen 327 (2003), no. 1, B. Simon, Borel summability of the ground state energy in spatially cutoff (ϕ 4 ) 2, Physical Review letters 25 (1970), no. 22, J. Sjöstrand, Singularités analytiques microlocales, Astérisque 95 (1982), L. Stolovitch, Singular complete integrability, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math 91 (2000), R. Thom, Ensembles et morphismes stratifiés, Bull. Amer. Math. Soc. 75 (1969), J. Vey, Sur le lemme de Morse, Invent. Math. 40 (1977), no. 1, , Sur certains sytèmes dynamiques séparables, American Journal of Math 100 (1978), S. Vu Ngoc, Systèmes intégrables semi-classiques : - du local au global, Panorama et Synthèses, no. 22, SMF, 2006, 156 pp.

43 Table des matières Introduction 5 Chapitre 1. Séries perturbatives en mécanique quantique 7 1. Rappels sur les développements asymptotiques 7 2. L algèbre Q 7 3. Le module de Hilbert H 8 4. Le spectre relatif Le lemme de Morse quantique 10 Chapitre 2. L approximation semi-classique Principes de la limite semi-classique Le lemme de Morse isochore Déformations verselles isochores 15 Chapitre 3. La théorie de Gauss-Manin locale Théorie topologique Théorie analytique 1 : le complexe de de Rham relatif Théorie analytique 2 : le réseau de Brieskorn Relation avec les déformations isochores 19 Chapitre 4. Principes de correspondance La méthode de Moser-Poincaré-Thom Spécificité du cas isochore Cas du théorème des déformations verselles isochores Cas du lemme de Morse quantique Géométrie analytique-analyse semi-classique 24 Chapitre 5. Déformations de variétés lagrangiennes singulières Complexes de Koszul Le complexe lagrangien Variétés pyramidales Théorème de finitude et théorème de rigidité Nature topologique de la condition de rigidité Cycles évanescents d une variété lagrangienne Le système intégrable de Hénon-Heiles 31 Chapitre 6. Formes normales des systèmes intégrables Le théorème de Rüssmann-Vey classique Le théorème de Rüssmann-Vey généralisé 34 43

44 44 TABLE DES MATIÈRES Chapitre 7. Théorèmes de finitude Motivation : démonstration du lemme de Morse quantique Le théorème de Schwartz Une variante du théorème de Cartan-Serre Le théorème de finitude Le théorème de finitude bis 40 Bibliographie 41