1 Variable aléatoire discrète Rappels Exemple Couples de variables aléatoires Définition... 3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "1 Variable aléatoire discrète... 1. 1.1 Rappels... 1. 1.2 Exemple... 2 2 Couples de variables aléatoires... 3. 2.1 Définition... 3"

Transcription

1 CHAPITRE : LOIS DISCRÈTES Sommaire Variable aléatoire discrète Rappels Exemple Couples de variables aléatoires Définition Indépendance de deux variables aléatoires Somme de variables aléatoires Loi de Bernoulli Loi binomiale Loi de Poisson Approximation d une loi binomiale par une loi de Poisson VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE.. Rappels Soit X une variable aléatoire définie sur un univers fini muni d une probabilité P. On appelle fonction de répartition de la variable X la fonction F, à valeurs dans [0 ;] définie sur R par F(x)=P(X x). F(x) est la probabilité d obtenir une valeur de X inférieure ou égale à x. Propriété : La fonction de répartition de X est une fonction en escalier, elle prend 0 pour valeur minimum et pour valeur maximum. Définitions : Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x,..., x n avec les probabilités respectives p,..., p n. On appelle espérance mathématique de X, on la note E(X), le nombre réel défini par n E(X)= p i x i = p x + p x p n x n i= On appelle variance de X et on note V(X), le nombre réel défini par n V(X)=E([X E(X)] )= p i (x i E(X)) = p (x E(X)) + p (x E(X)) p n (x n E(X)) i= On appelle écart type de X et on le note σ(x) le nombre réel défini par V(X). BTS Lois discrètes / 0

2 Propriétés : Avec les mêmes notations n V(X)= p i x i (E(X)) = p x + p x p n xn (E(X)). i= Soit a et b deux réels, E(aX+ b)=ae(x)+b V(aX+ b)=a V(X) σ(ax+ b)= a σ(x) Remarque : L écart type permet d estimer la dispersion des valeurs de X autour le l espérance... Exemple Une urne contient trois jetons, indiscernables au toucher, numérotés,,. On procède à deux triages successifs d un jeton avec remise à chaque tirage.. Déterminer l univers Ω de cette expérience.. On s intéresse à la somme des numéros inscrits sur les deux jetons. On définit la variable aléatoire X qui, à chaque couple de Ω, associe la somme des numéros tirés. Quelles sont les valeurs possibles de X?. Déterminer la loi de probabilité de la variable X. 4. Soit F la fonction de répartition de X. Tracer la courbe représentative de F. 5. Calculer l espérance, la variance et l écart-type de la variable X. BTS Lois discrètes / 0

3 . On décide de doubler la somme des chiffres. Que deviennent l espérance et l écart-type?. COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES.. Définition Certaines situations sont naturellement décrites par la donnée d un couple de variables aléatoires. Par exemple, en météorologie, on peut s intéresser au couple formé par la donnée de la température (T) et de la pression (P) atmosphériques. On est ainsi amené à étudié les deux paramètres simultanément, donc à regarder le couple (T;P), qui est un couple de variables aléatoires. On considère dans le plan les points de coordonnées entières situés dans la zone B, définie par B={(x; y) tel que x; y N et x, y }. On considère l expérience aléatoire consistant à choisir l un de ces points au hasard (tous les choix de points dans B étant équiprobables). On définit la variable aléatoire discrète Z qui est formée du couple de coordonnées du point choisi. Détermination de la loi de Z : Valeurs de Z (; ) (; ) (; ) (; ) (; ) (; ) Probabilités La variable aléatoire Z est appelée couple des variables aléatoires X et Y. On peut présenter sa loi de manière à faire apparaître les rôles joués par X et Y plus clairement : Y X on peut aussi déterminer les lois de X et de Y à partir de celle de Z : Par exemple, P(Y= )=P((X= ) et (Y= ))+P((X= ) et (Y= )) P(Y= )=P(Z=(;))+P(Z=(;))= + =. De manière plus rapide, en faisant les additions en colonne, on obtient la loi de Y : y i P(Y=y i ) BTS Lois discrètes / 0

4 en faisant les additions en ligne, on obtient la loi de X : x i P(X=x i ) ces deux lois sont appelées lois marginales du couple (X; Y). De façon synthétique, on peut représenter toutes ces données dans un même tableau : Y X P(X=x i ) P(Y=y i ).. Indépendance de deux variables aléatoires Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes de valeurs respectives (x ; x ;...; x n ), et (y ; y ;...; y p ). Les variables aléatoires X et Y sont indépendantes si pour tous i et j tels que i n et j p P(X=x i ;Y=y j )=P(X=x i ) P(Y=y j ) On lance deux dés équilibrés à six faces (un rouge, et un bleu). On appelle X le numéro de la face du dé bleu, et Y le numéro de la face du dé rouge. On appelle S la somme des faces obtenues. Les variables X et Y sont indépendantes. Les variables X et S ne sont pas indépendantes. Les variables Y et S ne sont pas indépendantes On donne deux variables aléatoires discrètes X vérifiant P(X= )=, P(X=0)=, P(X= )= et Y= X. Loi de Y : y i 0 P(Y=y i ) 5 Loi du couple (X;Y) : on calcule la probabilité obtenue por chaque couple BTS Lois discrètes 4/ 0

5 X Y 0 P(Y=y i ) P(X=x i ) On a par exemple P(,0)=P((X= ) (Y= 0))=0. Or, P(X= ) P(Y= 0)= = 8 0. X et Y ne sont donc pas indépendantes. (ce résultat était prévisible puisque, par construction, la variable Y est dépendante de la variable X)... Somme de variables aléatoires Propriété : On considère deux variables aléatoires discrètes X et Y admettant une espérance, alors X+ Y admet l espérance E(X+ Y)=E(X)+E(Y). X Y admet l espérance E(X Y)=E(X) E(Y). Et dans le cas où X et Y sont indépendantes : X+ Y admet la variance V(X+ Y)=V(X)+V(Y). X Y admet la variance V(X Y)=V(X) V(Y). Dans une fête foraine, on considère deux roues A et B définies ainsi : pour la roue A : on a 0% de chance de tomber sur le nombre 0, 50% de chance de tomber sur le nombre 0 et 0% de chance de tomber sur le nombre 0. pour la roue B : on a 40% de chance de tomber sur le nombre 0 et 0% de chance de tomber sur le nombre 0. On lance successivement les deux roues, on note X la variable aléatoire égale au nombre obtenu pour la roue A et Y la variable aléatoire égale au nombre obtenu pour la roue B. Les deux variables X et Y sont indépendantes l une de l autre. La loi de X est donnée par : x i P(X=x i ) 0, 0,5 0, On obtient E(X) = et V(X) = 49. La loi de Y est donnée par : y i 0 0 P(Y=y i ) 0,4 0, BTS Lois discrètes 5/ 0

6 On obtient E(Y) = et V(Y) = 4. La loi de S= X+ Y est donnée par : d i P(S= s i ) 0,08 0, 0,4 0,8 On obtient E(S)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=+=70, et V(S)=V(X+Y)=V(X)+V(Y)=49+4=7. La loi de D=X Y est donnée par : d i P(D=d i ) 0, 0,8 0,8 0, On obtient E(D)=E(X+Y)=E(X) E(Y)= =5, et V(D)=V(X Y)=V(X) V(Y)= 49 4=5.. LOI DE BERNOULLI Une expérience de Bernoulli est une expérience qui n a que deux issues possibles, l une appelée succès qui a pour probabilité p, l autre appelée échec qui a pour probabilité q = p. Définir une loi de Bernoulli de paramètre p, c est associer une loi de probabilité discrète à cette expérience aléatoire en faisant correspondre la valeur à l apparition d un succès et 0 à celle d un échec. x i 0 p(x=x i ) p p Si on lance un dé et qu on nomme succès l apparition de la face, on obtient la loi de Bernoulli suivante : x i 0 p(x=x i ) 5 Propriété : Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernouilli B(p), alors : L espérance de X vaut E(X) = p. La variance de X vaut V(X)=pq. Dans l exemple précédent, on obtient E(X)= et V(X)= 5. BTS Lois discrètes / 0

7 4. LOI BINOMIALE On appelle épreuve de Bernoulli une épreuve aléatoire ayant que deux issues contraires le succès noté S de probabilité p et l échec, noté S, de probabilité p. Dans une urne contenant boules rouges, boules bleues et boules vertes indiscernables au toucher, on tire au hasard une boule, on regarde sa couleur et on la remet. L épreuve qui consiste à tirer au hasard une boule et à regarder si elle est rouge ou non est une épreuve de Bernoulli. Le succès est l événement "la boule est rouge" avec une probabilité de = L échec est l événement "la boule n est pas rouge" avec une probabilité de. On considère une épreuve de Bernoulli avec pour le succès une probabilité p On répète cette épreuve n fois de manière indépendante. Soit X la variable aléatoire mesurant le nombre de succès au cours de ces n épreuves. La loi de probabilité suivie par X est appelée loi binomiale de paramètres n et p et est notée B(n; p). Méthode : Pour calculer alors la probabilité P(X= k) on utilise la calculatrice ou un logiciel. Pour les TI : distrib / binomfdp (n, p,k) Pour les Casio : Menu STAT / DIST / BINM / Bpd / Var Dans un fichier clientèle d une société de vente par correspondance, chaque client correspond à une fiche unique. Un tiers des clients est domicilié dans la région Ile-de-France. On tire une fiche au hasard en supposant que toutes les fiches ont la même probabilité d être choisies. Nous considérons l événement E la fiche tirée est celle d un client d Ile de France.. Quelle est la probabilité p de l événement E?. Nous prélevons 5 fiches avec remise de façon que les 5 tirages d une fiche soient indépendants. Soit X la variable aléatoire qui, associe le nombre de ces fiches correspondant à des clients domiciliés en IDF. BTS Lois discrètes 7/ 0

8 Quelles sont les valeurs possibles de X?. Déterminer la loi de probabilité suivie par X. Remarque : Le nombre entier noté ( ) n k est le nombre de combinaisons de k éléments parmi n. On peut le calculer à l aide de la calculatrice. Si X est une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n; p) alors pour k {0,,...,n} ( ) n P(X= k)= p k ( p) n k k Dans l exemple précédent, P(X= )= Propriétés : Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p, n N et p [0 ;] E(X)=np ; V(X)=np( p) ; σ(x)= np( p) Suite de l exemple précédent : Calculer l espérance et l écart-type de la variable X. 5. LOI DE POISSON La loi de Poisson modélise des situations où l on s intéresse au nombre d occurrences d un événement dans un laps de temps déterminé ou dans une région donnée. Par exemple : Nombre d appels téléphoniques qui arrivent à un standard en x minutes Nombre de clients qui attendent à la caisse d un magasin Nombre de défauts de peinture par m sur la carrosserie d un véhicule... La variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre λ, notée P(λ) avec λ>0lorsque sa loi de probabilité vérifie : λ λk P(X= k)=e k!, k N Le formulaire donne pour certaines valeurs du paramètres les probabilités p(x = k),k N, les valeurs non écrites étant négligeables. On peut aussi taper la formule directement sur la calculatrice. BTS Lois discrètes 8/ 0

9 On considère la variable aléatoire X mesurant le nimbre de clients se présentant au guichet d un bureau de poste par intervalle de temps de durée 0 minutes entre 4h0 et h0. On suppose que X suit la loi de Poisson de paramètre λ=5. Pour λ=5, la table de la loi de poisson nous donne : k p(x = k) 0,007 0,04 0,084 0,40 0,7 0,7 0,4 0,04 0,05 0,0 0,08 0,008 0,00 0,00 0,000 On peut aussi représenter graphiquement la loi P(5) : La probabilité qu entre 4h0 et 4h40, 0 personnes exactement se présentent à ce guichet vaut : P(X= 0) 0,08. La probabilité qu entre 5h0 et 5h0, au maximum personnes se présentent à ce guichet vaut : P(X )=P(X= 0)+P(X= )+P(X= )+P(X= ) 0,5. La probabilité qu entre h00 et h0, 8 personnes au moins se présentent à ce guichet vaut : P(X 8)= P(X< 8)= [P(X= 0)+P(X= )+ +P(X= 8)] 0,87=0,. Propriété : Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ, alors l espérance et la variance sont égales et valent E(X)=V(X)=λ. Dans l exemple précédent, on obtient E(X) = V(X) = 5.. APPROXIMATION D UNE LOI BINOMIALE PAR UNE LOI DE POISSON On admet le résultat suivant : Propriété : Pour n assez grand et p proche de 0 tels que np( p) ne soit pas trop grand, on peut approcher la loi binomiale B(n; p) par la loi de poisson P(λ) où λ=np. Remarque : Cela revient à dire que l on approxime la loi binomiale B(n; p) par la loi de poisson de même espérance. On convient de faire cette approximation pour n 0, p 0, et np( p) 0. BTS Lois discrètes 9/ 0

10 Dans une chaîne de fabrication, 5% des pièces sont défectueuses; on prélève une pièce, on examine si elle est défectueuse et on la replace parmi les autres. On répète 0 fois cette expérience. On désigne par X la variable aléatoire qui à chaque tirage de 0 pièces associe le nombre de pièces défectueuses.. Justifier que X suit une loi binomiale, en préciser les paramètres.. Calculer P(X = 5).. Montrer qu une approximation de la loi binomiale par une loi de poisson convient. 4. Calculer P(X= 5) à l aide de cette approximation. 5. Comparer pour apprécier la qualité de l approximation. Solution :. Pour chaque tirage, on a deux résultats possibles : ou bien la pièce est défectueuse avec une probabilité de p = 0,05 ; ou bien elle ne l est pas avec une probabilité de q = p = 0,95. On effectue 0 tirages identiques, de manière indépendante. On peut donc conclure que X suit la loi binomiale B(0; 0, 05). ( ) 0. P(X= 5)= 0,05 5 0,95 5 0,4. 5. On a n> 0 ; p < 0, et np( p)=5,7<0. On peut donc faire une approximation grâce à la loi de poisson P(0 0, 05) = P() On obtient : P(X= 5) e 5! 0,0. 5. La loi de poisson donne la même valeur à 0 près, ce qui est une bonne approximation. BTS Lois discrètes 0/ 0

MT18 A 2012 Variables aléatoires à valeurs réelles Aleth Chevalley Loi binomiale, loi de Poisson, loi normale

MT18 A 2012 Variables aléatoires à valeurs réelles Aleth Chevalley Loi binomiale, loi de Poisson, loi normale MT8 A 0 Variables aléatoires à valeurs réelles Aleth Chevalley Loi binomiale, loi de Poisson, loi normale. Fonction de répartition.. Variable aléatoire à valeurs réelles Définition : Soit un ensemble fondamental

Plus en détail

Mesures et analyses statistiques de données - Probabilités. Novembre 2012 - Contrôle Continu, Semestre 1 CORRECTION

Mesures et analyses statistiques de données - Probabilités. Novembre 2012 - Contrôle Continu, Semestre 1 CORRECTION MASTER 1 GSI- Mentions ACCIE et RIM La Citadelle - ULCO Mesures et analyses statistiques de données - Probabilités Novembre 2012 - Contrôle Continu, Semestre 1 CORRECTION Exercice 1 Partie I 12pts 1 Étude

Plus en détail

Theme 4 - Lois usuelles discrètes

Theme 4 - Lois usuelles discrètes L2 AES TD de statistique 2008/2009 Cours de Mme Mériot M.-A. Jambu & S.Turolla Theme 4 - Lois usuelles discrètes Exercice 1 (Loi binomiale) A et B sont deux avions ayant respectivement 4 et 2 moteurs.

Plus en détail

Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC

Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC Dénombrement et probabilités Version du juillet 05 Enoncés Exercice - YouTube Sur YouTube, les vidéos sont identifiées à l aide d une chaîne

Plus en détail

5. Quelques lois discrètes

5. Quelques lois discrètes 5. Quelques lois discrètes MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2016 (v1) MTH2302D: Lois discrètes 1/46 Plan 1. Loi de Bernoulli 2. Loi binomiale 3. Loi géométrique 4. Loi hypergéométrique

Plus en détail

Fiche méthodologique Les pièges dans les dénombrements

Fiche méthodologique Les pièges dans les dénombrements Fiche méthodologique Les pièges dans les dénombrements BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Dans cette fiche, on résume quelques points techniques sur les dénombrements et la théorie des probabilités.

Plus en détail

Université de Pau et des Pays de l Adour Département de Mathématiques Année 2006-2007. Introduction aux probabilités

Université de Pau et des Pays de l Adour Département de Mathématiques Année 2006-2007. Introduction aux probabilités Université de Pau et des Pays de l Adour Département de Mathématiques Année 2006-2007 Introduction aux probabilités Série n 3 Exercice 1 Une urne contient neuf boules. Quatre de ces boules portent le numéro

Plus en détail

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé.

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. TES/spé TL Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013 Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. Vous apporterez un grand soin à la présentation et à la rédaction

Plus en détail

Corrrigé du sujet de Baccalaurat S. Pondichery 2015. Spécialité

Corrrigé du sujet de Baccalaurat S. Pondichery 2015. Spécialité Corrrigé du sujet de Baccalaurat S Pondichery 2015 Spécialité EXERCICE 1 (4 points) commun à tous les candidats Partie A Soit f la fonction définie sur R par f(x) et la droite d équation et la droite d

Plus en détail

PROBABILITÉS Variable aléatoire

PROBABILITÉS Variable aléatoire PROBABILITÉS Variable aléatoire I Langage des événements Lors d'un oral de mathématiques, quatre questions sont proposées : une question de probabilités (P) ; une question de statistiques (S) ; une question

Plus en détail

COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES

COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES CHAPITRE 13 COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES Dans tout le chapitre, (Ω, P) désignera un espace probabilisé fini. 1 Couple de variables aléatoires Définition 13.1 On appelle couple de variables aléatoires

Plus en détail

Probabilité mathématique et distributions théoriques

Probabilité mathématique et distributions théoriques Probabilité mathématique et distributions théoriques 3 3.1 Notion de probabilité 3.1.1 classique de la probabilité s Une expérience ou une épreuve est dite aléatoire lorsqu on ne peut en prévoir exactement

Plus en détail

CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Probabilités Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli.

CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Probabilités Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli. 1 ère - 3 Chap.9 : Loi binomiale. Échantillonnage. 1 ère - Chapitre 9 : LOI BINOMIALE. ÉCHANTILLONNAGE. Textes officiels (30 septembre 2010) : CONTENU CAPACITÉ ATTENDUE COMMENTAIRE Probabilités Épreuve

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Finance / Licence de Gestion MATH201 : Probabilités

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Finance / Licence de Gestion MATH201 : Probabilités 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Finance / Licence de Gestion MATH201 : Probabilités Chapitre II : Espaces probabilisés 1 Notions d événements 1.1 Expérience

Plus en détail

Schéma de Bernoulli Loi binomiale

Schéma de Bernoulli Loi binomiale Schéma de Bernoulli Loi binomiale I) Epreuve et loi de Bernoulli 1) Définition On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre, toute expérience aléatoire admettant deux issues exactement : L une appelée

Plus en détail

Baccalauréat STL Biotechnologies juin 2014 Polynésie Correction

Baccalauréat STL Biotechnologies juin 2014 Polynésie Correction Baccalauréat STL Biotechnologies juin 014 Polynésie Correction EXERCICE 1 Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis, si nécessaire,

Plus en détail

Lois de probabilité (2/3) Anita Burgun

Lois de probabilité (2/3) Anita Burgun Lois de probabilité (2/3) Anita Burgun Contenu des cours Loi binomiale Loi de Poisson Loi hypergéométrique Loi normale Loi du chi2 Loi de Student Loi hypergéométrique La loi du tirage exhaustif Puce à

Plus en détail

Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Arts & Métiers Filière PSI

Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Arts & Métiers Filière PSI Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Arts & Métiers Filière PSI Ces exercices portent sur les items 2, 3 et 5 du programme d informatique des classes

Plus en détail

Sujets HEC B/L 2013-36-

Sujets HEC B/L 2013-36- -36- -37- Sujet HEC 2012 B/L Exercice principal B/L1 1. Question de cours : Définition et propriétés de la fonction de répartition d une variable aléatoire à densité. Soit f la fonction définie par : f(x)

Plus en détail

Exercices chapitre 8. Probabilités.

Exercices chapitre 8. Probabilités. Lycée Descartes PC 2014-15 M. Besbes Exercices chapitre 8. Probabilités. Exercice 1. Soit (Ω, B, P ) un espace probabilisé. Montrer que l ensemble : A = {A B; P (A) = 0 ou P (A) = 1} est une tribu. Exercice

Plus en détail

Initiation aux probabilités.

Initiation aux probabilités. Initiation aux probabilités. On place dans une boite trois boules identiques à l exception de leur couleur : une boule est noire, une est blanche, la troisième est grise. On tire une des boules sans regarder,

Plus en détail

Brevet de technicien supérieur Métropole Session mai 2014 - Comptabilité et gestion des organisations

Brevet de technicien supérieur Métropole Session mai 2014 - Comptabilité et gestion des organisations Brevet de technicien supérieur Métropole Session mai 2014 - Comptabilité et gestion des organisations Exercice 1 11 points Une entreprise fabrique un certain type d articles. Sa capacité maximale de production

Plus en détail

Proposition de corrigé

Proposition de corrigé Externat Notre Dame Devoir Survéillé n 2 (1 ere ES/L) Samedi 14 décembre Durée : 3 h calculatrice autorisée - pas d échange de calculatrice ou de matériel Proposition de corrigé Dans tout ce devoir, la

Plus en détail

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Intégrales Recueil d annales en Mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Frédéric Demoulin Dernière révision : 3 juin 2 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini 2. frederic.demoulin

Plus en détail

Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés

Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : épreuve de Bernoulli Exercice 2 : loi de Bernoulli de paramètre

Plus en détail

Chapitre X : Schéma de Bernoulli Loi Binomiale

Chapitre X : Schéma de Bernoulli Loi Binomiale Chapitre X : Schéma de Bernoulli Loi Binomiale Extrait du programme : I. Schéma de Bernoulli 1. Epreuve et loi de Bernoulli Définition : On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p toute expérience

Plus en détail

Probabilités et Statistiques. Raphaël KRIKORIAN Université Paris 6

Probabilités et Statistiques. Raphaël KRIKORIAN Université Paris 6 Probabilités et Statistiques Raphaël KRIKORIAN Université Paris 6 Année 2005-2006 2 Table des matières 1 Rappels de théorie des ensembles 5 1.1 Opérations sur les ensembles................... 5 1.2 Applications

Plus en détail

Tests statistiques Formation «Analyse de données RNA-seq/ChiP-seq»

Tests statistiques Formation «Analyse de données RNA-seq/ChiP-seq» Tests statistiques Formation «Analyse de données RNA-seq/ChiP-seq» Guy Perrière Pôle Rhône-Alpes de Bioinformatique 14 novembre 2012 Guy Perrière (PRABI) Tests statistiques 14 novembre 2012 1 / 40 Plan

Plus en détail

Lycée Marlioz - Aix les Bains. Bac Blanc 2012. Mathématiques - Terminale ES. 16 mai 2012

Lycée Marlioz - Aix les Bains. Bac Blanc 2012. Mathématiques - Terminale ES. 16 mai 2012 Lycée Marlioz - Aix les Bains Bac Blanc 2012 Mathématiques - Terminale E Candidats n ayant pas choisi la spécialité maths 16 mai 2012 Pour cette épreuve, la rédaction, la clarté et la précision des explications

Plus en détail

Espérances et variances

Espérances et variances [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 201 Enoncés 1 Espérances et variances Exercice 1 [ 04018 ] [Correction] Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans [a ; b]. a Montrer que

Plus en détail

2) Ecrire en utilisant la notation : 3+5+7+9+ 15+17

2) Ecrire en utilisant la notation : 3+5+7+9+ 15+17 STATISTIQUES A UNE VARIABLE EXERCICES CORRIGES Exercice n. Les 5 élèves d'une classe ont composé et le tableau ci-dessous donne la répartition des diverses notes. Recopier et compléter ce tableau en calculant

Plus en détail

Contrôle de statistiques Sujet 2 Corrigé

Contrôle de statistiques Sujet 2 Corrigé Contrôle de statistiques Sujet 2 Corrigé L2 d économie - Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne Nom : Prénom : Les exercices sont indépendants. Le barème est indicatif. L utilisation de documents, calculatrices,

Plus en détail

suit la loi centrée réduite N(0;1). La courbe de f est symétrique par rapport à la droite d'équation x =

suit la loi centrée réduite N(0;1). La courbe de f est symétrique par rapport à la droite d'équation x = T ES/L EXERCICES : LOI DE PROBABILITE A DENSITE Rappel Exercice 1 Soit X une variable aléatoire. X suit la loi normale N( ;²) lorsque Z = X suit la loi centrée réduite N(0;1). La courbe de f est symétrique

Plus en détail

Lois de probabilité. a ; avec a < b, toute fonction f vérifiant

Lois de probabilité. a ; avec a < b, toute fonction f vérifiant Lois de probabilité A) Lois à densité Loi continue Approche : Jusqu ici, les variables aléatoires étudiées prenaient un nombre fini de valeurs Or les issues d un grand nombre d expériences aléatoires prennent

Plus en détail

I. Qu est-ce qu une probabilité?

I. Qu est-ce qu une probabilité? I. Qu est-ce qu une probabilité? 1. Première approche : Une probabilité en mathématique est un chiffre compris entre 0 et 1. Ce chiffre représente une évaluation du caractère probable d un événement. Si

Plus en détail

Probabilités et statistique

Probabilités et statistique Probabilités et statistique Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne Cours de deuxième année de licence de sciences économiques Fabrice Rossi Cette œuvre est mise à disposition selon les termes de la licence

Plus en détail

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de

Plus en détail

Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités

Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités Laboratoire de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan Module: Stat inférentielles Définition Quelques exemples loi d une v.a

Plus en détail

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Pierre Andreoletti IUT d Orléans Laboratoire MAPMO (Bât. de Mathématiques UFR Sciences) - Bureau 126 email: pierre.andreoletti@univ-orleans.fr

Plus en détail

Support du cours de Probabilités et Statistiques. IUT d Orléans, Département Informatique

Support du cours de Probabilités et Statistiques. IUT d Orléans, Département Informatique Support du cours de Probabilités et Statistiques IUT d Orléans, Département informatique Pierre Andreoletti IUT d Orléans, Département Informatique Laboratoire MAPMO (Bât. de Mathématiques UFR Sciences)

Plus en détail

TES-sujets de révisions BAC Amérique du sud nov. 2009

TES-sujets de révisions BAC Amérique du sud nov. 2009 TES-sujets de révisions BAC Amérique du sud nov. 009 Exercice 3 points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses est exacte. Indiquer

Plus en détail

Corrigé du Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie Mars 2016

Corrigé du Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie Mars 2016 Corrigé du Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie Mars 0 A. P. M. E. P. EXERCICE Commun à tous les candidats points Partie A Une boite contient 00 médailles souvenir dont 50 sont argentées, les autres dorées.

Plus en détail

Fluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités

Fluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités Fluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités C H A P I T R E 3 JE DOIS SAVOIR Calculer une fréquence JE VAIS ÊTRE C APABLE DE Expérimenter la prise d échantillons aléatoires de taille

Plus en détail

COURS DE DENOMBREMENT

COURS DE DENOMBREMENT COURS DE DENOMBREMENT 1/ Définition des objets : introduction Guesmi.B Dénombrer, c est compter des objets. Ces objets sont créés à partir d un ensemble E, formé d éléments. A partir des éléments de cet

Plus en détail

Échantillonnage et estimation

Échantillonnage et estimation Échantillonnage et estimation Dans ce chapitre, on s intéresse à un caractère dans une population donnée dont la proportion est notée. Cette proportion sera dans quelques cas connue (échantillonnage),

Plus en détail

Chapitre 1 Second degré. Table des matières. Chapitre 1 Second degré TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 1 Second degré. Table des matières. Chapitre 1 Second degré TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 1 Second degré TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 1 Second degré Table des matières I Exercices I-1 1................................................ I-1................................................

Plus en détail

Statistiques et estimation

Statistiques et estimation DERNIÈRE IMPRESSION LE 23 juillet 2014 à 16:35 Statistiques et estimation Table des matières 1 Intervalle de fluctuation 2 1.1 Simulation................................. 2 1.2 Définition.................................

Plus en détail

Contrôle commun : 4 heures

Contrôle commun : 4 heures Exercice 1 (5 points) Contrôle commun : 4 heures PARTIE A On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0 ; + [ par f(x) = ln x + x. 1. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +.. Étudier

Plus en détail

Intégration de polynômes Points de Gauss

Intégration de polynômes Points de Gauss Intégration de polynômes Points de Gauss Commençons par un exercice classique de premier cycle. Problème 1 Trouver trois réels α, β et γ tels que, pour tout polynôme P de degré au plus 2, on ait : ( )

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 21 avril 2016

Baccalauréat ES Pondichéry 21 avril 2016 Exercice 1 Commun à tous les candidats Baccalauréat ES Pondichéry 21 avril 216 4 points Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des quatre questions posées, une seule des

Plus en détail

Extraits de Concours

Extraits de Concours Pierre-Louis CAYREL 2008-2009 Prépa HEC 2 disponible sur www.cayrel.net Lycée Lavoisier Feuille d extraits de concours Extraits de Concours 1 HEC Exercice 1 (via HEC - Oral 1997) Écrire un programme qui

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHÉMATIQUES Série ES/L

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHÉMATIQUES Série ES/L BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2015 MATHÉMATIQUES Série ES/L Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) ES : ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE L : ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE Les calculatrices électroniques

Plus en détail

T ES/L DEVOIR SURVEILLE 3 16 JANVIER 2015

T ES/L DEVOIR SURVEILLE 3 16 JANVIER 2015 T ES/L DEVOIR SURVEILLE 3 16 JANVIER 2015 Durée : 3h NOM : Prénom : Calculatrice autorisée «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse,

Plus en détail

Probabilité conditionnelle. Probabilités. Probabilité conditionnelle et indépendance. Julian Tugaut

Probabilité conditionnelle. Probabilités. Probabilité conditionnelle et indépendance. Julian Tugaut Probabilité conditionnelle et indépendance Télécom Saint-Étienne 2014 Sommaire 1 Probabilité conditionnelle Notion de probabilité conditionnelle Définition et premières propriétés Théorème de Bayes (ou

Plus en détail

LOIS DE PROBABILITÉ À DENSITÉ

LOIS DE PROBABILITÉ À DENSITÉ LOIS DE PROBABILITÉ À DENSITÉ Une expérience aléatoire consiste à choisir au hasard un nombre réel X dans l'intervalle I = ]0 ; 0]. L'univers est l'intervalle I. C'est un univers infini. On ne peut pas

Plus en détail

Cours Statistiques L2 Université Nice Sophia-Antipolis. François Delarue

Cours Statistiques L2 Université Nice Sophia-Antipolis. François Delarue Cours Statistiques L2 Université Nice Sophia-Antipolis François Delarue Table des matières Chapitre 1. Rappels de Probabilités 5 1. Espaces de probabilité et Variables aléatoires 5 2. Espérances et variances

Plus en détail

Probabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12

Probabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12 Probabilités. I - Rappel : trois exemples. Exemple 1 : Dans une classe de 25 élèves, il y a 16 filles. Tous les élèves sont blonds ou bruns. Parmi les filles, 6 sont blondes. Parmi les garçons, 3 sont

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2014 MATHÉMATIQUES. Série S ÉPREUVE DU JEUDI 19 JUIN 2014. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2014 MATHÉMATIQUES. Série S ÉPREUVE DU JEUDI 19 JUIN 2014. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2014 MATHÉMATIQUES Série S ÉPREUVE DU JEUDI 19 JUIN 2014 Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont

Plus en détail

Agrégation externe de mathématiques, texte d exercice diffusé en 2012 Épreuve de modélisation, option informatique

Agrégation externe de mathématiques, texte d exercice diffusé en 2012 Épreuve de modélisation, option informatique Agrégation externe de mathématiques, texte d exercice diffusé en 2012 Épreuve de modélisation, option informatique Résumé : A partir du problème de la représentation des droites sur un écran d ordinateur,

Plus en détail

II. Eléments des probabilités

II. Eléments des probabilités II. Eléments des probabilités Exercice II.1 Définir en extension l ensemble fondamental Ω des résultats associé à chacune des expériences aléatoires suivantes: 1. jeter une pièce de monnaie et observer

Plus en détail

T ES/L DEVOIR SURVEILLE 4 23 JANVIER 2013

T ES/L DEVOIR SURVEILLE 4 23 JANVIER 2013 T ES/L DEVOIR SURVEILLE 4 23 JANVIER 2013 Durée : 2h NOM : Prénom : Calculatrice autorisée «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse,

Plus en détail

I. Cas de l équiprobabilité

I. Cas de l équiprobabilité I. Cas de l équiprobabilité Enoncé : On lance deux dés. L un est noir et l autre est blanc. Calculer les probabilités suivantes : A «Obtenir exactement un as» «Obtenir au moins un as» C «Obtenir au plus

Plus en détail

Probabilités, fiche de T.D. n o 2

Probabilités, fiche de T.D. n o 2 U.F.R. de Mathématiques Licence de Mathématiques S6, M66, année 2013-2014 Probabilités, fiche de T.D. n o 2 Ex 1. Jour de chance Un site de jeux propose le jeu suivant. Chaque internaute désireux de jouer

Plus en détail

Chapitre 8: Inférence, échantillonnage et estimation

Chapitre 8: Inférence, échantillonnage et estimation Chapitre 8: Inférence, échantillonnage et estimation 1. Echantillonnage aléatoire simple 2. Inférence statistique 3. Estimation 4. Evaluation graphique de l adéquation d un modèle de distribution 1 L inférence

Plus en détail

Mathématique - Cours

Mathématique - Cours Mathématique - Cours Filière PRO 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : partie seconde PRO partie première PRO partie terminale PRO Sommaire

Plus en détail

Agrégation interne de Sciences économiques et sociales - Session 2008 Épreuve de Mathématiques - sujet A

Agrégation interne de Sciences économiques et sociales - Session 2008 Épreuve de Mathématiques - sujet A Épreuve de Mathématiques - sujet A Exercice Une société de location de voitures possède trois agences, une à Rennes, une à Lyon, une à Marseille. Lorsqu un client loue une voiture, un jour donné, dans

Plus en détail

Probabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2

Probabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2 Probabilités Table des matières I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 s................................................... 2 I.2 Propriétés...................................................

Plus en détail

BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR SOUS ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES. Le GROUPEMENT Agencement de l environnement architectural de 2001 à 2011

BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR SOUS ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES. Le GROUPEMENT Agencement de l environnement architectural de 2001 à 2011 BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR A. P. M. E. P. SOUS ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES Le GROUPEMENT Agencement de l environnement architectural de 2001 à 2011 Métropole 2001..........................................

Plus en détail

Exercices de Mathématiques BTS CGO 2

Exercices de Mathématiques BTS CGO 2 Exercices de Mathématiques BTS CGO 2 Page 1 sur 18 20002/2003 Page 2 sur 18 20002/2003 Exercices de probabilités Exercice 1 Un lot de pièces fabriquées comporte 5% de pièces défectueuses. Un contrôleur

Plus en détail

Mathématique - Cours

Mathématique - Cours Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : partie seconde partie 1/3 partie 2/3 partie 3/3 Sommaire 1 Ensemble

Plus en détail

Exercice 1 Aux quatre coins d une feuille de papier format A4, on découpe des carrés pour fabriquer une boîte : x

Exercice 1 Aux quatre coins d une feuille de papier format A4, on découpe des carrés pour fabriquer une boîte : x Exercice Aux quatre coins d une feuille de papier format A4, on découpe des carrés pour fabriquer une boîte : x A B E F H G D Le fond de la boîte est le rectangle EFGH. La feuille est au format A4, donc

Plus en détail

Exercices : VAR discrètes

Exercices : VAR discrètes Exercices : VAR discrètes Exercice 1: Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires. On tire les boules une à une sans les remettre jusqu à ce qu il ne reste que des boules d une seule couleur

Plus en détail

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes UNIVERSITÉ DE CERG Année 0-03 UFR Économie & Gestion Licence d Économie et Gestion MATH0 : Probabilités Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes Généralités Définition Soit (Ω, P(Ω), P)

Plus en détail

C k A C. x 5 4 + Signe de f (x) + 0 0 + x 4 2 2 + Variations

C k A C. x 5 4 + Signe de f (x) + 0 0 + x 4 2 2 + Variations nde Eléments de correction du DNS 1 Lectures graphiques Soient f et g deux fonctions définies sur IR. Leurs représentations graphiques, notées respectivement C f et C g, sont tracées dans le repère ci-dessous.

Plus en détail

Cours de DEUG Probabilités et Statistiques. Avner Bar-Hen

Cours de DEUG Probabilités et Statistiques. Avner Bar-Hen Cours de DEUG Probabilités et Statistiques Avner Bar-Hen Université Aix-Marseille III 3 Table des matières Table des matières i Analyse combinatoire 1 1 Arrangements................................ 1 1.1

Plus en détail

Probabilités TD1. Axiomes des probabilités.

Probabilités TD1. Axiomes des probabilités. TD1. Axiomes des probabilités. 1. Une boîte contient 3 jetons, un rouge, un vert et un bleu. On considère l expérience consistant à tirer au hasard un jetons dans la boîte, à l y remetre puis à en tirer

Plus en détail

Séminaire de Statistique

Séminaire de Statistique Master 1 - Economie & Management Séminaire de Statistique Support (2) Variables aléatoires & Lois de probabilité R. Abdesselam - 2013/2014 Faculté de Sciences Economiques et de Gestion Université Lumière

Plus en détail

Mathématiques en Terminale STG. David ROBERT

Mathématiques en Terminale STG. David ROBERT Mathématiques en Terminale STG David ROBERT 2008 2009 Sommaire 1 Optimisation à deux variables 1 1.1 Équations de droites................................................... 1 1.1.1 Activités......................................................

Plus en détail

Exercices : Probabilités

Exercices : Probabilités Exercices : Probabilités Partie : Probabilités Exercice Dans un univers, on donne deux événements et incompatibles tels que =0, et =0,7. Calculer,, et. Exercice Un dé (à faces) est truqué de la façon suivante

Plus en détail

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1 TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun

Plus en détail

Baccalauréat Blanc 10 février 2015 Corrigé

Baccalauréat Blanc 10 février 2015 Corrigé Exercice Commun à tous les candidats Baccalauréat Blanc février 25 Corrigé. Réponse d. : e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e 5,4. 2. Réponse b. : positif

Plus en détail

Amérique du Sud, novembre 2006

Amérique du Sud, novembre 2006 Exercice 1 ( 5 points) Commun à tous les candidats Un hôpital est composé de trois services : service de soins A, service de soins B, service de soins C. On s intéresse aux prises de sang effectuées dans

Plus en détail

E G = Définition : La probabilité d'un événement E peut être définie intuitivement par la formule suivante :

E G = Définition : La probabilité d'un événement E peut être définie intuitivement par la formule suivante : 8.1 Notations Notations: : vénement : vénement contraire à : ou (ou les deux), correspond à l union : et, correspond à l intersection U : L univers contient tous les événements possibles xercice 1 : Je

Plus en détail

Sommaire. Les pourcentages. Les suites. Statistiques. Les probabilités. Descriptif de l épreuve... Conseils pour l épreuve...

Sommaire. Les pourcentages. Les suites. Statistiques. Les probabilités. Descriptif de l épreuve... Conseils pour l épreuve... Sommaire Descriptif de l épreuve............................................. Conseils pour l épreuve............................................ Les pourcentages FICHES Pages 1 Pourcentage Proportions....................................7

Plus en détail

Exercices de probabilités et statistique

Exercices de probabilités et statistique Exercices de probabilités et statistique Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne Cours de deuxième année de licence de sciences économiques Fabrice Rossi & Fabrice Le Lec Cette œuvre est mise à disposition

Plus en détail

Statistiques descriptives Variance et écart type

Statistiques descriptives Variance et écart type Statistiques descriptives Variance et écart type I) Rappel : la moyenne (caractéristique de position ) Définition Soit la série statistique définie dans le tableau suivant : Valeur... Effectif... Fréquences

Plus en détail

BTS OPTICIEN LUNETIER

BTS OPTICIEN LUNETIER BTS OPTICIEN LUNETIER MATHEMATIQUES Session février 2015 Examen blanc - Classes de deuxième année Durée : 2 heures Coefficient : 2 Matériel autorisé : Toutes les calculatrices de poche, y compris les calculatrices

Plus en détail

Probabilité d un événement. Combinaisons d événements. Probabilité conditionnelle

Probabilité d un événement. Combinaisons d événements. Probabilité conditionnelle Probabilités classiques Mathématiques discrètes Théorie des probabilités Cours 31, MATH/COSC 1056F Julien Dompierre Département de mathématiques et d informatique Université Laurentienne 7 novembre 00,

Plus en détail

Cours de Mathématiques 2

Cours de Mathématiques 2 Cours de Mathématiques 2 première partie : Analyse 2 DEUG MIAS 1 e année, 2 e semestre. Maximilian F. Hasler Département Scientifique Interfacultaire B.P. 7209 F 97275 SCHOELCHER CEDEX Fax : 0596 72 73

Plus en détail

0.1 Espace de probabilité

0.1 Espace de probabilité 0.1. ESPACE DE PROBABILITÉ 1 0.1 Espace de probabilité Exercice 1 La population d une ville compte 48% d hommes et 52% de femmes. Le 1er Janvier 2002 5% des hommes et 1% des femmes avaient la grippe. a)

Plus en détail

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B EXERCICE 1 (12 points) Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Résolution d une équation différentielle On considère

Plus en détail

Cours PS1 (Probabilités et Statistiques 1)

Cours PS1 (Probabilités et Statistiques 1) Bert Wiest Université de Rennes UFR Mathématiques et IRMAR Cours PS (Probabilités et Statistiques ) Organisation Il y a 5h de cours, dont 2h pour les contrôles continus. Détails sur ma page http://perso.univ-rennes.fr/bertold.wiest

Plus en détail

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE MATHÉMATIQUES. Spécialité : BIOTECHNOLOGIES

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE MATHÉMATIQUES. Spécialité : BIOTECHNOLOGIES BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE Session 2015 Jeudi 18 juin 2015 MATHÉMATIQUES Série : SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LABORATOIRE Spécialité : BIOTECHNOLOGIES Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 4 Calculatrice

Plus en détail

Distributions de plusieurs variables

Distributions de plusieurs variables de plusieurs variables Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 8 mai 2008 1. conjointes 1 Comment généraliser les fonctions de probabilité et de densité à plus d une variable aléatoire?

Plus en détail

TD : Microéconomie de l incertain. Emmanuel Duguet

TD : Microéconomie de l incertain. Emmanuel Duguet TD : Microéconomie de l incertain Emmanuel Duguet 2013-2014 Sommaire 1 Les loteries 2 2 Production en univers incertain 4 3 Prime de risque 6 3.1 Prime de risque et utilité CRRA.................. 6 3.2

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Simulation de variables aléatoires S. Robin INA PG, Biométrie Décembre 1997 Table des matières 1 Introduction Variables aléatoires discrètes 3.1 Pile ou face................................... 3. Loi de

Plus en détail

2. Formalisation ... Or les variables sont indépendantes. Donc si

2. Formalisation ... Or les variables sont indépendantes. Donc si L'estimation 1. Concrètement... Dernièrement un quotidien affichait en première page : en 30 ans les françaises ont grandi de... je ne sais plus exactement, disons 7,1 cm. C'est peut-être un peu moins

Plus en détail

Fiche de révision sur les lois continues

Fiche de révision sur les lois continues Exercice 1 Voir la correction Le laboratoire de physique d un lycée dispose d un parc d oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit

Plus en détail

Sujet n 1. Sujet n 2

Sujet n 1. Sujet n 2 Exercices d oraux Consignes : L oral comporte deux questions dont une de spécialité pour le candidats concernés. L épreuve est constituée d une préparation d une vingtaine de minutes suivie d un entretien

Plus en détail