- TURBOMACHINES - ENERGIES HYDRAULIQUE ET EOLIENNE

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1 Deuxième année Département Énergie & Fluides Module EFS8AB - TURBOMACHINES - ENERGIES HYDRAULIQUE ET EOLIENNE Mathieu Jenny Année universitaire

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3 Table des matières Cours de turbomachines de Mathieu Jenny, ENSMN. Introduction 3 1 Effets des forces d inertie - Problématique de l équilibrage Cinétique des masses et inertie Distribution de masse Centre d inertie Résultante et moment cinétiques Tenseur d inertie d un solide indéformable : généralités Tenseur d inertie : théorème de Huyghens Tenseurs d inertie de solides homogènes de forme simple Lois fondamentales de la dynamique - Bilans d efforts Problème de l équilibrage d un rotor Pompes Introduction Résultats du cours de mécanique des fluides Pompes volumétriques Configuration d une turbopompe Triangle des vitesses Principe de quantité de mouvement angulaire Notions de charge relative Caractéristique d une pompe centrifuge Caractéristique théorique Caractéristique réelle Bilan de rendements Pompes à hélices Problèmes généraux Point de fonctionnement Hauteur d aspiration et amorçage Groupement de pompes : série et parallèle Cavitation - rudiments Étude dimensionnelle et similitude NPSH (Net positive Suction Head) TD : Pompes Répartion de pompes sur un oléoduc

4 2 TABLE DES MATIÈRES Choix d une pompe par similitude Étude d une pompe centrifuge Étude d une pompe multicellulaire Exemple d utilisation du NPSH (R. Joulié, Mécanique des fluides appliquée) Turbines hydrauliques Généralités Les turbines à action Les turbines à réaction Bilan d énergie Turbine à action La turbine Pelton Turbine Crossflow Non-Pelton wheel impulse turbine (Dental drill) Turbines à réaction Organes communs Triangle des vitesses Caractéristiques générales Diffuseur Cavitation Limite de la hauteur d aspiration TD : Turbines Turbine Pelton Dental drill Tourniquet hydraulique Étude d une turbine Francis Turbine aux enchères Notions théoriques sur les éoliennes Le vent Variation de la vitesse du vent dans le temps Les variations de vitesse de vent dans l'espace Etude statistique du vent Notions d'aérodynamique Définitions Actions de l'air sur l'aile Paramètres influant sur les C z et C x Calcul aérodynamique d'une éolienne à axe horizontal Théorie de Betz Effets de la rotation Prise en compte de l élément de la pale d hélice Corrections de Prandtl et de Glauert Dimensionnement optimal des pales pour une puissance maximale Bibliographie 85

5 Introduction Ce document de cours-td de Turbomachines - Applications aux énergies hydraulique et éolienne est destiné aux élèves de deuxième année de l école nationale supérieure des Mines de Nancy ayant choisi le département Énergie & Fluides. Il correspond au module EFS8AB. Une version pdf de ce document est accessible sur Ce cours se situe évidemment dans la continuité du cours de mécanique des milieux continus solides et fluides de première année (Plaut 2016b), et de celui de mécanique des fluides de deuxième année (Plaut 2016a). Nous utilisons les mêmes notations : les caractères gras surmontés d une barre (exemple : v) désignent les vecteurs, les caractères gras surmontés de deux barres (exemple : D) désignent les tenseurs d ordre 2. Pour échanger de l énergie entre un fluide et un système mécanique, on utilise ce qu on appelle des machines à fluides. Ce sont souvent des machines tournantes ou turbomachines. Le transfert de l énergie de la machine vers le fluide se fait grâce à des pompes. La transformation inverse est faite par des turbines. Ces dernières peuvent alors, soit transmettre directement l énergie mécanique à une autre machine à faire fonctionner, soit, à leur tour, échanger leur énergie mécanique avec un alternateur pour la transformer en électricité. L énergie des fluides provient soit de leur énergie potentielle, dans le cas d une chute d eau et de l énergie - renouvelable! - hydraulique, soit de leur énergie cinétique dans le cas des éoliennes, soit encore d une source d énergie thermique : énergie nucléaire ou énergie de combustion. Les turbomachines sont donc en première ligne pour la production d énergie utilisable par la société que ce soit à des fins industrielles ou de consommation domestique. On présente dans le chapitre 1, rédigé par Emmanuel Plaut, la problématique de l équilibrage des machines tournantes. Les chapitres 2 à 3, rédigés par Mathieu Jenny, présentent les pompes puis les turbines hydrauliques. Ces chapitres sont très largement inspirés du cours de Souhar ( ). On présentera les notions théoriques nécessaires au choix des turbomachines en fonction d un cahier des charges et de leur intégration dans un circuit hydraulique. Le chapitre 4 est une introduction aux éoliennes qui peuvent être considérées comme des turbines qui utilisent le vent. Ce chapitre est une reprise de la présentation théorique du TP éolienne rédigé par Ophélie Caballina et Alexandre Labergue (cours ENSEM, 3A énergie). Un approfondissement sur les éoliennes est proposé en troisième année du département E&F dans le module Advanced Fluid Mechanics de Plaut & Peinke 2016.

6 4 Introduction Les cinq premières séances de ce cours porteront sur les chapitres 1, 2 et 3. La sixième séance sera consacrée à l introduction aux éoliennes et au test écrit d une heure environ. Le contrôle portera sur les trois premiers chapitres. La fin de ce module est consacrée au mini bureau d études Hydroélectricité qui aura lieu la journée du vendredi 25 mars Pendant cette journée, vous ferez l étude de l aménagement d un torrent de montagne. Le mini bureau d études sera encadré par Quentin Morel, ingénieur développement - chef de projets à setec energy solutions. On passera à cette occasion en revue toutes les problématiques de la petite hydraulique, de la ressource (hydrogéologie) jusqu aux bilans économiques (retour sur investissement...). Les calculs et traitement de données se feront sous Excel, sur les PC portables des élèves travaillant en binôme. Le travail effectué pendant le mini bureau d étude sera évalué à l issu de la journée. L évaluation de l ensemble du module reposera sur la moyenne du test écrit (coeff. 0.3) et de l évaluation du mini bureau d étude (coeff. 0.7). Je remercie très vivement Emmanuel Plaut pour la rédaction du chapitre 1, complété utilement par l annexe A du cours de mécaniques des milieux continus solides et fluides de première année (Plaut 2016b), Mohamed Souhar, professeur à l ENSEM, chercheur au LEMTA, pour m avoir permis de reproduire en grande partie dans mes chapitres 2 et 3 son cours de turbomachines et Ophélie Caballina, maître de conférences à l ENSEM et au LEMTA, pour son cours sur les éoliennes. Enfin, je remercie Quentin Morel pour le mini bureau d étude qu il propose et encadre à la fin du module. Nancy, le 1 er février Mathieu Jenny.

7 Chapitre 1 Effets des forces d inertie sur les turbomachines - Problématique de l équilibrage Une machine à fluides tournante est un objet solide en interaction avec un ou plusieurs fluides environnants, à qui elle communique ou de qui elle tire son énergie cinétique de rotation. Dans ce chapitre on s intéresse à un aspect important de la «mécanique des solides» qui constituent des machines tournantes, à savoir l effet de la force d inertie centrifuge sur ces solides. On montre d après les équations (A.38) de (Plaut, 2016b) et (1.39) que, si ω est la vitesse (constante dans le temps) de rotation angulaire de la turbomachine autour de l axe fixe Oz, dans le référentiel tournant lié à cette machine la force volumique d inertie d entraînement centrifuge avec ρ le champ de masse volumique de la machine, f ie = ργ e (1.1) γ e = ωe z (ωe z OM) (1.2) le champ d accélération d entraînement, M désignant le point de l espace où ces champs sont considérés. En utilisant un système de coordonnées cylindriques (r, θ, z) d origine O et d axe Oz, on obtient γ e = ω 2 re r = f ie = ρω 2 re r (1.3) qui est d autant plus grande que ω est grande. Cette force d inertie va devoir être équilibrée par des réactions de liaison des paliers qui supportent l arbre de la machine. Minimiser la contribution de cette force d inertie à ces réactions de liaison est exactement le but de l équilibrage des rotors, que l on présentera ci-après dans la cadre de la mécanique des solides indéformables. Se préoccuper de la résistance des matériaux déformables constituant la machine tournante aux contraintes internes engendrées par la force volumique (1.3) serait l étape suivante, que nous ne pourrons malheureusement pas aborder, faute de temps. Nous renvoyons le lecteur intéressé à Géradin & Rixen (1996). Un calcul d ordre de grandeur montre l importance des forces (1.3). Une turbine à vapeur de centrale thermique ou nucléaire tourne, dans le cas d un couplage avec alternateur à 2 pôles, à

8 6 Introduction 3000 tr/mn, ce qui donne, en unités SI, ω = π rad 60 s = 314 rad/s. Les pales de cette turbine étant de taille métrique, l accélération d entraînement correspondante est γ e (314 rad/s) 2 1 m m/s g avec g l accélération de la pesanteur, qui constitue une référence... Une approche scientifique du problème de l équilibrage des rotors nécessite des bases en mécanique des solides indéformables ; c est l objet de ce chapitre que de les donner. On ne se limite pas strictement aux notions qui seront utilisées pour l équilibrage, de façon à fournir un document de cours un peu étoffé, qui pourra être utile dans d autres contextes 1. L équilibrage proprement dit sera traité en TD, lors de l étude du problème de la section 1.3. Les notions de cinématique du solide, i. e. la composition des mouvements par changement de référentiel, nécessaires à ce chapitre se trouvent dans l annexe A du cours de mécanique des milieux continus fluides et solides de première année (Plaut, 2016b). 1.1 Cinétique des masses et inertie Les objets de la mécanique des solides sont pesants. On va définir et caractériser précisément cette distribution de masse, notamment grâce à la notion de centre d inertie. D autre part on peut noter qu un solide indéformable possède, en vertu de la structure de champ de moments de son champ de vitesse, 6 degrés de liberté : 3 degrés de liberté de translation et 3 degrés de liberté de rotation. Il faut donc définir, pour caractériser précisément son mouvement autour d un point O de référence, sa quantité de mouvement de translation ou résultante cinétique 2 et sa quantité de mouvement de rotation ou moment cinétique 3. C est ce que nous allons faire dans cette section, en terminant par l introduction du tenseur d inertie, outil commode pour le calcul du moment cinétique Distribution de masse En général la masse est distribuée dans le volume de la machine considérée, volume que nous noterons Ω t. La masse totale peut donc s écrire m = Ω t d 3 m (1.4) avec d 3 m = ρ d 3 x (1.5) l élément de masse, d 3 x étant l élément de volume, ρ la masse volumique. Dans certains cas on pourra modéliser une partie du système, très mince dans une ou deux directions, en considérant qu elle est à distribution surfacique ou linéique de masse ; on remplacera 1. On ignore aussi volontairement le fait que certains, en fonction de leur classe préparatoire, ont déjà vu telle ou telle notion ; cela ne leur fera pas de mal de «réviser» Linear momentum en anglais. 3. Angular momentum en anglais.

9 Introduction 7 l intégrale triple dans des formules définissant des quantités extensives du type (1.4) par une intégrale double ou simple, l élément de masse étant proportionnel à un élément de surface ou de longueur. On pourra aussi considérer que certaines masses sont «ponctuelles» ; alors l intégrale sera une somme discrète Centre d inertie Le centre d inertie du système est défini comme le point G barycentre de la distribution de masse du système, tel que O, mog = Ω t OM d 3 m. (1.6) Résultante et moment cinétiques Dans le référentiel R 0 où O est fixe, nous définissons la quantité de mouvement de translation totale du système, p(t) := Ω t v(m,t) d 3 m = Ω t OM(t) d 3 m = mog(t). (1.7) La commutation de la dérivée par rapport au temps et de l intégrale sur la distribution de masse, p = dom Ω t dt d 3 m = d dt Ω t OM d 3 m, (1.8) résulte en fait de la conservation de la masse, et de la formule de transport d une densité massique, d e d 3 m = dt Ω t Ω t de dt d3 m, (1.9) démontrée dans la sous-section de Plaut (2016b). Comme on l a expliqué au début de cette section, on doit aussi introduire la quantité de mouvement de rotation du système par rapport à ce point O, soit σ(o,t) := Ω t OM(t) v(m,t) d 3 m (1.10) En utilisant la relation de transitivité AM = OM OA ainsi que la définition (1.7), on observe que O,A, σ(a,t) = σ(o,t) + p(t) OA (1.11) ce qui montre que σ est un champ de moments de résultante p. On désigne pour cette raison σ(o,t) comme le moment cinétique du système par rapport au point O, et p(t) comme la résultante cinétique du système.

10 8 Introduction Tenseur d inertie d un solide indéformable : généralités On se place toujours dans un référentiel R 0 où un point O du solide S étudié est fixe. Si S est un solide indéformable, on peut utiliser le fait que son champ de vitesse est un champ de moments. La formule des champs de moments donne alors v(m S,t) = v(o S,t) + ω OM(t) = ω OM(t), (1.12) avec ω = ω S/R0 (t) (1.13) le vecteur vitesse de rotation instantanée de S dans R 0. Le produit OM v à intégrer pour obtenir le moment cinétique (1.10) s écrit donc ( ) ( ) [ ] OM ω OM = OM 2 ω OM ω OM = OM 2 1 OM OM ω. Introduisons le tenseur d inertie de S par rapport au point O, I(O,t) = Ω t [ ] OM 2 (t)1 OM(t) OM(t) d 3 m. (1.14) Ce tenseur d inertie est de fait l application linéaire qui, au vecteur vitesse de rotation instantanée ω, associe le moment cinétique en O, I(O,t) : R 3 R 3 ω σ(o,t) = I(O,t) ω.. (1.15) On a intérêt à expliciter ce tenseur dans un repère Oxyz lié à S, car il y aura des composantes indépendantes du temps. En coordonnées cartésiennes, le vecteur OM étant repéré par l équation (1.14) s explicite selon OM = xe x + ye y + ze z, [ Mat I(O), { } ] e x,e y,e z = I xx I xy I xz I xy I yy I yz I xz I yz I zz (1.16) où apparaissent les moments d inertie par rapport aux axes x, y, z, I xx = (y 2 + z 2 ) d 3 m, Ω t I yy = (z 2 + x 2 ) d 3 m, Ω t I zz = (x 2 + y 2 ) d 3 m, Ω t et les produits d inertie : (1.17) I xy = I yx = xy d 3 m, Ω t I yz = I zy = yz d 3 m, Ω t I zx = I xz = zx d 3 m. (1.18) Ω t

11 Introduction 9 On peut noter que I zz = Ω t HM 2 d 3 m (1.19) avec H le projeté orthogonal de M sur l axe Oz. Ainsi I zz est d autant plus grand que la masse de S est en moyenne loin de l axe Oz. D autre part I xy > 0 (resp. < 0) indique qu en moyenne la masse de S est dans le demi-espace xy < 0 (resp. > 0) ; I xy = 0 indique que la masse de S est équirépartie entre les demi-espaces xy < 0 et xy > 0. Le calcul des intégrales (1.17) et (1.18) ne pose pas de problèmes dans son principe ; des résultats types seront donnés en sous-section En pratique, dans le cas de solides de forme compliquée, les logiciels de Conception Assistée par Ordinateur effectuent automatiquement et numériquement tous ces calculs. De manière générale, I(O,t) étant symétrique peut se diagonaliser dans une certaine base orthonormée liée au solide S. Les axes Ox, Oy, Oz correspondants sont appelés axes principaux d inertie du solide, tandis que les éléments diagonaux correspondants I xx, I yy, I zz sont appelés moments principaux d inertie du solide. Sans aller éventuellement jusqu à cette diagonalisation complète, on a souvent intérêt à calculer le tenseur d inertie dans une base où le solide présente certaines symétries. Par exemple, si le solide admet xoy comme plan de symétrie, on observe, en faisant le changement de variable z z dans les intégrales, que I xz = I yz = 0. Ceci prouve que l axe Oz est axe principal d inertie du solide ; alors les deux autres axes principaux se trouvent forcément dans le plan xoy. Si l un des axes de base, par exemple Oz, est axe de symétrie du solide, alors le changement de variable (x,y) ( x, y) montre qu on a aussi I xz = I yz = 0. Là encore l axe Oz est axe principal d inertie. Si Oz est axe de révolution on aboutit aux mêmes résultats. De plus, en faisant le changement de variable (x,y) ( y,x) correspondant à une rotation de π/2, on montre que I xy = 0 et I xx = I yy. Ceci signifie que les axes Ox, Oy, Oz sont axes principaux d inertie, et que les deux premiers moments principaux d inertie sont égaux Tenseur d inertie : théorème de Huyghens Afin d examiner le lien entre les tenseurs d inertie en deux points origines différents O et A, insérons la relation de transitivité OM = OA + AM

12 10 Introduction dans le tenseur élémentaire à intégrer pour calculer I(O) équation (1.14). Il vient ( OM 2 1 OM OM = OA 2 + 2OA AM + AM 2) 1 ( ) OA OA + AM OA + OA AM + AM AM. On en déduit par intégration, et en utilisant l équation (1.6) pour A à la place de O, la relation [( ) ] I(O) = m OA 2 + 2OA AG 1 OA OA + AG OA + OA AG + I(A). (1.20) Cette relation se simplifie remarquablement si A coïncide avec le centre d inertie G du solide ; on aboutit alors au théorème de Huyghens : ( ) I(O) = m OG 2 1 OG OG + I(G) (1.21) Ce théorème, qui permet de déduire I en un point quelconque O de la connaissance de I(G), justifie que l on ne donne dans le formulaire de la section que les valeurs de I(G) Tenseurs d inertie de solides homogènes de forme simple Donnons les tenseurs d inertie de solides homogènes de forme géométrique simple. Pour le premier exemple ci-dessous, les calculs se font en coordonnées cartésiennes, avec lesquelles OM = xe x + ye y + ze z, d 3 x = dx dy dz. (1.22) Un calcul préliminaire de la masse totale, selon l équation (1.4), donne la valeur de ρ. On peut alors calculer I(G) à partir de l équation (1.14). Exemple 1 : parallélépipède rectangle droit : x G z 2b 2a 2c y V = {(x,y,z) [ a,a] [ b,b] [ c,c]}, ρ = m 8abc, [ Mat I(G), { } ] e x,e y,e z = m 3 b 2 + c c 2 + a a 2 + b 2 (1.23) Pour les exemples 2 à 5 suivants, les calculs se font en coordonnées cylindriques, avec lesquelles OM = r ( cos θ e x + sin θ e y ) + zez, d 3 x = r dr dθ dz. (1.24)

13 Introduction 11 Exemple 2 : cylindre creux de révolution : z V = {(r,θ,z) [a,b] [0,2π] [ h,h]}, ρ = m 2π(b 2 a 2 )h, x G 2a 2b y 2h a 2 + b 2 [ Mat I(G), { } ] + h a e x,e y,e z = m 2 + b h a 2 + b (1.25). Exemple 3 : cylindre de révolution : ce cylindre plein peut être vu comme un cylindre creux avec a = 0 : x G z 2b y 2h V = {(r,θ,z) [0,b] [0,2π] [ h,h]}, ρ = m 2πb 2 h, [ Mat I(G), { } ] e x,e y,e z = m b h b h b (1.26) Exemple 4 : anneau torique : z G 2b a x V = {(r,θ,z) [b a 2 z 2,b+ a 2 z 2 ] [0,2π] [ a,a]}, m ρ = 2π 2 a 2 b, 5a 2 [ Mat I(G), { } ] 8 + b a e x,e y,e z = m b a b2 (1.27)

14 12 Introduction Exemple 5 : cerceau : y Se déduit du précédent dans la limite a 0, d où G 2b x b 2 [ Mat I(G), { } ] e x,e y,e z = m b (1.28) b 2 Pour les derniers exemples, les calculs se font en coordonnées sphériques, avec lesquelles OM = r [ sin θ ( cos φ e x + sin φ e y ) + cos θez ], d 3 x = r 2 sin θ dr dθ dφ. (1.29) Exemple 6 : sphère creuse : z b a G y x V = {(r,θ,φ) [a,b] [0,π] [0,2π]}, 3m ρ = 4π(b 3 a 3 ), I(G) = 2 5 m b5 a 5 b 3 a 3 1. (1.30) Exemple 7 : sphère : Dans le cas a = 0 on obtient pour une sphère pleine de rayon b que I(G) = 2 5 m b2 1. (1.31) 1.2 Lois fondamentales de la dynamique - Bilans d efforts On se place dans un premier temps dans un référentiel R 0 réputé galiléen, où les seules forces agissant sur un système S sont les forces physiques : densité volumique de forces f vol agissant dans le volume Ω t, par exemple f vol = ρg pour le poids, g étant le champ gravitationnel, f vol = ρ e (E + v B) pour la force électromagnétique, ρ e étant la densité volumique de charge, E le champ électrique, B le champ magnétique ; densité surfacique de forces T agissant sur la frontière Ω t de Ω t. La première loi de Newton est la loi d évolution de la résultante cinétique, ṗ = R ext résultante des efforts extérieurs appliqués (1.32) R ext = Ω t f vol d 3 x + Ω t T d 2 S. (1.33)

15 Introduction 13 D après les équations (1.7) et (1.9), on peut écrire la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement de deux façons différentes, ṗ = γ R0 (M) d 3 m = mog. (1.34) Ω t La deuxième loi de Newton est la loi d évolution du moment cinétique, σ(o) = Γ ext (O) moment en O des efforts extérieurs appliqués (1.35) Γ ext (O) = Ω t OM f vol d 3 x + Ω t OM T d 2 S. (1.36) D après (1.9), la définition (1.10) et la formule (1.15), on peut écrire la dérivée par rapport au temps du moment cinétique de deux façons différentes, σ(o) = OM γ R0 (M) d 3 m = d ] [I(O) ω Ω t dt S/R0. (1.37) Il importe de constater que le champ de vecteurs Γ ext (O) présente une structure de champ de moments, de résultante R ext : A, O, Γ ext (A) = Γ ext (O) + R ext OA = Γ ext (O) + AO R ext. (1.38) Ceci justifie le terme «moment des efforts» ; on parle aussi de «couples» appliqués pour désigner des contributions à Γ. Si maintenant on se place dans un référentiel non galiléen R dont le mouvement est connu par rapport au référentiel absolu galiléen R 0, on peut injecter dans les membres de gauche des lois de Newton, à savoir (1.34) et (1.37), la formule de composition des accélérations (??). On observe que les lois de Newton restent valables dans le référentiel R à condition d introduire des forces d inertie volumiques dans les membres de droite, f i = f }{{} ie force d inertie d entrainement + f ic }{{} force d inertie de Coriolis = ργ e ργ c. (1.39) 1.3 Problème de l équilibrage d un rotor On considère un rotor S solide indéformable, de masse totale m, comprenant un axe Oz en rotation sur un chassis grâce à des liaisons pivots situées aux points P 1 et P 2 : x S y z P 1 G P 2 On choisit un repère de travail Oxyz lié au solide S, d origine O = P 1. On a alors OP 2 = le z. D autre part le centre de gravité G de S est repéré par OG = OH+HG avec H projeté orthogonal

16 14 Introduction de G sur l axe Oz, OH = ce z, HG = ae x + be y. On s intéresse au régime de rotation où la vitesse angulaire ω de S dans le référentiel absolu du laboratoire R 0 est constante. Dans ce référentiel, le rotor est soumis à des efforts au niveau des liaisons pivots : le champ de forces exercé au niveau de la liaison P 1 a une résultante égale à la réaction de liaison R 1 et un couple en P 1 égal au couple de liaison Γ 1 ; le champ de forces exercé au niveau de la liaison P 2 a une résultante égale à la réaction de liaison R 2 et un couple en P 2 égal au couple de liaison Γ 2. D autre part des efforts dûs à l environnement, par exemple l action de fluides, existent ; on note R env leur résultante, Γ env leur couple en O. Enfin l action de la gravité terrestre constitue une troisième source d efforts. La moitié des mini-groupes de TD traitera la question 1 ci-dessous par la voie a, l autre moitié par la voie b. 1 Explicitez les lois fondamentales de la dynamique de ce système 1.a soit dans le référentiel R 0 du laboratoire, 1.b soit dans le référentiel R lié à S, donc en rotation par rapport à R 0 avec le vecteur vitesse instantanée de rotation ω = ωe z. Dans les deux cas faites intervenir les composantes I xz et I yz de la matrice représentant le tenseur d inertie I(O) de S dans la base tournante {e x,e y,e z }. 1.c On fait l hypothèse que les liaisons pivots sont «parfaites» au sens où, en l absence d actions dues à l environnement, les couples de liaison Γ 1 et Γ 2 sont nuls. Observant d autre part que le système d équations que l on vient d obtenir est linéaire vis-à-vis de tous les efforts appliqués, on s intéresse dans ce qui suit aux réactions de liaison R 1 et R 2 qui compensent seulement les termes inertiels, dûs aux membres de gauche des équations de la dynamique (1.32) et (1.35) dans le calcul de 1.a, ou aux forces d inertie dans le calcul de 1.b. Montrez que ces réactions sont définies par le système R 1 + R 2 = ω 2 R, OP 1 R 1 + OP 2 R 2 = ω 2 S, (1.40) en donnant la définition des vecteurs R et S tournants liés à S, qui ne dépendent que de la géométrie de la distribution des masses de S. Proposez une interprétation physique expliquant l origine et la nature des termes ω 2 R et ω 2 S. 2.a Déterminez autant que possible les composantes de R 1 et R 2, en notant qu il demeure une composante inconnue de liaison. 2.b Montrez que l équilibrage complet du rotor, i.e. l annulation des termes sources R et S dans le système (1.40), revient aux conditions suivantes : condition d équilibrage statique : le vecteur «balourd» mhg = 0, i.e. a = b = 0, i.e. le centre d inertie G se trouve sur l axe de rotation Oz ; condition d équilibrage dynamique : les moments d inertie I xz = I yz = 0, i.e. l axe de rotation Oz est axe principal d inertie de S.

17 Introduction 15 Montrez en sus que la condition d équilibrage statique revient à assurer que le terme de couple dû au poids, OG mg, est effectivement statique au sens où il est indépendant du temps. 3 On désire équilibrer le rotor en disposant sur S une masse ponctuelle m α au point A de son bord repéré par OA = x α e x + y α e y + z α e z et une autre masse ponctuelle m β au point B de son bord repéré par OB = x β e x + y β e y + z β e z. 3.a Calculez les coordonnées a, b et c du centre de gravité G du système S = S ainsi modifié, et explicitez la condition d équilibrage statique de S. 3.b Calculez les produits d inertie en O, I xz et I yz, du système S, et explicitez la condition d équilibrage dynamique de S. 3.c Pourquoi ne doit-on pas en général disposer les masses m α et m β dans un même plan perpendiculaire à l axe de rotation, d équation z = constante? 4 D un point de vue pratique, comme on n a pas accès directement à la position du centre d inertie ou aux moments d inertie, on utilise la méthode des coefficients d influence pour équilibrer un rotor. Pour cela on caractérise quantitativement le déséquilibre du rotor, en régime de rotation à vitesse angulaire constante ω, en mesurant dans le référentiel R 0 une des composantes de R 1 et R 2 grâce à deux capteurs de forces, placés en P 1 et P 2, et orientés perpendiculairement à l axe de rotation. Si on appelle e X la direction de mesure de ces capteurs, on peut former une base fixe dans R 0 à l aide des vecteurs { ex, e Y, e Z } = { ex, e z e X, e z }. Dans cette base fixe la base liée au rotor { e x, e y, e z } est tournante, avec un angle de rotation φ(t) := ( ) ex, e x (t) = ωt, et on mesure donc s 1 (t) = R 1 e X grâce au capteur 1, s 2 (t) = R 2 e X grâce au capteur 2. 4.a En utilisant les résultats de la question 2.a, donnez l expression générale de s 1 et s 2. Montrez que l on peut associer naturellement à ces signaux temporels oscillants des amplitudes complexes z 1 et z 2 dont on donnera l expression. Vous introduirez enfin les amplitudes complexes normalisées Z 1 = z 1 /ω 2 et Z 2 = z 2 /ω 2. Indication-commentaire : vous constaterez que la règle utilisée en traitement de signaux oscillants, s(t) = s x cos(ωt) s y sin(ωt) = Re[z exp(iωt)] amplitude z = s x + is y, se marie harmonieusement, ici, avec la règle utilisée en analyse complexe pour associer un complexe à un vecteur. 4.b Quelles conditions doit-on réaliser pour équilibrer le rotor? 4.c La stratégie proposée par la méthode des coefficients d influence consiste à équilibrer le système en positionant des masses à la périphérie de deux disques faisant partie de S, situés l un en z = z α,

18 16 Introduction l autre en z = z β z α. On repère la valeur de ces masses et leur position dans les plans de ces disques par les «balourds» b α = m α (x α + iy α ), b β = m β (x β + iy β ) en notations complexes. On commence par mesurer les amplitudes complexes normalisées Z 1 et Z 2 sur S tournant seul ; on note les valeurs correspondantes Z 0 1 et Z0 2. On arrête alors S, et on place m α en un point A du premier disque de S. On mesure - après retour au régime de rotation permanent - les nouvelles valeurs Z 1α et Z 2α des amplitudes complexes normalisées des signaux s 1 et s 2. Montrez que l on a alors Z 1α = Z c 1α b α, Z 2α = Z c 2α b α où l on peut faire apparaître (i.e. mesurer pratiquement) des coefficients d influence c 1α et c 2α dont on donnera la valeur théorique. On arrête à nouveau le système, on enlève m α, et on dispose m β en un point B du deuxième disque de S. On mesure ensuite les nouvelles valeurs Z 1β et Z 2β des amplitudes complexes normalisées des signaux s 1 et s 2. Montrez que l on peut introduire des coefficients d influence c 1β et c 2β de sorte que Z 1β = Z c 1β b β, Z 2β = Z c 2β b β. Dans le cas général où on dispose m α en A point du premier disque et m β en B point du deuxième disque, montrez que les amplitudes vibratoires de s 1 et s 2 sont données par : Z 1αβ = Z c 1α b α + c 1β b β, Z 2αβ = Z c 2α b α + c 2β b β. Décrivez à partir de ces résultats une méthode pratique d équilibrage. Vous noterez que, d un point de vue théorique, cette méthode fonctionne si la matrice des coefficients d influence [C] = ( c 1α c 2α c 1β c 2β est inversible ; vous vérifierez théoriquement que cela est bien le cas. 5 En prenant un peu de recul par rapport à ce problème, on peut remarquer que l on a privilégié un point particulier O de l axe de rotation dans tout le traitement. Montrez donc que si le rotor S est équilibré vis à vis de O, alors il est équilibré vis à vis de tout autre point O de l axe de rotation. )

19 Chapitre 2 Pompes 2.1 Introduction Une pompe est une machine hydraulique qui permet d augmenter la charge H d un fluide moyennant une puissance extérieure P ext > 0 fournie au fluide. Cette puissance est en général fournie par un rotor en rotation Résultats du cours de mécanique des fluides ω S s S e v s v e Fig. 2.1 Section d une turbopompe. On considère un tube de courant de fluide incompressible en régime permanent (figure 2.1). On a donc la loi de conservation de la masse qui s applique : v.nds = 0 q v = v e S e = v s S s (2.1) δω Le bilan énergétique dans un tube de courant qui contient une source (ou un puits) d énergie s écrit en l absence de perte de charge : P ext = ρgq v (H s H e ) (2.2) avec les charges d entrée H e et de sortie H s du tube de courant. On rappelle la définition de la charge H (voir l équation (1.33) du cours de mécanique des fluides Plaut 2016a) : H = p ρg + z + α v 2 2g (2.3)

20 18 Introduction p est la pression du fluide au point d altitude z. La vitesse v désigne la vitesse débitante à travers une surface S et α est le coefficient d énergie cinétique qui sont définis par les relations (1.34) du cours de mécanique des fluides Plaut 2016a. Si la puissance extérieure est échangée via un rotor en rotation, alors elle peut s exprimer comme : P ext = C ext ω (2.4) ce qui fait intervenir le couple appliqué au rotor C ext et sa vitesse angulaire de rotation ω. On appellera H th = H s H e > 0 la charge théorique atteinte lorsqu il n y a pas de perte dans la pompe. D après la définition de la charge, on en déduit que : [ ) ] 2 p s p e = ρgh th + ρ 2 En général dans une pompe, S e S s ce qui rend le deuxième terme négligeable. On a donc une augmentation de pression à travers une pompe ( p = p s p e > 0). Placée dans un circuit, une pompe peut-être considérée comme une singularité qui augmente la charge. Dans une turbopompe (en général hydromachines qui incluent les turbines), il n y a aucun organe d étanchéité entre l entrée et la sortie. On peut traverser la machine par un chemin continu tracé dans le fluide. Il y a d autres classes de pompes où ce n est pas le cas, par exemple, les pompes volumétriques. qv 2 Se 2 1 ( Se S s (2.5) Pompes volumétriques piston e 1 2 s Fig. 2.2 Schéma d une pompe à piston (volumétrique). Clapet d aspiration 1, clapet de refoulement 2. En phase d aspiration, le clapet 1 est ouvert et le 2 fermé. En phase de refoulement, le clapet 1 est fermé et le 2 ouvert. Dans ce cas l entrée est déconnectée de la sortie et on ne peut pas passer par un chemin continu entre les points e et s. Il existe d autres types de pompes volumétriques : pompes à palettes, pompes à engrenages, pompes à écrasement de tuyaux,...

21 Introduction 19 air q fluctuant q presque constant P eau Fig. 2.3 Capacité pneumatique. dont les principales caractéristiques sont un faible débit mais de grandes pressions de refoulement. De plus, ces pompes conduisent à des débits fluctuants dans le temps, ce qui nécessite assez souvent la mise en place de capacité pneumatique pour stabiliser le débit (figure 2.3). Les machines volumétriques sont surtout utilisées comme organes de puissance ( p grands) ou commande de puissance Configuration d une turbopompe Il existe plusieurs technologies de pompes. On peut les classer en deux catégories principales : les pompes volumétriques et les turbopompes. Les pompes volumétriques sont celles qui permettent le saut de pression le plus important mais cela n est vrai qu avec des fluides incompressibles et cela se fait en général au détriment du débit et de sa régularité. Enfin, du fait de l étanchéité interne à la pompe (le volume de fluide capturé ne doit pas pouvoir s échapper), ce sont souvent des pompes fragiles qui tolèrent mal les fluides chargés en particules solides et abrasives comme, par exemple, du sable. C est pourquoi les turbopompes sont très largement utilisées dans un contexte industriel. Dans une turbopompe, le transfert d énergie s effectue entre le fluide et une roue mobile. La théorie générale est la même quelque soit le sens de transfert (pompe ou turbine). On distingue : les machines à passage tangentiel, surtout pour la turbine Pelton où l on peut encore raisonner en turbomachine car il existe des pompes à passage tangentiel, mais il est difficile de les considérer comme des turbomachines. q v ω H Les machines à passage radial (pompes centrifuges).

22 20 Introduction Fig. 2.4 Exemples de pompes volumétriques.

23 Introduction 21 sortie entree Les machines à passage axial ou hélicoïdal (pompes à hélices). ω La disposition générale d une turbomachine comporte : Une roue mobile où se fait le transfert d énergie. Des dispositifs fixes (dans certains cas orientables) d entrée - sortie destinés à amener ou à évacuer le fluide en lui donnant une orientation convenable. La roue mobile est munie soit d augets (généralement à l air libre) soit d aubes généralement noyées dans le fluide. 2.2 Triangle des vitesses Considérons une pompe centrifuge : e w v u S 2 M M R 1 ω r S 1 O R 1 R 2 ω R 2 b Fig. 2.5 Triangle de vitesse sur une roue de pompe centrifuge. Soit un point M du rotor (aube), sa vitesse d entrainement est u : u = ω OM; u = rω (2.6) avec w la vitesse relative du fluide telle que sur le rotor w.n rotor = 0. La vitesse absolue est donnée par v = u + w. On définit l angle β = (u, w) ce qui permet de dessiner le triangle des vitesses à l entrée et à la sortie.

24 22 Introduction w 1 v 1 v n1 w 2 v 2 S 1 β 1 S 2 β 2 v n2 R 1 n 1 R ω u 1 1 R 2 R ω u n entree sortie Fig. 2.6 Triangle des vitesses entrée et sortie Le débit q v = S v.nds se conserve. Si n est le nombre d aubes, on a donc : q v = v n1 (2πR 1 ne 1 )b 1 = v n2 (2πR 2 ne 2 )b 2 (2.7) avec e i l épaisseur des aubes à l entrée (1) et à la sortie (2). On fait une hypothèse importante : le triangle des vitesses dans le fluide au point M situé entre 2 aubes est le même au point M situé sur le rotor si OM = OM. En réalité ceci n est pas tout à fait exact et même en fluide parfait, de part et d autre d une aube, w intrados w extrados. De plus, comme les fluides sont visqueux, on a w(m) = 0 (adhérence). Ainsi, la théorie qui suit est une théorie approchée. 2.3 Principe de quantité de mouvement angulaire d dt Le principe de quantité de mouvement angulaire s écrit : OM (ρv)dv = V V [ ] [ ] OM (ρv) dv + OM (ρv) v.nds = Γ ext (O) t S (2.8) On fait l hypothèse que le régime est quasi-permanent, c est-à-dire que / t = 0. Considérons un volume de contrôle fluide V limité par une surface fermée S = 6 i=1 S i en pointillé sur la figure 2.7. S 2 S 5 n 2 S 6 S 4 S 3 S 1 M O Fig. 2.7 Volume fluide de contrôle autour du rotor. Calculons le terme [ OM (ρv) ] v.nds de la relation de conservation de quantité de mouvement 2.8. S

25 Introduction 23 Sur S 5 et S 6, n 5 = n 6 donc la contribution est nulle. Sur S 3 et S 4, on a [ ] [ ] [ ] OM (ρv) v.nds = OM (ρv) u.nds + OM (ρv) u.nds S 3 S 4 S 3 S 4 (2.9) car v = u + w et w.n = 0. De plus, si l on fait l hypothèse que l aube est de faible épaiseur, alors, u 3 = u 4, w 3 w 4 v 3 v 4 et n 3 n 4. On en déduit que [ ] OM (ρv) v.nds 0 (2.10) S 3 S 4 Enfin, on trouve : S [ OM (ρv) ] v.nds = Calculons maintenant le terme Γ ext (O) = OM t(m)ds S S 1 S 2 [ OM (ρv) ] v.nds (2.11) de l équation 2.8. t(m) = pn désigne la contrainte au point courant M. Sur S 5 et S 6, S 5 S 6 OM t(m)ds = 0 car n 5 = n 6. Sur S 3 et S 4, S 3 S 4 OM t(m)ds = C rotor fluide. Sur S 2 (ou S 1 ), S 2 OM t(m)ds = S 2 OM ( p 2 n 2 )ds avec OM = R 2 n 2 d où S 1 S 2 OM t(m)ds = 0 Ainsi, on trouve la relation qui existe entre le bilan de quantité de mouvement angulaire et le couple qu exerce le rotor sur le fluide : S 1 S 2 [ OM (ρv) ] v.nds = C (2.12) En multipliant les termes de l équation 2.12 par ω et en utilisant la propriété du produit mixte : ω.(om ρv) = OM.(ρv ω) = ρv.(ω OM) = ρv.u D où l expression de la puissance hydraulique : P ext = C.ω = (ρu.v)v.nds S 1 S 2 (2.13) Comme u et v sont constants sur S 1 et S 2, que S 1 v 1.n 1 ds = S 2 v 2.n 2 ds = q v et que P ext = ρgq v H th, on en déduit que : H th = u 2.v 2 u 1.v 1 g (2.14) On voit donc que H th est directement liée aux triangles des vitesses et donc à la configuration (dessins des aubes). H th ne dépend pas du fluide véhiculé. Remarque 1 : Si u et v ne sont pas constants sur S 1 et S 2, on prend une valeur moyenne. C est le cas des pompes à hélices par exemple. Remarque 2 : On trouve le même résultat pour les turbines avec un signe, c est-à-dire que H th = (u 1.v 1 u 2.v 2 )/g.

26 24 Introduction 2.4 Notions de charge relative On a H th = H s H e, donc H s u 2.v 2 g = H e u 1.v 1 g. Comme u i.v i = u i.(u i + w i ) = u 2 i + u iw i, H i u i.v i g = p i ρg + z i + w2 i u2 i 2g (2.15) en posant H 1 = H e et H 2 = H s. On appelle la charge relative, la quantité : H r = p ρg + z + w2 u 2 2g (2.16) et on a alors, H r (2) = H r (1) (2.17) La charge relative se conserve dans une turbomachine. 2.5 Caractéristique d une pompe centrifuge Caractéristique théorique Compte tenu de la configuration d une pompe centrifuge (2.5), on peut concevoir que l écoulement est radial en R 1. On admet qu il reste radial à l entrée de S 1, d où le triangle des vitesses à l entrée 2.8. w 1 v 1 β 2 v n1 u 1 Fig. 2.8 Triangle théorique à l entrée. On a u 1.v 1 = 0 d où : H th = u 2.v 2 g (2.18) w 2 v 2 β 2 v n2 u 2 Fig. 2.9 Triangle théorique à la sortie. u 2.v 2 = u u 2 w 2 cos(β 2 ) (2.19)

27 Introduction 25 Comme on a w 2 = v n2 / sin(β 2 ), v n2 S 2 = q v et ω = 2πN avec N le nombre de tour par seconde, on peut écrire : H th = (2πR 2) 2 N 2 + 2πR 2 cos(β 2 ) g gs 2 sin(β 2 ) Nq v (2.20) Ainsi, la caractéristique théorique H th (q v, N fixe ) est donnée sur la figure H th β<π/2 β=π/2 β>π/2 q v Fig Caractéristique théorique d une pompe centrifuge Caractéristique réelle Perte par choc À la sortie de S 2, on installe des éléments fixes (redresseurs) qui permettent de mieux canaliser le fluide vers la sortie de la pompe (figure 2.11). w 2 w 2 v 2 v 2 q v β2 β 2 w 2 β v 2 2 a u 2 b u 2 c u 2 Fig Redresseurs N fixé. Pour le cas a, on voit que l écoulement rentre sans chocs dans les redresseurs. Ceci se produit pour un débit q v = q a (débit d adaptation). Pour le cas b, le débit q v > q a et il se produit un choc entre l écoulement et les redresseurs. Il y a donc des pertes de charge par choc. De même, dans le cas c, où q v < q a. À l entrée de S 1, on a le même scénario, sauf que le choc se fait à l entrée de l aube. Comme les pertes de charge s écrivent en Kq 2 v et comme il n y a pas de perte de charge par choc pour le débit d adaptation q a, on admet que les pertes de charge par choc s écrivent : avec K c un coefficient de perte de charge par choc. H choc = K c (q v q a ) 2 (2.21)

28 26 Introduction w 1 v 1 w 1 v 1 q v β w 1 v 1 β1 1 a u 1 b u 1 c β 1 u 1 Fig a : q v = q a, b : q v > q a et c : q v < q a. Perte par frottement et par singularité L écoulement du fluide sur les parois des aubes et les parois des redresseurs induisent une perte de charge par frottement visqueux analogue à celle rencontrée dans les tubes. Pour simplifier, on prend une loi de type rugueux (Moody) : H f = K f q 2 v (2.22) De plus, l écoulement depuis l entrée à la sortie traverse plusieurs singularités : coudes, élargissement, changement de directions complexes, etc... Ces singularités causent aussi des pertes de charge singulières qu on modélise par : d où la perte de charge par frottement et singularité : H s = K s q 2 v (2.23) avec K fs = K f + K s. On appelle alors la perte de charge interne H i : H fs = K fs q 2 v (2.24) H i = H choc + H fs (2.25) et la charge nette H n de la pompe est Le rendement interne est donné par : H n = H th H i (2.26) η i = H n H th (2.27) Ainsi, on en déduit la caractéristique réelle de la pompe figure En général, on trace H n et η i sur la même courbe. La partie ascendante de H n peut conduire à une instabilité de pompage Bilan de rendements Le bilan d énergie peut-être schématisé comme suit figure Sur la cascade d énergie, on distingue :

29 Introduction H th H choc H fs 10 H n H (m) 5 q c q a q v (x10 2 m 3 /s) Fig Caractéristique réelle à N fixé. p m ρgq H v i Cω ρgq H v th ρgq H v n transfert Fig Cascade de l énergie dans une pompe. Cω la puissance disponible sur l arbre fournie par le moteur. p m la puissance perdue par frottement mécanique dans les paliers. ρgq v H th la puissance théorique. ρgq v H i la puissance perdue par choc et frottement visqueux. ρgq v H n la puissance réellement récupérée par le fluide. On introduit donc trois types de rendement : Rendement mécanique : η m = ρgq v H th /Cω. Rendement interne ou hydraulique : η i = H n /H th. Ce rendement peut atteindre 90% pour les pompes de grandes puissances. Rendement total : η = η m η i. Ce dernier prend en compte tous les types de pertes aussi bien mécanique qu hydraulique.

30 28 Introduction 2.6 Pompes à hélices L écoulement est principalement axial (hélicoïdal dans la roue). Le fluide entre par un convergent et ressort par un divergent appelé diffuseur. La figure 2.15 présente le schéma de principe. distributeur pales redresseur M R m ω Fig Schéma de principe d une pompe à hélice. Une coupe de la pale au point M au rayon moyen R m conduit à la construction du triangle des vitesses figure distributeurs fixes u 1 u 2 γ α 1 1 w 1 β 1 v 1 v n1 pales w 2 γ α 2 2 v n2 β 2 v 2 redresseurs fixes Fig Triangle des vitesses dans une pompe à hélice. On a : u 1 = u 2 = R m ω et v n1 = v n2 = q v S (2.28) Dans certaines configurations (notamment en turbine), les distributeurs sont orientables, ainsi que les pales de l hélice. Les angles les plus pertinents sont les angles qui indiquent les directions des distributeurs et des pales par rapport à la direction principale de l écoulement, c est-à-dire α 1 et γ 2, comptés algébriquement. Dans ce cas, on a : ce qui donne : gh th = u 2.v 2 u 1.v 1 (2.29) ( ) sin(γ 2 α 1 ) gh th = u[u + v n (tan(γ 2 ) tan(α 1 ))] = u u + 2v n cos(γ 2 + α 1 ) + cos(γ 2 α 1 ) (2.30)

31 Introduction 29 Comme on sait que u N et v n q v, on retrouve : H th = (2πR m) 2 N 2 + 2πR m Nq v (tan(γ 2 ) tan(α 1 )) (2.31) g gs m Selon les valeurs de γ 2 et de α 1, la caractéristique théorique a l allure suivante : H th tan(γ )-tan(α )>0 2 1 tan(γ )-tan(α )=0 2 1 tan(γ )-tan(α )<0 2 1 q v Fig Caractéristique théorique pour N fixé. En réalité, il y a des pertes par chocs à l entrée de la pale. Ces derniers peuvent être limités si la direction de w 1 est la même que la direction principale de la pale, i. e. si γ 1 = γ 2. Pour α 1 donné et une vitesse de rotation N donnée, il existe un débit q a qui satisfait cette condition. À la sortie, il faut éviter les chocs sur les redresseurs qui ont comme rôle de rendre l écoulement axial. La condition idéale de sortie est donc α 2 = 0. Pour q a donné, il existe un N qui permet d avoir α 2 = 0. En conclusion, pour α 1 donné, il existe q a et N pour qu il n y ait pas de choc. Étant donné les nombreux paramètres que l on peut faire varier (q v, N, α 1 et γ 2 ), il est difficile de donner une forme à l expression de H choc. Les pertes par frottement sont aussi difficiles à quantifier. La figure 2.18 donne des exemples de l allure des caractéristiques réelles d une pompe à hélice. H n η H n η 80% 80% q v zone instable q v Fig Exemples de carcatéristiques. 2.7 Problèmes généraux Point de fonctionnement Le point de fonctionnement F se trouve à l intersection de la caractéristique du circuit C(q v ) et de la charge nette de la pompe H n (q v ) (figure 2.19). Ce point de fonctionnement fournit le débit de fonctionnement q fonct et le rendement de fonctionnement η fonct.

32 30 Introduction H η H n F C(q ) v η fonct q fonct q v Fig Point de fonctionnement Hauteur d aspiration et amorçage S Lorsque la pompe est pleine d air sans débit, sa mise en fonctionnement fait monter le niveau d eau d une hauteur h. E v = 0 p S p E = ρ air gh n (0) et p S = p atm h asp air h z p + ρ eau gz = cste dans l eau : p atm + 0 = p E + ρ eau gh d où h = ρ air ρ eau H n (0) Pour que la pompe s amorce, il faut h asp h. crepine h asp ρ air H n (0) ρ eau Exemple : si H n (0) = 50 m h asp 6.25 cm car ρ air 1.25 kg/m 3. Les conséquences sont les suivantes : Il faudra prévoir des dispositifs d amorçage dans le cas où la pompe est située au dessus du niveau du réservoir amont. Cela peut se faire, soit par remplissage manuel du corps de la pompe, soit par remplissage avec un réservoir d amorçage ou encore avec une pompe auxiliaire (pompe de gavage). On peut aussi ajouter une crépine d aspiration avec un clapet anti retour pour éviter le désamorçage à l arrêt. Dans le cas où la crépine d aspiration n est pas assez immergée, il se produit une admission partielle de l air à partir de la surface libre. Ceci a pour conséquence une chute de la hauteur de refoulement et du rendement. Cela ne doit pas être confondu avec un phénomène de cavitation Groupement de pompes : série et parallèle Série q v P 1 P 2 q v 1 3 P

33 Introduction 31 Le débit traversant chaque pompe q 1 = q 2 = q v est le même et H 1 = H 2 H n1 (q v ), H 2 = H 3 H n2 (q v ) donc d où la caractéristique équivalente (figure 2.20). H 1 = H 3 (H n1 (q v ) + H n2 (q v )) (2.32) Parallèle q v q 1 P q P v 1 2 q 2 P 2 En négligeant les pertes de charge à la bifurcation (1) et à la jonction (2), on a H n1 = H n2, mais q v = q 1 + q 2, d où la caractéristique figure H H H eq H n2 H n1 q critique H n1 H n2 H eq (s) q v (p) q v Fig Caractéristiques de deux pompes en série (s) et en parallèle (p). Remarque : Branchée sur un circuit conduisant à q v < q critique, la pompe 2 fonctionnera en régime turbine Cavitation - rudiments La cavitation apparaît lorsque la pression du fluide devient égale à la pression de vapeur saturante p sat. C est donc un phénomène d ébullition sous faible pression à température ordinaire. Au point où la pression devient égale à p sat une bulle de vapeur se forme. Cavitation locale A v R B ω bulles p A + ρ v2 2 p B + ρ u2 2, or u = Rω et v u, donc p B p A ρ (Rω)2 2. Cela implique que la pression p B diminue quand ω augmente. Ainsi, lorsque p B = p sat, il y a formation de bulle de

34 32 Introduction vapeur. Les bulles de vapeur sont transportées par l écoulement et dès qu elles arrivent dans une zone où la pression est légèrement supérieure à la pression de vapeur saturante, elles implosent en des temps très brefs (microseconde). Pour une bulle de 1 mm de rayon, cela correspond à une vitesse locale du fluide de l ordre de 1 km/s! Les vitesses sont donc très grandes au voisinage du point d implosion et on enregistre des variations de pression de quelques centaines de bars. Les parois sont donc soumises à des efforts énormes et des coups de belier très destructeurs. Il faut donc faire travailler les turbomachines dans des conditions où il n y a pas d apparition de cavitation. Si la cavitaion apparaît, on injecte des bulles d air en petite quantité dans le fluide. Ces bulles compressibles servent d amortisseurs et permettent l élimination de bruits et de vibrations. Cavitation globale Lorsque la pompe n est pas en charge ou en charge, il arrive qu au point A d entrée, p(a) = p sat. Dans ce cas, il y a cavitation globale à l entrée de la pompe. Dans les deux cas, on entend un bruit caractéristique de cailloux roulés 1. Fig Photo : National Research Council of Canada, Institute for Ocean Technology (NRC-IOT). 2.8 Étude dimensionnelle et similitude L étude dimensionnelle permet d avoir une représentation sous forme adimensionnelle et de mettre en évidence les nombres sans dimensions à respecter lors de l examen de la similitude. À titre d exemple, si on fait des essais sur une petite maquette et que l on souhaite extrapoler les résultats pour le prototype, il faut que les nombres sans dimensions pertinents soient les mêmes pour le prototype et la maquette. Dans la configuration de la figure 2.22, on cherche la loi : gh = F (q v, N, D, ρ, µ, L 1, l 2,..., α 1,α 2,...) (2.33) 1. En TD de mécanique des fluides, on montre comment calculer la pression à l entrée A d une pompe.

35 Introduction 33 T, (C) p sat, (kpa) Tab. 2.1 Pression de vapeur saturante de l eau. N H P D q v Fig Configuration pour l étude dimensionnelle. On choisit des grandeurs fondamentales D, N, ρ (determinant non nul) et on construit le tableau suivant : Exemple : Π Li = L i D α N β ρ γ D N ρ gh q v µ L i α i L M T α 3γ = 1 β = 0 γ = 0 et donc Π Li = L i /D. Suivant la même méthode, on construit : Le pouvoir manométrique : m = Π gh = α = 1, β = 0, γ = 0 gh N 2 D 2 (2.34)

36 34 Introduction Le pouvoir débitant : Le nombre de Reynolds : δ = Π qv = q v ND 3 (2.35) 1 Re = Π µ = µ ρnd 2 (2.36) La relation 2.33 s écrit, d après le théorème de Vashy-Buckingham : m = F (δ, L i /D, α i ) (2.37) car en général, les écoulements sont suffisamment rapides pour que 1/Re 0. Ainsi, pour des machines géométriquement semblables, si δ 1 = δ 2, alors m 1 = m 2. On appelle donc m et δ les invariants de Rateau. Par conséquent, une seule caractéristique m = f(δ) suffit à déterminer les caractéristiques réelles de toutes les machines géométriquement semblables. Si on s intéresse à la puissance P de deux machines 1 et 2, on a : P 1 P 2 = ρ 1q 1 (gh 1 ) ρ 2 q 2 (gh 2 ) P 1/(ρ 1 N 3 1 D5 1 ) P 2 /(ρ 2 N 3 2 D5 2 ) = δ 1 δ 2 m 1 m 2 (2.38) Or si δ 1 = δ 2 m 1 = m 2, donc P/(ρN 3 D 5 ) est aussi un invariant. De même pour le couple P = Cω CN, C/(ρN 2 D 5 ) est un invariant. On remarque que le rendement η est aussi un invariant. En pratique, on a un effet d échelles (figure 2.23). m η D 1 D 2 D 1 D 2 δ δ Fig D 1 > D NPSH (Net positive Suction Head) Cette notion permet de mieux dimensionner la hauteur d aspiration qui est d une grande importance quand : Le liquide est volatile où à température élevée. Le liquide est stocké sous vide. Un bon fonctionnement de la pompe est caractérisé par le NPSH qui sert à définir la pression nécessaire à l entrée de la roue pour avoir en tout point du fluide (y compris à l intérieur de la pompe) une pression supérieure à la pression de vapeur saturante p sat de façon à éviter la cavitation.

37 Introduction 35 Cette quantité est donnée par le constructeur sous l appelation NPSH requis. Elle tient compte de la chute de pression que subit le fluide lors de son accélération à l entrée de la roue. u E p >0 f p u E p E Fig u > u E donc p < p E. Le NPSH requis est le supplément minimal de pression qu il faut ajouter à p sat au niveau de l entrée de la pompe pour avoir p(m) > p sat, M à l intérieur de la pompe. En conclusion, la pompe fonctionne correctement si : p te p sat + NP SH requis (2.39) qui peut s écrire aussi : NP SH requis p te p sat (2.40) où NP SH requis est donné par le constructeur et p te p sat est le NP SH disponible, calculé à partir de l installation. Exemple de calcul de NPSH disponible A E h 2 h 1 z A E On a : p A + ρgz A α Aρv 2 A = p E + ρgz E α Eρv 2 E p conduite Le plus souvent v A v E, donc : p te = p E α Eρv 2 E = p A + ρg(z A z E ) p conduite (2.41) Comme NP SH disp = p te p sat et si on divise l équation 2.41 par ρg pour obtenir une expression qui fait intervenir les charges, on obtient : NP SH disp (m) = H A h sat + z A z E H conduite (2.42)

38 36 Introduction où H A = p A /ρg et h sat = p sat /ρg. H conduite représente les pertes de charge dans la conduite. Si p A = p atm, alors au niveau de la mer, H A = m et à 1500 m, H A = 8.6 m. h sat est fonction de la température. Si le NPSH disponible est insuffisant, on peut : Diminuer la température pour abaisser hsat. Diminuer les pertes de charge H conduite en augmentant la section des tuyaux et en ouvrant les vannes. Augmenter h 1 = z A z E. Diminuer h 2 = z A z E. Diminuer la vitesse de rotation de la pompe TD : Pompes Répartion de pompes sur un oléoduc Une conduite cylindrique horizontale de diamètre d = 0.5 m et de rugosité moyenne e = 0.2 mm, transporte une huile lourde de viscosité dynamique µ = 0.35 Pa.s et de masse volumique ρ = 920 kg/m 3. La circulation de l huile dans loléoduc est assurée par des pompes placées tous les 14 km sur la conduite : 1. En supposant l écoulement d huile laminaire dans la conduite, donner l expression de la perte de charge par unité de longueur H/L en fonction du débit volumique q v (dans cette expression, les autres paramètres auront été remplacés par leur valeur numérique). 2. On utilise des pompes du type n 1 (caractéristiques jointes). Déterminer le débit d huile dans l oléoduc et vérifier l hypothèse faite en On remplace les pompes précédentes par des pompes de type n 2 (caractéristiques jointes) en conservant le même débit. Quelle devra être la nouvelle distance entre deux pompes successives? 4. Sans tenir compte de l investissement, quelle est la solution la plus économique en fonctionnement?

39 Introduction Choix d une pompe par similitude Une pompe de diamètre D = 0.25 m tournant à 1450 tr/min a les caractéristiques suivantes : On dispose de pompes géométriquement semblables de diamètres 0.3 m, 0.25 m, 0.22 m et 0.19 m pouvant tourner à 1750, 1450 et 1150 tr/min. 1. Quel diamètre et quelle vitesse de rotation doit-on choisir pour obtenir un débit de m 3 /s et une hauteur nette de 15.4 m?

40 38 Introduction 2. Calculer la puissance absorbée (ou puissance utile P i ) par la pompe choisie au point de fonctionnement de la question 1. ( ) H n et ( ) η. Pompe D = 0.25 m, N = 1450 tr/min Étude d une pompe centrifuge Une pompe centrifuge débite 24 litres d eau par seconde sous une hauteur nette H n = 27 m avec un rendement manométrique η = 75%. On admet que la perte de charge interne totale H i vaut 5 fois l énergie cinétique de l eau dans son mouvement relatif à la sortie de la roue (vitesse relative W 2 ). L eau entre radialement dans la roue. Le diamètre extérieur de la roue est D 2 = 0.20 m et la section utile à la sortie S 2 = 0.2D Calculer les valeurs numériques de la vitesse relative W 2 et de la vitesse débitante V 2d à la sortie de la roue. 2. Tracer le triangle des vitesses à la sortie et calculer l angle de sortie β 2 = ( U 2, W 2 ). 3. À partir de la relation d Euler, calculer la valeur numérique de la vitesse d entrainement U 2 et en déduire la vitesse de rotation N de la roue Étude d une pompe multicellulaire Une pompe multicellulaire est constituée par 8 roues de diamètres extérieur et intérieur D 2 = 40 cm et D 1 = 20 cm. Ces roues sont disposées en série et tournent à 3000 tr/min.

41 Introduction Vide d eau, à quelle hauteur cette pompe peut-elle aspirer l eau dans la conduite d aspiration (on admettra qu à débit nul, le rendement manométrique est de 50%). 2. Le diffuseur est tracé pour annuler les pertes par choc (point d adaptation) lorsque les vitesses relatives et absolues sont égales en module à la sortie de la roue (V 2 = W 2 ). Dans ce cas, le rendement manométrique vaut 90% et l entrée dans la roue s effectue radialement. Calculer la hauteur nette au point d adaptation. 3. L angle réel de sortie de l eau des aubes est β 2 = 150 et la largeur des roues à la sortie vaut 2 cm, la section des aubes occupe 10% de la section de sortie. Calculer le débit et la puissance de la pompe au point de fonctionnement précédent ainsi qu au point de fonctionnement correspondant à une hauteur manométrique nulle. 4. Tracer la courbe de rendement manométrique de la pompe. En déduire le rendement maximal. Calculer la vitesse spécifique de chaque roue au point où le rendement est maximal Exemple d utilisation du NPSH (R. Joulié, Mécanique des fluides appliquée) Pour irriguer des jardins on utilise l eau d un canal dont le niveau se trouve à 2 m en dessous de l axe horizontal de la pompe, qui doit débiter 170 m 3 /h d eau. Dans ces conditions, le NPSH requis est de 6.5 mce. Entre le canal et la pompe on doit installer une canalisation de 80 m de long en tube bitumé de rugosité 0.5 mm, comprenant un coude à 90 de coefficient de perte de charge k 1 = 0.26, une crépine - filtre placé à l extrémité de la conduite, donc immergé dans le canal -, et un clapet de pied - pour maintenir la conduite et la pompe pleines d eau (question d amorçage) - dont le coefficient global de perte de charge est k 2 = 0.9. Le NPSH disponible impose le choix du diamètre de conduite, sachant bien que le prix dépend de cette dimension. Déterminer le diamètre minimal - donc le moins coûteux - à donner à cette conduite, parmi les valeurs commerciales : 100, 125, 150, 200, 300 (mm). La température de l eau ne dépassant pas 20 C dans le canal, on prendra pour pression de vapeur saturante 2338 Pa, pour masse volumique 998 kg/m 3 et pour viscosité cinématique 10 6 m 2 /s. Pour le coefficient de perte de charge linéaire le long de la conduite, utiliser l abaque (2.25).

42 40 Introduction Fig Coefficient de perte de charge λ(re,ɛ).

43 Chapitre 3 Turbines hydrauliques 3.1 Généralités Les turbines sont à l inverse des pompes des machines à fluides capables d en extraire de l énergie. Le fluide cède donc de l énergie dont une partie sera récupérée sur l arbre de la turbine sous forme d énergie mécanique : P = Cω. Du point de vue du fluide, la puissance mécanique P m est négative. En changeant le signe de P m, on obtient une quantité positive P i appelée puissance interne ou puissance indiquée : en utilisant les mêmes notations que dans le chapitre pompes. En général, on classe les turbines en deux catégories. P i = ρq v (u 1.v 1 u 2.v 2 ) (3.1) Les turbines à action La diminution de la charge est due exclusivement à la perte d énergie cinétique : ( ) v 2 H =, or H v2 2g 2g + p ρg p = 0 (3.2) On définit alors le degré de réaction par : r = p 2 p 1 ρgh ou p 2 p 1 ρn 2 D 2 (3.3) et ici r = 0. Toute l énergie cinétique du fluide est disponible dans un ou plusieurs jets et le passage est tangentiel Les turbines à réaction Dans ce cas, r 0, l énergie hydraulique transmise se présente sous forme d énergie cinétique et d énergie de pression. Le transfert d énergie de pression nécessite une grande surface de contact entre le fluide et la roue. C est pourquoi le rotor et les aubes sont noyés dans le fluide.

44 42 Introduction 3.2 Bilan d énergie H p H r H G H G : hauteur de génératrice. H p : hauteur de perte (perte de charge régulière et singulière). H r : hauteur résiduelle à la sortie de la turbine, le fluide dispose d une énergie ρgq v H r qui n est pas récupérée sur l arbre de la turbine. On appelle la hauteur nette : H n = H G H p H r (3.4) Toute cette énergie (H n ) ne sera pas intégralement transférée au rotor. En effet, en traversant les organes fixes et mobiles, le fluide perd de l énergie par frottement et par choc. On désigne ces pertes par perte de charge interne H i. Seule l énergie restante (hauteur interne) est transférée au rotor : H i = H n H i (3.5) L énergie disponible au rotor est : C i ω = ρgq v H i (3.6) où C i désigne le couple interne. Sa puissance mécanique disponible en bout d arbre est : Cω = C i ω P f (3.7) où P f est la puissance dissipée par frottement au niveau des paliers. H p H r H i H G P /(ρgq ) f v H n H i C ω/(ρgq ) i v Cω/(ρgq ) v hydraulique mecanique Fig. 3.1 Diagramme de transfert d énergie pour une turbine. Le bilan d énergie est illustré par le diagramme 3.1. Ce diagramme définit plusieurs rendements :

45 Introduction 43 Le rendement interne (ou manométrique) : η i = H i /H n. Ce dernier rend compte des pertes hydrauliques. Le rendement mécanique : η m = Cω/P i = C/C i. Ce rendement rend compte des frottements mécaniques. Le rendement total : η = Cω/ρgq v H G. Ce rendement rend compte de la dissipation et de l utilisation faite de l énergie hydraulique disponible. Le fonctionnement nominal est en général choisi lorsque le rendement total est maximum, c est-à-dire quand H p + H r + H i est minimum. 3.3 Turbine à action Dans cette catégorie, un jet libre impacte sur des augets ou des aubes profilées, fixées sur la périphérie de la roue mobile. Ces jets exercent une force sur les augets en mouvement de rotation qui est transformée en couple et puissance mécanique sur l axe de la turbine. Les turbines à action sont caractérisées par le fait que l énergie transformée au niveau des aubages est entièrement sous forme d énergie cinétique. Le transfert d énergie entre l eau et l aubage a lieu à pression constante, généralement à la pression atmosphérique. La roue de la turbine est dénoyée ou partiellement dénoyée (cross-flow) et tourne dans l air. Dans cette catégorie, on trouve la turbine Pelton, la turbine Crossflow (Banki-Mitchell), la roulette de dentiste (dental drill), etc La turbine Pelton Elle travaille à débit relativement faible sous une hauteur de chute élevée (300 m à 1200 m, voire davantage) avec une grande vitesse de rotation. Schéma de principe H G alimentation deflecteur roue ω aiguille v jet auget Fig. 3.2 Turbine Pelton Le jet exerce une force F sur l auget qui conduit à un couple moteur qui fait tourner la roue de la turbine. L injecteur est relié au réservoir (H G ) amont par une conduite forcée. L aiguille coulisse dans la partie convergente de l injecteur soit par une commande manuelle soit par un servo-moteur. Le déplacement de l aiguille fait varier la section de sortie et par conséquent le débit q v = vs (v vitesse du jet et S section du jet). En effet, on a :

46 44 Introduction v 2 2g = H G H tuyaux H injecteur Comme H G est très grand et que le tuyau est long, v 2g(H G H tuyaux ). Quand on veut arrêter rapidement la turbine Pelton, on ne ferme jamais brusquement la vanne amont ou l injecteur en raison des coups de belier qui pourraient endommager la conduite d amenée, mais, on dévie le jet grâce à un déflecteur. Ensuite, on ferme lentement l injecteur. Le déflecteur doit être fixé solidement pour résister aux efforts souvent énormes exercés par le jet. Exercice : Calculer F en fonction de v et S. v S F La roue est à passage tangentiel et le transfert se fait à la périphérie de la roue dans des augets en nombre et forme calculés. Le jet frappe des augets de forme coquille symétrique. L angle d entrée β 1 doit être faible ce qui conduit à construire une arête d entrée très affutée, dont l usure constitue le problème principal. L angle de sortie β 2 = π β 2 doit être également faible. Cependant, un retour complet (β 2 = 0) de jet provoque un phénomène de talonnage qui diminue le rendement. Le talonnage est du à l impact du jet sortant sur l extrados de l auget suivant. w 2 β 2 u β 1 v 1 u Fig. 3.3 Coupe de l auget d une turbine Pelton. Le nombre de tours spécifique N s est défini par :

47 Introduction 45 N s = NP 1/2 ρ 1/2 (gh G ) 5/4 (3.8) Pour les turbines Pelton, N s = Le meilleur rendement est obtenu pour environ N s Attention : ces valeurs sont données avec N en tr/min et P en chevaux. Si la vitesse spécifique est calculée avec d autres unités, les valeurs numériques données ici doivent être converties. Il est aussi important de définir le rapport 2R/d entre le rayon de la roue R et le diamètre du jet d. Pour que le rendement soit convenable, il faut que 9 < 2R/d < 30 avec une valeur optimale de 12. On peut montrer que N s 0.2d/2R. Si la roue est munie de plusieurs jets n, sa puissance totale est n fois plus grande et son nombre de tours spécifique N s, n fois plus grand. n peut atteindre 6, mais en pratique, les turbines Pelton possèdent 2 à 4 jets.

48 46 Introduction

49 Introduction 47

50 48 Introduction Caractéristique de la turbine Pelton L écoulement dans l auget peut se schématiser comme sur la figure 3.3. On en déduit le triangle des vitesses. v 1 u 1 w 1 w 2 β v 2 2 u 2 À l entrée, β 1 = 0 et à la sortie β 2 π si β 2 0. On a alors, u 1 u 2 et u 1 u 2 = Rω = u. La puissance interne est donnée par : P i = ρq v (u 1.v 1 u 2.v 2 ) (3.9) et donc P i = ρq v [uv u 2.(u 2 + w 2 )] = ρq v [ uv u 2 u 2 w 2 cos(β 2 ) ] (3.10) La charge relative entre 1 et 2 se conserve : p 1 ρg + w2 1 u2 1 2g = p 2 ρg + w2 2 u2 2 2g Si le degré de réaction r = 0, alors p 1 = p 2 p atm et u 1 = u 2 donc w 1 = w 2 = v u et (3.11) P i = ρq v u(v u)(1 cos(β 2 )) (3.12) Cela montre que le meilleur transfert a lieu pour β 2 = 0. Mais dans ce cas, on a le phénomène de talonnage. En général, on construit les augets avec β 2 4 à 7. Si on suppose que v est fixée ( ρgh n ), q v est fixé (ouverture de l injecteur fixé), u étant proportionnel à N, alors : P i = Aρq v N(N max N) (3.13) où A = (2πR) 2 (1 cos(β 2 )) et N max = v/(2πr). N max correspond à la vitesse de rotation théorique d emballement. Dans ce cas, v = u, ce qui signifie que l auget va à la même vitesse que le jet. Il n y a donc pas de transfert d énergie. On en déduit les caractéristiques des turbines Pelton. P i C i q v q v N max N N max N Fig. 3.4 Caractérisques de turbines Pelton.

51 Introduction 49 On note que P i = C i ω et donc C i = A ρq v (N max N). De plus, si v est fixé, alors N max l est aussi. Le rendement interne η i = H i /H n est proportionnel à P i. Le rendement maximal a donc lieu pour u v/2 et η i 1. q v est fixé par l ouverture de l injecteur et par la hauteur génératrice. Le débit est donc indépendant de N. η i q v q v3 q v2 q v1 N /2 max N max N N Remarque 1 : On remarque que le couple est maximum au démarrage et que la vitesse d emballement reste finie (v). Elle est fixée par la hauteur génératrice H G aux pertes de charge près. Remarque 2 : En raison du frottement du fluide sur les parois de l auget qui conduit à une perte de charge interne et à w 2 < w 1, on trouve que η max est obtenu pour u/v légèrement inférieur à 1/2. Remarque 3 : Dans les grosses turbines Pelton dont la roue peut atteindre plusieurs mètres de diamètre, la puissance maximale réellement obtenue dépasse les 90% de la valeur théorique (1/2)ρq v v 2 et on réalise des machines qui fournissent chevaux par roue soit MW. Remarque 4 : La hauteur de chute varie entre 40 m et plus de 1000 m. Cela entraine des vitesses de rotation élevées Turbine Crossflow Cette turbine est aussi appelée turbine à flux traversant et turbine de Banki-Mitchell. C est une machine à action où l eau traverse deux fois la roue. C est une machine de construction simple et son utilisation est très répandue dans les pays en voie de développement. Le schéma de principe est donné sur la figure 3.5. Elle est constituée de : Un injecteur de section rectangulaire (largeur l) équipé d une vanne papillon pour régler le débit q v. Une roue (diamètre D) en forme de tambour munie d aubes cylindriques profilées qui sont relativement élastiques et qui sont source de bruit à cause des chocs périodiques de l eau sur les aubes. La roue est autonettoyante parce que l eau la traverse deux fois. N est généralement faible ce qui nécessite un multiplicateur à engrenage ou à courroie pour le couplage au générateur.

52 50 Introduction Fig. 3.5 Turbine cross-flow L injecteur et la roue sont souvent divisés en 2 secteurs de largeur 1/3 et 2/3 qui peuvent être mis en fonctionnement séparément ou ensemble. Avec ce système, il est possible d obtenir un rendement satisfaisant (η max = 80% à 83%) sur toute la plage de débits (figure 3.3.2). On donne quelques formules empiriques. Pour le débit : q v = 0.25α ld 2 2gHn (3.14)

53 Introduction 51 α est en radian, π/2 α 2π/3 donc ld = 1.13 à 0.75q v / H n. La vitesse de rotation : ω = gH n 2 D (3.15) d où D = 38 H n /N, l = q v N/H n. N est en tr/min. l/d = La vitesse d emballement est égale à 1.8 fois la vitesse nominale ( Pelton). La fréquence principale de vibration est f = nombred aubes (N/60). Il y a entre 24 et 32 aubes Non-Pelton wheel impulse turbine (Dental drill) Ce type de turbine à action est couramment utilisé avec des gaz. Son principe de fontionnement est donné sur la figure 3.6. Fig. 3.6 Images tirées de Fundamentals of Fluid Mechanics (5eme édition), Munson Young Okicshi, Ed. John Whiley & Son (2006).

54 52 Introduction 3.4 Turbines à réaction Organes communs Pour ce type de turbines, on utilise à la fois l énergie cinétique et l énergie de pression. Cette dernière nécessite pour le transfert une grande surface de contact entre le fluide et la roue. C est pourquoi les aubes sont noyées. Deux principes sont à la base de leur fonctionnement. La création d un tourbillon à l aide d une bache spirale d aubages directeurs (directrices) ou des deux à la fois. La récupération du mouvement tourbillonnaire par les aubes d une roue mobile en rotation qui épousent les filets d eau afin de leur donner une direction parallèle à l axe de rotation. Les aubages se comportent comme une aile d avion. La portance qui en résulte induit un couple sur l arbre de la turbine et fait avancer l aube à une vitesse d entrainement u. i portance u w Dans cette catégorie de turbines, on distingue : La turbine Francis. La turbine Hélice. La turbine Kaplan (hélice à pales orientables même pendant le fonctionnement). Le système d alimentation est presque le même pour les trois types de turbines. Il est constitué d une bache spirale et d un distributeur actionné par un cercle de vannage. La bache spirale est raccordée à la conduite amont et elle est en général sous la forme de colimaçon.

55 Introduction 53 Fig. 3.7 Bache spirale du lac Hodges (Canada) et schéma de la turbine Francis de la centrale de Martigny-Bourg (Suisse).

56 54 Introduction Le distributeur sert à régler le débit. Il est constitué par une série de directrices profilées toutes solidaires les unes des autres et actionnées par le cercle de vannage. Ces distributeurs servent également à fixer l angle d entrée. Le principe de fonctionnement est illustré par la figure 3.8.

57 Introduction 55 Fig. 3.8 Roue de turbine Francis. Cercle de vannage, distributeurs fermés et ouverts et vue schématique d une turbine à réaction de type Francis. Les turbines Kaplan ont un nombre de pales compris entre 3 et 8. Les pales sont orientables. La mécanique de commande des pales oblige, lorsque le nombre de pales devient important (6 8)

58 56 Introduction à augmenter le rapport du diamètre moyen au diamètre D de la roue. Nombre de pales chute (m) D m /D à Fig. 3.9 Roue de turbine Kaplan. À la sortie de la turbine à réaction, l eau possède toujours une certaine énergie cinétique qu on peut récupérer en partie grâce à un diffuseur qui est constitué d une canalisation évasée conduisant l eau vers le canal (ou lac) de fuite. Fig Diffuseur.

59 Introduction 57

60 58 Introduction Triangle des vitesses Turbine Francis Turbine à hélice Caractéristiques générales Ce sont les mêmes calculs que pour les pompes. H n = H th + H choc + H f et η = H th H n (3.16)

61 Introduction 59 H th H choc H f H n H η 0 q v 0 q v Fig N et ouverture fixés. Exemple de courbes caractéristiques à N fixé et ouverture de vannage variable.

62 60 Introduction Caractéristique à charge constante et N variable.

63 Introduction 61 Caractéristique à charge constante, N et ouverture variables.

64 62 Introduction Exemples de caractéristiques. n s = np 1/2 /H 5/4 n avec n en tr/min, P en chevaux et H n en mètre.

65 Introduction 63 Diagramme de sélection d une turbine Diffuseur Le diffuseur (figure 3.10) sert à récupérer de l énergie cinétique à la sortie de la turbine.

66 64 Introduction 1 2 turbine z T 4 3 diffuseur L axe de la turbine est situé à z T positif ou négatif. Si on sort directement à l atmosphère p 2 = p atm et z T = 0. Il reste une charge résiduelle H res = v2 2/2g. On a P H 1 H 2 avec H 1 donné. On obtient donc une puissance maximum pour H 2 minimum. S il n y a pas de diffuseur, H 2 = p atm ρg + z T + v2 2 2g (3.17) et avec diffusueur : H 2 = p 2 ρg + z T + v 2 2 2g (3.18) avec v 2 v 2. On a donc intérêt à avoir p 2 le plus faible possible, mais tel que p 2 p sat pour éviter la cavitation. Pour z T donné, la hauteur résiduelle est mesurée par H r = (p atm p 2 )/ρg. On peut également diminuer la cote z T (négatif) en plaçant la turbine sous le niveau du lac de fuite. Dans ce cas : H 2 = H 3 + H reg + H sing (3.19) H 3 = H 4 + v2 3 2g H 4 = p atm ρg (3.20) (3.21) avec H reg les pertes de charge régulières dans le diffuseur et H sing les pertes de charge singulières éventuelles. Ainsi, et finalement : H 2 = p atm ρg + H reg + H sing + v2 3 2g (3.22) p 2 ρg = p atm ρg z T + H reg + H sing + v2 3 v2 2 2g (3.23) z T étant fixé, v 2 l étant aussi par le débit, pour avoir p 2 le plus faible possible il faut minimiser H reg + H sing + v3 2 /2g. Ainsi, un bon diffuseur doit avoir : Un élargissement important pour que v 3 0. Une perte de charge H reg faible. Évidemment, ces critères sont contraints par le génie civil. L importance du diffuseur se chiffre par le coefficient K = H r H n = (p atm p 2 )/ρg H n (3.24)

67 Introduction 65 En utilisant l équation 3.23, on obtient : K = z T H n ( Hreg + H sing + 1 v3 2 v2 2 H n H n 2g ) (3.25) Pour une sortie à l air libre, z T = 0, H = 0 et v 3 = 0, K v2 2/(2gH n). On donne enfin quelques ordres de grandeur : Pour les turbines Francis lentes, K 10%. Pour les turbines Kaplan très rapides, K 60% Cavitation La cavitation peut se produire sur les aubes de la turbine, ou à la sortie de la turbine. Cavitation sur les aubes L écoulement sur une aube dans le repère relatif est analogue à un écoulement sur une aile d avion : dépression sur l extrados, surpression sur l intrados. La résultante de ces forces conduit à une force de portance qui fait tourner la roue. Ceci peut être schématisé par la figure portance p sat i w A - B C u + + Fig Sur la zone AB, p < p sat, formation des bulles de vapeur et zone BC, p > p sat, implosion des bulles de vapeur. Fig Dégats par cavitation sur les aubes d une turbine Francis. Cavitation à la sortie de la turbine (torche à vapeur) À la sortie de la turbine, un tourbillon se forme. Ce dernier ne disparait complètement qu au point de fonctionnement nominal (v 1 axial). Pour des débits inférieurs, entre 40% et 60% du débit

68 66 Introduction nominal, le tourbillon de sortie devient très intense et conduit à des instabilités. L écoulement dans le tourbillon est presque du type vortex libre : u A/r p quand r 0. La pression atteint p = p sat et les bulles de vapeur apparaissent sous forme de torche (figure 3.14). Fig Torche de cavitation. Plus loin, les bulles implosent violemment. Il s en suit des chocs (coup de belier) qui peuvent mettre en danger l installation. Pour y remédier, on injecte des bulles d air (par A sur la figure 3.14) qui permettent d amortir les chocs. Mais cela entraîne une baisse de rendement de 1% à 2% Limite de la hauteur d aspiration La hauteur d aspiration H s d une turbine à réaction est définie par : H s H s H >0 s H <0 s Si on raisonne en hydrostatique (en négligeant les pertes de charge et les termes v 2 /2g), la hauteur d aspiration théoriquement possible est H sth = H a H v avec H a = p atm /ρg et H v = p sat /ρg. Les dépressions sur l aubage font que la pression de vapeur saturante est atteinte pour

69 Introduction 67 H s < H sth. Pour tenir compte de ceci, on utilise en pratique un coefficient σ, le coefficient de Thoma. On a alors : H s = H sth σh n (3.26) au-delà duquel apparaît une cavitation capable d endommager la roue. Le coefficient σ est déterminé expérimentalement (voir figure 3.15). Fig Coefficient de cavitation. n q = nq 1/2 v /H 3/4 n avec n en tr/min, q v en m 3 /s et H n en m. Remarque : H a dépend de l altitude. Au niveau de la mer H a = m et à 1500 m, H a = 8 m. H v dépend de la température. 3.5 TD : Turbines Turbine Pelton On dispose d un jet de diamètre d = 3 cm et de vitesse v = 45 m/s. 1. Calculer la hauteur génératrice H G.

70 68 Introduction 2. Calculer le diamètre de la roue D. 3. Calculer la vitesse de rotation d emballement N max et la vitesse de rotation optimale N opt. 4. Donner la taille de l auget. 5. Calculer la puissance maximale P max. 6. La roue tourne à N = 600 tr/min, calculer la hauteur résiduelle H r. 7. La roue tourne à N = 1193 tr/min, calculer la hauteur résiduelle H r. 8. Calculer l effort sur le déflecteur. o 45 F d v Dental drill La turbine Pelton à air comprimé entrainant la roulette de dentiste est schématisée sur la figure 3.16 ci-dessous. Fig Dental drill. La vitesse de rotation est N = tr/min. On estime le diamètre du jet à d = 1 mm (justifier cette valeur). 1. Calculer la vitesse moyenne u.

71 Introduction On souhaite qu il n ait pas de choc à l entrée et que la vitesse de sortie v 2 soit axiale. Tracer les triangles des vitesses. On désigne par β 2 l angle de sortie. On note α = (û, v) l angle de sortie du jet. Calculer v = f(u,α). et en déduire la puissance P i par jet (pour α petit). Calculer le nombre de Mach Ma. 3. On a 8 jets (justifier cette valeur). Quelle est la puissance totale P it? 4. Les buses de jet sont alimentées par un réservoir à la pression p et à la température T = 18C. Calculer la pression p en négligeant les pertes de charge et en faisant l approximation fluide incompressible. 5. Estimer la température de sortie. Qu en pensez-vous? Tourniquet hydraulique Un tourniquet hydraulique est constitué par un réservoir cylindrique muni à sa base de deux tuyaux horizontaux diamétralement opposés de même longueur R. Ces bras sont terminés par des orifices qui permettent aux jets de s échapper sous un angle θ par rapport à la tangente de la trajectoire de l extrémité. Par réaction, le système est mis en rotation. La hauteur du fluide dans le réservoir est maintenue constante à une hauteur H. 1. Calculer la vitesse relative de sortie w de l eau en fonction de H, de R et de la vitesse angulaire ω supposée constante. Quel est le couple C appliqué au tourniquet? 2. En admettant qu il n ait pas de frottement, quelle vitesse maximale ω m peut atteindre la machine? Cette vitesse peut-elle augmenter indéfiniment? 3. Dans le cas général, calculer le rendement énergétique de la machine. Discuter suivant les valeurs de θ. 4. Application numérique : R = 1 m, θ = 0 pour ω = 0 le tourniquet consomme 3 l/s d eau et le couple appliqué est de 2 m.kgf. Quels seront le débit q v, le couple C, la puissance P et le rendement η, si la vitesse du tourniquet est de 120 tr/min. On prendra g = 10 m/s Étude d une turbine Francis Une turbine Francis tournant à N = 600 tr/min absorbe un débit q v = 1 m 3 /s. Les diamètres d entrée et de sortie sont de 1 m et 0.45 m. Les sections de passage corespondantes sont de 0.14 m 2 et 0.09 m 2. L angle α 1 de sortie des directrices vaut 15 et l angle de sortie de la roue est de 135. Sachant que le rendement manométrique de cette turbine est égal à 78%, calculer la hauteur de chute nette, ainsi que le couple et la puissance mécanique sur l arbre (g = 9.81 m/s 2 ) Turbine aux enchères Une turbine hydraulique neuve est mise en vente aux enchères. Le rendement est garanti égal ou supérieur à 70% pour des puissances comprises entre 180 kw et 300 kw, ceci pour N = 300 tr/min et une chute d eau de 5 m. 1. Quel est le type de cette turbine? 2. Cette machine intéresse un utilisateur qui ne dispose que d une chute d eau de 3 m. Quelles puissances pourra-t-il obtenir dans les mêmes conditions de rendement et quelle sera la vitesse de rotation de la machine?

72 70 Introduction 3. Désirant obtenir au moins 150 kw, il envisage d approfondir le bief aval de manière à porter la chute à 3.20 m. (a) En conservant le rendement de 70 %, quels seraient la vitesse de rotation, les puissances et les débits correspondants q v1 et q v2? Le résultat désiré peut-il être atteint? (b) L installation comporte un diffuseur dont la perte de charge est 0.3v 2 0 /2g, v 0 étant la vitesse moyenne dans la section d entrée du diffuseur. La surface S 0 d entrée du diffuseur se trouve dans le même plan que la surface libre aval. Peut-on craindre la cavitation dans les conditions données par le tableau 2.1 (S 0 = 1.05 m 2, altitude 0 m et température 20C)? 4. La roue mobile est à passage axial et offre une section constante S 0. Un distributeur fixe la précède et lui envoie l eau dans une direction indépendante du débit et faisant un angle de 70 avec le plan de la roue à son diamètre moyen D m = 1.10 m. (a) Construire sur ce diamètre les triangles des vitesses de part et d autre du rotor dans les conditions définies précédemment. (b) En admettant que le rendement maximal soit atteint pour q v = (q v1 + q v2 )/2 et qu il s obtient lorsque la vitesse absolue de sortie est axiale, calculer ce rendement maximal. On admettra dans les calculs que le rendement mécanique de la machine est égal à 1.

73 Chapitre 4 Notions théoriques sur les éoliennes Nomenclature et relations usuelles R : rayon de la pale λ 0 = Rω V 1 : vitesse spécifique r : distance à l axe d une section de pale λ = rω considérée V 1 : vitesse spécifique locale l(r) : longueur de la corde de la section de F : force axiale exercée par l air sur les pales pale située à la distance r de l axe (poussée) M : moment du couple moteur B : nombre de pales du rotor θ : angle de vrillage α : angle d incidence ou d attaque φ : angle d inclinaison avec φ = θ + α V 1 : vitesse du vent en amont de l éolienne V 2 : vitesse du vent en aval de l éolienne V : vitesse du vent traversant les pales 4.1 Le vent ω : vitesse de rotation du rotor P elec : puissance électrique P = F.V : puissance captée par les pales P u = M.ω : puissance mécanique P C p = : coefficient de puissance avec 0.5ρAV1 3 A la surface balayée par le rotor : coefficient de mo- M C M = 0.5ρARV1 2 ment = Cp λ 0 Le vent est défini par sa direction et sa vitesse. Ces deux grandeurs sont variables dans le temps (turbulence, variations saisonnières,...) et dans l'espace (topologie du terrain,...) Variation de la vitesse du vent dans le temps Les phénomènes instantanés : turbulence du vent La vitesse du vent et sa direction peuvent varier très rapidement. En moins d'une seconde, l'intensité du vent peut doubler et sa direction changer de 20. Lorsque les fluctuations en direction sont trop rapides, il est impossible pour une éolienne d'avoir son axe aligné en permanence dans la direction du vent, en raison de l'inertie de la machine. Il est donc important de tenir compte de ces variations qui sont les fluctuations les plus gênantes. De plus, un vent à rafales imposera des contraintes qu'il faudra prendre en compte dans le calcul du support de l éolienne, la plupart des systèmes de régulation ayant une inertie largement supérieure à la durée d'une rafale.

74 72 Introduction Plusieurs facteurs contribuent à déterminer les variations du vent : le temps qu'il fait la topographie du terrain les obstacles. Ces variations de la vitesse du vent font varier la production énergétique de l'éolienne bien que l'inertie du rotor compense, dans une certaine mesure, les variations les plus courtes. On a intérêt à placer le rotor en dehors de toute zone turbulente et à une hauteur suffisamment élevée pour que le gradient de vitesse dans le sens vertical ne soit pas trop important. Les phénomènes journaliers Les vents subissent les fluctuations journalières dues à des effets convectifs. La chaleur spécifique du sol étant inférieure à celle de l'eau, la terre s'échauffe plus rapidement que la mer sous l'effet du rayonnement solaire. Ainsi, on peut parler de : Brise de mer et brise de terre Fig. 4.1 Illustration de la brise de mer (A) et de la brise de terre (B). En journée, la terre se réchauffe plus rapidement que la mer, ce qui provoque un soulèvement de l'air chaud qui s'étend ensuite vers la mer. Ainsi, une dépression se crée près de la surface de la terre, attirant l'air froid provenant de la mer, c'est la brise de mer (Figure 4.1.A). Le soir, le phénomène s'inverse, la terre se refroidissant plus vite que la mer c'est la brise de terre (Figure 4.1.B). Les vents de montagne Les régions montagneuses donnent naissance à beaucoup de phénomènes climatologiques parmi eux la brise de vallée. Le matin, les sommets sont réchauffés avant les vallées. L'air commence alors à s'élever vers le sommet de la montagne, produisant ce que l'on appelle une brise montante. La nuit, le phénomène s'inverse et une brise descendante se produit. Les vents s'écoulant le long des versants des montagnes peuvent être très violents.

75 Introduction 73 Les phénomènes saisonniers La vitesse et la direction du vent varient en fonction des zones de haute et de basse pression. Ces aires anticycloniques et cycloniques sont liées à la position du soleil par rapport à l'équateur, ainsi le vent subit une variation annuelle plus ou moins cyclique. En France, la vitesse du vent est plus importante en hiver que pendant les mois d'été Les variations de vitesse de vent dans l'espace La répartition géographique du vent au sol Le vent est plus fort sur les océans que sur les continents. Cette disparité s'explique notamment par le relief et la végétation qui freinent le mouvement de l'air. Aussi, les zones généralement les plus favorables pour les sites éoliens sont situées en bordure de côtes sur les continents. De plus, certaines régions sont connues pour la régularité de leur vent : les alizés de part et d'autre de l'équateur, les moussons en Asie du Sud-est,... La vitesse du vent en fonction de l'altitude (Cisaillement) La vitesse du vent dépend essentiellement de la nature du terrain au-dessus duquel se déplacent les masses d'air. En effet, la réduction du vent auprès du sol est due à la friction exercée par la végétation, les obstacles et les bâtiments. Les gradients de vitesse sont donc plus ou moins marqués en fonction de la topologie du terrain. Habituellement, la variation de la vitesse avec l'altitude est représentée par la loi : V 1 V 2 = ( h1 h 2 ) α (4.1) V 1 et V 2 représentent les vitesses de vent horizontal aux hauteurs respectives h 1 et h 2. Cette loi est une loi statistique qui repose sur de nombreuses observations. Généralement, h 2 est voisin de 10 m (hauteur moyenne des anémomètres dans les stations météorologiques), α est un coefficient qui varie de 0,10 à 0,40. Cette variation avec l'altitude peut également être représentée par une loi logarithmique en introduisant la rugosité du terrain par le paramètre h 0 : V 1 V 2 = ln ( h1 h 0 ) /ln La loi logarithmique donne les meilleurs résultats jusqu'à 30 à 50 m de hauteur au-dessus du sol mais au delà de la couche limite, la première relation est la plus utilisée. L'exposant α caractérise le terrain comme dans le tableau ci-dessous : Nature du terrain Inégalité du sol h 0 en m Exposant α Lisse, Plat : neige, glace, mer, herbes courtes 0,001 0,02 0,10-0,11 Rugosité modérée, peu accidenté : champs et pâturages, cultures 0,02 0,3 0,15-0,30 Rugueuse, Accidenté : bois, zones peu habitées 0,3-2 0,20-0,27 Très accidenté : villes, immeuble élevés ,27-0,4 Avec α = 0.096l g h (l g h 0 ) ( h2 h 0 ) (4.2)

76 74 Introduction Les sites les plus intéressants pour la récupération d'énergie éolienne sont les sites peu ou pas accidentés pour lesquels l'exposant α est faible. On bénéficie dans ce cas de vitesses du vent près du sol élevées et la variation de la vitesse de vent avec l'altitude est faible (la vitesse de vent en haut et en bas de la machine sont sensiblement les mêmes), ce qui à pour conséquence de diminuer les contraintes cycliques sur les pales du moteur éolien (d'autant plus important lorsque le diamètre de l'hélice est grand). Influence du relief sur l'intensité du vent L'intensité du vent est influencée par le relief et tous les obstacles isolés rencontrés par le vent. Le relief peut être à l'origine d'accélération locale du vent (passage de collines par ex.) mais aussi de zones de forte turbulence et de décollement de couche limite (phénomènes défavorables). La zone de turbulence créée par un obstacle s'étend sur une distance d'environ trois fois la hauteur de cet obstacle, cette turbulence est plus forte derrière l'obstacle que devant, on veillera donc à limiter la présence d'obstacles aux abords d'une éolienne, en particulier dans la direction des vents dominants (devant l'éolienne) Etude statistique du vent A la lumière des informations précédentes, on voit que plusieurs informations sont déterminantes dans l'étude d'un site éolien : vitesse moyenne du vent direction moyenne du vent la durée des périodes de vent sur l'année pour évaluer la production annuelle et les durées de vent improductif. On peut en premier ressort s'appuyer sur la rose des vents établie par chaque station météorologique locale. La direction d'où vient le vent est répartie ici sur 360 (figure 4.2). Ainsi, le Nord est par convention indiqué en haut du diagramme (360 ), l'ouest est à 270, le Sud à 180 et l'est à 90. Au centre du diagramme, se trouve un cercle à l intérieur duquel on peut lire Ce nombre correspond au pourcentage de temps annuel pendant lequel la vitesse du vent a été inférieure à 1.5 m/s, toutes directions confondues. Ce temps est considéré comme une période de calme. Tout autour du cercle central, on retrouve une surface bleue. La longueur des traits contenus dans cette surface, est proportionnelle à la durée annuelle exprimée en pourcentage, pendant laquelle les vents de vitesses comprises entre m/s, ont soufflé dans la direction considérée, avec un écart maximum de 10. Le contour suivant est relatif aux vents de vitesses comprises entre m/s et le dernier plus petit, de couleur orange, correspond aux vents de vitesse supérieure à 8 m/s. L échelle de pourcentage est portée sur la figure. A Nancy, la direction du vent dominante est Nord-est et Sud-ouest. Si un champ d éoliennes devait être installé dans la région, on disposerait les machines, de façon perpendiculaire aux vents dominants, suivant une ligne droite orientée Sud-est, Nord-Ouest. Les régimes de vent ainsi que la capacité énergétique tendent à varier d'une année à une autre (en général d'environ 10 % au maximum) - par conséquent, pour obtenir un résultat crédible, les stations basent leurs calculs sur des observations faites sur plusieurs années. Dans la suite, nous allons nous intéresser aux notions d'aérodynamique régissant le fonctionnement d'une éolienne. L'objectif est d'arriver à construire un modèle aérodynamique de l'éolienne

77 Introduction 75 pour prédire son rendement en fonctionnement réel. Fig. 4.2 Rose des vents de la région de Nancy fournie par la station métérologique d'essey-les-nancy. 4.2 Notions d'aérodynamique Nous allons ici introduire brièvement les notions d'aérodynamique sur une aile portante. En effet l'élément principal de l'éolienne est la pale. Cette dernière n'est autre chose qu'une aile portante. Pour dimensionner de façon optimale les principaux éléments, il est indispensable d'avoir quelques connaissances sur les actions aérodynamiques qu'exerce un vent donné sur un profil d'aile Définitions Si on considère le profil d'aile donné sur la Figure 4.3 ci-dessous. Fig. 4.3 Schéma d un profil d aile.

78 76 Introduction On appelle bord d'attaque, les points du profil les plus éloignés des points B où se trouve le bord de fuite. AB est appelée la corde l du profil ; AMB représente l'extrados du profil et ANB l'intrados. Pour tenir compte de l'inclinaison de l'aile par rapport au vent incident (supposé horizontal sur la figure), on introduit plusieurs angles : Angle d'incidence ou d'attaque : angle i formé par la corde et la direction du vent vu par l'aile Angle de portance nulle : angle α 0 représentant l'angle d'incidence pour lequel la portance est nulle. Cet angle est généralement négatif pour les profils usuels (représenté de cette façon sur la figure) Angle de portance : angle α formé par la direction du vent relatif et la direction de portance nulle. En valeur algébrique, α = α 0 + i Actions de l'air sur l'aile Usuellement, la résultante aérodynamique exercée par l'air sur l'aile est projetée suivant un système d'axes associés à la vitesse V du vent vu par l'aile. Ceci est illustré sur la Figure 4.4 suivante : Fig. 4.4 Forces s exerçant sur un profil d aile. la composante F z (perpendiculaire à la direction du vent) est appelée la portance la composante F x (parallèle à la direction du vent) est appelée la traînée A partir de cette décomposition, on introduit classiquement deux coefficients sans dimension : le coefficient de portance : C z = Fz 1 2 ρav 2 le coefficient de traînée : C x = Fx 1 2 ρav 2 où A est la surface alaire de l'aile (corde * envergure) et ρ la masse volumique de l'air Paramètres influant sur les C z et C x Les deux paramètres jouant sur les valeurs des coefficients de portance et de traînée pour un profil d aile donné sont le nombre de Reynolds et l'incidence de l'aile en régime incompressible. La Figure 4.5 ci-dessous illustre l'évolution habituelle de ces deux coefficients en fonction de l'angle d'incidence i à Reynolds fixe.

79 Introduction 77 Fig. 4.5 Polaire d Eiffel d un profil d aile. On constate que pour les faibles incidences, le coefficient de portance évolue de façon quasi linéaire avec l'angle d'incidence. Pour une incidence donnée, le coefficient de portance atteint un maximum, c'est la crise de portance. On appelle cet angle d'incidence particulier, l'angle de décrochage. Sur l'exemple donné, l'angle de portance nulle est bien négatif et vaut environ -5. En parallèle, le coefficient de traînée passe vers un minimum autour de cet angle pour augmenter légèrement avec l'augmentation de l'incidence. La courbe portant le coefficient de traînée en abscisse et le coefficient de portance en ordonnée est appelée la polaire d'eiffel d'une aille. Elle est généralement graduée en angle d'incidence i. 4.3 Calcul aérodynamique d'une éolienne à axe horizontal Une première théorie permettant d'estimer la puissance d'une éolienne est la théorie de Betz qui s'applique essentiellement aux machines à axe horizontal Théorie de Betz Cette théorie suppose que l'éolienne est placée dans un air animé à l'infini d'une vitesse amont V 1 et à l'aval d'une vitesse V 2. La puissance mécanique captée par le disque rotor est exprimée par la relation suivante (Figure 4.6) : P = 1 2 ρa 1V ρa 2V2 3 = 1 2 ρ ( A 1 V1 3 A 2 V2 3 ) (Différence de puissance entre les flux d'air amont et aval au rotor) En exprimant la conservation de la masse : [W ] (4.3) ρa 1 V 1 = ρa 2 V 2 = ṁ [kg/s] (4.4) on obtient ainsi, P = 1 ( V1 2 V 2 ) 2 2ṁ [W ] (4.5)

80 78 Introduction Fig. 4.6 Représentation des lignes de courant traversant l éolienne. On peut trouver une autre expression de cette puissance, en appliquant le théorème d'euler au tube de courant représenté par le jet d air. Ainsi, la force F qu'exerce l'air sur le rotor s'exprime par : donnant lieu à une puissance mécanique convertie par la rotor : F = ṁ (V 1 V 2 ) [N] (4.6) P = F V = m(v 1 V 2 )V [W ] (4.7) où V est la vitesse du vent dans le plan de rotation des pales. Par identification avec les deux formulations de la puissance récupérée P, on obtient : V = 1 2 (V 1 + V 2 ) [m/s] (4.8) Ce qui au final, nous permet d écrire la puissance du rotor rapportée à l aire balayée A par ce dernier : P = F V = 1 4 ρa(v 1 + V 2 ) 2 (V 1 V 2 ) [W ] (4.9) On peut à partir de cette relation exprimée le coefficient de puissance C p qui est le rapport entre la puissance récupérée sur le rotor par la puissance disponible dans le flux d air basé sur la vitesse du vent et la surface balayée par le rotor : C p = 1 4 ρa (V 1 + V 2 ) 2 (V 1 V 2 ) 1 2 ρav 1 3 = 1 2 ( 1 + V ) 2 ( 2 1 V ) 2 V 1 V 1 [ ] (4.10) Si on définit le coefficient d induction b = V 2 /V 1, on obtient l évolution du coefficient de puissance (Figure 4.7).

81 Introduction 79 Fig. 4.7 Evolution du coefficient de puissance en fonction du rapport des vitesses amont et aval. En re e crivant le coefficient b comme la fraction de diminution de la vitesse du vent entre la vitesse amont V1 et celle traversant le rotor V on obtient un nouveau coefficient a : V 0 = (1 a)v1 (4.11) On peut montrer que ce coefficient est maximum pour a = 1/3, et que dans ce cas Cp = 16/ En reportant cette valeur particulie re dans l expression de la puissance P, on obtient pour la puissance maximale susceptible d e tre recueillie, la valeur : Pmax = ρav13 27 [W ] (4.12) Effets de la rotation Pour le rotor ide al de la the orie de Betz, il n y a pas de prise en compte de la rotation dans le sillage. Or dans la pratique, le sillage posse de une certaine rotation qui peut e tre prise en compte en appliquant le the ore me d Euler pour les machines tournantes en s appuyant sur les triangles des vitesses dans les sections entre e-sortie du rotor de la Figure 4.8. Si on applique ce dernier sur un volume de contro le infinite simal d e paisseur dr, on obtient l expression de la puissance transmise : dp = dm ωrvθ = 2πr2 ρv 0 ωvθ dr (4.13) avec Vθ la composante azimutale de la vitesse absolue apre s le rotor et V est la vitesse axiale a travers le rotor. Nous avons vu que la vitesse axiale a travers le rotor peut e tre exprime e par le coefficient d induction a. De la me me manie re, on de finit le facteur d interfe rence tangentiel a et la vitesse de rotation Vθ dans le sillage par (conservation du moment cine tique) :