Probabilités & Statistiques L1: Exercices

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1 Probabilités & Statistiques L1: Exercices December 8, 008 Dénombrements I Exercice 1 Permutations 1 On permute les lettres du mot BANC. (i) Nb de mots (ii) Nb de mots commençant par B On doit asseoir 7 personnes discernables sur 7 chaises discernables. (i) Nb de manières de procéder (ii) Idem sachant que la personne n 4 est sur la chaise n ou 6 (i) Permutations de 4 éléments discernables: 4! (ii) Permutations de éléments discernables:! (i) Permutations de 7 éléments discernables 7! (ii) cas incompatibles avec le même nombre 6! de possibilités; règle de la somme: 6! Exercice Permutations On permute les lettres du mot ci-dessous: nb de permutations qui le conservent. (i) BAOBAB (ii) ABRACADABRA On doit ranger en ligne 7 personnes discernables, dont 4 français, allemands et italiens. Nb de manières de procéder dans les cas suivants: (i) Les français sont tous à gauche et les italiens tous à droite (ii) Les gens de même nationalité restent ensembles (i) Permutations qui conservent un mot de (; ; 1) lettres partiellement discernables:!!1! (ii) Permutations qui conservent un mot de 11 (; ; ; 1; 1) lettres partiellement discernables:!!!1!1! (i) Permutations qui conservent une suite de 7 (4; ; ) éléments partiellement discernables: N 4!!! (ii)! cas incompatibles avec le même nombre N de possibilités; règle de la somme:! N 1

2 Exercice Tirages 1 Une plaque minéralogique est composée de caractères parmi les 6 lettres de l alphabet. (i) Nb de plaques sachant que l on peut répéter les lettres (ii) Idem sachant que la troisième lettre est un W (iii) Idem sachant que les premiers caractères sont des lettres et les autres des chi res On répond par OUI ou NON à un questionnaire de 4 questions. (i) Nb de réponses (ii) Nb de réponses qui comportent au moins un OUI (i) Tirage (; 6) de type OR : 6 (ii) Tirage (4; 6) de type OR : 6 4 (iii) Tirage (; 6) de type OR suivi de tirage (; 10) de type OR; règle du produit: 6 10 (i) Tirage (4; ) de type OR : 4 (ii) Passage au complémentaire: 4 1 Exercice 4 Tirages Une plaque minéralogique est composée de caractères parmi les 6 lettres de l alphabet. (i) Nb de plaques sachant que toutes les lettres sont di érentes (ii) Idem sachant que la troisième lettre est un W Une course comporte chevaux. (i) Nb de tiercés dans l ordre (ii) Nb de tiercés dans l ordre qui comportent le cheval n 4 (i) Tirage (; 6) de type OR : A (ii) Tirage (4; ) de type OR : A 4 4 (i) Tirage (; ) de type OR : A 4 (ii) cas incompatibles avec le même nombre A 4 de possibilités; règle de la somme: A 4 (4 ) Exercice Tirages Une course comporte chevaux. (i) Nb de tiercés dans le désordre (ii) Nb de tiercés dans le désordre qui comportent le cheval n 4 A partir d un groupe de hommes et 7 femmes on veut former un comité de personnes: toutes les personnes du groupe sont discernables. (i) Nb de comités (ii) Nb de comités comportant hommes et femmes (iii) Nb de comités comportant au plus deux hommes

3 (i) Tirage (; ) de type OR : (ii) Tirage (; 4) de type OR : (i) Tirage (; 1) de type OR : A 4 A 4 1! 4 1! 4 1 A 1! (ii) Tirage (; ) de type OR suivi de tirage (; 7) de type OR; règle du produit: N 7 A! A 7! (iii) cas incompatibles donc règle de la somme: N 0 + N 1 + N en notant N k le nombre de comités comportant k hommes exactement; N ; N Exercice 6 Tirages 4 Une urne comptient boules numérotées 1; ; : On e ectue tirages avec remise et on note le nombre de fois où chaque boule est apparue. (i) Nb de résultats (ii) Nb de résultats sachant que la boule n n est pas apparue (iii) Nb de résultats sachant que chaque boule est apparue au moins une fois (i) Tirage (; ) de type OR : 7 A 7 (ii) Tirage (; ) de type OR : A (iii) Tirage (; ) de type OR : 4! 4 1! 76 1 Exercice 7 Lancers 1 On lance une pièce de monnaie fois de suite et on note dans l ordre l apparition de P ILE ou F ACE: (i) Nb de suites de P ILE ou F ACE obtenues (ii) Nb de suites comportant deux P ILE (iii) Nb de suites comportant au moins deux P ILE (iv) Nb de suites comportant au moins un P ILE et un F ACE (i) Lancer (; ) de type O : A (ii) Tirage (; ) de type OR :! 4 1 (iii) Passage au complémentaire et règle de la somme: (iv) Passage au complémentaire et règle de la somme: Exercice 8 Lancers On lance dés identiques à faces discernables et on note le nombre de fois où chaque face est apparue. (i) Nb de résultats (ii) Nb de résultats comportant fois la face

4 (i) Lancer (; ) de type O : (ii) Lancer (1; 4) de type O : 7 A ! 76 1 Exercice 9 Répartitions 1 lms discernables sont classés de 1 à 10 avec éventuellement des ex-aequo. (i) Nb de classements (ii) Nb de classements sachant que le lm a la note 4 (iii) Nb de classements sachant que la note 1 a été attribuée 1 fois (iv) Nb de classements sachant que la note 1 a été attribuée fois (i) Répartiton (; 10) de type D : 10 (ii) Répartiton (4; 10) de type D : 10 4 (iii) cas incompatibles avec le même nombre 9 4 de possibilités; règle de la somme: 9 4 (iv) cas incompatibles avec le même nombre 9 de possibilités; règle de la somme: Exercice 10 Répartitions 8 enseignants indiscernables sont a ectés à 4 écoles discernables. (i) Nb d a ectations (ii) Nb d a ectations si l école n reçoit enseignants (iii) Nb d a ectations si chaque école reçoit au moins un enseignant Une personne dispose de 0000 e à investir sur 4 placements discernables. Donner le nombre de stratégies possibles dans les cas suivants: (i) certains placements peuvent être ignorés (ii) tous les placements sont pourvus d au moins un euro (i) Répartiton (8; 4) de type D : (ii) Répartiton (; ) de type D : (iii) Répartiton (4; 4) de type D : (i) Répartiton (0000; 4) de type D : (ii) Répartiton (19996; 4) de type D : A 11 A 7 A 7! ! 76 1! A 000 A 19999! ! Exercice 11 Problèmes divers Pour disputer un match 10 personnes discernables se répartissent en deux équipes discernables de membres chacune. (i) Nb de répartitions possibles (ii) Idem sachant qu il y a deux personnes qui ne veulent pas jouer ensembles (iii) Idem sachant qu il y a deux personnes qui ne veulent pas être opposées L équipe de police d un village comporte 8 personnes, qui doivent se répartir en agents de patrouille, agents de garde au comissariat et agent de réserve. Nb de répartitions.. On permute les lettres du mot ABRACADABRA: Nb de mots discernables obtenus. 4

5 (i) Répartition 10 en (; ) : (ii) cas incompatibles avec le même nombre 8 4 de possibilités; règle de la somme: 8 4 (iii) cas incompatibles avec le même nombre somme: 8 8 Répartition 8 en (; ; ) : 8!!!!. Mots de 11 (; ; ; 1; 1) lettres partiellement discernables: Dénombrements II 8 de possibilités; règle de la 11!!!!1!1! Exercice 1 Permutations E fa 1 ; A ; B 1 ; B ; B ; Og : (i) Nb de permutations de E (ii) Nb de permutations de E qui conservent la partition (fa 1 ; A g ; fb 1 ; B ; B g ; fog) : (i) 6! (ii)!!1! Exercice 1 Applications A f1; ; ; 4; g ; B fa; B; :::; Zg : (i) Nb d applications f : A! B (ii) Idem sachant que f () W (iii) Idem sachant que W admet un seul antécédent E fp; F g : (i) Nb de suites avec répétition de 4 éléments pris dans E (ii) Idem sachant que P apparaît une seule fois (i) 6 (ii) 6 4 (iii) 4 (i) 4 (ii) 4 Exercice 14 Arrangements A f1; ; g ; B f1; ; ; 4; g : (i) Nb d applications injectives f : A! B (ii) Idem sachant que 4 admet un seul antécédent E fa; B; :::; Zg : (i) Nb de suites sans répétition de éléments pris dans E (ii) Idem sachant que W apparaît en troisième position

6 (i) A!! (ii) A 4 4!! (i) A 6 6! 1! (ii) A 4! 1! Exercice 1 Combinaisons E f1; ; ; 4; g : (i) Nb de parties de E à éléments (ii) Nb de parties de E à éléments et contenant 4 A fa; B; C; D; Eg ; B f1; ; :::; 7g (i) Nb de parties à éléments contenant éléments de A et de B (ii) Nb de parties à éléments contenant au plus éléments de A. E f1; ; ; 4; g : (i) Nombre de suites strictement croissantes de chi res pris dans E (ii) Idem mais suites strictement décroissantes 4. Sur le réseau N N on note E l ensemble des chemins de longueur 1 qui partent de (0; 0) et se terminent en (7; ) : (i) Nb des chemins de E (ii) Nb de chemins de E qui passent par (4; ) (i)!!! 4 (ii) 4!!! (i) 7! 7!!!!4! (ii) !!!. (i) A!!!! (ii) idem 4. 1 (i) 7; !!7! 7 (ii) 4; ; 7 7!!!4!!! 7! 7! + : 4!! + 10:!4! Exercice 16 Partitions d un ensemble E f1; ; ::; 8g : Nb de partitions de E en suite (A 1 ; A ; A ) de parties de cardinal (; ; 4) : On développe (a + b + c + d) 6 : Coe cient de a bc :. Sur le réseau N N N on note E l ensemble des chemins de longueur 1 qui partent de (0; 0; 0) et se terminent en (; ; 4) : Nb des chemins de E. 8 ;;4 6 ;1;;0 1 ;;4 8!!!4! 6! 1!!1!!0!!!4! 6

7 Exercice 17 Décompositions d un entier On note E l ensemble des suites (p 1 ; p ; p ) d entiers positifs ou nuls de somme donnée : (i) Nb de suites de E (ii) Idem sachant que p 1 (iii) Idem sachant que p 1 1 On développe (a + b + c + d) : (i) Nb de monômes distincts a b c d (ii) Nb de monômes distincts a c d (i) (i) 7! 6! 7 6!! (ii)!! (ii) (iii) 6 1!!! Espace probabilisé Exercice 18 Equiprobabilité 1 On permute les lettres du mot LOUCHE. (i) Pb d obtenir le mot CHELOU (ii) Pb que le mot commence par L On permute les lettres du mot BABAR. (i) Pb d obtenir le même mot (ii) Pb que les A se suivent permutations de E 6 ; équiprobabilité, jj 6!: (i) pr (CHELOU) 1 6! (ii) pr (L )! 6! 1 6 Variante dans (ii): 0 E 6 ; équiprobabilité, j 0 j 6 : pr (L ) pr 0 (L) 16: permutations de E ; équiprobabilité, jj! (i) pr (BABAR)!!1!! 1 0 (ii) On note A k l évènement "deux A aux rangs k; k +1" et A F 4 A k : réunion k1 disjointe et pr (A k )!!! donc pr (A) 4:!!! : Variante dans (i): 0 partitions de en (; ; 1) ; équiprobabilité, j 0 j ;;1 : pr 0 (BABAR) ( ;;1) 1 : Variante dans (ii): 0 combinaisons de parmi ; équiprobabilité, j 0 j ;;1 : pr 0 (ii) ( 4 ) : Exercice 19 Equiprobabilité On lance une pièce de monnaie 4 fois de suite et on note dans l ordre l apparition de P ILE ou F ACE: (i) Pb d obtenir le lancer P F P P (ii) Pb que le lancer nisse par F ACE (iii) Pb que le lancer comporte au moins un P ILE (i) On choisit une application E 0! E 6 : Pb qu elle soit injective. (ii) Une salle contient 0 personnes. Pb que deux personnes (au moins) soient nées le même jour. 7

8 suites avec répétition de 4 parmi ; équiprobabilité, jj 4 : (i) pr (P F P P ) 1 4 (ii) pr ( F ) (iii) Passage au complémentaire: pr (iii) 1 pr (F F F F ) 1 : 4 Variante dans (ii): 0 fp; F g ; équiprobabilité, j 0 j : pr ( F ) pr 0 (F ) 1: (i) applications 0 dans 6; équiprobabilité, jj 6 0 : pr (i) A0 6 6 : 0 (ii) Suite de 0 dates anniversaires application de 0 dans 6 : par passage au complémentaire on se ramène aux applications injectives, donc pr (ii) 1 A : Exercice 0 Equiprobabilité Un groupe de 10 personnes est composé de 4 hommes et 6 femmes: on choisit personnes. (i) Pb qu il n y ait aucun homme (ii) Pb d obtenir hommes et femmes. On répartit 10 oeufs indiscernables dans paniers discernables. (i) Pb de la répartition (; ; ) (ii) Pb que tous les oeufs soient dans le même panier (iii) Pb que tous les oeufs ne soient pas dans le même panier combinaisons de parmi 10; équiprobabilité, jj 10 : (i) pr (i) ) (6 ( 10 ) ( 6 10 ) (ii) pr (ii) )( (4 6 ) ( 10 ) décompositions de 10 en p 1 + p + p ; équiprobabilité, jj 1 : (i) pr (; ; ) 1 ( 1 ) (ii) Disjonction des cas: pr (10; 0; 0) pr (0; 10; 0) pr (0; 0; 10) 1 pr (ii) ( 1 ) (iii) Passage au complémentaire: pr (iii) 1 ( 1 ) ( 1 ) donc Exercice 1 Espace probabilisé ni 1 On lance dés équiprobables à 6 faces. Pb que la somme des chi res soit supérieure ou égale à 10: On considère l univers f(i; j) ; 0 i; j 4g : Les évènements élémentaires de la forme (p + 1; q + 1) ont la même probabilité et les autres évènements élémentaires ont la même probabilité : Calculer puis la probabilité de l évènement fi > jg : 8

9 couples (i; j) ; équiprobabilité, jj 6 : L évènement cherché est A f(4; 6) ; (; ) ; (6; 4) ; (; 6) ; (6; ) ; (6; 6)g ; jaj 6 : pr (A) : jj : Il y a 4 évènements de probabilité et 1 de probabilité donc 111 : pr (i > j) : Exercice Espace probabilisé ni On rappelle que la probabilité qu une permutation de E n n ait aucun point xe est p n P n ( 1) k k0 k! ; donc que le nombre de permutations sans points xes de E n est n! p n : (i) 4 personnes assises sur 4 chaises se lèvent puis se rasseoient aléatoirement. Pb qu aucune personne ne se rasseoit sur la même chaise. (ii) Dans un hôtel on distribue clefs à clients pour entrer dans leur chambre: chaque clef n ouvre qu une seule porte. Pb qu au moins un client puisse ouvrir sa porte. E fa; b; c; d; eg ; s est une permutation de E: (i) Pb que a soit point xe de s (ii) Pb que a soit seul point xe de s (iii) Pb que s ait un seul point xe (iv) Pb que s ait au moins un point xe (i) permutations de E 4 ; équiprobabilité, jj 4! (inutile). pr (i) p : (ii) permutations de E ; équiprobabilité, jj! (inutile). Passage au complémentaire: pr (ii) 1 p 19 0 : permutations de E; équiprobabilité, jj!: (i) pr (i) 4!! 1 (ii) Il y a 4! p 4 permutations de fb; c; d; eg sans points xes donc pr (ii) 4!p 4! p4 40 (iii) pr (iii) pr (ii) p 4 8 (iv) pr (iv) 1 p 19 0 Variante dans (i): 0 E; équiprobabilité, j 0 j : pr (a ) pr 0 (a) 1: Exercice Espace probabilisé ni On considère deux évènements E 1 ; E et on donne pr (E 1 ) 0:4; pr (E ) 0:8; pr (E 1 \ E ) 0:: Pb des évènements: (i) E 1 [ E (ii) E 1 \ E (iii) E 1 \ E (iv) E 1 \ E : Dans un groupe 0% des individus portent une bague et un collier, 80% portent une bague et 40% un collier. Pb qu un individu ne porte ni bague ni collier. pr (E 1 [ E ) pr (E 1 ) + pr (E ) pr (E 1 \ E ) 0:9: pr E 1 \ E pr E1 [ E 1 pr (E1 [ E ) 0:1: 9

10 pr E 1 \ E pr (E1 ) pr (E 1 \ E ) 0:1 pr E 1 \ E pr (E ) pr (E 1 \ E ) 0: Idem avec E "porte une bague" et E 1 "porte un collier": pr E 1 \ E 0:1: Exercice 4 Espace probabilisé in ni 1 On lance une pièce équiprobable un nombre indéterminé de fois. (i) Pb d obtenir le premier P ILE avant le 4-ème lancer (ii) Pb d attendre au moins 4 lancers avant le premier P ILE (iii) Pb d obtenir le premier P ILE à un rang impair (i) Pb d obtenir le deuxième F ACE avant le -ème lancer (ii) Pb d obtenir le deuxième F ACE à un rang impair NB: on admettra que P 1 n1 nxn 1 1 si 0 < x < 1: (1 x) suites P; F P; F F P; :::: Si on note! n la suite "le 1er PILE est au rang n" on a pr (! n ) 1 pour n 1: n (i) pr (i) P k1 1 1 k (ii) pr (ii) 1 pr (i) 1 8 (iii) pr (iii) 1 P p0 1 p+1 Variante dans (ii): pr (ii) 1 P k4 1 k 1 : Variante nie possible dans (i): 0 suites avec répétition parmi ; évènement (i) suites qui comportent au moins un PILE. suites F F; P F F; F P F; :::: Si on note! n la suite "le ème FACE est au rang n" on a pr (! n ) n 1 pour n : n (i) pr (i) P 4 k k 1 1 k (ii) pr (ii) 1 P p 1 p+1 4 : P 1 p1 p 1 4 p p1 Variante nie possible dans (i): 0 suites avec répétition 4 parmi ; évènement (i) suites qui comportent au moins deux PILE. Exercice * Espace probabilisé in ni Trois personnes A; B; C lancent une pièce équiprobable à tour de rôle: la première qui obtient PILE a gagné. On suppose que A commence, suivi par B puis C: Calculer la probabilité de gagner pour chacun des joueurs. suites P; F P; F F P; :::: Si on note! n la suite "le 1er PILE est au rang n" on a pr (! n ) 1 pour n 1: n L évènement A : "A gagne" est constitué des suites! p+1 ; p N donc pr (A) P 1 1 p0 4 p+1 7 : L évènement B : "B gagne" est constitué des suites! p+ ; p N donc pr (B) P 1 1 p0 p+ 7 : L évènement C : "C gagne" est constitué des suites! p+ ; p N donc pr (C) P 1 1 p0 1 p+ 7 : 10

11 Probabilité conditionnelle, Indépendance NB: Les calculs de ce chapitre ne nécessitent pas d expliciter l univers dans lequel on travaille, ce qui n empêche pas de se poser la question. Exercice 6 Arbre de choix Un groupe de 10 personnes est composé de 4 hommes et 6 femmes: on choisit deux personnes. Pb qu elles soient de même sexe. Une urne contient boules dont rouges et noires: on tire deux boules avec remise. Pb que les deux boules soient de couleurs di érentes.. Dans une loterie on tire sans remise nombres parmi les nombres 1; :::; 0 : on ne tient pas compte de l ordre et il y a bons numéros parmi les 0: Pb d obtenir bons numéros exactement. pr (1) : Variante: par équiprobabilité pr (1) )+( (4 6 ) : pr () : ( 10 ) Variante: par équiprobabilité pr () 1)( ( 1) ( ) :. pr () : Variante: par équiprobabilité pr () ( )( 1 ) ( 0 ) : Exercice 7 Probabilité conditionnelle 1 Dans une population on sait que la probabilité de naissance d un garçon est de 0:; et par ailleurs que % des lles et 1% des garçons présentent une luxation congénitale de la hanche. On note F l évènement "naissance d une lle" et L l évènement "avoir une luxation de la hanche". Dresser le tableau des probabilités des intersections entre F; F et L; L: Les évènements F et L sont-ils indépendants? Calculer la probabilité qu un nouveau-né présentant une luxation soit une lle. On connait pr (L j F ) %; pr L j F 1% donc (en %) L L F 0:96 47:04 48 : F 0: 1:48 1:48 98: 100 On a pr (F ) pr (L) 0:48 0:0148 ' 0:007 donc un résultat di érent de pr (F \ L) ' 0:0096 : non indépendance. pr(l j F ) pr(f ) pr (F j L) pr(l) ' 0:6: Exercice 8 Probabilité conditionnelle On lance un dé équiprobable à 6 faces un nombre indéterminé de fois indépendamment: on note A l évènement "le apparaît avant le " et E l évènement 11

12 "le sort au premier lancer", F l évènement "le sort au premier lancer", G l évènement E \ F : Calculer pr (A j E) et pr (A j F ) : Exprimer pr (A j G) en fonction de pr (A) : Calculer pr (A) : pr (A j E) 1; pr (A j F ) 0: pr A j E \ F pr (A) : évidence di cile à justi er rigoureusement. La formule des probabilités totales donne pr (A) pr (E)+pr (A) pr E \ F pr (A) ; soit pr (A) 1 : Variante: l univers peut être réduit aux deux issues équiprobables et complémentaires "le sort avant le " et "le sort avant le "; donc pr (A) 1 : Exercice 9 Formule de Bayes 1 Une urne I contient boules rouges et 4 boules noires, une urne II contient 4 boules rouges et boules noires. On tire aléatoirement (équiprobabilité) une boule dans l urne I ou II et on sort une boule rouge. Pb que la boule sorte de l urne II. Même question si la probabilité de tirer dans l urne II est et si l urne I contient une proportion de p 1 boules rouges, l urne II une proportion de p boules rouges. On note R l évènement "tirer une boule rouge", I l évènement "tirer dans l urne I" et II l évènement "tirer dans l urne II". On a pr (II j R) pr(ii\r) pr(r j II) pr(ii) pr(r) pr(r j I) pr(i)+pr(r j II) pr(ii) et pr (R j II) ; pr (R j I) 1 donc pr (II j R) : p pr (II j R) (1 )p 1+p : Exercice 0 Formule de Bayes Une rme a étudié un alcootest dans une population et a pour cela recruté 00 personnes; elle a fait boire 160 d entre elles et a obtenu les résultats suivants, où A désigne l évènement "alcootest positif" et I l évènement "individu ivre". I I A A 10 Calculer les probabilités conditionnelles pr (A j I) et pr A j I : On suppose qu un individu est ivre avec la probabilité p: Calculer les probabilités conditionnelles pr (I j A) et pr I j A en fonction de p et achever les calculs pour p 0:01: On a pr (A j I) ' 0:97 et pr A j I 40 ' 0:9471: 1

13 On a pr (I) p et pr (A) pr (A j I) p + pr A j I (1 p) ' 0:09 + 0:8846p donc pr (A j I) pr (I) pr (I j A) pr (A) pr I j A pr A j I pr I ' 0:97p 0:09 + 0:8846p 0:9471 (1 p) ' pr A 0:9471 0:8846p : Pour p 0:01 on obtient pr (I j A) ' 0:1; pr I j A ' 0:999: Exercice 1 Indépendance 1 On lance une pièce de monnaie fois de suite indépendamment et on note dans l ordre l apparition de P ILE ou F ACE : pr (P ILE) : Pb qu un lancer comporte deux P ILE exactement. Une salle contient n personnes dont les dates de naissance sont indépendantes. Pb qu une personne (au moins) soit née le même jour que moi. pr (1) 1 : Passage au complémentaire: pr () n : Exercice Indépendance On lance un dé équiprobable à 6 faces un nombre indéterminé de fois indépendamment: on note n l évènement "le premier est au rang n" et A l évènement le "le apparaît avant le ": Calculer: (i) pr ( n ) (ii) pr (A \ n ) (iii) pr (A) (i) pr ( n ) 1 6 n n 1 6 (ii) pr (A \ n ) 1 6 (iii) pr (A) P 1 n1 pr (A \ n) 1 Exercice Indépendance On considère deux évènements A et B; on résume par le tableau ci-dessous les probabilités des intersections entre A; A et B; B : B B A p q : A r s Montrer que A et B sont indépendants ssi ps qr: Montrer que si A et B sont indépendants alors il en va de même de A et B; A et B; A et B: pr (A \ B) p et pr (A) pr (B) (p + q) (p + r) p + rp + pq + qr: Comme p + q + r + s 1 on obtient pr (A) pr (B) p (1 s) + qr donc l égalité ssi qr ps 0: Si A et B sont indépendants alors: pr A \ B pr (B) pr (A \ B) pr (B) pr (A) pr (B) pr (B) pr A ; pr A \ B pr A pr A \ B pr A pr (B) pr A pr A pr B : Variante: permuter les rôles de p; q; r; s puis appliquer 1

14 Exercice 4 Systèmes série et parallèle On dispose de composants électroniques de même type E; qui fonctionnent en indépendance totale: on note p leur taux de panne. On considère les systèmes suivants, où le symbole désigne la mise en série et le symbole k la mise en parallèle: (i) E (EkE) (ii) (E E) ke Taux de panne des circuits. On veut améliorer la abilité du système E E et on hésite entre deux stratégies: (i) (E E) k (E E) (ii) (EkE) (EkE) Déterminer la meilleure stratégie. On note S tout système de taux de panne :Le taux de panne du système S p1 S p est (p 1 ; p ) 1 (1 p 1 ) (1 p ) tandis que celui du système S p1 ks p est (p 1 ; p ) p 1 p : (i) système S p S (p;p) donc taux de panne p; p p 1 + p p (ii) système S (p;p) ks p donc taux de panne 1 (1 p) ; p p ( p) Le taux de panne du système E E est (p; p) 1 (1 p) tandis que celui du système EjjE est (p; p) p : (i) système S (p;p) ks (p;p) donc taux de panne p 1 ( (p; p)) p ( p) (ii) système S (p;p) S (p;p) donc taux de panne p 1 (1 (p; p)) p p Donc p 1 p p (1 p) 0 pour tout p: Statistique I Exercice Série discrète Dans un enseignement on a e ectué deux partiels: les résultats sont résumés par le tableau des e ectifs suivant, où n k et n 0 k sont les e ectifs correspondants à la note x k dans les partiels 1 et x k n k n 0 k (i) Tracer les diagrammes des fréquences des deux partiels sur un même graphique, et idem pour les FCC. (ii) Calculer les moyennes ; 0 et écart-types ; 0 des deux partiels. On pose e k (x k ) ; e 0 k (x k 0 ) : Tracer les diagrammes des fréquences des séries (e k ; n k ) k1:: et (e 0 k ; n0 k ) k1:: sur un même graphique (après un éventuel regroupement et réordonnement). Que valent les moyennes de ces séries?. (i) On e ectue une première normalisation des données par les formules y k x k ; y0 k x k 0 : Tracer les diagrammes des fréquences des séries 0 (y k ; n k ) k1:: et (yk 0 ; n0 k ) k1:: sur un même graphique. Que valent les moyennes et écart-types de ces séries? 14

15 (ii) On e ectue une deuxième normalisation des notes en attribuant la note z k selon le principe ci-dessous: y k < 1:8 1:8 < y k < 0:8 jy k j < 0:8 0:8 < y k < 1:8 1:8 < y k y 0 k < 1:8 1:8 < y0 k < 0:8 jy0 k j < 0:8 0:8 < y0 k < 1:8 1:8 < y0 k Tracer les diagrammes des fréquences des nouvelles séries sur un même graphique. x k (i) f k 0:1 0:4 0: 0: 0:1 fk 0 0 0: 0:6 0: 0 (ii) 9; 4; :8 et 0 10; 0 10; 0 :16 ek g k 0: 0:4 0: 0:1 0:1, e 0 k gk 0 0:6 0:4 0 moyenne variance des séries précédentes.. (i) y k 1:4 0:69 0:17 1:0 1:89 f k 0:1 0:4 0: 0: 0:1 yk 0 :16 1:8 0 1:8 :16 fk 0 0 0: 0:6 0: 0 moyenne 0; écart-type 1: z k (ii) f k 0 0:1 0:6 0: 0:1 fk 0 0 0: 0:6 0: 0 Exercice 6 Série continue Une étude statistique a donné le tableau des fréquences suivant: ]x k 1 ; x k ] [; ] ]; 6] ]6; 9] ]9; 1] f k 0: 0: 0: 0: (i) Tracer l histogramme des fréquences et expliciter la densité p sur chaque intervalle. (ii) Utiliser p pour calculer fr ([4; 7]) : (i) Tracer le polygône des FCC et expliciter la fonction de répartition F sur chaque intervalle. (ii) Estimer la médiane d après le graphique. (iii) Utiliser F pour calculer: a/ fr ([4; 7]) b/ le premier et le troisième quartile (i) x [; ] ]; 6] ]6; 9] ]9; 1] p (x) 0: 0: 0: 0: 1

16 (ii) fr ([4; 7]) R 7 4 p (x) dx 1 0: + 0: + 1 0: 0:: (i) x [; ] ]; 6] ]6; 9] ]9; 1] 0: F (x) (x ) 0: (x ) + 0: 0: (x 6) + 0: 0: 6 (x 9) + 0:8 (ii) m 6: (iii) a/ fr ([4; 7]) F (7) F (4) 0:6 0:1 0:: b/ F (q 1 ) 0:, 0:1 (x ) + 0: 0: : q 1 :: F (q ) 0:7, 0:1 (x 6) + 0: 0:7 : q 8:: Exercice 7 ** Courbe de Lorenz Une étude INSEE a fourni les résultats ci-dessous sur les revenus 004 (en e) des ménages en France: l étude a porté sur ménages. % de la population 10% 0% 0% 40% 0% Revenu < % 70% 80% 90% 9% Par exemple 0% des ménages ont gagné moins de 1781 e. Les données concernant les % les plus riches de la population ne sont pas fournies: on pourra convenir qu ils gagnent moins de e. Calculer le revenu moyen et le revenu total des français. Calculer pour k 1; :::; 10 la fraction du revenu total détenue par la k-ème fraction la plus pauvre de la population.. Tracer la courbe de Lorenz à partir de ces données. Donner une estimation de l indice de Gini. On rajoute la colonne 100%; et on discrétise le tableau: on connait donc le revenu moyen r k par tranche de f k 10%; et % pour les deux dernières colonnes. Revenu moyen: r 887 e. Revenu total: R 710 milliards d e. f k 10% 10% 10% 10% 10% N R kr k 0% 4.%.6% 6.7% 8.0% 10% 10% 10% 10% 10% 9.% 10.8% 17% 6% 4.8% F k 10% 0% 0% 40% 0% R k 0% 6.% 11% 18.9% 6.8% 60% 70% 80% 90% 100% 6.1% 46.9% 9.6% 7.% 100%. Indice de Gini: on compte les rectangles d aire 0:0::: Variables aléatoires I Exercice 8 VA 1 Une urne contient les mots LE; GRAN DS; HAN CHE; LA; F OU; ROSEAU et on tire un mot dans l urne: on note X la longueur du mot tiré, Y le nombre 16

17 de voyelles, Z X Y et W la variable indicatrice de l évènement "le mot commence par la lettre L". Déterminer et représenter la loi de chaque VA. Calculer leur espérance et leur variance. Déterminer explicitement les évènements fx g ; fy g ; fx et Y g ; fy > Zg ; fmax (Y; Z) g puis calculer leur probabilité. fle; GRANDS; HANCHE; LA; F OU; ROSEAUg ; jj 6; équiprobabilité. Z nombre de consonnes. x p X (x) y p Y (y) z p Z (z) w p W (w) E (X) 4:17; (X) :47; E (Y ) 1:8; (Y ) 1:14: E (Z) :; (Z) :6; E (W ) 0:; (W ) 0:: fx g fgrands; HANCHE; F OU; ROSEAUg : pr (X ) 4 6 : fy g fle; GRANDS; LA; HANCHE; F OUg : pr (Y ) 6 : fx et Y g fgrands; HANCHE; F OUg : pr (X et Y ) 6 6 pr (X ) pr (Y ) : fy > Zg ff OU; ROSEAUg : pr (Y > Z) 6 : fmax (Y; Z) g ff OUg : pr (max (Y; Z) ) 1 6 : 17

18 Exercice 9 VA On tire boules avec remise dans une urne contenant boules numérotées 1; ; : on note X la somme des chi res apparus. Loi, fonction de répartition et espérance de X: Idem si tirage sans remise. suites avec répétitions de parmi ; jj ; équiprobabilité. x 4 6 p X (x) F X (x) E (X) 4: suites sans répétitions de parmi ; jj A ; équiprobabilité. x 4 p X (x) F X (x) 1 1 E (X) 4: Exercice 40 * VA On permute les lettres du mot BABAR et on note X le nombre de A par lequel commence le mot obtenu. Loi et espérance de X: 4 personnes assises sur 4 chaises se lèvent puis se rasseoient aléatoirement: on note X le nombre personnes qui retrouvent leur chaise. Loi et espérance de X:. Une salle contient personnes et on note X le nombre de personnes qui sont nées le même mois. Loi et espérance de X: permutations de fb 1 ; A 1 ; B ; A ; Rg ; jj!; équiprobabilité. x 0 1 p X (x) E (X) 1 : permutations de E 4 ; jj 4!; équiprobabilité. La probabilité qu une permutation de E n soit sans point xe est p n P n ( 1) k k! ; k0 donc le nombre de telles permutations est n! p n : il y a n k manières de choisir k points xes et (n k)! p n k permutations qui ne laissent pas les autres points invariants donc pr (X k) n k : (n k)!p n k n! p n k k! : Ici p 1 ; p 1 ; p 4 8 : x p X (x) E (X) 1:. applications de dans 1; jj 1 ; équiprobabilité. x 0 p X (x) A 11 :A 11 A 1 11 Exercice 41 VA standards 1 On lance une pièce de monnaie équiprobable 4 fois de suite indépendamment et on note dans l ordre l apparition de P ILE ou F ACE : on note X le nombre de P ILE apparus. Loi et espérance de X: 18

19 Une urne contient boules rouges et 1 boule noire et on tire avec remise 4 boules: on note X le nombre de boules rouges obtenues. Loi de X:. Dans une loterie on tire sans remise nombres parmi les nombres 1; :::; : on ne tient pas compte de l ordre et il y a bons numéros parmi les : On note X le nombre de bons numéros obtenus. Loi et espérance de X: 4. Un groupe de 10 personnes est composé de 4 hommes et 6 femmes et on choisit personnes: on note X le nombre d hommes et Y celui de femmes. Loi de X et Y: Arbre de choix ou équiprobabilité. p X (k) k 4 : 1 pour k 0; 1; ; ; 4: 4 E (X) : Arbre de choix ou équiprobabilité. p X (k) k 4 : k 1 4 k pour k 0; 1; ; ; 4: E (X) 8 :. Arbre de choix ou équiprobabilité. p X (k) k)( ( k) pour k 1; ; : ( ) E (X) 1:8: 4. Arbre de choix ou équiprobabilité. p X (k) k)( (4 6 k) pour k 0; 1; ; ; 4: ( 10 ) Y X donc p Y (k) p X ( k) pour k 1; ; ; 4; : Exercice 4 VA standards On lance une pièce équiprobable un nombre indéterminé de fois indépendamment. (i) On note X le rang du premier P ILE apparu. Loi de X: (ii) On note Y le rang du deuxième P ILE apparu. Loi de Y: Idem si pr (P ILE) 1: Indépendance des lancers. (i) p X (k) 1 pour k 1; ; ::: k (ii) p Y (k) (k 1) : 1 pour k ; ; ::: k Indépendance des lancers. (i) p X (k) 1 k 1 pour k 1; ; ::: 1 (ii) p Y (k) (k 1) : k pour k ; ; ::: Exercice 4 * Probabilités conditionnelles On e ectue un tirage successif avec remise dans une urne qui contient n boules discernables: on arrête dès que l on tire une boule déjà obtenue auparavant. On note X le nombre de tirages. Calculer pr (X > k j X > k 1) puis pr (X > k) : En déduire la loi de X : application au cas n 4: Calculer directement pr (X k) : 19

20 fx > k 1g signi e que l on a déjà tiré k 1 boules distinctes, donc il n (k 1) en reste n (k 1) non encore tirées: pr (X > k j X > k 1) n donc Q pr (X > k) k pr (X > j j X > j 1) Ak n : n k j p X (k) pr (X > k 1) pr (X > k) (k 1) : Ak 1 n pour k ; ; :::; n+1: n k k 4 Cas n 4 : p X (k) Raisonnement par équiprobabilité. On e ectue k tirages avec remise, donc jj n k : L évènement fx kg est l ensemble des suites formées de k 1 boules distinctes parmi n suivies d une boule déjà obtenue parmi ces k 1 : il y en a donc (k 1) :A k n 1 : Exercice 44 Espérance Un joueur parie et mise sur un chi re compris entre 1 et 6 puis lance dés équiprobables à 6 faces: il gagne k euros si le chi re choisit apparaît k fois et perd 1 euro s il n apparaît pas. On note X le nombre de fois où le chi re choisi apparaît et G le gain du joueur. Donner la loi de X et G puis calculer l espérance de gain du joueur. Le gain du joueur est désormais G 0 G : Calculer son espérance. Soit p 1 6 la probabilité que le numéro choisi sorte sur un dé, q 1 p: X peut prendre les valeurs 0; 1; ; avec les probabilités p X (k) k :p k q k : k p X (k) 6 : : G vaut 1; 1; ; si X 0; 1; ; et p G ( 1) p X (0) ; p G (k) p X (k) si k 1; ; : donc E (G) : E (G 0 ) V (G) P k 1;1;; k :p G (k) ' 1:4: Variables aléatoires II Exercice 4 VA indépendantes 1 Un gène peut présenter deux caractères, dominant D et récessif R : on suppose que chacun présente le caractère D avec le même probabilité p: On considère deux gènes X; Y indépendants. Calculer la probabilité qu un gène au moins ait le caractère D: On considère n gènes X 1 ; :::; X n indépendants. Calculer la probabilité que deux gènes au moins aient le caractère D: X; Y sont des copies indépendantes de la VA indicatrice du caractère D : pr (X 1) pr (Y 1) p: Passage au complémentaire: pr (X 1 ou Y 1) 1 (1 p) : pr () 1 (1 p) n : 0

21 Exercice 46 * VA indépendantes Un étudiant passe examens, supposés indépendants. On note X et Y ses notes au premier et deuxième examen. Les notes peuvent prendre les valeurs normalisées et équiprobables 1; ; ; 4; : Déterminer la loi conjointe et la fonction de répartition conjointe de (X; Y ) : Calculer les probabilités pr (X Y ) ; pr (X > Y ) ; pr (X < Y ) :. On pose U max (X; Y ) ; V min (X; Y ) : (i) Calculer la probabilité pr (U k) : En déduire la loi et l espérance de U: (ii) Adopter un raisonnement analogue pour la loi et l espérance de V: p X (k) p Y (k) p (k) 1 pour k 1; ; :::; et p X;Y (i; j) p (i) p (j) 1 : F X (k) F Y (k) F (k) k pour k 1; ; :::; et F X;Y (i; j) F (i) F (j) ij : pr (X Y ) P k1 p X;Y (k; k) : 1 1 : pr (X > Y ) P P i 1 i j1 p X;Y (i; j) ( ) : 1 : pr (X < Y ) pr (X > Y ) pour des raisons de symétrie ou par complémentaire. Variante: argument de symétrie a priori donne pr (X > Y ) 1 pr (X Y ) :. (i) fu kg fx k; Y kg donc pr (U k) k ; valable pour k 0; 1; :::; : p U (k) pr (U k) pr (U k 1) k 1 : (ii) fv kg fx k; Y kg donc pr (V k) ( k 1; ; :::; 6: 11 k p V (k) pr (V k) pr (V k + 1) : k+1) ; valable pour Exercice 47 Loi conjointe 1 On tire sans remise boules dans une urne qui en contient rouges et 4 noires: on note X le nombre des boules rouges tirées et Y le rang de la première boule noire. Déterminer les lois de X et Y puis leur loi conjointe. Les VA sont elles indépendantes? P X : x 0 1 p X (x) p Y : y 1 p Y (y) x; y 1 p X;Y : Non indépendance car p X;Y (0; ) 6 p X (0) p Y () : 1

22 Exercice 48 ** Loi conjointe Deux VA X et Y prennent les valeurs 1; ; : On donne la loi conjointe p X;Y (i; j) ij ; où est un réel convenable. (i) Déterminer les lois marginales de (X; Y ) : Les VA sont-elles indépendantes? (ii) Espérance de X; Y; S X + Y et P XY: Idem si p X;Y (i; j) i+j : (i) On note P j1 1 j 11 6 : : i; j 1 1 p X;Y : X et Y ont même loi p : p (i) P j1 ij i : P j1 1 j 1 i : Indépendance car p X;Y (i; j) p X (i) p Y (i) : (ii) E (X) E (Y ) ' 1:6: E (S) E (X) + E (Y ) 6 ' :: E (P ) E (X) E (Y ) 9 ' :7: : i; j p X;Y : k 1 X et Y ont même loi p : p (k) : 6 60 : : 7 60 Non indépendance car p X;Y (1; 1) 6 p (1) p (1) : (ii) E (X) E (Y ) 9 ' 1:8: E (S) E (X) + E (Y ) 9 ' :6: E (P ) P 1i;j ij:p X;Y (i; j) : Exercice 49 ** Epreuves indépendamment répétées On tire 4 boules avec remise dans une urne qui contient boules rouges et boules noires: on note X k la VA indicatrice de l évènement "la k-ème boule est rouge". On note S P 4 k1 X k et F 1 4S: Loi, espérance et variance de S et F: On e ectue lancers successifs et indépendants d un dé équiprobable à 6 faces: on désigne par X k le chi re apparu au lancer k: Loi conjointe de (X 1 ; X ; X ) et probabilités pr (X 1 X X ) ; pr (X 1 < X < X ) : p S (k) k 4 : k 4 k pour k 0; 1; ; ; 4: E (S) 8 4 ; V (S) : p F (x) p S (4x) pour x 0; 14; 4; 4; 1:

23 E (F ) 1 4 :E (S) ; V (F ) :V (S) 100 : On note p la loi commune de X 1 ; X ; X : p (k) 1 6 pour k 1; ; :::; 6: p X1;X ;X (i; j; k) p (i) p (j) p (k) 1 6 pour 1 i; j; k 6: pr (X 1 X X ) P 6 k1 p X 1;X ;X (k; k; k) 6: 1 6 : pr (X 1 < X < X ) P 6 P k 1 P j 1 k1 j1 i1 p X 1;X ;X (i; j; k) 0: 1 6 : Variante: il y a 6 suites strictement croissantes (donc sans répétition) parmi 6; par équiprobabilité on retrouve le résultat. Exercice 0 Espérance 1 Un QCM à n questions et p 4 réponses par question est noté de la manière suivante: +1 point si la réponse est bonne, points si la réponse est mauvaise. Un étudiant répond aléatoirement au questionnaire et indépendamment à chaque question: on note X k 1 si la réponse k est bonne, X k 0 sinon. Exprimer la note N k de la réponse k comme fonction a ne ax k + b: Déterminer la loi et l espérance de X k puis de la note globale. En déduire les valeurs de nécessaires pour pénaliser les réponses au hasard. n p a + b 1; b donc la note N k (1 + ) X k : On a p Xk (1) 1 p ; p 1 X k (0) 1 p donc E (X k) 1 p : La note globale est N P n k1 N k donc E (N) (1 + ) : P n k1 E (X k) n 1 (1 + (1 p)) : E (N) < 0, > p 1 1 : Exercice 1 * Espérance Dans une population nombreuse une maladie a ecte chaque individu avec la probabilité 1 p 0:: On veut détecter cette maladie à l aide d une analyse sanguine et on a le choix entre deux stratégies: - faire une analyse individuelle de chaque individu. - regrouper les prélèvements sanguins de r personnes et analyser cet échantillon; si le test est négatif cela signi e que les r individus sont sains sinon on refait une analyse individuelle pour détecter le ou les individus malades. On note X 1 (r) et X (r) le nombre d analyses par individu lors des première et deuxième stratégies. Déterminer la loi de X 1 (r) et X (r) ainsi que leur espérance. En déduire l espérance de G (r) X 1 (r) X (r) : Donner une condition sur r pour que cette espérance soit positive. pr (X 1 (r) 1) 1 et pr (X (r) 1r) p r ; pr (X (r) 1 + 1r) 1 p r : E (X 1 (r)) 1; E (X (r)) 1 r :pr r (1 p r ) ; donc E (G (r)) E (X 1 (r)) E (X (r)) p r 1 r : E (G (r)) 0 ssi p r 1r : r [; 10] : Exercice ** Espérance On dé nit sur l ensemble des permutations de E n la VA S n égale au nombre de points xes d une permutation.

24 On note X k la VA indicatrice de l évènement "k est un point xe" pour k 1; :::; n: Calculer E (X k ) puis E (X i X j ) : Les VA X i et X j sont-elles indépendantes? Exprimer S n à l aide des X k : Calculer E (S n ) puis (S n ) : (n 1)! E (X k ) pr (X k 1) n! 1 n : E (X i X j ) pr (X i 1; X j 1) 1 n si i j; 1 n(n 1) sinon. E (X i X j ) 6 E (X i ) E (X j ) pour tous i; j donc VA non indépendantes. S n P n k1 X k donc E (S n ) P n k1 E (X k) 1: (S n ) E Sn (E (Sn )) 1 car E Sn Pi6j E (X ix j )+ P n i1 E X i : Lois discrètes nies Exercice Loi binomiale 1 Deux joueurs s a rontent dans un sport: le joueur 1 est plus faible que le joueur, et n a qu une probabilité p 0:4 de gagner. On suppose que les joueurs jouent parties indépendantes et on note X le nombre de parties gagnées par le joueur (i) Déterminer la loi et l espérance de X: (ii) Calculer la probabilité que le joueur 1 gagne plus de la moitié des parties. Un canal de transmission véhicule des 0 et des 1: à chaque seconde le chi re transmis a une probabilité p 0: d être modi é en son contraire. On note X le nombre de changements en 10 secondes. (i) Déterminer la loi et l espérance de X: (ii) Calculer la probabilité que le chi re reçu soit identique au chi re émis au bout de 10 secondes. 4

25 (i) X suit la loi binomiale B (; p) donc p X (k) k p k q k pour k 0; 1; :::; : E (X) : (ii) pr (X ) P k k p k q k ' 0:: (i) X suit la loi binomiale B (10; p) donc p X (k) 10 k p k q 10 k pour k 0; 1; :::; 10: E (X) : (ii) pr (ii) pr (X est pair) P k0 k p k q 10 h k ' 0:0: Remarque: cf exercice suivant pr (X est pair) (q p) 10i : Exercice 4 * Loi binomiale Dans un jury chaque membre prend sa décision indépendamment des autres et cette décision est correcte avec la probabilité 0:7 : pour qu un jugement soit exécutoire il faut qu au moins 8 des 1 membres du jury prennent la même décision. On note X le nombre de décisions correctes parmi les 1 membres du jury. (i) Déterminer la loi et l espérance de X: (ii) Calculer la probabilité d une sentence juste sachant que l inculpé est coupable, puis sachant qu il est innocent. On lance une pièce 10 fois de suite: la probabilité de P ILE est p 0:4: On note X le nombre de P ILE; Y le nombre de F ACE et Z X Y: (i) Déterminer la loi de X; Y et Z: (ii) Calculer l espérance de Z et la probabilité pr (Z 0) : 10 (i) X suit la loi binomiale B (1; ) donc p X (k) 1 k : k (1 ) 1 k pour k 0; 1; :::1: E (X) 8:4: (ii) Si l accusé est coupable une sentence juste signi e que au moins 8 jurys le désignent coupable, donc qu ils prennent une décision correcte: probabilité pr (X 8) P 1 1 k8 k : k (1 ) 1 k ' 0:7: Si l accusé est innocent une sentence juste signi e que moins de 8 jurys le désignent coupable, donc que au moins prennent une décision correcte: probabilité pr (X ) P 1 1 k k : k (1 ) 1 k ' 0:99: (i) X suit la loi binomiale B (10; p) donc p X (k) 10 k :p k q 10 k pour k 0; 1; :::; 10: Y suit la loi binomiale B (10; q) donc p Y (k) 10 k :q k p 10 k pour k 0; 1; :::; 10: X+Y 10 donc Z X 10 : Z ne prend que les valeurs paires 10; 8; :::; 8; 10 et pr (Z k) pr (X + k) 10 k+ :p +k q k pour k ; :::; : (ii) E (Z) :E (X) 10 : pr (Z 0) 10 : (pq) ' 0:0:

26 Exercice ** Loi binomiale On suppose que X suit la loi binomiale B (n; p) : (i) Montrer que P [n] n k0 k :p k q n k 1 [(q + p)n + (q p) n ] : (ii) Montrer que pr ("X est pair") 1 [1 + (q p)n ] : On suppose que X et Y sont deux VA binomiales indépendantes de paramètres respectifs (n; p) et (m; p) : (i) Montrer que P r n m k0 k r k n+m r ; avec la convention s t 0 si t < 0 ou t > s: (ii) Montrer que X + Y est une VA binomiale de paramètres (n + m; p) : (i) Développer et distinguer les cas n pair et n impair. (ii) p + q 1: (i) n+m r est le coe cient binomial de a r b n+m r dans le développement de (a + b) n+m (a + b) n (a + b) m : Calcul analytique: on développe. Calcul combinatoire: disjonction des cas. P r k0 n k m r k n+m r (ii) pr (X + Y r) P r k0 pr (X k) pr (Y r k) pr q n+m r : n+m r Exercice 6 Loi hypergéométrique 1 Un électricien achète des composants par paquets de 10 : dans chaque paquet il teste au hasard composants et accepte le paquet si ces trois là sont sans défaut. On note N 1 le nombre de composants défectueux dans ce paquet et X N1 le nombre de composants défectueux sur les tirés parmi 10 du paquet Déterminer la loi de X N1 lorsque N 1 1 et lorsque N 1 4: On suppose que 0% des paquets contiennent 4 composants défectueux et que les 70% restant n en contiennent qu un: calculer la proportion des paquets qui seront rejetés. X N1 suit une loi hypergéométrique H (10; N 1 ; ) donc p XN1 (k) (N 1 k )( 10 N 1 : k ) ( 10 ) avec les conventions du cours. x 0 1 Si N 1 1 : p X1 (x) x 0 1 Si N 1 4 : p X4 (x) On note A k l évènement "le paquet contient k composants défectueux": pr ("accepter") pr (X 4 0 j A 4 ) pr (A 4 ) + pr (X 1 0 j A 1 ) pr (A 1 ) 0:4 donc pr ("rejet") 0:46: Exercice 7 * Loi hypergéométrique On tire n boules sans remise dans une urne qui en contient N : les boules sont numérotées 1; ; :::; N: On note M le plus grand numéro tiré. Calculer la probabilité que tous les numéros tirés soient inférieurs ou égaux à m: En déduire la probabilité pr (M m) : Déterminer la loi et l espérance de M: 6

27 pr (1) n) (m si n m; 0 sinon. ( N n) pr (M m) n) (m si m n; n + 1; :::; N: ( N n) p M (m) pr (M m) pr (M m 1) (m 1 n 1) ( N n) m 4 p M (m) E (M) ( 1 N n) : P N mn m: m 1 n 1 n ( N n) : P N mn m n 9 : si m n; n + 1; :::; N: Exercice 8 Approximation binomiale d une loi hypergéométrique Une société imprime N tickets, dont 1% sont gagnants: elle les vend par lots de 10: On note X N le nombre de tickets gagnants dans un lot. (i) Donner la loi de X N et calculer la proportion des lots qui contiennent au moins un ticket gagnant lorsque N 1000; N 00; N 100: (ii) Comparer avec le résultat fourni par l approximation binomiale de la loi de X: Chaque lot est vendu au prix de 1000N euro et la société rembourse k fois le prix du lot si celui-ci contient k tickets gagnants. Un client achète un lot de tickets: calculer l espérance de son gain. (i) X N suit la loi hypergéométrique H (N; 0:01N; 10) : Si N 1000 : p X1000 (k) (10 k )( k) pour k 0; :::; 10 et pr (X 1) ' 0:0960: Si N 00 : p X00 (k) ( k)( k) ( ) 10 k) ( ) Si N 100 : p X100 (k) (1 k)( 99 ( ) pour k 0; :::; et pr (X 1) ' 0:0964: pour k 0; 1 et pr (X 1) ' 0:1000: (ii) On obtiendrait pr (X 1) ' 0:096 avec la loi binomiale B (10; 0:01) : Le gain est G N (X 1) : E (X) 0:1 donc E (G) N (E (X) 1) 900 N : Exercice 9 Loi multinomiale 10 personnes votent indépendamment et aléatoirement pour 4 candidats équiprobables. On note X k le nombre de votes receuillis par le candidat k (k 1; ; ; 4) : (i) Déterminer la loi de (X 1 ; :::; X 4 ) : (ii) Calculer la probabilité que (X 1 ; :::; X 4 ) (; ; ; 1) : On tire indépendamment 4 fois sur une cible divisée en zones: la probabilité d atteindre la zone k est fois supérieure à celle d atteindre la zone k + 1: On note X k le nombre de fois où la zone k a été atteinte (k 1; ; ) : (i) Déterminer la loi de (X 1 ; X ; X ) : (ii) Calculer la probabilité que (X 1 ; X ; X ) (; 1; 0) : 7

28 (i) (X 1 ; :::; X 4 ) suit la loi multinomiale M (4; 14; :::; 14) : 10 pr (X 1 n 1 ; :::; X 4 n 4 ) n 1;:::;n 4 : 1 4 : 10 (ii) pr ((X 1 ; :::; X 4 ) (; ; ; 1)) 10 ;;;1 : 1 4 : 10 On note p k la probabilité d atteindre la zone k : p 1 47; p 7; p 17: (i) (X 1 ; X ; X ) suit la loi multinomiale M (4; p 1 ; p ; p ) : pr (X 1 n 1 X n ; X n ) n 1;n ;n :p n 1 1 pn pn (ii) pr ((X 1 ; X ; X ) (; 1; 0)) 4 ;1;0 : : 0 4: : Exercice 60 Test d hypothèse On veut déterminer si les rats distinguent les couleurs et on procède à une expérience où 10 rats doivent choisir entre deux couleurs ROUGE ou V ERT : on note p pr ("choisir le V ERT ") : On fait l hypothèse H 0 que les rats sont indi érents aux deux couleurs, donc que la probabilité de choisir chaque couleur est p 0 0:: On note X le nombre de rats qui choisissent le V ERT: Déterminer la loi de X sous l hypothèse H 0 : (i) L expérience a montré que rats ont choisi le V ERT et on décide d accepter H 0 contre l hypothèse opposée H 1 : p < 0: si pr (X ) > %: Que décide-t-on ici? (ii) L expérience a montré que 9 rats ont choisi le V ERT et on décide d accepter H 0 contre l hypothèse opposée H 1 : p > 0: si pr (X 9) > %: Que décide-t-on ici? X suit la loi binomiale B (10; 0:) : (i) pr (X ) ' 0:0 > % donc on accepte H 0 contre H 1 : (ii) pr (X 9) ' 0:011 < % donc on rejette H 0 contre H 1 : Exercice 61 * Loi du discrète On lance un dé à 6 faces n fois indépendamment: on note p k la probabilité d apparition du numéro k et X k le nombre d apparitions de ce numéro. On pose P 6 k1 (X k np k ) np k : Déterminer la loi de X k et calculer l espérance de : On fait une hypothèse H 0 d équiprobabilité et on procède à une expérience de n 10 lancers, avec les résultats suivants: k X k (i) Calculer la valeur de dans ce cas. (ii) On décide d accepter H 0 si pr > % sous l hypothèse H 0 : On donne les probabilités suivantes: x 0: 1:1 1:61 9:4 11:07 1:09 pr x 0:99 0:9 0:90 0:10 0:0 0:01 8

29 Que décide-t-on ici? X k suit la loi binomiale B (n; p k ) : E P 6 1 k1 np k :V [X k ] P 6 k1 (1 p k) : (i) On a ici p k 1 6 pour tout k donc np k 0 et P 6 (X k 0) k1 0 : ' 6:: (ii) pr pr 9:4 0:10 donc on accepte H 0 : Lois discrètes dénombrables Exercice 6 Loi géométrique 1 On lance une pièce un nombre indéterminé de fois: la probabilité d obtenir PILE est p 1 et on note T le temps d attente du premier PILE. Déterminer la loi de T et calculer les probabilités suivantes: (i) pr (T > 4) (ii) pr (T 10) On tire 4 boules simultanément dans une urne qui contient 4 boules blanches et 4 boules rouges: si on obtient boules blanches et boules rouges on s arrête, sinon on remet les boules dans l urne et on recommence le tirage. On note T le nombre de tirages avant de s arrêter. (i) Calculer la probabilité d obtenir boules blanches et boules rouges en un tirage. (ii) Déterminer la loi de T et son espérance. T suit la loi G (p) : pr (T k) pq k 1 pour k 1; ; ::: pr (T > 4) q 4 ' 0:198: pr (T 10) 1 pr (T > 10) 1 q 10 ' 0:98: (i) pr (" boules B et boules R") )( (4 4 ) ( 8 4) ; noté p: (ii) T suit la loi géométrique G (p) donc p T (k) pq k 1 pour k 1; ; ::: E (T ) 1 p ' 1:94: Exercice 6 Loi géométrique Dans un jeu de hasard la probabilité de gagner est p 10 8 : Une personne joue tous les jours indépendamment: on note T le temps d attente (en jours) du premier gain. Déterminer la loi de T et le temps d attente moyen. n de personnes jouent tous les jours et indépendamment les unes des autres: on note T (n) le temps d attente (en jours) avant qu au moins une personne gagne. (i) Calculer la probabilité qu au moins une personne gagne en une journée, puis déterminer la loi de T (n) : (ii) Calculer le temps d attente moyen avant qu au moins une personne gagne. Donner une approximation de celui-ci: combien de personnes faut-il réunir pour que l attente moyenne soit inférieure à un mois? 9

30 T suit G (p) : pr (T k) pq k 1 pour k 1; ; ::: E (T ) 1 p ' 797 années. (i) pr ("au moins un gagnant en une journée") 1 q n p n : T (n) suit la loi G (p n ) donc pr (T (n) k) p n (1 p n ) k 1 (1 q n ) q pour k 1; ; ::: (ii) E (T (n)) 1 p n et p n ' np donc E (T (n)) ' 1 np n > 1 0p ' : 106 : n(k 1) : E (T (n)) < 0 si Exercice 64 * Loi géométrique On lance un dé équiprobable à 6 faces un nombre indéterminé de fois indépendamment.. (i) On note T k le temps d attente d un k-ème nouveau numéro sachant qu on en a déjà obtenu k 1 distincts. Déterminer la loi de T k et son espérance. (ii) On note T le temps d attente avant d obtenir les 6 numéros. Exprimer T à l aide des T k puis donner son espérance. Combien faut-il réunir de personnes en moyenne pour que les 6 jours de l année soient des dates anniversaires? (i) T k suit la loi géométrique G 6 k+1 6 d espérance E (Tk ) 6 6 k+1 : (ii) T P 6 k1 T k; d espérance E (T ) P 6 k1 E (X k) 6: P 6 k1 1 k ' 14:7: Au sein d une population in nie T k est désormais le nombre d individus tirés nécessaire à l obtention d une nouvelle date anniversaire sachant qu on en a déjà 6 k+1 obtenu k 1 distinctes: T k suit la loi géométrique G 6 d espérance E (Tk ) 6 6 k+1 : Le temps d attente avant d obtenir les 6 dates est T P 6 k1 T k; d espérance E (T ) 6: P 6 k1 1 k ' 6: Exercice 6 Loi binomiale négative 1 Pour obtenir un correspondant téléphonique le taux de succès d un appel est de 70%: On note T le nombre d appels nécessaires pour obtenir ce correspondant 4 fois. Déterminer la loi et l espérance de T: On lance une pièce équiprobable jusqu à obtenir P ILE pour la deuxième fois. On note X le nombre de F ACE apparus. Déterminer la loi et l espérance de X: k 1 T suit la loi binomiale négative BN (4; p) ; avec p 0:7 : pr (T k) :p 4 q k 4 pour k 4; ; ::: E (T ) ' :7: On note T le temps d attente du deuxième PILE: X T : On a pr (X k) pr (T k + ) (k + 1) : 1 k+ pour k 0; 1; ; ::: E (X) E (T ) : 0