Localisation par Mesures du RSS

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1 Localisation par Mesures du RSS Id Services Université Paris Sud (Universitégéolocalisation Paris Sud) Indoor 1 / 14

2 Motivation Objectif? Par quels moyens? Tracking d un mobile en milieu confiné (Indoor, Ville,...). Mesures des puissances des signaux WIFI reçus par le mobile. (Universitégéolocalisation Paris Sud) Indoor 2 / 14

3 Motivation (2) À chaque instant t, le mobile envoie au serveur la valeur (en dbm) de la puissance de chaque onde WIFI qu il reçoit (RSS : Received Signal Strength). (Universitégéolocalisation Paris Sud) Indoor 3 / 14

4 Formalisation Notons (X t ) t 0 X suite des positions empruntées par le mobile. X sous ensemble de R 2 Notons t 0, Y t = (Y t,1,...,y t,b ) t le vecteur RSS de longueur B (B : nombre de bornes environnantes) envoyé à l instant t au serveur par le mobile. But : n 0, trouver ˆX n (σ((y t ) 0 t n ) - mesurable) estimateur de X n (Universitégéolocalisation Paris Sud) Indoor 4 / 14

5 Modélisation Modélisons le couple (X t,y t ) t 0 par une chaine de Markov cachée (HMM). i.e. (X t ) t 0 : Chaine de Markov sur X(d ordre 1 dans un premier temps) dont les réalisations nous sont cachées. et, conditionnellement à (X t ) t 0, (Y t ) t 0 est une suite de v.a. indépendantes sur Y R B telle que t 0 la loi de Y t dépend uniquement de la réalisation de X t notons : Q noyau de transition de la C.M. (X t ) t 0 et G noyau de transition de X à Y (supposés connus dans un premier temps) (Universitégéolocalisation Paris Sud) Indoor 5 / 14

6 Modélisation (2) (Universitégéolocalisation Paris Sud) Indoor 6 / 14

7 Cadre on suppose que x X, Q(x,.) admet une densité par rapport à la mesure de Lebesgue sur X 2, notée q(x,.). de même x X, G(x,.) admet une densité par rapport à la mesure de Lebesgue sur Y 2, notée g(x,.). si ν : mesure initiale de la C.M. X, densité de (X t,y t ) 0 t n : n 1 f(x 0,...,x n,y 0,...,y n ) = ν(x 0 ) q(x t,x t+1 ) t=0 n g(x t,y t ) t=0 (Universitégéolocalisation Paris Sud) Indoor 7 / 14

8 Calcul des Maximum a posteriori (MAP) - Calcul de φ ν,k:l n (y 0:n ) loi de X k:l conditionnellement à {Y 0:n = y 0:n }, pour l k 0 et ν probabilité initiale de X. Estimateur MAP : ˆX k:l n = argmax φ ν,k:l n (y 0:n ) - l Algorithme Forward-Backward permet de calculer : les φ ν,k k (y 0:k ) par récursion Forward ( et donc φ ν,n n ) puis les φ ν,k n (y 0:n ) par récursion Backward - l Algorithme de Viterbi estime le MAP de la loi φ ν,0:n n (y 0:n ) (Universitégéolocalisation Paris Sud) Indoor 8 / 14

9 Problématiques Dans la pratique les noyaux de transitions Q et G sont à estimer. dans le cas paramétrique (Q et G paramétrisés par θ Θ ), l algorithme EM (Expectation-Maximisation) permet d estimer le MLE. Le MLE est consistent sous certaines conditions sur Θ. (Leroux(1990), Douc et al. (2009)) comment paramétriser la propagation des signaux en milieux confinés? Discrétisation de l espace. modéliser le déplacement par une C.M. d ordre 1 est-il adéquat? Modéliser X par une C.M. à arbre de contexte τ 0 à estimer. (Universitégéolocalisation Paris Sud) Indoor 9 / 14

10 Discrétisation et Paramétrisation Plan des Locaux d IdServices une grille est superposée au plan sur lequel se déplace le mobile. On cherche à localiser la cellule où le mobile se trouve. Pour chaque cellule c notons g(c,.) la densité du modèle d observation lorsque le mobile est au point c. Modèle Paramétrique : - X = {1,...,N} où N : nombre de cellules et : c {1,...,N}, y Y = R B, g(c,y) = N(y m c,σ c ) gaussienne multivariée. - le noyau de transition Q peut être décrit par la matrice de passage Q définie par Q i,j = P(X 1 = j X 0 = i), i,j {1,...,N}. (Universitégéolocalisation Paris Sud) Indoor 10 / 14

11 Estimation des paramètres Pour des raisons pratiques, l algorithme EM ne peut être utilisé pour l instant. - Procédure d audit pour estimer les {m c,σ c } c {1,...,N}. - Bon sens pour établir la matrice de passage Q. (Universitégéolocalisation Paris Sud) Indoor 11 / 14

12 Résultats Aperçu de la localisation en temps réel d un trajet dans les locaux d IdServices Résultat très fortement dépendant de l environnement où se trouve le mobile (nombre de bornes Wifi, composition des cloisons,...) Qualité de la localisation varie au cours du temps : modification de la propagation des ondes dans le bâtiment (audit à refaire...). (Universitégéolocalisation Paris Sud) Indoor 12 / 14

13 Perspectives - Pour se passer de l audit : Placer des antennes Réceptrices WIFI à endroits fixes connus, puis extrapolation des mesures effectuées par méthodes spatio-temporelles (Krigeage, modélisation déterministe de la propagation des ondes). Ré-estimation des paramètres en utilisant l algorithme EM (ou un dérivé). - Amélioration de la précision : Estimation du modèle de déplacement du mobile (Sélection de modèle dans l estimation de l arbre de contexte de la C.M. X) (Universitégéolocalisation Paris Sud) Indoor 13 / 14

14 Bibliographie O.Cappé, E.Moulines, T.Ryden Inference in Hidden Markov Models. Springer Series in Statistiques. B.G. Leroux (1990) Maximum-Likelihood Estimation For Hidden Markov Models. R.Douc, E.Moulines, J.Olsson, R.VAN HANDEL(2009) Consistency of The Maximum Likelihood Estimator for General Hidden Markov Models. I. Csiszár and Zs. Talatav (2006), Context tree estimation for not necessarily finite memory processes, via BIC and MDL, IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 52, pp (Universitégéolocalisation Paris Sud) Indoor 14 / 14