Chapitre 2. Test de comparaison d une moyenne à une valeur théorique. Test bilatéral pour une population de loi normale et d écart-type connu

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1 Chapitre 2 Test de comparaison d une moyenne à une valeur théorique I Test bilatéral pour une population de loi normale et d écart-type connu 24

2 Exemple 1 Score d Achenbach : mesure les problèmes comportementaux des jeunes. Dans la population des jeunes, les scores se distribuent selon la loi normale N(50,10). Population étudiée P : enfants de parents récemment divorcés. Hypothèse de recherche : la moyenne (µ) est différente de la norme (50). Observations : Sur un échantillon de 24 enfants, on observe un score moyen x obs = 54,5. Peut-on, à partir des observations valider l hypothèse de recherche? Pour les calculs : on admet que pour ces enfants, la loi des scores est encore normale et d écart-type σ =

3 Les étapes du test d hypothèses 1 ) Les hypothèses du test 50 : valeur de référence pour µ, à tester. valeur théorique, norme Un test comporte toujours 2 hypothèses : Hypothèse nulle notée H 0 «Opposée» à l hypothèse formulée : H 0 : La moyenne des enfants est égale à la valeur théorique Hypothèse alternative, notée H 1 Celle que l on a formulée et que l on veut valider : H 1 : La moyenne des enfants n est pas égale à la valeur théorique «elle est plus petite ou plus grande» hypothèse bilatérale 26

4 On pose les 2 hypothèses : H 0 : µ = 50 H 1 : µ 50 bilatérale On teste H 0 contre H 1. Hypothèses unilatérales : on aurait pu poser un test unilatéral : H 0 : µ = 50 H 1 : µ > 50 ou H 0 : µ = 50 H 1 : µ < 50 unilatérale droite unilatérale gauche Orientation de H 1 à choisir au départ. 27

5 2 ) Observations et statistique du test On prélève un échantillon de 24 enfants. Statistique utilisée pour le test : X n. On calcule sa valeur observée x obs = 54,5. 3 ) Règle de décision basée sur x obs - Choix à faire entre l hypothèse H 0 et l hypothèse H 1. - Décision prise en fonction de la moyenne observée : 54,5. 28

6 a) Principe de la règle On suppose au départ que H 0 est vraie. «On se place sous H 0» On va conserver (accepter) H 0 si la valeur observée (54,5) est jugée suffisamment plausible sous H 0. On va rejeter H 0 et accepter H 1 si la valeur observée (54,5) est jugée trop improbable sous H 0. b) Région de rejet et intervalle d acceptation Sous H 0 : Les moyennes se distribuent autour de 50 avec une certaine dispersion. 29

7 Il est normal d observer un écart entre valeur prise par X n et la valeur centrale 50. Il est par contre anormal d observer un écart trop grand. Rejet 50 x L 1 Acceptation L 2 Rejet Valeurs de X n plausibles : contenues dans un intervalle de variation (dit d acceptation, noté IA). Valeurs de X n trop improbables : les plus éloignées de 50, dans la région dite de rejet ou critique RC. Les plus extrêmes sont les plus significatives de H 1. 30

8 c) Calcul des bornes de l IA On choisit un risque α associé à l IA. Bornes L 1 et L 2 : quantiles d ordres α/2 et 1 α/2 de la statistique X n. ➀ On fixe le risque α α est appelé «le niveau» du test. α petit. Valeurs usuelles : 5%, 1%. On choisit un risque α = 5%. ➁ Loi de X n sous H 0 X n N ( 50; ) et sous forme centrée réduite Z n = X n N (0;1) 31

9 ➂ Intervalle d acceptation et région de rejet IA : intervalle centré en 50 et contenant 1 α = 95% des moyennes. α 2 1 α α 2 RC Intervalle d acceptation RC x IA = [46; 54] Bornes 46 et 54 : «valeurs critiques» Quand H 0 est vraie, il y a 95% de chances d observer une valeur de X n dans l intervalle IA = [46; 54] et seulement 5% de chances dans la région de rejet. 32

10 Calculs détaillés : Bornes obtenues par la formule standard de calcul des quantiles d une loi normale. bornes : 50 ± z 1 α/ moyenne quantile écart-type Pour α = 5% : z 1 α/2 = z 0,975 quantile d ordre 0,975 de la loi N (0;1). Lu dans la table N (0;1). IA = [ 50 1, ; , ]. 33

11 d) Décision Règle : Si x obs appartient à l IA, on accepte H 0. Sinon on la rejette et on accepte H 1. Décision : La moyenne observée x obs = 54,5 appartient à la région de rejet. On rejette H 0 et on accepte H 1. «Résultat du test significatif au niveau 5 %». Risque d erreur associé à cette décision : α = 5%. α : Risque d observer une valeur de X n dans la région de rejet quand H 0 est vraie. Probabilité de rejeter H 0 à tort. On le fixe au départ. 34

12 4 ) Règle de décision équivalente, basée sur z obs - Valeur observée de Z n : z obs = x obs 50 = , = 2,20 - IA au risque α = 5% : IA = [ z 0,975 ; z 0,975 ] = [ 1,96; 1,96] - Décision : z obs est dans la région de rejet. On rejette H 0 avec un risque d erreur de 5%. 35

13 Conclusion sur l exemple traité Test d une hypothèse bilatérale pour une population ayant une loi normale et un écart-type connu. En pratique σ inconnu. La loi peut être inconnue. Les hypothèses sont souvent «unilatérales». 36

14 II Test de Student pour une population de loi normale, σ inconnu Exemple 2 On modifie le contexte de l exemple 1 : - P : enfants de parents récemment divorcés. - On teste la valeur théorique On admet que la loi des scores est normale. L écart-type σ est inconnu. 37

15 Contexte général du test : Population P. Variable X quantitative. Loi de X normale. Moyenne µ et écart-type σ inconnus. On teste une valeur théorique notée µ 0 pour µ. L écart-type σ doit être estimé à partir des données de l échantillon. Pour le calcul des bornes de l IA : la loi N (0;1) est remplacée par une loi appelée loi de Student. 38

16 Etapes du test identiques à celles de l exemple précédent. 1 ) Hypothèses à tester et niveau α On teste H 0 : µ = µ 0 contre H 1 : µ µ 0 bilatérale ou H 1 : µ > µ 0 unil. droite ou H 1 : µ < µ 0 unil. gauche Niveau (risque) α fixé. Exemple 2.1. Test bilatéral : H 1 : µ 50. On choisit α = 1%. Exemple 2.2. Test unilatéral droit : H 1 : µ > 50. On choisit α = 1%. 39

17 2 ) Observations et statistique du test Cas général : on tire au sort un échantillon de taille n. Pour la décision : On calcule x obs. Statistique de décision : Xn. Pour estimer σ : On calcule s. Statistique utilisée : S n. Exemple 2 : n = 24. x obs = 54,5; s = 9,6. 3 ) Loi de X n sous H 0 On se place sous H 0. On doit déterminer l IA et la région de rejet associés au risque α choisi. Calcul des bornes : loi de X n indispensable. 40

18 Exemple 2 : On ( sait que ) X n se distribue selon σ la loi normale N 50;. 24!! La formule «centrée réduite» qui transforme X n en Z n = X n 50 σ 24 n est pas utilisable car σ n est pas connu. On la remplace ici par la formule T n = X n 50 Sn. 24 La statistique T n a sa propre distribution légèrement différente de la loi normale N (0;1). 41

19 Loi de T n : - Appelée loi de Student : symétrique autour de 0, un peu plus étalée que la loi N (0,1). - Dépend d un paramètre ν (nu) : «nombre de degrés de liberté». - Ce paramètre est égal à n 1 = 24 1 = On écrit T n T à 23 ddl Résultat général : T n = X n µ 0 S n n suit la loi de Student à n 1 ddl T n T à n 1 ddl Rq : Pour n 30, on peut remplacer la loi de Student par la loi N(0; 1). 42

20 4 ) Intervalle d acceptation et région de rejet associés au risque α a) Valeurs de X n qui conduisent à rejeter H 0 ➀ Pour H 1 : µ µ 0 Valeurs de X n s écartant trop de µ 0 (droite ou gauche). Les plus extrêmes : les plus significatives de H 1. ➁ Pour H 1 : µ > µ 0 Valeurs de X n trop grandes par rapport à µ 0 (à droite). Les plus grandes : les plus significatives de H 1. ➂ Pour H 1 : µ < µ 0 Valeurs de X n trop petites par rapport à µ 0 (à gauche). Les plus petites : les plus significatives de H 1. 43

21 ➀ α 2 1 α α 2 µ 0 x RC L 1 L 2 Intervalle d acceptation RC ➁ 1 α α µ 0 L x Intervalle d acceptation RC ➂ α 1 α RC L µ 0 Intervalle d acceptation x 44

22 b) Intervalle d acceptation au risque α pour X n ➀ Pour H 1 : µ µ 0 IA pour le cas précédent (I) : bornes : µ 0 ± z 1 α/2 σ n On remplace σ par s et le quantile z 1 α/2 par celui de la loi de Student : IA = [µ 0 t 1 α/2 s n ;µ 0 + t 1 α/2 s n ] (1) t 1 α/2 : quantile d ordre 1 α/2 de la loi de Student à n 1 ddl. A lire dans la table de Student : ligne n 1 et colonne α. 45

23 ➁ Pour H 1 : µ > µ 0 Un seule borne à calculer. On change l ordre du quantile : IA = ] ;µ 0 + t 1 α s n ] (2) t 1 α : quantile d ordre 1 α de la loi de Student à n 1 ddl. A lire dans la table de Student : ligne n 1 et colonne 2α. ➂ Pour H 1 : µ < µ 0 : IA = s [µ [ 0 t 1 α ;+ n (3) Règle de décision générale : Si x obs appartient à l IA, on conserve H 0. Sinon on la rejette au risque d erreur α. 46

24 Pour α = 1% et 23 ddl : ➀ Exemple 2.1 : H 1 : µ 50 t 1 α/2 = t 0,995 = 2,807 (ligne 23, colonne 0,01). [ IA = 50 2,807 9,6 ; ,807 9,6 ] = [44,5; 55,5] Décision : x obs = 54,5 appartient à l intervalle d acceptation. On ne rejette pas H 0. ➁ Exemple 2.2 : H 1 : µ > 50 t 1 α = t 0,99 = 2,5 (ligne 23, colonne 0,02). ] IA = ; ,5 9,6 ] = ] ; 54,9]. 24 Décision : x obs = 54,5 appartient à l intervalle d acceptation. On ne rejette pas H 0. Dans les deux cas : «Résultat du test non significatif au niveau 1 %». 47

25 5 ) Règle alternative basée sur T n a) Intervalle d acceptation : ➀ Pour H 1 : µ µ 0 IA = [ t 1 α/2 ; t 1 α/2 ] (4) ➁ Pour H 1 : µ > µ 0 ➂ Pour H 1 : µ < µ 0 IA = ] ; t 1 α ] (5) b) Valeur observée de T n : IA = [ t 1 α ; [ (6) t obs = x obs µ 0 s n Si t obs appartient à l IA, on conserve H 0. Sinon on la rejette au risque d erreur α. 48

26 Exemples 2.1 et 2.2 Valeur observée de T n : t obs = 54,5 50 9,6 24 = 2,296. ➀ Exemple 2.1 : H 1 : µ 50 IA = [ ] t 1 α/2 ;t 1 α/2 = [ 2,807; 2,807]. Décision : t obs = 2,296 appartient à l IA. On ne rejette pas H 0. ➁ Exemple 2.2 : H 1 : µ > 50. IA = ] ;t 1 α ] = ] ;2,5]. Décision : t obs = 2,296 appartient à l IA. On ne rejette pas H 0. 49

27 III Test pour une population de loi inconnue et σ inconnu Contexte général : Ce qui change par rapport au test de Student : Loi de X inconnue (quelconque). Procédure du test : Ce qui change : Loi de X n sous H 0. Formules des bornes. 50

28 1 ) Loi de X n sous H 0 On doit utiliser l approximation normale. Pour n 30 : on sait que X n N approxt ( µ 0 ; ) σ. n Pour les calculs : pour n grand, on peut transformer X n en Z n = X n µ 0 Sn. n La statistique Z n suit approximativement la loi normale N (0; 1). Pour n < 30 :?? 51

29 2 ) Intervalle d acceptation pour X n Formules analogues aux formules (1), (2) et (3) du test de Student. Les quantiles «t» sont remplacés par les quantiles «z» de la loi N(0; 1) : Bilatéral : t 1 α/2 remplacé par z 1 α/2. Unilatéral : t 1 α remplacé par z 1 α. Règle de décision usuelle. 3 ) Règle alternative basée sur Z n a) Intervalle d acceptation : Formules (4), (5) et (6) transformées de la même façon. b) Valeur observée de Z n : z obs = x obs µ 0 s n Règle de décision usuelle. 52

30 IV Niveau de signification (ou p-valeur) Probabilité, notée α obs, associée à la moyenne observée x obs. Exemple 3 On teste H 1 : µ > 13 unilatérale droite. On choisit de faire le test au niveau α = 5%. Echantillon : - n = 65 (n 30). - Valeurs observées des statistiques de test : x obs = 15,2 et z obs = 2,07. - Ecart-type estimé : s = 8,58. Test basé sur «l approximation normale». 53

31 Détails du test pour l exemple 3 Loi de X n sous H 0 : comme n = et σ est inconnu, ( ) X n N σ 13; approx. n et Z n = X n 13 S n n approx. N (0; 1). IA et RC au risque α = 5% pour X n : Région critique à droite du domaine. Valeur critique : ,645 8,58 65 = 14,75. Décision : x obs = 15,2 > 14,75. On rejette H 0 pour un risque d erreur de 5%. Si l on utilise Z n pour la décision : Valeur observée : z obs = 15,2 13 8,58 65 = 2,07. 54

32 Réponse au test de niveau α = 5% : Pour Z n : on rejette H 0 si z obs > 1,645. Décision : z obs = 2,07 > 1,645 donc on rejette H 0. Résultat du test significatif au niveau 5%. Valeur observée ( x obs ou z obs ) significative au niveau 5%. Test au niveau α = 1% : z obs = 2,07 < 2,325 donc on accepte H 0. Valeur observée non significative au niveau 1%. 55

33 Résultat significatif pour quelles valeurs de α? α = 5% 0 z obs = 2.07 z < > Rejet α = 1% z < > Rejet (Sous H 0, Z n suit approx. la loi N(0; 1)). 56

34 Résultat significatif pour n importe quel niveau α > 1,92% : α 1.92 % z < > Rejet 1,92% = P(Z n 2,07) = P( X n 15,2). 1,92% : probabilité définie par rapport aux valeurs de X n qui sont encore plus significatives que 15,2. 1,92% : niveau de signification ou p-valeur de la moyenne observée 15,2. 57

35 1 ) Définition et formules générales Définition : α obs est la probabilité, sous H 0, d observer une valeur de X n encore plus significative que la valeur effectivement observée. ➀ Pour H 1 : µ > µ 0 Valeur plus significative : plus grande. α obs = définition P H 0 ( X n x obs ). α obs µ 0 x obs x Exemple 3 : α obs = définition P H 0 ( X n 15,2). 58

36 ➁ Pour H 1 : µ < µ 0 Valeur plus significative : plus petite. α obs = définition P H 0 ( X n x obs ). α obs x obs µ 0 x 59

37 ➂ Pour H 1 : µ µ 0 Valeurs les plus significatives : les plus extrêmes ( à droite et à gauche). α obs 2 α obs 2 x obs µ 0 x Si x obs < µ 0, on pose α obs 2 = P H0 ( X n x obs ), Si x obs > µ 0, on pose α obs 2 = P H0 ( Xn x obs ). 60

38 2 ) Détermination numérique Table de la fonction de répartition de la «loi centrée réduite» nécessaire. Table disponible pour la loi N(0; 1). Table non disponible pour la loi de Student. On se limitera donc au cas où n ) Interprétation de α obs On peut considérer α obs comme un risque d erreur. 61

39 Exemple 3 : Pour un risque nominal α fixé à l avance : Si α obs = 1,92% < α, on peut rejeter H 0 au risque α. α obs : risque d erreur minimum à prendre pour rejeter H 0. Si α obs = 1,92% α, on conserve H 0. α : risque d erreur maximal que l on accepte de prendre pour rejeter H 0. α 1.92 % z < > Rejet 62

40 V Risques d erreur et puissance d un test - Deux états possibles pour H 0 : vraie ou fausse. - Deux décisions possibles : rejeter H 0 ou conserver H 0. Pour chaque décision : risque d erreur associé. 63

41 Décision H 0 Rejeter H 0 Conserver H 0 erreur de 1 re espèce bonne décision Vraie risque de 1 re espèce α fixé bonne décision erreur de 2 e espèce Fausse risque de 2 e espèce noté β Risque α : probabilité de choisir H 1 alors que H 0 est vraie. Connu car fixé. Risque β : probabilité de choisir H 0 alors que H 1 est vraie. Inconnu en général. Puissance 1 β : probabilité de choisir H 1 alors que H 1 est vraie. Plus le risque β est petit, plus le test est puissant. 64

42 On souhaite de faibles risques d erreur. Risques antagonistes : Si on diminue α, on élargit l intervalle d acceptation et donc β augmente. Effet de la taille n : Pour α fixé, si on augmente n, β diminue. Pour faire un test : Fixer α en fonction des conséquences du rejet erroné de H 0. Prendre n le plus grand possible pour avoir le test le plus puissant possible. 65