a. (0,5) Probabilité que le candidat n ait pas un dossier de bonne qualité et soit admis à la formation :. b. (0,5)

Transcription

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2 Exercice 1 : (5 points) 1 On choisit un candidat au hasard et on note : l évènement : «le candidat a un dossier jugé de bonne qualité»; l évènement : «le candidat est admis à suivre la formation» a (0,5) Probabilité que le candidat n ait pas un dossier de bonne qualité et soit admis à la formation : b (0,5) c (0,5) Probabilité qu un candidat soit admis sachant que son dossier est jugé de bonne qualité : d (0,5) Probabilité que le candidat ait un dossier de bonne qualité et qu'il ne soit pas admis à la formation : arbre :(0,25) 2 a (0,75) On répète 10 fois de suite, de manière indépendante, l'expérience "une personne postule à la formation" On note la variable aléatoire donnant le nombre de personnes admises à cette formation On appelle succès, l'évènement : "la personne est admise à la formation" suit une loi binomiale de paramètres et b (0,5) Probabilité pour qu'exactement 3 candidats soient admis : c (0,75) Probabilité qu au moins une des dix personnes soit admise : 3 (0,75) est la variable aléatoire donnant l heure d arrivée de Cédric On admet que suit la loi uniforme sur l intervalle [0;60] donc a pour fonction de densité La probabilité pour que Ninon attende Cédric plus de dix minutes est la probabilité que Cédric arrive entre 8h40 et 9h :

3 Exercice 2 : (5 points) Pour tout, où et sont des réels Partie A 1 (0,5) et 2 (0,5)? On pose : donc ; donc ; donc d où 3 (1,25) (car ) Partie B : 1 pour tout a (0,5) b (0,75) pour tout, donc est du signe de d'où le tableau de variations de : x 0 + -x + 0 e -x + + signe de f var f 2 (1) Sur l'intervalle est continue et strictement croissante, et et sont de signes contraires donc, d'après la propriété de la valeur intermédiaire, l'équation admet une unique solution α sur ]-2;-1[ Avec la calculatrice : x -2-1,7-1,6-1 f(x) -4,39-0,83 0, (0,5) Aire du domaine colorié en unités d'aires : EXERCICE 3 ( 5 points ) Commun à tous les candidats Le service commercial d une société possédant plusieurs salles de sport dans une grande ville a constaté que l évolution du nombre d abonnés était définie de la manière suivante : chaque année, la société accueille 400 nouveaux abonnés ; chaque année, 40% des abonnements de l année précédente ne sont pas renouvelés En 2010, cette société comptait 1500 abonnés On considère la suite définie par : et 1 1 correspond au nombre d abonnés de l année ; Lorsque l' on passe de l'année à l année suivante, 40% des abonnements ne sont pas renouvelés, donc est multiplié par La société accueille 400 nouveaux abonnés, donc on ajoute 400 à pour obtenir le nombre d abonnés de l année, c est-à-dire

4 2 On considère la suite définie par a (1)Pour tout entier naturel, on a est donc une suite géométrique de raison et de premier terme b (0,5)On a donc, pour tout entier naturel, c (0,5)On en déduit que : 3 En 2010, le prix d un abonnement annuel dans une salle de sport de cette société était de 400 Pour que la société continue de fonctionner, elle doit réaliser une recette supérieure ou égale à a (2 0,25)Recette en euros ; Recette en : euros b (0,5+0,25)A l aide de la calculatrice, on trouve une recette égale à pour l année 2015 et une recette égale à pour l année 2016 La société ne pourra plus fonctionner sans augmentation du prix de l abonnement au-delà de l année 2015 Cela représente 6 années de fonctionnement (de à inclus) c (0,25+0,5) Variables : est du type nombre est du type nombre Initialisation : prend la valeur prend la valeur Traitement : Tant que faire prend la valeur prend la valeur Fin Tant que Sortie : Afficher ou

5 EXERCICE 4 ( 5 points ) Candidats de ES n ayant pas suivi l enseignement de spécialité et candidats de la série L est la fonction définie sur par : 1 0,5La fonction reste positive sur l intervalle L intégrale donne donc la mesure, en unités d aire, du domaine délimité par les deux axes, la courbe et la droite d équation 2, et sont les points de d abscisses respectives, et a donc ; donc ; donc 3 Les quadrilatères et sont des rectangles On admet que la courbe reste en-dessous des segments et b L aire décrite à la question 1 est donc inférieure à la somme des aires des deux rectangles et 025 et 2*025 On a donc a ; vérifie l équation proposée ; ; vérifie l équation proposée ; admet pour équation 05 b On pose, pour tout réel de, Pour tout réel de, 05+05bonus Pour tout réel, et sont positifs Sur, 025 Donc pour tout réel de, 025 c On déduit de la question précédente que reste au-dessus de 05 d L aire grisée est donc supérieure à l aire du trapèze 05 05

6 EXERCICE 4 ( 5 points ) Candidats de la série ES ayant suivi l enseignement de spécialité Le graphe ci-dessous représente les autoroutes entre les principales villes du Sud de la France : Bordeaux (B), Clermont-Ferrand (C), Lyon (L), Marseille (M), Montpellier (P), Brive (R), Toulouse (T), Valence (V) et Biarritz (Z) 1 Pour cette question, on justifiera chaque réponse a L ordre du graphe est égal à 9 (c est le nombre de sommets) b Le graphe est connexe car deux sommets quelconques du graphe sont toujours reliés par une chaine c Le graphe n est pas complet car les sommets et (par exemple) ne sont pas adjacents 2 Un touriste atterrit à l aéroport de Lyon et loue une voiture On veut savoir si le graphe contient une chaine eulérienne : il est connexe, donc on peut appliquer le théorème d Euler On liste donc tous les sommets avec leur degré : Sommet Degré Il y a 4 sommets de degré impair, donc le touriste ne pourra pas visiter toutes les villes en empruntant une et une seule fois chaque autoroute 3 Il décide finalement d aller seulement de Lyon à Biarritz On note la matrice associée au graphe, les sommets étant rangés dans l ordre alphabétique :,,,,,,, et Voici les matrices et : et a Pour calculer on fait Le coefficient de la troisième ligne et dernière colonne de la matrice est donc b Il signifie qu il existe 4 chemins en 4 étapes liant le sommet au sommet ; c est-à-dire 4 trajets contenant exactement 4 autoroutes entre Lyon et Biarritz

7 4 Sur les arêtes du graphe sont maintenant indiqués les prix des péages en euros a À Le chemin que doit prendre le touriste pour minimiser le coût des péages de Lyon à Biarritz est :, c est-à-dire : Lyon, Clermont-Ferrand, Brives, Bordeaux, Biarritz b Le coût total du péage sera alors de 38, 10