Chap 5 : A la règle, à l équerre, au compas et au rapporteur

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1 Chap 5 : A la règle, à l équerre, au compas et au rapporteur A la fin du chapitre, tu dois être capable de : 6 G 7 : Tracer, par un point donné, la perpendiculaire ou la parallèle à une droite donnée (usage de la règle et l'équerre) 6 G 7 bis : connaître les propriétés des droites parallèles et perpendiculaires 6 G 8 : Comparer des angles 6 G 9 : Utiliser un rapporteur pour déterminer la mesure en degré d'un angle 6 G 10 : Utiliser un rapporteur pour construire un angle de mesure donnée en degré 6 G 11 : Construire le symétrique d'un point, d'une droite, d'un segment, d'un cercle (que l'axe coupe ou non la figure) 6 G 12 : Construire ou compléter la figure symétrique d'une figure donnée ou de figures possédant un axe de symétrie à l'aide de la règle, de l'équerre ou du compas, du rapporteur 6 G 12 bis : Construire les axes de symétrie de figures usuelles 6 G 13 : Connaître et utiliser la définition de la bissectrice d'un angle 6 G 14 : Utiliser différentes méthodes pour tracer la bissectrice d'un angle 6 G 15 : Connaître les propriétés relatives aux côtés et aux angles des triangles suivants: triangle isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle 6 G 16 : Utiliser ces propriétés pour reproduire ou construire des figures usuelles simples 6 G 17 : Construire une figure simple à partir d'un énoncé décrivant une figure 6 G 18 : Construire une figure simple à partir d'un schéma codé à main levée avec ou sans données numériques 6 G 19 : Reproduire une figure simple conforme à un modèle concret ou un dessin 6 G 20 : Construire une figure simple à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique 6 G 21 : Reconnaître et tracer les axes de symétrie des quadrilatères usuels 6 G 22 : Analyser et reconnaître une figure complexe pour y reconnaître des figures simples 6 G 23 : Compléter la construction d'une figure constituant éventuellement l'agrandissement ou la réduction d'une figure donnée Activité : la carte au trésor (6G7 6G8 6G9) La carte au trésor Un lutin trouve un jour un parchemin en sortant de sa maison. Ce parchemin est en fait la carte d un trésor caché. Voici ce qui est écrit dessus : «A partir de cet endroit, fait 600 m perpendiculairement à la route de la baie vers le sud. Ensuite, fait 1 km vers le nord-ouest, parallèlement à la route de la ville. Poursuis ta route, parallèlement à la route de la baie en faisant 100 m vers le sud-est. Enfin, perpendiculairement à la route de la ville, vers le nord-est, fait 1,1 km. Tu trouveras ainsi le trésor.» Où se trouve le trésor? Fais les tracés nécessaires sur la feuille. 1

2 100 m = 1 cm Route de la ville plage Route de la baie N M er O E S 6 G 7 : Tracer, par un point donné, la perpendiculaire ou la parallèle à une droite donnée (usage de la règle et l'équerre) 6 G 7 bis : connaître les propriétés des droites parallèles et perpendiculaires CA p P1 : Si deux droites sont parallèles à la même droite alors elles sont parallèles entre elles (d 1 ) (d 2 ) (d 3 ) Dessin : Phrase mathématique : (d 1 ) // (d 2 ) et (d 1 ) // (d 3 ) alors (d 1 ) // (d 3 ) P2 : Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles ont parallèles entre elles Dessin : Phrase mathématique : (d 1 ) (d 2 ) et (d 1 )//(d 3 ) alors (d 1 )//(d 3 ) 2

3 P3 : Si deux droites sont perpendiculaires, toute droite parallèle à l une est perpendiculaire à l autre Dessin : Phrase mathématique : P4 : Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. Dessin : Phrase mathématique : Fiche exercices sur les droites parallèles et perpendiculaires Travail sur les propriétés Exercice 1 : 1) Reproduis le dessin ci-contre sur la feuille blanche, en respectant les indications marquées sur la figure. 2) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Pourquoi? 3) Construis la droite d 1 parallèle à (BD) passant par A. Construis la droite d 2 parallèle à (AC) passant par B. Construis la droite d 3 parallèle à (BD) passant par C. Construis la droite d 4 parallèle à (AC) passant par D. 4) Marque les points suivants sur ton dessin : A à l'intersection des droites d 1 et d 2. B à l'intersection des droites d 2 et d 3. C à l'intersection des droites d 3 et d 4. D à l'intersection des droites d 4 et d 1 5) a) Justifie pourquoi les droites (A B ) et (C D ) sont parallèles. b) Justifie pourquoi les droites (A D ) et (B C ) sont parallèles, c) Qu'en déduis-tu sur la nature du quadrilatère A B C D? Exercice 2 : fait pour le test de leçon des 6 3 1) Trace un triangle ABC rectangle en A. 2) Trace par B la droite d perpendiculaire à (AB). 3) Que peut-on dire de d et (AC)? Justifie ta réponse à l'aide d'une propriété du cours. Exercice 3 : 3

4 1) Reproduis cette figure en respectant les indications. 2) Pourquoi peut-on dire que les droites (AE) et (CD) sont parallèles? Exercice 4 : A, B et C sont trois point non alignés. 1) Trace la droite (AB) puis trace la droite perpendiculaire à la droite (AB) passant par le point C. On la note (d). Trace la droite perpendiculaire à la droite (AB) passant par le point B. On la note (d ). Que peut-on dire des droites (d) et (d )? Justifie. 2) Trace une droite d sécante à la droite (d ). Que peut-on dire de (d) et de (d )? Justifie. Exercice 5 : Observe attentivement le dessin ci-contre. 1) Démontre que (SA) // (XY)? 2) Démontre que (AM) // (YT)? 3) Démontre que (AM) (XY)? Exercice 6 : Place trois points A, B et C non alignés : 1) Trace [AB) et [AC). 2) Place un point I sur [AB]. 3) La perpendiculaire en I à (AB) coupe (AC) en J ; place J. 4) La perpendiculaire en J à (AC) coupe (AB) en K ; place K. 5) La perpendiculaire en K à (AB) coupe (AC) en L ; place L. 6) Que peut-on dire des droite (IJ) et (KL)? Justifie. Exercice 7 : 1) Reproduis cette figure sur une feuille blanche, en indiquant la façon dont tu as procédé. Puis tu la colleras dans ton cahier 4

5 2) Que peut-on dire des droites (BE) et (CF)? Quelle propriété utilises-tu pour le démontrer? 3) Quelle est la nature du quadrilatère BCFE? Pourquoi? 4) Cite tous les triangles rectangles dessinés sur la figure. 5) Que peut-on dire du triangle CFD? Justifie. Exercice 8 : 1) Construis un triangle ABC tel que : AC = 7 cm, AB = 5 cm et BC = 4 cm. 2) Trace la droite d 1 perpendiculaire à la droite (AC) passant par C. 3) Trace la droite d 2 parallèle à la droite (AC) passant par B. 4) Place le point d intersection D des droites d 1 et d 2. 5) Comment sont les droites d 1 et d 2? Quelle propriété le justifie? 6 G 8 : Comparer des angles 6 G 9 : Utiliser un rapporteur pour déterminer la mesure en degré d'un angle 6 G 10 : Utiliser un rapporteur pour construire un angle de mesure donnée en degré 1) Définir, nommer et désigner un angle CA p 100 n 1 à 6 2) Connaître les angles particuliers (aigu, obtus, plat et droit) CA p 101 n 7 à 12 3) Savoir mesurer et tracer un angle avec le rapporteur 1) Mesurer un angle CA p 103 n CA p 104 n 5 2) Tracer un angle à la règle et au rapporteur CA p 105 n 1 2 CA p 106 n 3 Savoir construire des triangles et des quadrilatères avec des contraintes sur les angles CA p 104 n 6 CA p 106 n CA p 109 n 1 (sauf c) 2 Sur feuille de dessin CA p 110 n 5 : coller une constellation sur le cahier. 5

6 Livre p 165 n 20 Livre p 166 n test de leçon (mesurer et construire un angle et un triangle) 6

7 7

8 6 G 13 : Connaître et utiliser la définition de la bissectrice d'un angle 6 G 14 : Utiliser différentes méthodes pour tracer la bissectrice d'un angle Activité : Construire un angle Placer un point D à égale distance des côtés [BA) et [BC). Placer un autre point E à égale distance des côtés [BA) et [BC). Combien peut-on en placer? Quel est cet ensemble de points? Retenons (chap 9 du répertoire) La bissectrice d un angle est son axe de symétrie : tous les points de la bissectrice sont équidistants des côtés de l angle. La bissectrice d un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure. CA p Ex 1 : Placer un point A et tracer une demi-droite [Ax). Placer un point B n appartenant pas à la demi-droite. Placer un point C tel que la demi-droite [Ax) soit la bissectrice de l angle. Ex 2 : Tracer le triangle ABC tel que BC = 8 cm = 70 et = 56 Construire les bissectrices des trois angles du triangle. Elles se coupent en O. Construire le cercle de centre 0 tangent (qui «touche») aux 3 côtés du triangle. Ex 3 : Le triangle et ses 4 droites particulières Construire le triangle DEF isocèle en D tel que DE = 8 cm et = 85. Construire la médiatrice (d) de [DE] (voir CA p 72) Construire la hauteur (d ) issue de E (droite qui passe par E et perpendiculaire à (DF) (voir CA p 71 n 7) Construire la médiane issue de E (droite issue de E qui coupe le côté opposé en son milieu). Construire la bissectrice de l angle 6 G 11 : Construire le symétrique d'un point, d'une droite, d'un segment, d'un cercle (que l'axe coupe ou non la figure) 6 G 12 : Construire ou compléter la figure symétrique d'une figure donnée ou de figures possédant un axe de symétrie à l'aide de la règle, de l'équerre ou du compas, du rapporteur 6 G 12 bis : Construire les axes de symétrie de figures usuelles CA p 93 (médiatrice et bissectrice) CA p 92 Quadrillage et cases noircies 8

9 CA p n 1 à 6 CA p 79 n 7 à CA p 81 Construire le symétrique d un point par rapport à une droite (d). 1 méthode : avec le compas et l équerre 2 méthode : avec le compas seul Fig 1 : une droite (d) et un triangle CA p 81 Fig 2 : une droite (d) et un triangle qui est traversé par la droite (d) A faire livre p 132 n 9 et p 134 n 25 + voir les méthodes de construction dans le livre p méthode Propriétés de la symétrie CA p G 21 : Reconnaître et tracer les axes de symétrie des quadrilatères usuels CA p

10 6 G 15 : Connaître les propriétés relatives aux côtés et aux angles des triangles suivants: triangle isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle 6 G 16 : Utiliser ces propriétés pour reproduire ou construire des figures usuelles simples 6 G 17 : Construire une figure simple à partir d'un énoncé décrivant une figure 6 G 18 : Construire une figure simple à partir d'un schéma codé à main levée avec ou sans données numériques 6 G 19 : Reproduire une figure simple conforme à un modèle concret ou un dessin 6 G 20 : Construire une figure simple à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique (utilisation de geogebra) CA p

11 Retenons (chap 10) Propriétés de la symétrie axiale (par rapport à une droite aussi appelée AXE) Par rapport à une droite (d) : - Le symétrique d un point est un point - Le symétrique d un segment est un segment de même longueur - Le symétrique d une droite est une droite - Le symétrique d un cercle est un cercle de même rayon - Le symétrique d un angle est un angle de même mesure - Les symétriques de deux droites parallèles sont deux droites parallèles - Les symétriques de deux droites perpendiculaires sont deux droites perpendiculaires La symétrie axiale conserve les longueurs de segments, les mesures d angles, le parallélisme des droites, l orthogonalité ( ) des droites, les formes des figures, les aires et les périmètres. CA p 83 CA p 84 Livre p 133 n

12 Axes de symétrie de figures Livre p 148 Activité 1 Retenons : Une figure admet un axe de symétrie quand son symétrique par rapport à la droite est elle-même. Livre p 153 n 1 (panneaux signalétiques) Laisser demi page Livre p 153 n 3-6 (jeu des erreurs) Laisser une page Exercice de recherche (pour le 9 mai) Rechercher dans des journaux, magazines 4 images présentant un ou plusieurs axes de symétrie que vous tracerez en rouge PUIS collez-les sur votre cahier. Laisser une page pour coller Compléter des figures qui ont un ou plusieurs axes de symétrie CA p 95 n 6-7 CA p 96 n 9 10 Livre p 153 n 7 (laisser une page) 12

13 Axes de symétrie de figures usuelles (triangles rectangle, losange) CA p 95 n CA p 97 CA p 98 Livre p 156 n isocèles, équilatéraux, carré, Retenons : chap 8 Les polygones quelconque - a 3 sommets : les triangles isocèle équilatéral 1 axe de symétrie 3 axes de sym Rectangle rect et isocèle (demi-carré) - a 4 sommets : les quadrilatères les trapèzes les parallélogrammes 2 côtés parallèles 4 côtés «parallèles 2 à 2» (les bases) Rectangle Losange Quelconque isocèle rectangle - diagonales = - diagonales - côtés consécutifs - côtés consécutifs = 2 axes de sym : les 2 axes de sym : les médiatrices des côtés diagonales carré est un rectangle et un losange - les diag = et - les côtés consécutifs = et 4 axes de sym : - les 2 médiatrices des côtés - Les 2 diagonales 13

14 14

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