Systèmes Triphasés Puissance en régime triphasé

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1 Systèmes riphasés Puissance en régime triphasé 0. Les dangers du courant électrique :. Grandeurs caractéristiques associées à un dipôle:. - aleur moyenne Soit y(t) une fonction temporelle périodique de période. On définit la valeur moyenne de y(t) par la relation suivante : Exemple : Y moy. ytdt ( ) 0 L expression du premier motif est y(t) M sinωt pour 0 < t < /. Dans ce cas Y moy M π v(t) time (ms) aleur efficace Soit y(t) une fonction temporelle périodique de période. On définit la valeur efficace de y(t) noté Y par la relation suivante : Y y ( t ) dt Y désigne la valeur efficace notée R.M.S. par les anglo-saxons. Lettres abréviations de Root Mean Square. La valeur efficace d un courant permet de chiffrer l effet joule dans un conducteur. Exemple : 0 Réseau E.D.F. 50Hz. Soit un tension d expression v(t) M sin00πt, on trouve M Pour 0 volts efficaces on a M 0 soit 5 volts crête environ, et U Réseau AON 400Hz. Soit un tension d expression v(t) M sin800πt, on trouve M Université Bordeaux -.M.A -.U.P G.E.S..A - Systèmes triphasés - mesures de puissance - page n /

2 Pour 5 volts efficaces on a M 5 soit 6 volts crête environ, soit 5 volts crête à crête, et U Représentations ecteurs de Fresnel r A la grandeur vt ( ) M cos( ωt+ β ) on associe le vecteur t ( ) dont le module est égal à la valeur efficace. La projection du r vecteur t ( ) sur l axe x ox est égale à la mesure de v(t) à l instant t. Le vecteur de Fresnel r r correspond au vecteur t ( ) à l instant t 0s. r + t r ( ) M M ωt+β β x o v(t) x x o x Application: la grandeur temporelle v(t) v (t) + v (t) avec v (t) M cos(ωt + β ) et v (t) M cos(ωt + β ) est rapidement déterminée en faisant la somme vectorielle des vecteurs de Fresnel associés à v (t) et v (t). Complexe jωt jβ jωt jβ jωt A la fonction temporelle v(t) on associe la fonction complexe v( t) e e e e e Le nombre complexe e jβ est appelé phaseur. M β R Rappel: Soit a+ jb ρe iβ on définit le module et l argument de de la manière suivante: a + b b β Arc tan si a 0 a b β π + Arc tan si a < 0 a En électrotechnique la tension d alimentation v(t) est en général commune à tous les récepteurs. On a alors pour habitude de choisir v(t) comme référence de phase soit v(t) M cosωt. Alors.e j0. Le courant dans une charge placée sous la tension v(t) s écrit i(t) M cos(ωt-ϕ). L angle ϕ est l angle orienté de vers. Dans le plan complexe, pour un circuit R,L série on a ( R + jlω) Z. ( ) ( ) ( ) 0 tan Arg( Z) Arg Arg Arg Z Arc Notions de puissance associées à un dipôle. - Puissance instantanée Considérons un dipôle en convention récepteur Z θ ϕ /Z Lω ϕ R R Université Bordeaux -.M.A -.U.P G.E.S..A - Systèmes triphasés - mesures de puissance - page n /

3 i(t) v(t) La puissance instantanée est par définition: p(t) v(t).i(t). Si p(t) > 0 le dipôle reçoit de la puissance, si p(t) < 0 le dipôle fournit de la puissance. Exemple: v(t) cosωt; i(t) cos(ωt - ϕ) p(t) ϕ 0-00 time (ms) v(t) Dans ce cas on a p(t) cosϕ + cos(ωt - ϕ) car cos acos b cos( a+ b) + cos( a b). - Puissance active La puissance active est définie par la relation suivante: Unité le Watt, symbole: W Dans le cas sinusoïdal on a: i(t) P p( t) vtitdt ( )( ) P dt + t dt cosϕ cos( ω ϕ) cosϕ 0 0 Remarques: La quantité cos(ωt - ϕ) s appelle puissance fluctuante. On peut également écrire P temporelles v(t) et i(t). r 0 ( ) r., qui correspond au produit scalaire des vecteurs de Fresnel associés aux grandeurs On peut écrire aussi P cosϕ a, en posant a cosϕ appelée composante active du courant ou composante wattée.. - Puissance réactive La puissance réactive n est définie qu en sinusoïdal. Elle se définie par la relation suivante: Q sinϕ. Unité le olt-ampère Réactif,ou AR ϕ a cosϕ. r sinϕ Université Bordeaux -.M.A -.U.P G.E.S..A - Systèmes triphasés - mesures de puissance - page n /

4 Remarques: Par analogie avec la puissance active on écrit Q (sinϕ), on pose alors sinϕ r la composante réactive du courant on dit aussi déwattée. La composante du courant qui est effectivement convertie en travail est a mais l intensité véhiculée en ligne est égale à a + r valeur supérieure à l intensité strictement nécessaire pour faire le travail en question. La composante réactive est donc responsable d un surplus de pertes joules en ligne et également d un surplus de chute de tension en ligne. Cette puissance réactive de valeur moyenne nulle est échangée entre source et récepteur sous forme d énergie magnétique ou électrostatique, tour à tour emmagasinée dans les bobinages ou les condensateurs, et restituée par ces éléments. Exemple: Montrons que la puissance réactive Q est associée aux réactances d un circuit. Soit un circuit R, L, C série en régime permanent. v(t) i(t) L C R R ϕ /jcω jlω Calculons sinϕ: commençons par sinϕ ω L Cω Q sinϕ Z sinϕ Lω Cω Z Z sinϕ On voit que Q est le produit d une réactance par le carré d une intensité. Lω Lω Cω Cω Convention: On peut écrire Q Q L + Q C avec Q L > 0 et Q C < 0 Une bobine absorbe de la puissance réactive. Un condensateur fournit de la puissance réactive. Ceci est cohérent avec les conventions de signes adoptées, en effet: ( ) Z jlω et ϕ Arg Z + L L π Z C π et ϕ Arg( Z C) jcω Q L L L sinϕ L L L > 0, avec ϕ L + π Q C C C sinϕ C - C C < 0, avec ϕ C - π..4 - Puissance apparente Pour v(t) et i(t) des fonctions temporelles périodiques (pas nécessairement sinusoïdales) de valeurs efficaces respectives et on définit la puissance apparente de la manière suivante: S Unité le olt-ampère, ou A jϕ En notation complexe on a et e On définit la puissance apparente complexe S de la manière suivante: * j ϕ * jϕ ( ) S e e cosϕ+ j sinϕ P + jq * S S. Université Bordeaux -.M.A -.U.P G.E.S..A - Systèmes triphasés - mesures de puissance - page n 4/

5 Remarques: Pour un dipôle absorbant une intensité efficace sous la tension efficace la puissance apparente en service est S. Le constructeur d appareils indique la puissance apparente nominale S N N N. Elle correspond au produit des grandeurs nominales pour lesquelles l appareil a été conçu. On donne également à S N le nom de puissance de dimensionnement. Sous certaines conditions prévues par le constructeur on peut faire fonctionner le dispositif avec S > S N..5 - Facteur de puissance Le facteur de puissance d un dipôle est défini par le quotient de la puissance active absorbée sur la puissance apparente. Soit: F p P S. En régime sinusoïdal c est le cosinus de l angle ϕ. En régime périodique non sinusoïdal F p n est plus un cosinus mais une expression plus complexe tenant compte en particulier de la présence des harmoniques. Le régime sinusoïdal apparaît donc comme un cas particulier. P P F cosϕ Pour un dipôle donné on voit que p courant sera minimale si le facteur de puissance est égal à un..6 - héorème de Boucherot dans le cas sinusoïdal. Pour P et données, l intensité du Dans l ensemble d un réseau (sans changement de fréquence) les puissances actives, réactives, fluctuantes et apparentes complexes sont conservatives. Ce théorème traduit le principe de conservation de l énergie. Exemple: Soit une usine comportant plusieurs ateliers consommant respectivement P, S, P, S..., P N, S N La puissance totale P absorbée est la somme des puissances partielles absorbées. l en est de même pour la puissance réactive Q. P,Q S P,Q S P P +P +P +P 4 P 4,Q 4 S 4 P,Q S Q Q +Q +Q +Q 4 La puissance apparente S ne se conserve pas, ce qui veut dire que la puissance totale apparente d un ensemble d éléments n est pas égale à la somme des puissances apparentes de chaque élément. Ceci se traduit donc par S S + S + S +... S N En revanche la puissance apparente complexe est conservative, ce qui se traduit par S S + S + S +... érifions cette dernière proposition sur un exemple (éléments en parallèle) i v i i i i i N N ( Loi des nœuds) Prenons le complexe conjugué de et multiplions par, on obtient la puissance apparente complexe S N * * * * * s N S Université Bordeaux -.M.A -.U.P G.E.S..A - Systèmes triphasés - mesures de puissance - page n 5/

6 SP + jq + P + jq P + jq P N + jq N. P + j Q P + jq, Cas de la puissance apparente classique On vérifie bien que S S + S + S j Q S Q S Q S Q P S P P P. Réseaux en régime triphasé L énergie électrique est distribuée en triphasé; la tension entre fils de ligne est de 80 à la fréquence de 50Hz. Un générateur triphasé est réalisé à partir de trois générateurs monophasés logés dans un même bâti fournissant trois tensions dites triphasées, c est l alternateur. Chacun de ces trois générateurs constitue une phase. La distribution triphasée ce justifie pour les raisons suivantes: Le poids de cuivre de la ligne triphasée est plus faible que celui d une ligne monophasée ( à puissance consommée et à pertes en ligne égales, pour un même facteur de puissance). Réalisation de champs magnétiques tournants (applications aux moteurs asynchrones par exemple) La tension continue obtenue après redressement ne nécessite pratiquement pas de filtrage.... Représentation d un système triphasé équilibré direct de tension :.E.D. Une source triphasée est composée de trois générateurs indépendants que l on peut grouper en étoile comme indiqué cidessous: i (t) (t) N v (t) v (t) u (t) u (t) i (t) u (t) i (t) Par la suite on supposera nulles les impédances internes des générateurs, ce qui revient à confondre les fém e et les tensions v. Le point commun N aux trois générateurs est appelé le point neutre. Les tensions v j sont appelées tensions simples. La grandeur complexe associée sera notée j. Ces tensions ce mesurent entre la phase et le neutre. Sur le réseau E.D.F elle ont pour valeur efficace 0. Les tensions entre deux phases sont appelées tensions composées. Sur le réseau E.D.F elle ont pour valeur efficace 400. La grandeur complexe associées à la tension entre les phases i et j sera notée U ij. On a alors les relations suivantes entre les tensions simples et composées Université Bordeaux -.M.A -.U.P G.E.S..A - Systèmes triphasés - mesures de puissance - page n 6/

7 U U U Les intensités i j sont les intensités de lignes et également de phase. La grandeur complexe associée à l intensité du courant de la j ème phase est notée j. Un système de tension riphasé Equilibré Direct (.E.D.) est composé de trois tensions sinusoïdales de même période et de même amplitude mais déphasé de π / entre elles. Ainsi on obtient: v (t) M cosωt cosωt, v(t) 4π 4π M cos ωt cosωt cos ωt, v(t) π π M cos ωt cos ωt cos ωt. On remarquera que v (t) + v (t) + v (t) 0 aussi bien pour un système.e.d. que.e.. En utilisant la notion de phaseur on peut écrire m Re e e π j 4π j Arg Arg Arg( ) ( ) ( ) 0 π 4π 4π π Dans le plan complexe, on Obtient par rotation de 4π/ du nombre complexe de et par rotation de π/ du nombre complexe de. En utilisant l opérateur rotation de + π/ dans le plan complexe noté a on a les relations suivantes: v a v jπ Rappelons que v av a e est la racine cubique de l unité. On a alors les relations suivantes: a + j ; a j ; a. + a+ a 0 Avec comme référence de phase les tensions s écrivent alors de la manière suivante: a a On vérifie bien que la somme des tensions équilibrées est nulle: + + ( + a+ a ) 0 En utilisant la notation a il est possible de déterminer les expressions des tensions composées u ij. m U Re U ( a ) U ( a a) U ( a ) Recherchons les expressions de U, U et U, en utilisant a sous sa forme explicite: Université Bordeaux -.M.A -.U.P G.E.S..A - Systèmes triphasés - mesures de puissance - page n 7/

8 π j j ( a ) + + j + j e 6 Ue 6 U U π j j ( a a) 0 j ( 0 j) e Ue U ( ) 6 6 a + j + j e U e l apparaît un facteur entre le module de la tension composée et le module de la tension simple. Ainsi Pour une tension simple de 0 volts la tension de ligne correspondante est U volts.. Récepteur en étoile Supposons le récepteur câblé en étoile, son point neutre est appelé N. Relions N à N. 5π j π π 5π j N Z N N Z N N Z N 0 ce qui se traduit par z z z N 0 a a Posons j 0 e et supposons v (t), v (t), v (t).e.d. alors z z z N 0 ceci entraîne que N 0 pour z z z i N 0.. Dans ce cas de figure, le fil neutre paraît inutile. Dans le cas où les impédances sont quelconques alors. Récepteur en triangle Supposons le récepteur câblé en triangle, il ne possède pas de point neutre. U U Y J Y Exprimons les intensités des courants de phase: Aux nœuds nous avons: U J U Y ; J U Y ; J U Y J J ; J J ; J J Si on réalise on constate que cette somme est nulle, le récepteur constitue bien un nœud de courant. Lien entre les courant de ligne et courant dans une branche du récepteur en régime équilibré: Supposons le récepteur équilibré c est à dire que Y Y Y Y et les tensions composées constituent un sytème triphasé équilibré dont la tension U constitue la référence de phase. Alors: Dans ces conditions: U U U a U et U au J Y J ( ) ( ) J UY, J a U Y, J au Y Université Bordeaux -.M.A -.U.P G.E.S..A - Systèmes triphasés - mesures de puissance - page n 8/

9 On constate que les courants J constituent également un système.e.d. Exprimons maintenant les courants de lignes correspondant: j ( ) ( ) π 6 J J UY a J a J e On a la relation.4 Puissance active 7π j ( a ) J ( a ) J e 6 a J J UY + j ( ) ( ) π a a J a a J e a J J UY J avec J la valeur efficace des courants de branches j. Dans ce qui va suivre nous ne considérerons que la puissance absorbée par un récepteur. Etoile U N Les puissances actives étant conservatives on a la relation suivante: P cosϕ + cosϕ + cosϕ Lorsque le réseau est.e.d et la charge équilibrée alors, et ϕ ϕ ϕ d où: P cosϕ U cosϕ Cette dernière relation n est valable qu en régime équilibré. riangle U U Y J Y U Dans le cas général P U J cosϕ + U J cosϕ + U J cosϕ J Y Lorsque le réseau est.e.d et la charge équilibrée alors U U U, J J J et ϕ ϕ ϕ d où: Remarques: J P UJcosϕ U cosϕ La dernière relation pour exprimer la puissance absorbée par un récepteur équilibré, est commune qu il soit en étoile ou en triangle. (Ceci est normal à cause du passage possible étoile triangle). L angle ϕ n est pas le déphasage du courant i (t) par rapport à la tension u (t) comme pourrait le suggérer la relation établie ci-dessus, mais c est le déphasage du courant i (t) par rapport à la tension v (t) dans le montage étoile ou le déphasage du courant J (t) par rapport à la tension u (t) dans le montage triangle. Université Bordeaux -.M.A -.U.P G.E.S..A - Systèmes triphasés - mesures de puissance - page n 9/

10 .5 Puissance réactive Etoile Les puissances réactives étant conservatives on a la relation suivante: Q sinϕ + sinϕ + sinϕ Lorsque le réseau est.e.d et la charge équilibrée alors, et ϕ ϕ ϕ d où: Q sinϕ U sinϕ Cette dernière relation n est valable qu en régime équilibré. riangle Dans le cas général Q U J sinϕ + U J sinϕ + U J sinϕ Lorsque le réseau est.e.d et la charge équilibrée alors U U U, J J J et ϕ ϕ ϕ d où: Q UJ sinϕ U sinϕ On remarque qu il y a une relation commune pour exprimer la puissance absorbée par un récepteur équilibré. Cette dernière relation n est valable qu en régime équilibré..6 Puissance apparente La puissance apparente complexe pour un réseau triphasé se définit comme la somme des puissances apparentes complexes de chaque branche. Ainsi: * * * En étoile: S S + S + S + + P+ jq Lorsque le réseau est.e.d et la charge équilibrée alors, et ϕ ϕ ϕ d où: ϕ ( cosϕ sinϕ) S P+ jq + j e j * * * En triangle: S S + S + S U J + U J + U J P+ jq Lorsque le réseau est.e.d et la charge équilibrée alors U U U, J J J et ϕ ϕ ϕ d où: ( cosϕ sinϕ) S P+ jq UJ + j UJe j On constate du fait que U et J que les relations pour l étoile ou le triangle sont semblables dans le cas équilibré..7 Facteur de puissance Le facteur de puissance d une charge triphasé est défini par la relation suivante: F p P S. ϕ.8 héorème de Boucherot l se déduit directement de la conservation de la puissance apparente complexe: P P +P +P ; Q Q +Q +Q.9 Puissance dans un récepteur quelconque- équilibré ou non - trois fils - : Méthode des deux wattmètres. Ceci sous-entend que l on exclut les montages déséquilibrés étoile avec neutre (4 fils). Dans ces conditions la puissance apparente complexe s écrit: s v i + v i + vi P + jq or les courants satisfont i + i + i 0 d où on tire i i i Soit s vi+ vi+ v( i i) que l on peut réécrire s ( v v) i + ( v v) i s ui + u i On peut alors exprimer P et Q par: Université Bordeaux -.M.A -.U.P G.E.S..A - Systèmes triphasés - mesures de puissance - page n 0/

11 P R ( u i + u i ) Q ( ui + ui ) Notons au passage qu il existe deux autres couples d expressions obtenues par permutation circulaire des indices. P est la somme de deux termes dont les valeurs sont mesurables à l aide de deux wattmètres, d où le nom de la méthode qui sera utilisée en.p. BBLOGRAPHE Génie électrotechnique, Ed. Nathan, Etape référence, R. MERA, R. MOREAU, L. ALLAY, J.P DUBOSC, J. LAFARGE, R. LEGOFF. Electrotechnique industrielle. G. SEGUER, F. NOELE. EC et DOC Cours d électrotechnique, ome. J. L. DALMASSO: COLL. DA Université Bordeaux -.M.A -.U.P G.E.S..A - Systèmes triphasés - mesures de puissance - page n /

12 - Etoile- riangle ou formules de Kennely avec admittance G/R Université Bordeaux -.M.A -.U.P G.E.S..A - Systèmes triphasés - mesures de puissance - page n /

13 Université Bordeaux -.M.A -.U.P G.E.S..A - Systèmes triphasés - mesures de puissance - page n /