LES ENJEUX. 1. Compétences à construire par les élèves au cycle 2

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1 Champ additif Calcul mental au cycle 2 et au cycle 3 «Le calcul mental est le calcul sur les nombres et non pas sur les chiffres» (François Boule). Dans ce module nous nous intéresserons aux différentes formes de calcul mental, à ses fonctions et à sa mise en œuvre dans la classe. Liens avec les autres modules Le calcul mental est directement relié au sens de ces opérations et à l activité de résolution de problèmes additifs et soustractifs pour lesquels deux modules existent dans ce parcours. Il met également en œuvre des connaissances relatives à la numération décimale et aux propriétés des opérations. De plus, ce module est prolongé par le parcours 2 : calcul, multiplication et division. Mots-clés : addition, soustraction, mémorisation, automatisation, reconstruction, tables, complément, numération. 1. Compétences à construire par les élèves au cycle 2 LES ENJEUX Compétence attendue en fin d élémentaire (Horaires et programmes d enseignement de l école primaire, BO hors-série, n 3 du 19 juin 2008, cycle 2, p.20) : - restituer et utiliser les tables d addition et de multiplication par 2, 3, 4 et 5 ; - calculer mentalement en utilisant des additions, des soustractions et des multiplications simples. Avec ces précisions dans les repères pour organiser la progressivité des apprentissages (BO hors-série, n 3 du 19 juin 2008, p.33) : Pour les CP : - Produire et reconnaître les décompositions additives des nombres inférieurs à 20 ( table d addition ). - Connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moitiés des nombres pairs inférieurs à Calculer mentalement des sommes et des différences. Pour les CE1 : - Connaître les doubles et moitiés de nombres d usage courant. - Mémoriser les tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5. - Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des sommes, des différences [ ]. 1. Compétences à construire par les élèves au cycle 3 Compétence attendue en fin d élémentaire (Horaires et programmes d enseignement de l école primaire, BO hors-série, n 3 du 19 juin 2008, cycle 3, p.27) : - restituer les tables d addition et de multiplication de 2 à 9 ; - calculer mentalement en utilisant les quatre opérations ; - estimer l ordre de grandeur d un résultat Avec ces précisions dans les repères pour organiser la progressivité des apprentissages (BO hors-série, n 3 du 19 juin 2008, p.38) : En CE2 : - Mémoriser et mobiliser les résultats des tables d addition et de multiplication. - Calculer mentalement des sommes, des différences, des produits. En CM : - Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers.

2 - Estimer mentalement un ordre de grandeur du résultat. L entraînement quotidien au calcul mental permet une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avec leurs propriétés.» Horaires et programmes d enseignement de l école primaire, BO hors-série, n 3 du 19 juin 2008, p.18. Question pédagogique : J entends parler de calcul mental, de calcul réfléchi, de calcul raisonné ou de calcul rapide Que recouvrent ces différentes expressions Ce que recouvre le terme «Calcul mental» Dans ce domaine particulièrement, il convient de distinguer ce qu il faut mémoriser ou automatiser : les tables, quelques doubles et moitiés, le calcul sur les dizaines et les centaines entières, les compléments à la dizaine supérieure et ce qu il faut être capable de reconstruire (et qui relève du calcul réfléchi : idée de rendre plus simple un calcul, souvent en procédant par étapes plus nombreuses, mais en s appuyant sur ce qui est connu). L exploitation des diverses procédures mises en œuvre par les élèves pour un même calcul permet de mettre l accent sur les raisonnements mobilisés et sur les propriétés des nombres et des opérations utilisées en acte (certains parlent d ailleurs à ce sujet de «calcul raisonné»). Extrait du document d application des programmes Mathématiques Cycles et 2 et 3 (p. 6) Les termes, d une époque à une autre, ont quelque peu varié. En première approximation, on peut être tenté d opposer le calcul mental au calcul écrit ou instrumenté. Mais parler de calcul mental ne signifie pas que tout se passe sans écrire. Ce qu on désigne sous le terme de calcul écrit ( l opération posée ) requiert la connaissance des tables et la gestion des retenues, donc du calcul mental. Il ne dispense donc pas de calculer mentalement, bien au contraire ; la technique écrite française traditionnelle de la division, avec ou sans les soustractions intermédiaires requiert de nombreux traitements mentaux. Le déficit de maîtrise du calcul mental fragilise gravement l apprentissage des techniques écrites. Par ailleurs, l expérience atteste, depuis des dizaines d années, que les enfants ont souvent tendance à calculer mentalement en appliquant les algorithmes écrits. Ceci est dû très probablement à un établissement insuffisant du calcul mental préalablement à l apprentissage des techniques écrites qui sont souvent abordées trop tôt et, par la suite, à une prise de conscience insuffisante des différences de traitement entre calcul écrit et calcul mental. Calculer mentalement en référence à la technique écrite est plus coûteux en terme de charge mentale de travail que d ajouter successivement 10 et 6. Il importe clairement que les techniques écrites s appuient sur une pratique du calcul mental déjà bien installée. Le propre du «calcul automatisé», qu il s agisse de l emploi d une calculette ou d un algorithme appliqué avec papier et crayon, est de délaisser l intuition des nombres, l ordre de grandeur ; il met en œuvre un algorithme uniforme sur des chiffres et c est précisément le nœud de son efficacité. Le calcul mental nécessite, au contraire, une intuition des nombres (qui s affine avec l entraînement) ainsi qu une part d initiative et de choix. Il opère sur des nombres et permet d enraciner l ordre de grandeur, le sens des opérations et leurs propriétés (commutativité, associativité, distributivité). L expression de «calcul mental», signifie qu entre l énoncé du problème et l énoncé du résultat, on renonce à utiliser toute opération posée (technique opératoire usuelle). Cela n implique pas qu aucun support écrit ne puisse intervenir dans la consigne, dans la formulation du résultat, voire même dans le cours du calcul. Les expressions «calcul réfléchi» et «calcul raisonné», considérées comme équivalentes, sont clairement préférables à celle de calcul rapide, autrefois en usage. Elles insistent sur l importance donnée à la méthode (choix d une stratégie, élaboration d une procédure) plutôt qu à la rapidité d exécution, au moins en ce qui concerne les calculs complexes.

3 Difficultés potentielles Les difficultés rencontrées sont de plusieurs ordres. Elles peuvent venir des capacités de la mémoire, à court terme pour la mémorisation des nombres énoncés, à long terme pour la mémorisation des résultats ou des procédures et ce malgré la répétition qui n est pas le seul facteur en jeu. De plus, la façon de réaliser cette mémorisation influence la capacité à restituer les résultats cherchés. Par exemple, si les tables ne sont récitées que dans l ordre, certains élèves devront la réciter depuis le début pour trouver enfin le résultat de Il peut aussi y avoir des difficultés à faire des liens entre différentes assertions comme «7 + 4 = 11», «11 4 = 7» et «l écart entre 11 et 4 est 7». Les difficultés en calcul mental peuvent encore venir d une représentation insuffisante des nombres et d une méconnaissance des relations qui les unissent. Calcul automatisé Notion théorique : Mémorisation de résultats par : Marie-Sophie Mazollier La connaissance d un certain nombre de résultats, c est-à-dire la capacité à les restituer quasi instantanément, est nécessaire à tout calcul qu il soit mental ou écrit. Il s agit de connaissances indispensables pour la vie quotidienne aussi bien que pour les apprentissages mathématiques. Mémoriser les tables est le résultat d un très long processus. Commencé au début du cycle 2, la mémorisation des tables d addition n est souvent véritablement établie qu au cours de la première année du cycle 3. Amorcée en fin de cycle 2, celle des tables de multiplication n est pas encore achevée pour tous les élèves en fin de cycle 3 (il faut cependant en viser la maîtrise à la fin de ce cycle). Il faut cependant noter que, particulièrement pour le répertoire additif, certaines personnes mémorisent les répertoires alors que d autres ne les mémorisent que partiellement, et à partir de là, reconstruisent très rapidement les résultats non mémorisés. Cette bonne connaissance des répertoires additifs signifie que les élèves doivent savoir produire très rapidement les résultats des additions de nombres inférieurs à 10, mais aussi répondre à des questions du type «combien pour aller de 5 à 12?» et «12 moins 5». La connaissance des compléments à 5 et à 10 est aussi très importante. De la même manière la connaissance des répertoires multiplicatifs implique la réponse immédiate aux questions du type «4 fois 3?» mais aussi du type «combien de fois 5 dans 15?» ou «15 divisé par 5», et même «combien de fois 5 dans 17?». Cela se révèlera indispensable pour les calculs de division. Certains élèves mémorisent facilement les tables d addition ou de multiplication, d autres ne parviennent pas à une mémorisation satisfaisante, malgré un entraînement répété (1). En effet, même s il est indispensable, l entraînement n est pas le seul ressort de la mémorisation. Plusieurs conditions se révèlent tout aussi importantes : - Une bonne représentation des nombres aussi bien imagée ou symbolique (constellations, collections de doigts, etc.) que chiffrée ou verbale. Les nombres doivent être mis en relation les uns avec les autres, en particulier le fait que dire le nombre suivant c est ajouter 1, ou dire le précédent c est soustraire 1. - La compréhension des opérations en jeu. - La prise de conscience de l intérêt de cette mémorisation. On retient mieux ce que l on sait devoir resservir. - La prise de conscience que certains résultats sont mémorisés et qu un répertoire mental est en train de se constituer. - La capacité à prendre appui sur des résultats connus pour en obtenir d autres. Les activités quotidiennes, variées, de calcul mental (procédé Lamartinière, jeux, etc.) favorisent l apprentissage. Lors de ces séances, on mettra en place des points d appui à la mémorisation et à la construction : la connaissance des doubles, les compléments à 5, à 10, l utilisation de la

4 commutativité (on connaît souvent mieux un résultat dans un sens que dans l autre, par exemple plutôt que 2 + 9, ou 6 x 8 que 8 x 6). Il est préférable de multiplier les procédés utilisés (interrogations orales, cartes recto-verso, etc.), certains ayant une mémoire auditive, d autres visuelle. Des répertoires écrits de résultats connus notés au hasard puis organisés seront élaborés, on pourra y faire référence lors de résolution de problèmes, de jeux ou pour construire de nouveaux résultats. Ils permettront aussi aux élèves de prendre conscience de ce qu ils savent et de ce qu il leur reste à apprendre, de constater qu ils progressent. Les jeux permettent une bonne motivation à la mémorisation : «quand on sait, ça va plus vite!» (2). Le document d accompagnement Le calcul mental, publié par le ministère de l Éducation Nationale, propose une programmation des apprentissages et des jeux de calcul mental. 1. Le calcul mental, document d accompagnement, MEN, disponible dans l espace Ressources de ce site. 2. Apprentissages numériques et résolution de problèmes CP, ERMEL, Hatier, 2000 Importance de la représentation des nombres Les représentations des nombres sont intériorisées en prenant appui sur des représentations imagées ou symboliques. Dans les premières, on trouve les constellations (dés, dominos, jeu de cartes) ou les figurations à l aide des doigts. Les secondes sont liées aux codages issus des systèmes de numération, chiffrée ou verbaux. Il est donc important, dans les premiers apprentissages des nombres, de consolider les images mentales des «petits nombres», à partir de leurs représentations sous forme de constellations et, pour les nombres entre cinq et dix, en relation avec leurs décompositions par rapport à cinq (la capacité à afficher instantanément un nombre inférieur à dix à l aide des doigts est pour cela une aide précieuse) ou avec leurs compléments à dix. Ces représentations, figuratives ou symboliques, ne concernent pas seulement chaque nombre séparément, mais impliquent également des relations entre les nombres entiers dont l ensemble est principalement structuré par deux rythmes. Le premier est lié à la succession qui organise la suite verbale des noms des nombres. C est une suite de mots (comptine), totalement ordonnée, qui débute par un et dont chaque mot «appelle» le suivant. Plus loin, à partir de vingt et avec des ruptures entre soixante et cent, ce rythme se trouve davantage en accord avec celui de la numération chiffrée (en base dix). Le second est justement créé par la numération chiffrée (en base dix) : Elle est rythmée par les dizaines et les centaines : répétition périodique du chiffre des unités à l intérieur d une dizaine, répétition des dizaines à l intérieur de centaines C est la raison pour laquelle les opérateurs simples sont +1, +10, 1, 10. La mémorisation des résultats des tables d addition et de multiplication est sans doute favorisée par une bonne maîtrise de ces deux rythmes. Pour l addition, une première étape est marquée par la reconnaissance du fait qu ajouter 1 revient à dire le nombre suivant. Pour la multiplication, on connaît l importance de la capacité à compter de 5 en 5, de 8 en 8 Les délais de réponses enregistrés auprès d élèves en phase d apprentissage montrent que les résultats additifs simples sont d abord reconstruits (avant d être produits instantanément), en utilisant progressivement différents points d appui que l enseignant doit aider à mettre en place : - utilisation de la suite numérique, par surcomptage ; - appui sur les doubles connus : 5 + 4, c est 1 de plus que ; - utilisation de la commutativité de l addition : c est comme ;

5 - utilisation du passage par la dizaine : pour calculer 8 + 5, on «complète à 10» (avec 2), puis «on ajoute 3» (le complément de 2 à 5), ce qui suppose de connaître les compléments à 10 et les décompositions additives des nombres inférieurs à 10. L objectif est bien que, au début du cycle 3, les élèves soient capables de fournir instantanément tous les résultats des tables d addition, ainsi que les différences et les compléments associés. Ajoutons que la mémorisation fonctionne essentiellement sur un format verbal (acoustique). Ainsi, parmi les résultats symétriques (comme sept plus cinq et cinq plus sept) l un est toujours plus disponible que l autre. Une autre caractéristique importante réside dans le rôle joué par les doubles : ils sont toujours rappelés de façon plus sûre et plus rapide que les autres résultats, ce qui permet des stratégies efficaces de calcul. Question pédagogique : Dans le calcul mental du domaine additif, que faut-il automatiser? Mémoriser des résultats et des procédures Le calcul mental automatisé recouvre la production instantanée de résultats mémorisés (par exemple, = 6) et l utilisation de quelques procédures élémentaires pour construire presque instantanément d autres résultats (par exemple, = 7 car c est un de plus que 3 + 3). Les tables d addition sont rarement apprises comme les tables de multiplication. Très souvent on mémorise un certain nombre de résultats (les doubles, les compléments à 5, à 10) et on les utilise pour reconstruire les autres résultats de manière quasi immédiate. On peut résumer cela dans un tableau (d après J.-L. Brégeon,

6 Dans ce tableau, aux résultats habituels du répertoire additifs, on a ajouté les résultats que les élèves doivent produire instantanément en relation avec leur connaissance de la numération décimale, comme = 15 ou = 18. On peut ajouter à la mémorisation de ces tables un certains nombres de calculs faisant intervenir 25, 50 et plus tard 15, 30 (en relation avec les durées), c'est-à-dire la production de résultats de sommes du type , , et plus tard ou Il est de plus nécessaire de mémoriser quelques procédures de calcul mental qui doivent fonctionner de façon automatisée, par exemple : - les calculs du type «ajouter 1», «retrancher 1» pour lesquels il faut comprendre qu il s agit de dire le suivant ou le précédent. - les calculs de compléments à la dizaine supérieure, de compléments à 100 des dizaines entières (en utilisant les compléments à 10). - Les calculs du type «20 + 7», « », en utilisant la numération orale (le résultat s entend) ou la numération chiffrée (calcul sur les centaines, dizaines, unités). - Les calculs du type «ajouter, retrancher 10» au moins dans les cas où il n y a pas de changement de centaine ( est plus compliqué mais à terme cela devrait aussi être automatisé) en utilisant les connaissances sur la numération chiffrée. De même pour les calculs du type «ajouter, retrancher 100». - Les calculs du type «ajout ou retrait de dizaines, de centaines» en utilisant là aussi les connaissances sur la numération chiffrée, par exemple c est 4 dizaines plus 3 dizaines ou encore c est 5 dizaines et 7 unités moins 2 dizaines. Les élèves ne devraient pas avoir besoin de poser en colonne des additions du type « », «57-20» ou « ». - Les liens entre les opérations : savoir que «6 + 4 ça fait 10» permet de connaître le résultat de «10 4» et «10 6», de dire l écart entre 4 (ou 6) et 10, de répondre à «combien pour aller de 4 (ou 6) à 10?». En effet, la connaissance complète du répertoire additif suppose la capacité à donner instantanément aussi bien des sommes que les différences ou les compléments ou encore les décompositions qui leur sont liées.

7 Question pédagogique : Quel travail en maternelle pour préparer la mémorisation résultats ou de procédures de calculs élémentaires? Installer une bonne représentation des nombres et les relations entre les nombres Les capacités en calcul mental reposent sur une bonne représentation des nombres et des relations qui les unissent, ceci se prépare dès les premières années de la maternelle. Cette construction passe par de nombreuses activités lors desquelles les élèves résoudront des problèmes en manipulant des collections d objets réels puis représentés ou symbolisés. Les différentes quantités construites seront imagées par des collections de points (en constellations ou non) et symbolisées avec les doigts et ce dès les premières quantités (de 1 à 3 ou 4) en petite section. Ces mêmes représentations permettront de mettre en évidence les relations entre les nombres, en particulier le fait qu un nombre de la suite numérique c est un de plus que son prédécesseur, un de moins que sont suivant. Pour faire 4, on lève un doigt de plus que pour 3, on rajoute un point à la collection. On peut également lever deux doigts sur chaque main. A travers la résolution de problèmes de type additif ou de partage, on pourra mettre en évidence que deux nombres permettent d en construire un troisième, par exemple que 3 et 2 ça fait 5. Avoir une bonne représentation de la quantité 5, par exemple, c est lui associer une désignation verbale (indispensable en calcul mental ou les nombres sont dits et pensés) et chiffrée, c est être capable de réaliser une collection de 5 éléments, c est savoir que 5 c est aussi 4 et 1 ou 3 et 2. Ces représentations peuvent s appuyer à la fois sur le caractère cardinal des nombres (5 figuré par 3 objets et 2 objets) et sur leur caractère ordinal (5, c est 2 après 3). Calcul réfléchi Notion théorique : calcul réfléchi exact par : Wilfrid Ivorra L expression " calcul réfléchi " est employée pour désigner tout calcul pour lequel l élève n a pas recours à une procédure automatisée. Autrement dit, un calcul réfléchi est un calcul pour lequel l élève met en œuvre une procédure, une stratégie personnelle adaptée au calcul pour aboutir au résultat. De plus le calcul réfléchi est basé sur l utilisation, en général implicite, des propriétés des opérations et de connaissances relatives à la numération décimale. Ainsi, le calcul réfléchi n est pas lié au calcul en lui-même, mais aux procédures utilisées pour obtenir le résultat. Par exemple, le calcul 8 9 sera réfléchi si l élève effectue le produit 8 10 puis retranche 8 pour obtenir 72 et automatisé si l élève rappelle un résultat stocké dans la mémoire à long terme (i.e. utilise la mémorisation de la table de 8). Un même calcul peut donc être automatisé pour un élève et réfléchi pour un autre. De même,

8 pour un élève donné, un calcul pourra être réfléchi dans un premier temps puis mémorisé et automatisé par la suite. Le calcul réfléchi joue ainsi un rôle important dans la mémorisation des tables d addition et de multiplication. En effet, la table de 6 peut être reconstruite à partir de la table de 3 et de la connaissance des doubles : 6 7 peut se calculer en partant de 3 7=21 puis en prenant le double de 21. De même, un calcul réfléchi ne se réduit pas à un calcul mental (qui peut ne faire appel qu à un résultat mémorisé). Un calcul réfléchi peut faire intervenir l écrit car les élèves peuvent avoir besoin de garder une trace écrite des étapes du calcul. Celle-ci constitue d une certaine manière un " brouillon " et n a pas forcément à respecter les règles formelles d écriture (même si l enseignant peut ensuite les utiliser pour travailler l écriture des calculs en ligne par exemple). Dans tous les cas, le calcul réfléchi consiste à remplacer un calcul difficile par une suite de plusieurs calculs plus faciles à exécuter. C est en quelque sorte un art de se simplifier les calculs en faisant " plus long, mais plus simple ". La multiplicité des procédures possibles. L une des caractéristiques du calcul réfléchi réside, contrairement au calcul posé ou automatisé, dans l existence de plusieurs procédures de calcul possibles. Toutes les procédures basées sur les propriétés des opérations (qui ne sont pas connues en tant que telles par les élèves) sont susceptibles d aboutir, mais elles n ont pas nécessairement la même efficacité. Prenons un exemple et examinons quelques procédures pouvant être utilisées pour calculer Procédure 1. Calcul de (éventuellement par ) puis soustraction de Cette procédure est basée sur l égalité = 20 (20-3)= Procédure 2. Calcul de 20 2, multiplication du résultat par 2, puis du résultat par 2, nouvelle multiplication du résultat par 2 et enfin ajout de 20. Cette procédure est basé sur l égalité 17= qui conduit à l égalité 20 17= Procédure 3. Calcul de 20 2, puis ajout de 20 2, puis ajout de 20 2, nouvel ajout de 2 20 et enfin ajout de 20 au résultat. Cette procédure est basée sur l égalité 17= qui conduit à l égalité 20 17= Procédure 4. Calcul de 20 4, puis multiplication par 4 et enfin ajout de 20 au résultat. Cette procédure est basée sur l égalité 17=4 4+1 qui conduit à l égalité 20 17=(20 4) Procédure 5. Calcul de puis multiplication du résultat par 2. Cette procédure est basée sur l égalité = (2 10) 17 = 2 (10 17). Procédure 6. Calcul de 20 10, de 20 7 puis ajout des deux résultats. Cette procédure est basée sur l égalité 20 17=20 (10+7)= Cette liste n est bien sûr pas exhaustive. Par exemple, l égalité sur laquelle la procédure 5 est basée, peut conduire à une autre procédure : calcul de 17 2 puis multiplication du résultat par 10. On constate aussi, au travers de ces procédures, que tout calcul réfléchi fait intervenir aussi du calcul automatisé. Par exemple, dans la procédure 4, l utilisation du résultat connu 4 4=16 pour décomposer 17. Toutefois, l analyse a postériori de ces procédures, montre qu elles n ont pas toutes le même " coût " pour ce calcul. Certaines sollicitent davantage la mémoire de travail (comme les procédures 3 et 4), d autres font intervenir

9 davantage de calculs et de résultats intermédiaires (la procédure 2) enfin d autres font intervenir moins de calculs (les procédures 1, 5 et 6). Il est donc important d analyser en classe les procédures utilisées par les élèves. Étant donné la multiplicité des possibilités, on peut se demander comment l élève choisit une procédure. Le choix d une procédure par l élève. Même si l ensemble des connaissances numériques et opératoires de l élève intervient dans le choix d une procédure, il est possible de dégager plusieurs paramètres qui peuvent influer sur le choix d une procédure dans un moment de calcul réfléchi. Le premier est la connaissance par l élève des décompositions additives ou multiplicatives d un nombre. Les procédures présentées ci-dessus sont toutes basées sur des décompositions de 20 ou de 17. La procédure 6 fait intervenir une décomposition multiplicative de 20 (20=2 10), les procédures 1 et 6 sont basées sur une décomposition additive de 17 (17=20-3 pour la procédure 1 et 17=10+7 pour la procédure 6) et la procédure 4 fait intervenir une décomposition mixte de 17 (17=4 4+1). On voit donc l importance de ces décompositions dans le calcul réfléchi. Un autre paramètre réside dans la consigne. Le calcul est-il donné oralement ou par écrit? Dans le premier cas, l enseignant dit " Calculez vingt multiplié par dix-sept. ". La consigne doit être mémorisée ce qui sollicite la mémoire de travail et peut rendre la recherche de décompositions plus complexe car celle-ci sollicite également la mémoire. De plus, la consigne donnée oralement peut parfois indiquer une décomposition. Cela cas ici, avec " dix-sept " qui " pointe " la décomposition 17=10+7. Dans le second cas, lorsque le calcul est donné par écrit sous la forme la mémoire de travail est moins sollicitée par l énoncé du calcul et donc plus libre pour la recherche de décompositions et la mémorisation des résultats intermédiaires. Est susceptible d intervenir aussi dans le choix des procédures la connaissance que l élève a de ses propres compétences en calcul. Entre une procédure faisant intervenir des additions et une autre faisant intervenir des multiplications, l élève peut choisir la procédure utilisant les opérations avec lesquels il se sent " à l aise ". Par exemple, entre les procédures 1, 5 et 6 présentées plus haut (qui font intervenir respectivement la soustraction, la multiplication et l addition), l élève peut choisir la procédure 6 pour éviter de se tromper dans ses calculs. Le rôle du calcul réfléchi Les intérêts du calcul réfléchi sont multiples. On peut insister particulièrement sur les points suivants : L utilisation et la mémorisation des tables. On a vu précédemment que le calcul réfléchi permet de réutiliser les résultats de calculs mémorisés (et en particulier les tables). Mais c est aussi un moyen de développer chez les élèves un répertoire mémorisé. Aussi ne faudrait-il pas faire de la connaissance des tables un préalable à la mise en place de moments de calcul réfléchi. Rappelons qu un calcul peut être réfléchi pour certains et automatisé pour d autres et que la pratique régulière de certains calculs peut favoriser leur mémorisation. L utilisation et l exploration des relations entre les nombres. L analyse des procédures pouvant être utilisés pour un calcul réfléchi met en évidence l importance des relations entre les nombres (et en particulier des décompositions additives et multiplicatives). Le calcul réfléchi est donc à la fois un moyen d utiliser les relations connues des élèves et d en explorer de nouvelles en particulier grâce à la mise en évidence et à l analyse des différentes procédures utilisées par les élèves. Les techniques opératoires. Les techniques opératoires posées font intervenir le calcul réfléchi et en particulier la technique opératoire de la division (avec l intervention de la soustraction qu elle soit posée ou

10 non). Une bonne maîtrise d un répertoire mémorisé et du calcul réfléchi est donc susceptible d aider les élèves à mettre en œuvre ces techniques de calcul. La découverte des propriétés des opérations. Du point de vue de l enseignement des mathématiques, les élèves seront amenés à partir du collège à travailler de manière plus formelle avec les propriétés des opérations, notamment la distributivité de la multiplication par rapport à l addition. Le calcul réfléchi est l occasion pour les élèves de se familiariser avec ces propriétés au travers des situations de calcul rencontrées. Le calcul réfléchi, par l utilisation implicite de ces propriétés est de nature à favoriser les futurs apprentissages à condition toutefois de donner lieu à une explicitation des procédures et des relations utilisées. L autonomie des élèves et la pratique du calcul au quotidien. Le calcul joue un rôle important à l école mais aussi en dehors de l école. Il est donc important pour les élèves de disposer de compétences dans ce domaine leur permettant d effectuer rapidement un calcul approché rapidement ou de vérifier un ordre de grandeur C est aussi une fonction importante du calcul réfléchi que de rendre l élève autonome par rapport aux situations faisant intervenir des calculs. Le développement de capacités d initiative et de raisonnement. Ce type de calcul nécessite de faire choix d une stratégie parmi plusieurs possibles pour un calcul donné, puis de décomposer le calcul en une suite de calculs plus simples articulés entre eux, selon un ordre défini. C est en ce sens que certains parlent de calcul raisonné pour évoquer le calcul réfléchi. Il ressort de ces quelques éléments, que le calcul réfléchi permet de développer des procédures et des stratégies adaptées à un calcul donné. D où l importance de mettre en place une pratique du calcul réfléchi qui ne soit pas basée uniquement, sur la rapidité ou l exactitude du calcul mais aussi sur la verbalisation et l analyse des procédures et de leurs effets. Cela ne signifie nullement que toutes les procédures se valent mais que chacune d elles doit être discutée par rapport à sa pertinence et à ses limites de validité. Par exemple, pour calculer 46+9, il est possible d ajouter 10 et de retrancher ensuite 1 ce qui donne 55. Mais la pertinence de cette procédure n est pas liée à la seule présence du 9 : dans le cas où il s agit de calculer 40+9, il est plus rapide " de remplacer le 0 par 9 " pour obtenir le résultat que d utiliser cette procédure. Et certains peuvent préférer calculer (46 + 4) + 5 qui ne fait intervenir que l addition. Il est important aussi de garder à l esprit que, puisqu il s agit de mettre en œuvre, dans le calcul réfléchi, une procédure personnelle, c est à l élève que revient en, dernier recours, le choix d utiliser la méthode qui lui paraît la plus adaptée ou la plus sûre. Calcul réfléchi exact Le calcul réfléchi exact, contrairement au calcul réfléchi approché, a pour but de donner la valeur exacte du résultat d un calcul. Par exemple, lorsque l on calcule , la réponse (dans le cadre d un calcul exact) ne peut pas être donnée sous la forme : " 11 est proche de 10 donc le résultat est environ 1230 ". Cette procédure ne fournit qu un ordre de grandeur du résultat attendu, qui permet cependant de contrôler la validité de la réponse donnée : " est égal à auquel on ajoute est égal 1230, j ajoute 123 pour obtenir 1350 ". Lorsqu il est purement mental, le calcul réfléchi exact sollicite de manière importante la mémoire de travail, en particulier pour garder en mémoire les résultats des calculs intermédiaires. Il utilise de plus des calculs automatisés plus complexes que le calcul réfléchi approché. Enfin les erreurs de calculs ont une incidence plus importante sur la validité du résultat que dans le calcul réfléchi approché.

11 Question pédagogique : En calcul mental réfléchi, faut-il laisser chaque élève choisir ses procédures ou faut-il privilégier certaines procédures? Diversité des procédures de calcul réfléchi Le calcul réfléchi est d une autre nature que le calcul automatisé. Il ne s agit plus de récupérer directement en mémoire un résultat ou une procédure directement applicable, mais d élaborer une procédure adaptée au calcul particulier qui est proposé. Stratégie et raisonnement sont alors sollicités. D autres représentations des nombres sont mobilisées, notamment celles qui sont liées à leur expression dans les deux systèmes de numération utilisés, numération chiffrée et numération orale. Ces deux numérations ne sont pas exactement superposables. La traduction chiffrée de «quatre-vingt douze» ne fait intervenir ni 4, ni 20, ni 12. C est une première raison pour laquelle il n est pas équivalent de proposer un calcul à faire mentalement sous la forme écrite =? et sous la forme orale «quatre-vingt douze plus quinze». Une autre raison relève de la mémorisation : dans le premier cas, la consigne reste visible alors que dans le second elle doit être enregistrée, ce qui occupera une partie de la mémoire de travail. Examinons quelques procédures qui peuvent être mises en place pour traiter deux calculs apparemment proches. 25 X X 19 P1 : calcul séparé de 25 X 10 et de 25 X 2, puis somme des résultats partiels P2 : décomposition de 12 en 4 X 3, d où calcul de 25 X 4, puis de 100 X 3 P3 : utilisation du fait que 25 est le quart de 100, en divisant d abord 12 par 4, puis en multipliant le résultat par 100 (ou multiplication de 12 par 100, puis division du résultat par 4). P4 : calcul de 25 X 20 (directement ou par 25 X 2 X 10), puis soustraction de 25 au résultat obtenu P5 : calcul de 19 X 20 (par 19 X 2 X 10), puis de 5 X 19 (nouveau calcul réfléchi qui peut être traité par la somme de 5 X 10 et de 5 X 9, par exemple), puis somme des deux résultats partiels. Bien que 25 soit un des facteurs des deux produits, sa présence n induit pas les mêmes stratégies de calcul et les procédures choisies dépendent des connaissances préalables des élèves à partir desquelles ils analysent les nombres en présence. Ainsi, pour utiliser P3, il faut savoir que 25 est le quart de 100, mais aussi que 12 est un multiple de 4. Pour reconnaître que P3 est difficilement applicable pour 25 19, il faut savoir que 19 n est pas un multiple de 4 Par ailleurs, comme cela a déjà été souligné, le calcul réfléchi suppose la mise en œuvre, souvent implicite, de diverses propriétés des opérations en jeu. En calcul réfléchi, aucune procédure ne s impose a priori et, le plus souvent, plusieurs sont possibles. Le travail en classe doit donc être axé sur l explicitation et la confrontation des procédures possibles et efficaces. Par ailleurs, un calcul réfléchi effectué mentalement mobilise une partie de la mémoire de travail, éventuellement pour le maintien de l énoncé (s il est donné sous forme orale), et dans tous les cas pour la représentation des règles de calculs et la mémorisation de résultats intermédiaires. Une cause possible d erreur de calcul provient de la saturation de la mémoire de travail. Ce risque de saturation peut être diminué en autorisant les élèves à noter des résultats intermédiaires ou, dans certains cas, en notant au tableau le calcul à effectuer. Mais il ne faut pas oublier que le calcul mental privilégie le traitement des nombres conçus du point de vue de la numération orale : l énoncé oral des calculs à effectuer est donc à privilégier.

12 Question pédagogique : On parle souvent de calcul rapide quand on évoque le calcul mental. Le calcul réfléchi n exige-t-il pas que les élèves puissent prendre leur temps pour chercher? Des séances plus longues pour le calcul réfléchi Dans la phase où il s agit de travailler le calcul réfléchi (résultats exacts ou approchés), les séquences peuvent être nettement plus longues (de un quart d heure à une demi-heure). Elles sont, en général, menées en grand groupe. Pour chaque question posée, il faut laisser du temps aux élèves pour chercher. Puis, vient le moment d expliciter les procédures utilisées dans la classe, éventuellement de les traduire pas écrit, avant de les discuter et de les justifier du point de vue de leur pertinence, de leur efficacité et de conclure par une brève synthèse de l enseignant. Il peut être envisagé d entraîner à l exécution de certains types de calculs, pour obtenir des réponses rapides, mais en gardant à l esprit que l élève conserve le choix de la procédure qui lui paraît la plus adaptée ou la plus sûre. Ainsi pour calculer ou il est commode d utiliser la suite d opérateurs +10 suivi de 1. Il faut cependant prendre garde à faire apparaître les limites de ces procédés : pour ou pour , d autres procédures plus rapides sont disponibles. Et même pour , certains élèves peuvent préférer ajouter successivement 6 et 3 à 44, simplement parce qu ils ont du mal à reculer dans la suite des nombres. Pour résumer, certaines procédures peuvent être pointées comme souvent efficaces, mais liberté doit être laissée à l élève de choisir la procédure qu il est le mieux à même de mener à son terme. Pour d autres types de calculs, c est un véritable problème de calcul qui est posé, c est-à-dire une opération pour laquelle il n existe pas de stratégie clairement privilégiée (ex ). Dans ce cas, la rapidité d exécution n est nullement un objectif, et l on favorisera l explicitation des procédures des uns et des autres. Ceci dans le but d en faire découvrir de nouvelles et ultérieurement de pouvoir les utiliser. Extrait du document d accompagnement des programmes Mathématiques (p. 37) MEN- CNDP (2006)

13 Question pédagogique : Peut-on utiliser l écrit pour le calcul mental réfléchi? Le calcul mental s oppose au calcul posé, mais pas au recours à l écriture

14 Exemples de pratiques Comment conduire une séance de calcul mental? Des mises en œuvre adaptées à l objectif visé (mémorisation ou calcul réfléchi) Le calcul mental est d abord un moyen efficace de calculer. C est donc intégré aux autres activités que le calcul mental doit d abord vivre dans la classe. Son intérêt pratique majeur réside dans son utilité pour la vie quotidienne, dans la mesure où il suffit souvent pour prendre une décision et permet d autre part de contrôler un résultat affirmé par une autre personne ou obtenu à l aide d une machine. Il doit être encouragé chez les élèves, par une forme d imprégnation, dans toutes les activités relevant des mathématiques ou d autres disciplines, dès lors qu il permet de répondre plus rapidement et aussi efficacement qu en posant les opérations ou qu en utilisant la calculatrice. Il peut, ainsi, être utilisé dans différentes activités fonctionnelles : déplacement en autobus, éducation physique, consultation d un calendrier, d un catalogue ou d un horaire, etc. Dès le CP, des moments spécifiques doivent, chaque jour, être ménagés pour l entraînement au calcul mental automatisé et pour l exercice du calcul mental réfléchi. En fonction de l objectif poursuivi, ils prennent des formes différentes. CALCUL AUTOMATISE Dans la phase où il s agit d entretenir et de contrôler la mémorisation de résultats (tables, relations entre nombres du type 5, 20, 25, 50, 75, 100 ) ou l automatisation de procédures(compléments à la dizaine supérieure, multiplication ou division par 10 ; 100 ), des séquences brèves (cinq à dix minutes) sont appropriées. De telles séquences de calcul peuvent être conduites avec la classe entière, ou par groupes de huit à dix enfants. Il est souhaitable qu elles débutent par une activité très facile, quasi rituelle et surtout destinée à focaliser l attention. La consigne est orale. En petit groupe, la réponse peut être individuelle et orale. En plus grand groupe, elle peut être écrite (sur ardoise ou papier), ou encore en exhibant une carte parmi un choix de cartes-réponses. Selon les séances, l enseignant peut utiliser le procédé Lamartinière dans lequel, après avoir été noté sur l ardoise, chaque résultat est immédiatement corrigé ou faire inscrire l ensemble des résultats sur une feuille de papier pour ne les exploiter qu à la fin de l interrogation. Dans ce type de calcul, centré sur le résultat, la rapidité est un objectif visé, car il s agit de faire maîtriser un répertoire avec sûreté. CALCUL REFLECHI Dans la phase où il s agit de travailler le calcul réfléchi (résultats exacts ou approchés), les séquences peuvent être nettement plus longues (de un quart d heure à une demi-heure). Elles sont, en général, menées en grand groupe. Pour chaque question posée, il faut laisser du temps aux élèves pour chercher. Puis, vient le moment d expliciter les procédures utilisées dans la classe, éventuellement de les traduire pas écrit, avant de les discuter et de les justifier du point de vue de leur pertinence, de leur efficacité et de conclure par une brève synthèse de l enseignant. Il peut être envisagé d entraîner à l exécution de certains types de calculs, pour obtenir des réponses rapides, mais en gardant à l esprit que l élève conserve le choix de la procédure qui lui paraît la plus adaptée ou la plus sûre. Ainsi pour calculer ou il est commode d utiliser la suite d opérateurs +10 suivi de 1. Il faut cependant prendre garde à faire apparaître les limites de ces procédés : pour ou pour , d autres procédures plus rapides sont disponibles. Et même pour , certains élèves peuvent préférer ajouter successivement 6 et 3 à 44, simplement parce qu ils ont du mal à reculer dans la suite des nombres. Pour résumer, certaines procédures peuvent être pointées comme souvent efficaces, mais liberté doit être laissée à l élève de choisir la procédure qu il est le mieux à même de mener à son terme. Pour d autres types de calculs, c est un véritable problème de calcul qui est posé, c est-à-dire une opération pour laquelle il n existe pas de stratégie clairement privilégiée (ex ). Dans ce cas, la rapidité d exécution n est nullement un objectif, et l on favorisera l explicitation des procédures des uns et des autres. Ceci dans le but d en faire découvrir de nouvelles et ultérieurement de pouvoir les utiliser. Dans tous les cas (calcul automatisé ou calcul réfléchi), les questions peuvent porter directement sur les nombres ou être situées dans le cadre de la résolution de «petits problèmes», dans des contextes variés : sens des opérations et entraînement au calcul mental sont alors travaillés simultanément. Ajoutons qu il n est pas équivalent de poser la

15 question «calculer » (oralement ou par écrit) et le problème «Arnaud avait 17 billes et en gagne 23 ; combien en a-t-il maintenant?». Chacun de ces énoncés active une représentation de la tâche à accomplir. Dans le premier cas, elle porte sur des nombres purs, dans le second elle s appuie sur l évocation d un certain champ de réalité. L expérience montre surtout qu il s agit, dans le second cas, d un moyen efficace d aider les élèves à progresser dans la maîtrise du «sens des opérations». En dehors des séquences décrites ci-dessus, des situations de jeux, stratégiques ou non, utilisant des supports classiques (dés, dominos, cartes, jeux et logiciels du commerce ) ou des supports spécifiques mettent en jeu des décompositions numériques ou des calculs simples. Elles fournissent des occasions de travailler la mémorisation de résultats ou la mise en œuvre de stratégies de calcul. Elles peuvent intervenir dans le cadre d ateliers, en groupes restreints, ou bien en fond de classe. Extrait du document d accompagnement des programmes Mathématiques (p ) MEN-CNDP (2006)

16 FICHE D ACTIVITE Les compléments à 10

17 Fiche d'activité Les cartes recto-verso (1)

18

19 Fiche d'activité Le nombre cible des dizaines (1) Objectif : Utiliser les connaissances sur les tables d addition pour calculer sur des dizaines entières Matériel : - Un jeu de cartes avec les multiples de 10 compris entre 40 et 150 pour désigner la cible. - Un jeu de cartes avec les multiples de 10 entre 10 et 90. Les cartes existent en plusieurs exemplaires, celles entre 10 et 50 sont nombreuses. Ces cartes sont en grand format puisque destinées à être affichées au tableau. Règle : Un nombre cible est choisi dans le premier paquet (choix en fonction des compétences des élèves). Ce nombre cible est affiché au tableau. Sont aussi affichées les cartes disponibles pour atteindre la cible (on peut ne pas rendre toutes les cartes disponibles). Exemple 1 : cartes de 10 à 40 (plusieurs exemplaires de chaque) pour atteindre une cible entre 40 et 60. Exemple 2 : cartes de 20 à 60 (plusieurs exemplaires de chaque) pour atteindre une cible entre 60 et Consigne : " Il faut prendre 3 cartes (pas plus, pas moins). La somme des nombres écrits sur ces cartes doit être égale au nombre cible affiché. " Variante 1 : Les parties sont collectives. Un premier élève choisit une carte et va l afficher à un endroit prévu pour. Un deuxième élève choisit la deuxième carte et justifie son choix (il peut avoir pris une carte identique à celle du premier). Ce choix est analysé par tous les élèves. Enfin un troisième élève choisit la dernière carte et justifie aussi son choix. Il est analysé de même. On vérifie que la somme est bien celle attendue (ce qui n est en général pas le cas dans les premières parties, les élèves n anticipant pas le résultat). Variante 2 : Le travail se fait en groupes hétérogènes. Le nombre cible est commun à tous. Chaque groupe recherche une façon de l atteindre la cible avec trois cartes parmi celles proposées. Une synthèse collective est réalisée avec demande des justifications des propositions, ce qui entraîne l explicitation des procédures et des stratégies utilisées. Plusieurs solutions auront pu être trouvées, ce qui alimente la confrontation. Variante 3 : En individuel, sous forme de parties simulées. Consigne : " Complète les parties commencées. " Cible cartes disponibles Ou bien : " Entoure 3 cartes que tu peux choisir pour atteindre la cible " Cible cartes disponibles

20 Variante 4 : Le travail se fait en groupes homogènes (qui peuvent être constitués à la suite de la variante précédente). Certains fonctionnent en autonomie, ils peuvent noter leurs parties afin qu elles soient ensuite vérifiées par l enseignant. Celui-ci reste avec un groupe qui a besoin d un accompagnement. 1. INRP ERMEL, Apprentissages numériques et résolution de problèmes CE1, Hatier, 2002

21 Fiche d'activité Les cascades additives

22 Fiche d'activité Les cibles des additions

23 Éléments de réponses au questionnaire 1/ Il est indispensable de mémoriser les tables d addition. VRAI et FAUX. Il est indispensable que les élèves deviennent capables de produire instantanément (ou presque) le résultat d une addition de deux nombres inférieurs à 10, que ce soit parce que le résultat est connu (c est-à-dire mémorisé) soit en le reconstruisant très rapidement. En effet, si certains individus mémorisent tous les résultats additifs, d autres n en mémorisent qu une partie et à partir de là reconstituent les autres quasiinstantanément. Cette connaissance des tables est indispensable pour le calcul réfléchi, pour le calcul posé ou encore pour que la charge de travail soit allégée dans des tâches complexes. Ne pas les connaître alourdirait en effet la charge de la mémoire de travail et rendrait tout calcul très difficile. Le déficit de maîtrise de ces résultats fragilise gravement l apprentissage des techniques écrites. 2/ La répétition fréquente de ces tables suffit à en assurer la mémorisation. FAUX. Un entraînement répété, même s il est indispensable, n est pas suffisant. Il n est pas le seul ressort de la mémorisation. Plusieurs conditions se révèlent tout aussi importantes : - Une bonne représentation des nombres ainsi qu une bonne mise en relation entre ces nombres (en particulier le fait que ajouter 1 revient à dire le nombre suivant ou que soustraire 1 revient à dire le précédent). - La compréhension des opérations en jeu, soit du point de vue de leur sens (capacité à retrouver un résultat en évoquant une situation avec des objets, par exemple), soit du point de vue de leur propriété (capacité à prendre appui sur des résultats connus pour en obtenir d autres). - La prise de conscience de l intérêt de cette mémorisation. On retient mieux ce que l on sait devoir resservir. - La prise de conscience que certains résultats sont mémorisés et qu un répertoire mental est en train de se constituer. 3/ Les compétences en calcul mental se préparent dès les premières maternelle. VRAI. La première condition citée ci-dessus commence à se construire dès la petite section de maternelle. Avoir une bonne représentation de la quantité 5, par exemple, ne réside pas seulement dans la possibilité de lui associer une désignation verbale ou chiffrée, mais aussi dans la capacité à réaliser une collection de 5 éléments ou encore dans le fait de savoir que 5 c est aussi 4 et 1 ou 3 et 2. 4/ Les séances de calcul mental doivent être courtes et quotidiennes. VRAI et FAUX. Les séances de calcul mental doivent être quotidiennes de façon à assurer un bon entraînement. Elles doivent être structurées avec un objectif précis. Celles de calcul automatisé sont courtes, il s agit de produire très rapidement un résultat. Celles de calcul réfléchi peuvent être plus longues, les élèves devant avoir plus de temps pour élaborer et mettre en œuvre des procédures de calcul réfléchi, celles-ci étant ensuite explicitées, discutées, validées (ou non). 5/ Il faut imposer des procédures de calcul réfléchi. Faux. Les procédures de calcul réfléchi sont des procédures personnelles qui dépendent des connaissances de chacun. Il peut être envisagé d entraîner à l exécution de certains types de calculs, pour obtenir des réponses rapides, mais en gardant à l esprit que l élève conserve le choix de la procédure qui lui paraît la plus adaptée ou la plus sûre. Ainsi pour calculer 23+9 ou 44+9 il est commode d utiliser la suite d opérateurs +10 suivi de 1 mais la décomposition 20 + (3 + 9) ou 40 + (4 +9) permet également d obtenir la réponse. Il faut cependant prendre garde à faire apparaître les limites des procédés étudiés : pour 30+9 ou pour 31+9, d autres procédures plus rapides sont disponibles. 6/ Lors de séances de calcul mental, seul le résultat peut être écrit. VRAI et FAUX. Tout dépend du type de séance. Pour une séance de calcul mental automatisé seul le résultat sera écrit (ou dit) sur une ardoise par exemple. Lors d une séance de calcul réfléchi, on peut laisser les élèves écrire les résultats intermédiaires pour soulager la mémoire immédiate, l écrit peut aussi être utilisé pour expliciter la démarche, enfin un support écrit comme la droite numérique peut être utiliser comme aide. 7/ Le procédé Lamartinière est un bon moyen de travailler le calcul automatisé. VRAI. C est moyen rapide qui permet à l enseignant et aux élèves de savoir tout de suite ce qui est su et ce qui ne l est pas. Il favorise la concentration s il est mené de manière bien rythmée : l enseignant énonce le calcul deux fois, et deux fois seulement, laisse 10 à 15 secondes de réflexion et fait