1 Connecteurs logiques et langage ensembliste

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1 Ecole Polytechnique, EV2- Mathématiques Appliquées Fiche de cours 1 : Quelques rappels sur le langage ensembliste 1 Connecteurs logiques et langage ensembliste Etant donnée une proposition A dépendant d une variable x appartenant un ensemble X, on note {x X, A(x)} l ensemble des x pour lesquels l assertion A(x) est vérifiée. Par exemple, considérons A(n) : n est premier. Alors {n N, A(n)} est l ensemble des nombres premiers. Dans la suite on omettra d écrire X pour alléger les notations. La négation A (non A) de la proposition A correspond au complémentaire : {x, A(x)} = {x, A(x)} c. La conjonction A B (A et B) correspond à l intersection : {x, A(x) B(x)} = {x, A(x)} {x, B(x)}. La disjonction A B (A ou B, le ou étant non exclusif) correspond à la réunion : {x, A(x) B(x)} = {x, A(x)} {x, B(x)}. Le quantificateur universel (quel que soit, pour tout) correspond à une intersection : {x, i I, A i (x)} = i I {x, A i (x)}. Le quantificateur universel (il existe) correspond à une réunion : {x, i I, A i (x)} = i I {x, A i (x)}. L implication A B (A implique B) correspond à une inclusion : Quelques règles sur les connecteurs logiques : A B si et seulement si {x, A(x)} {x, B(x)}. (A B) (A B), A A, A B A B, A B A B, A (B C) (A B) (A C), A (B C) (A B) (A C), ( ) ( ) ( x, A(x)) x, A(x), ( x, A(x)) x, A(x). Ces formules ont leur équivalent ensembliste. Par exemple, A B A B se retrouve facilement si l on se souvient que (A B) c = A c B c (le complémentaire de la réunion est l intersection des complémentaires). Attention aux quantificateurs universels : la négation de il existe un entier naturel n, tel que 2 n + 3 n soit premier est pour tout entier naturel n, 2 n + 3 n n est pas premier et vice versa. 1

2 2 Applications 2.1 Injection, surjection, bijection Définition. Soient E et F deux ensembles et f : E F une application. 1. f est injective si la relation suivante est vérifiée : x E, y E, x y f(x) f(y). (1) 2. f est surjective si, pour tout y F, il existe x E tel que f(x) = y. 3. f est bijective si elle est la fois injective et surjective. Remarque. 1. Pour vérifier qu une application f : E F est injective, on utilise souvent la contraposée de (1) en prouvant que deux éléments x et y de E ayant mme image sont nécessairement égaux. 2. Une bijection d un ensemble E sur lui-mme est parfois appelée permutation de E. Proposition. La composée de deux applications injectives (resp. surjectives, bijectives) est injective (resp. surjective, bijective). Théorème. Soient f : E F et g : F G des applications. Si g f est injective, f est injective. Si g f est surjective, g est surjective. 2.2 Application réciproque Considérons une application f : E F bijective. Pour tout y F il existe un unique élément x E tel que f(x) = y. Posons x = f 1 (y). Définition. L application f 1 : F E ainsi définie est appelée application réciproque de l application f. Proposition. L application f 1 est aussi bijective, et vérifie : 1. f 1 f(x) = x pour tout x E, 2. f f 1 (y) = y pour tout y F, 3. (f 1 ) 1 = f. Les applications f et f 1 sont dites réciproques l une de l autre. Théorème. Soit f : E F une application. S il existe g : F E telle que g f = Id E et f g = Id F, alors f est bijective et g = f 1. Remarque. Le résultat ci-dessus est très utile dans la pratique. Proposition. Soient f : E F et g : F G deux applications bijectives. Alors g f : E G est bijective et : (g f) 1 = f 1 g Ensembles et applications On considère deux ensembles E et F et f : E F une application. Définition. Pout toute partie A de E, l ensemble f(a) = {y F x A, f(x) = y} s appelle image directe de A par f. Pour toute partie B de F, l ensemble f 1 (B) = {x E f(x) B} s appelle image réciproque de B par f. Remarque. On peut aussi écrire f(a) = {f(x), x A}. 2

3 Proposition. Soient quatre parties A 1, A 2 E et B 1, B 2 F. (1) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ), (5) f(f 1 )(B 1 ) B 1, (2) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ), (6) f 1 (f(a 1 )) A 1, (3) f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ), (7) f 1 (F \B 1 ) = E\f 1 (B 1 ), (4) f(a 1 A 2 ) f(a 1 ) f(a 2 ). Proposition. Si l application f est injective, alors les inclusions (4) et (6) ci-dessus deviennent des égalités. Si l application f est surjective, alors l inclusion (5) ci-dessus devient une égalité. 3 Notions de dénombrement 3.1 Ensembles finis et exemples Définition. Le cardinal d un ensemble fini Ω, noté card(ω), représente son nombre d éléments. Exemples et définitions. 1. Soient E 1, E 2,..., E p des ensembles (pas forcément finis). Le produit cartésien de ces ensembles est noté E 1 E 2... E p et représente l ensemble des p-uplets (e 1,..., e p ) o e i E i, pour i {1,..., p}. Si E 1, E 2,..., E p sont finis alors card(e 1 E 2... E p ) = p card(e i ). 2. Soient X et Y deux ensembles (pas forcément finis). On note X Y l ensemble des applications de Y dans X. i=1 Si X et Y sont finis alors card(x Y ) = card(x) card(y ). 3. Une partition d un ensemble Ω est une famille d ensembles non vides {A i } i I telle que A i = Ω et A i A j =, pour i j. i I Une telle partition est aussi notée i I A i. Si Ω et I sont finis, on a card(ω) = i I card(a i ). Conséquences : Soient A et B deux parties d un ensemble fini Ω. Alors : (a) card(a c ) = card(ω) card(a), (A c = Ω \ A). (b) card(a B) = card(a) + card(b) card(a B). Proposition. Soient E et F deux ensembles finis. Alors : 1. S il existe une injection de E dans F alors card(e) card(f ). 2. S il existe une surjection de E dans F alors card(e) card(f ). 3

4 Proposition. Soit E un ensemble fini. Soit f : E E une application. Alors les trois conditions suivantes sont équivalentes : 1. f est injective 2. f est bijective 3. f est surjective 3.2 Ensembles dénombrables Définition. Un ensemble est dénombrable s il est fini ou s il est en bijection avec N. Proposition. 1. Un sous-ensemble d un ensemble dénombrable est dénombrable. 2. Si φ : X Y est injective et si Y est dénombrable, alors X est dénombrable. 3. Si φ : X Y est surjective et si X est dénombrable, alors Y est dénombrable. 4. Un produit cartésien fini d ensembles dénombrables est dénombrable. 5. Une réunion dénombrable d ensembles dénombrables est dénombrable. Exemple. Z, Q et Q[X] sont dénombrables. Théorème. R et l ensemble {0, 1} N des suites valeurs dans {0, 1} ne sont pas dénombrables. Définition. Soit E un ensemble. On note P(E) l ensemble des parties de E. Corollaire. P(N) n est pas dénombrable. 3.3 Analyse combinatoire Dans cette sous-section, Ω désignera un ensemble non vide de cardinal fini égal n qui est dans N. n! désignera n. On convient que 0! = 1. Définition. Soit p N. Une p-liste de Ω est un élément de Ω p Proposition. L ensemble des p-listes de Ω est de cardinal n p. Définition. Soit p {0,..., n}. Un p-arrangement de Ω (ou un arrangement p éléments) est une p-liste ou p-uplet (x 1,..., x p ) Ω p tel que x 1,..., x p soient deux deux distincts. Une permutation de Ω est un arrangement n élements. On note S n l ensemble des permutations. Proposition. Le nombre de p-arrangements de Ω, noté A p n est A p n = n(n 1)...(n p + 1) = Le nombre de permutation de Ω est card(s n ) = A n n = n!. Remarque. Si p > n alors A p n = 0. n! (n p)! Définition. Soit p {0,..., n}. On appelle combinaison de p élements de Ω toute partie de Ω de cardinal p. Proposition. Le nombre de combinaisons de p élements de Ω noté C p n ou ( n p) est Remarque. 1. Si p > n alors C p n = A p n = p!c p n. C p n = n! (n p)!p!. 4

5 Proposition. Pour 0 p n et 1 n, on a : 1. C p n = C n p n. 2. C 0 n = C n n = Cn 1 = Cn n 1 = n. 4. Cn p = C p 1 n 1 + Cp n 1, n 2, p {1,..., n 1}. 5. (a + b) n = n k=0 Ck na k b n k, a, b C. Remarque. card (P(Ω)) = n k=0 Ck n = 2 n. 3.4 Application aux probabilités Dans cette sous-section, Ω désignera un ensemble non vide de cardinal fini égal n qui est dans N. Définition. Une probabilité est une fonction P de P(Ω) dans [0; 1] telle que 1. P(Ω) = P(A B) = P(A) + P(B), si A et B sont deux parties disjointes de Ω. Proposition. 2. P( ) = P(A c ) = 1 P(A). 3. P(A) = P(A B) + P(A B c ). 4. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Remarque. Supposons que (ω, ω ) Ω 2, P({ω}) = P({ω }). On est dans le cas d équiprobabilité et pour tout A P(Ω), on a P(A) = card(a) card(ω). 5