La proportionnalité. A. Les situations et les problèmes, les difficultés. A. Les situations et les problèmes, les difficultés

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1 A. Les situations et les problèmes, les difficultés Deux questions principales sont abordées dans cette partie A. La proportionnalité A. Les situations et les problèmes, les difficultés Les situations de proportionnalité et les problèmes Une notion mathématique très riche (situations de références, méthodes de traitement, représentations) sur laquelle on peut poser de nombreux problèmes. Un enseignement prévu sur une longue durée : du cycle 3 de l école élémentaire jusqu en classe de 2nde. Les difficultés d apprentissage Des difficultés d apprentissage qui persistent malgré les réformes de son enseignement, avec une perte de repère de ce qui doit être acquis à chaque étape de l apprentissage. B. Les graphiques de la proportionnalité C. Les méthodes de résolution des problèmes Structure générale d une situation de proportionnalité Deux grandeurs X et Y sont proportionnelles lorsque les valeurs de Y s obtiennent systématiquement en multipliant celles de X par un nombre constant. Cette relation vient d une convention sociale, d une loi physique, d une relation mathématique, etc. Prix des croissants Dans certaines situations, les grandeurs en relation ne sont pas proportionnelles. L âge et la taille (dans un manuel de 6 e ) Distance parcourue à vitesse constante La longueur et le périmètre d un rectangle de largeur 7 cm Périmètre du carré 3 4

2 Exemple tiré d un manuel de CM2 Exemple dans un manuel de 6e 8 cm 2 cm 5 6 Exemple en utilisant un graphique Dans une situation de vente à l unité, le nombre d unités et le montant de la dépense sont proportionnels. Exemple dans un manuel de 6e La distance Paris-Lyon est 360 km. Calculer la distance Lille-Bordeaux. 7 8

3 Dans un déplacement à vitesse constante, la distance parcourue est proportionnelle à la durée. La vitesse est le coefficient de proportionnalité. Exemple (manuel de 4e) Pour quatre véhicules, la distance parcourue y en km en fonction de la durée x en h, est représenté par ce graphique. Sachant que ces véhicules sont, du plus lent au plus rapide, la bicyclette la motocyclette, l'automobile et le train, associez à chaque véhicule le graphique qui lui correspond. Quelle est la vitesse en km/h de l'automobile? de la bicyclette? Dans un mélange liquide (une solution) la concentration est définie par le rapport avec le solvant ou avec le soluté (liquide résultat). Exemples Pour faire de la peinture grise Maud a mélangé 2 L de noir et 5 L de blanc. Lucie a préparé un mélange de 10 L contenant 3 L de noir et le reste de blanc. Quelle est la peinture la plus foncée? 3. Une situation en IFSI (Institut de Formation en Soins Infirmiers) Concentration et débit Quelle est la masse de glucose d une poche de G5% de 500 ml? Cette poche doit être perfusée en 12h. Calculez le débit de la perfusion en gouttes par minute (20 gouttes = 1 ml) Les difficultés d apprentissage tiennent à la fois : à la méconnaissance des fractions et des décimaux, à une conception trop souvent additive de la multiplication, à une quantité souvent importante des informations qui peuvent être prises sur les situations, et au nombre de méthodes différentes pour résoudre les problèmes dont certaines restent souvent implicites en classe. A. Reconnaissance d une situation de proportionnalité À partir d un tableau de valeurs contextualisé (EVAPM 5e) A. Reconnaissance d une situation de proportionnalité À partir d un tableau de valeurs décontextualisé (EVAPM 5e) Réponse exacte : 42% 11 Réponse exacte 46%. Pas de différence significative avec les précédents. 12

4 Reconnaissance d une situation de proportionnalité À partir d un graphique décontextualisé (EVAPM 5e) À partir d un tableau décontextualisé (EVAPM 5e) Réponse exacte 22%. Au plus une erreur 33%. Réponse exacte : 64% La dernière colonne a fait chuter le score : 30 était en effet un multiple de 6 ; des élèves ont utilisé l'opérateur inverse (:6). Le résultat ainsi obtenu était aussi plus "proche" des autres nombres du tableau À partir d un tableau décontextualisé (EVAPM 5e) À partir d une situation (EVAPM 6e et 3e) 3 réponses exactes : 42% 2 réponses exactes : 66% C'est en général le troisième tableau qui pose problème à cause du coefficient de proportionnalité qui n est pas entier. Première question. Réponse exacte : en 6e 51% ; en 3e 96% Deuxième question. Réponse exacte : en 6e 33% ;en 3e 87% 15 16

5 À partir d une situation et d un graphique (EVAPM 3e) Réponse exacte : 49% à 56% Principales sources d'erreur : -confusion entre degrés et pourcentages ; -oubli de la somme à partager : certains élèves attribuent aux pays les mesures en degrés ou en pourcentage ; -passage par des pourcentages. Énoncé : Pour faire une purée pour quatre personnes, il faut 800 g de pommes de terre, 30 cl de lait et 40 g de beurre. Complète le tableau suivant en inscrivant les quantités pour 20 personnes et pour 10 personnes. Voici les réponses de quatre élèves à analyser en émettant des hypothèses sur les démarches mises en œuvre Élève n 1 Élève n 3 Élève n 2 Élève n