A5: Mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme

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1 re BC A5 Mouveent d'une particule chargée dans un chap agnétique unifore A5: Mouveent d'une particule chargée dans un chap agnétique unifore a. Force de Lorentz ) Définition Une charge q qui se déplace avec une vitesse v dans un chap agnétique caractérisé par le vecteur B subit une force agnétique appelée force de Lorentz f donnée par : f qv B f est le produit vectoriel de q v par B. ) Caractéristiques de la force de Lorentz direction : perpendiculaire au plan foré par qv et B sens : déteriné par la règle des trois doigts de la ain droite (cf. figure) nore : f qvb sin avec: q est la charge (C) v est la vitesse de la charge (/s) B est l'intensité (la nore) du vecteur chap agnétique (T) est l'angle foré par qv et B. 3) Attention Si q < alors qv est de sens opposé à la vitesse v!

2 re BC A5 Mouveent d'une particule chargée dans un chap agnétique unifore b. Etude cinéatique dans le cas où la vitesse initiale est perpendiculaire au chap agnétique ) Systèe étudié : A l'instant initial t =, une particule de asse et de charge électrique q> pénètre en O avec la vitesse v dans une région de l'espace où règne un chap agnétique unifore B. On suppose que v est perpendiculaire à B. Nous étudions le ouveent de la particule à l'intérieur du chap uniqueent. Le référentiel est celui du dispositif qui crée le chap agnétique (bobines de Helholtz). On utilise la base de Frenet ( T, N ) liée à la particule, coplétée par le vecteur unitaire k fixe et perpendiculaire au plan foré par T et N à l instant t =. ) Forces et accélération Force de Lorentz : qv B f Le poids P est négligeable devant f. Il n y a pas de frotteent car le ouveent se fait dans le vide La relation fondaentale de la dynaique s écrit : qv B a a q v B Projections sur les directions de T, N et k : a T () q vb a N () a k (3)

3 re BC A5 Mouveent d'une particule chargée dans un chap agnétique unifore 3 3) Etude du ouveent dvt * (): at vt v constant! dt Le ouveent est unifore. dvk * (3): a k vk constant = v k = dt Donc il n'y a pas de ouveent suivant k! Le ouveent est plan. Il s'effectue dans un plan perpendiculaire à B, contenant la vitesse initiale v. * Coe la coordonnée norale de l'accélération s'écrit toujours v a N ( ρ= rayon du cercle tangent), on a grâce à () : v q vb v, v, q et B sont constants ρ=r est constant! Le ouveent est circulaire. Une particule chargée entrant dans un chap agnétique avec une vitesse perpendiculaire à décrit un MCU dans un plan perpendiculaire au chap. v Le rayon de la trajectoire est donné par l'expression : R (4) 4) Propriétés : La force de Lorentz f est centripète. C'est elle qui est à l'origine du ouveent circulaire et unifore! Contraireent à la force électrostatique, la force agnétique de Lorentz ne travaille pas et ne va pas odifier l énergie cinétique de la particule. La nore de la vitesse v=v =const La période de rotation La fréquence est reliée à la période par R T v f T T Les expressions ontrent que T et f dépendent du rapport /q et de B ais sont indépendants du rayon r et de la vitesse v. f

4 re BC A5 Mouveent d'une particule chargée dans un chap agnétique unifore 4 c. Vérification expérientale Un canon à électron injecte des électrons accélérés sous une tension U dans une sphère repli de gaz raréfié qui peret de visualiser la trajectoire des électrons qui circulent à la vitesse eu v= Deux bobines de Helholtz portant chaque fois N spires de rayon r bob placé à un écart égal au rayon créent un chap unifore 8 I N 7 I N B= r r bob bob Sous l effet du chap agnétique perpendiculaire à la vitesse des électrons, les électrons décrivent une trajectoire circulaire. Mesures : r=, et N=54 spires =9, -3 kg e=,6-9 C U (V) I(A) Rexp() v(/s) B (T) v R cal eb Orientation des vecteurs : Dessiner l orientation des vecteurs f,qv et B et le sens de I dans les bobines dans la situation de l expérience. ) Noter que qv B joue le rôle f de force centripète ) Si v est parallèle à B la force de Lorentz est nulle et la particule décrit un ouveent rectiligne et unifore à travers le chap (Newton I). 3) Si l'angle entre v et B est différent de et de 9, la particule décrit un ouveent unifore hélicoïdal (trajectoire = hélice).

5 re BC A5 Mouveent d'une particule chargée dans un chap agnétique unifore 5 d. Spectrographe de asse Le spectrographe de asse sert à séparer les isotopes d'un êe éléent. Il est foré de trois chabres où règne un vide très poussé. * Chabres d'ionisation : On y produit des ions de êe charge q ais de asses et différentes. * Chabre d accélération : A travers une preière fente, les ions pénètrent dans cette chabre avec une vitesse négligeable. Ils sont accélérés par la tension U > et sortent avec une vitesse q U v (5) * Chabre de déviation : Les ions sont déviés par un chap agnétique B et ont pour trajectoire des dei-cercles dont les rayons R et R dépendent des asses et. U U (4) et (5) R et R B q B q Le rayon de la trajectoire augente avec la asse. On arrive ainsi à recueillir sur le détecteur des particules de êe asse ; la position du détecteur peret de déteriner le rayon R de la trajectoire. Connaissant la charge q, on déterine la asse de la particule.

6 re BC A5 Mouveent d'une particule chargée dans un chap agnétique unifore 6 e. Cyclotron (Découverte en 99 par E. O. LAWRENCE aux USA) Un cyclotron est un accélérateur de particules chargées. Il coporte deux électrodes en fore de deux dei-cylindres creux appelés les "dee" (en anglais) ou "dés" (en français) en raison de leur fore de lettre D. Les deux "dés" baignent dans un chap agnétique unifore et on les relie à une tension alternative. Ainsi un chap électrique alternatif apparaît dans l intervalle isolant étroit qui sépare les deux dés. À l intérieur règne un vide très poussé. En son centre (point O) se trouve une source qui injecte des particules chargées : protons, deutons, particules alpha,... Ces particules sont accélérées vers le "dé" supérieur, où elles arrivent en A avec une vitesse v A. Elles décrivent alors avec la vitesse v A constante un dei-cercle. Au oent précis où elles s apprêtent à sortir du dé (point B ), la tension appliquée entre les deux "dés" a changé de signe : les particules sont accélérées vers le "dé" inférieur (entre B et C ) : sa nouvelle vitesse est v C > v A. Dans le "dé" inférieur les particules décrivent aussi un deicercle, de rayon supérieur au précédent, avec la vitesse v C constante. Lorsqu'elles sortent (point D ) la polarité des "dés" a encore changé : les particules sont accélérées vers le "dé" supérieur (entre D et A ) et entrent dans ce "dé" avec la vitesse v A > v C et ainsi de suite. A chaque traversée de l'intervalle entre les "dés", la tension appliquée accélère les particules et elles décrivent des dei-cercles avec des vitesses de plus en plus grandes, et donc avec des rayons de plus en plus grands. La durée de parcours des dei-cercles est constante, égale à la dei-période : T La fréquence du générateur doit donc valoir f = constante. En fin de parcours, les particules arrivent à la périphérie des "dés" (rayon R) et sortent tangentielleent à la trajectoire avec la vitesse v. Elles peuvent alors être utilisées coe projectiles corpusculaires de haute énergie. R Vitesse : v Energie cinétique : E v R c pour v < % vit. luière