1.1 Détermination du rapport charge/masse de l électron (méthode de Thomson et Kaufmann)

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1 Corrigés du chapitre 1 Introduction 1.1 Détermination du rapport charge/masse de l électron (méthode de Thomson et Kaufmann) La méthode de Thomson (1897) consiste à étudier la déviation d électrons de vitesse initiale v 0 (parallèle à Oy) par un champ électrique E et un champ magnétique B, tous deux constants, homogènes, parallèles à Ox et agissant dans la région située entre O et un écran où sont matérialisés les électrons (voir fig. 1.1). L impact du faisceau électronique est détecté sur un écran placé à la distance d de l origine O. On note e et m la charge et la masse électroniques et ω = e B m la quantité appelée pulsation synchrotron. Figure 1.1: Schéma de l expérience de Thomson - Kaufmann 1. Principe de l expérience (a) Dessiner l allure typique d une trajectoire électronique. (b) Trouver l équation paramétrique (en fonction du temps) de la trajectoire d un électron, en prenant comme origine des temps l instant où l électron passe en O. À quelle condition obtient-on un impact sur l écran?

2 2 Corrigés du chapitre 1. Introduction (c) Soit t 1 l instant d impact sur l écran. Dans l hypothèse où ωt 1 π 2, déterminer l équation cartésienne de la courbe sur laquelle se trouvent les impacts lorsque la vitesse initiale varie en module. Que se passe-t-il si on inverse le champ électrique? (d) Comment cette expérience permet-elle de mesurer le rapport charge masse pour l électron? 2. Corrections relativistes Peu de temps après les premières expériences de Thomson, Kaufmann (après le premier article d Einstein sur la Relativité Restreinte) s aperçut que la loi parabolique obtenue en 1c n était pas vérifiée près de l origine O, c est-à-dire là où l on trouve les particules dont la vitesse initiale est très grande. (a) Identifier l origine de cette anomalie. (b) À l aide de la conservation de l énergie, déterminer la variation dans le temps de la coordonnée x à l aide de la fonction T (t) définie comme : T (t) = déf γmc 2, γ = (1 β 2 ) 1/2, β = v c. (1.1) (c) En utilisant la relation fondamentale de la dynamique (relativiste), trouver le complexe Z(t) = déf y(t) + iz(t) en fonction de T (t) (d) Trouver la fonction T (t) (poser τ = T (0) c e E ). En déduire l expression des trois coordonnées d espace en fonction de la variable φ(τ) définie par sinhφ(t) = déf t τ (e) Montrer que si v 0 c, les impacts se rapprochent de l origine O suivant une courbe qui n est plus tangente à O z. Retrouver la pente verticale mise en évidence dans la partie 1 par un passage à la limite convenable. ===============?????????? =============== 1. Principe de l expérience (a) On prend les deux champs orientés dans le sens des x positifs. La force électrique est dirigée le long de Ox, vers les cotes négatives (la charge e est négative). Par ailleurs, au moment où l électron arrive en O, la force de Lorentz est dirigée vers les z positifs. Au total, la trajectoire est une hélice d axe parallèle à Oz, située dans l octant x < 0, y > 0, z > 0. (b) La force agissant sur l électron est F = e( E+ v B) ; la projection sur les trois axes de l équation fondamentale de la Dynamique donne (m est la masse de l électron) mẍ = ee, mÿ = e ż B, m z = e ẏ B. Avec les conditions initiales précisées, on en déduit d abord x = ee 2m t2. En posant Z(t) = y(t) + iz(t), on voit que Z(t) satisfait Z e B = iωż, avec ω = m, d où Ż(t) = Ż(0)eiωt, où Ż(0) = v 0. Une deuxième intégration en temps donne y(t) = v0 ω sin ωt et z(t) = v0 ω (1 cosωt).

3 1.1. Détermination du rapport charge/masse de l électron (méthode de Thomson et Kaufmann) 3 Figure 1.2: Lignes où se distribuent les impacts quand la vitesse initiale varie (à gauche, champ électrique dirigé comme Ox, à droite, champ dirigé en sens contraire de Ox). Plus la vitesse initiale est grande, plus l impact est proche de O. Pour avoir un impact sur l écran, il faut que v0 ω soit supérieur à d, soit que les électrons aient une vitesse assez grande, ou que le champ magnétique ne soit pas trop intense. (c) Si t 1 est l instant d impact sur l écran, alors y(t 1 ) = d ; dans l hypothèse où ωt 1 π 2, on en déduit t 1 d v 0, d où x(t 1 ) eed2 et z(t 2mv0 2 1 ) ωd2 2v 0. L équation cartésienne de la courbe sur laquelle se trouvent les impacts lorsque la vitesse initiale varie en module s obtient en éliminant v 0 entre x et z, soit z 2 = (Bd)2 e 2E m x : c est donc une demi-parabole, dont l axe est parallèle à O x, orientée vers les x négatifs si E > 0, (champ électrique dirigé vers les x positifs), vers les x positifs si E < 0 (champ électrique dirigé vers les x négatifs, voir fig.1.2). (d) Cette expérience permet de trouver le rapport charge masse en mesurant les coordonnées de quelques points de la demi-parabole 2. Corrections relativistes (a) L anomalie observée apparaît près de l origine ; elle concerne les électrons de grande vitesse et résulte du traitement non-relativiste (b) L énergie totale est γmc 2 + eu T eex, à une constante additive près ; comme c est une constante du mouvement, T (t) eex(t) = T (0), d où : x(t) = 1 [T (t) T (0)] ee (c) La relation fondamentale de la dynamique relativiste donne par projection ṗ y = ebv z et ṗ z = ebv y, d où : m d dt( γ(t) Ż ) = ieeb Ż(t) mγ(t)ż = ieb Ż(t) + mγ(0)v 0. Comme T (t) = mγc 2, on en déduit l équation différentielle : dont la solution est : T (t)ż + iebc2 Z(t) = mc 2 γ(0)v 0 T (0)v 0, Z(t) = T (0)v [ t 0 iebc 2 1 exp (iebc 2 dt )] 0 T (t )

4 4 Corrigés du chapitre 1. Introduction (d) On a v x = 1 ee T (t) et d dt (mγv x) = ee, d où : d dt (c 2 T 1 ee T ) = ee T T = (eec) 2 t, et T (t) = T (0) cosh φ(t) dans les notations introduites de l énoncé. On en déduit : Z(t) = T (0)v [ ( 0 iebc 2 1 exp iebc 2 τ )] T (0) φ(t), et les coordonnées de l électron : x(t) = cτ[coshφ(t) 1] y(t) = v 0 τ E Bc sin [ Bc E φ(t)], z(t) = v 0 τ E Bc ( 1 cos [Bc E φ(t)]) (e) Le point d impact sur l écran se produit en t = t 1, soit d = v 0 τ E Bc Bc sin[ E φ(t 1)]. Si v 0 c, T (0) +, donc sin[ Bc E φ(t 1)] 0, ainsi que φ(t 1 ) φ 1. Dans cette limite : z(t 1 ) v 0 τ Bc 2E φ2 1, x(t 1) cτ 2 φ2 1. Figure 1.3: Cas relativiste : lignes où se distribuent les impacts quand la vitesse initiale varie (à gauche, champ électrique dirigé comme Ox, à droite, champ dirigé en sens contraire de Ox). Plus la vitesse initiale est grande, plus l impact est proche de O. Les points d impact se répartissent donc sur la droite z = Bc E x, inclinée de l angle ψ par rapport à O x, tel que tanψ = Bc E (voir fig. 1.3). Dans la limite c infinie on retrouve la tangente verticale de la demi-parabole obtenue dans la première partie. 1.2 Détermination du nombre d Avogadro N à l aide du mouvement Brownien Le mouvement Brownien est le mouvement irrégulier de particules (diamètre de l ordre du micron) en suspension dans un fluide. Il résulte des impacts nombreux incessants des petites

5 1.2. Détermination du nombre d Avogadro N à l aide du mouvement Brownien 5 particules du fluide sur la grosse particule et est le révélateur de l agitation thermique et des fluctuations thermodynamiques. Dans ce qui suit, on étudie une description dynamique simple du mouvement et, la rapprochant de mesures effectuées par Jean Perrin, on donne le principe de l une des toutes premières déterminations précises de N. 1. Modèle dynamique pour le mouvement Brownien. La grosse particule, de masse m, est soumise à deux forces 1 de la part du fluide : une force de viscosité, proportionnelle à la vitesse, la constante de proportionnalité étant notée C, et une force F(t) de moyenne nulle fluctuant très rapidement à l échelle du mouvement de la particule. Le fluide est supposé être à l équilibre thermique à la température T. (a) Notant x(t) la position de la grosse particule 2, écrire l équation fondamentale de la dynamique. On pose τ = m C ; quel est le sens physique de τ? (b) Après multiplication membre à membre par x, prendre la moyenne d ensemble de l équation et la simplifier en laissant tomber 3 les corrélations entre F(t) et x(t). Après transformation du terme contenant la dérivée seconde, en déduire une équation différentielle pour xẋ. À quoi est égal 4 le terme ẋ 2? (c) Intégrer l équation différentielle sachant que la quantité xẋ est nulle à t = 0 (quel est le sens physique d une telle condition?). En déduire x 2 (t) sachant qu à t = 0, x 2 est nul (sens physique?) et montrer que, pour t τ, la forme asymptotique de x 2 (t) est de la forme x 2 (t) 2Dt, où D est une constante appelée constante de diffusion. (d) Dans le cas de particules sphériques de rayon a = 0, 4 µm, et pour des faibles vitesses, on peut écrire C = 6πηa (loi de Stokes) où η est la viscosité du fluide (η = 10 3 kg/ms (eau à 27 o C)) ; la densité de la particule est comparable à celle de l eau, et on prendra ρ = 1 g/cm 3. En déduire l expression de x 2 à retenir dans le cas d une observation macroscopique (échelle de temps expérimentale : une seconde). 2. Relevé d une expérience de Jean Perrin (1905) [1] La table p. 6 donne les nombres d occurrences de la quantité δ(t) définie comme : où t est en secondes et δ en µm. δ(t) = déf x(t) x(t 2), (a) Utiliser ce relevé d expérience pour calculer x 2 et en déduire la valeur numérique de la constante D introduite en 1c. 1 Ces deux forces ont la même origine physique et résultent des chocs des particules légères du fluide. Elles ne sont donc pas sans relation l une avec l autre, elles sont même indissociables. 2 On se place à une dimension d espace pour simplifier. 3 On peut montrer que cette approximation ne modifie pas le régime à grand temps, qui est le seul résultat utile ici. 4 Penser au théorème d équipartition de l énergie.

6 6 Corrigés du chapitre 1. Introduction (b) Par comparaison avec la partie 1, obtenir la valeur numérique du nombre d Avogadro N (la constante des gaz parfaits est R = 8, 31 J/K). δ(t) nombre d occurrences < 5, 5 0 entre 5, 5 et 4, 5 1 entre 4, 5 et 3, 5 2 entre 3, 5 et 2, 5 15 entre 2, 5 et 1, 5 32 entre 1, 5 et 0, 5 95 entre 0, 5 et +0, entre +0, 5 et +1, 5 87 entre +1, 5 et +2, 5 47 entre +2, 5 et +3, 5 8 entre +3, 5 et +4, 5 3 entre +4, 5 et +5, 5 0 > +5, Modèle stochastique : la marche de l ivrogne Pour finir, il s agit maintenant de définir un modèle simple de marche au hasard sur un réseau unidimensionnel de points régulièrement, espacés de la distance a. Une particule (ou un homme éméché) se déplace en effectuant des sauts sur ce réseau de la façon suivante : tous les t, la particule située au site d abscisse pa (p Z) saute sur l un des deux sites premiers voisins, vers la droite avec la probabilité p, vers la gauche avec la probabilité q = 1 p. La position de la particule est donc une variable aléatoire X pouvant prendre les valeurs discrètes na. Conventionnellement, le site de départ est celui fixant l origine (n = 0) du réseau ; le cas échéant, on posera v = a t. (a) Soit x n (t) la position atteinte par la particule au temps t = N t quand elle a effectué n sauts vers la droite et N n sauts vers la gauche (0 n N). Quelle déf est la probabilité P n = Prob[X = x n (t)]? (b) À l aide des P n, écrire l expression de l espérance mathématique de l aléatoire X. (c) On introduit la fonction génératrice F(λ) = déf N n=0 λn P n. Expliquer comment F permet de calculer simplement les moyennes des puissances 5 de la position X k. (d) Utiliser ceci pour trouver : i. la valeur moyenne de la position à l instant t, X (t). En déduire la vitesse moyenne définie comme V = déf 1 t X (t) ; vérifier qu elle s annule si p = q = 1 2 (marche non biaisée) ; ii. l écart quadratique de la position X 2 = déf X 2 X 2. Comment varie-t-il en temps? En déduire l expression de la constante de diffusion D. Commenter en comparant avec les résultats de deux parties précédentes. ===============?????????? =============== 5 Ces quantités sont appelées moments.

7 1.2. Détermination du nombre d Avogadro N à l aide du mouvement Brownien 7 1. Modèle dynamique pour le mouvement Brownien. (a) L équation fondamentale de la dynamique est mẍ = Cẋ + F(t). En prenant une moyenne d ensemble, on a ẍ + 1 τ v = 1 m F(t) = 0 ; ceci montre que τ déf = m C est le temps de relaxation de la vitesse moyenne, puisque l intégration donne v (t) = v (0)e t/τ. (b) En effectuant les opérations indiquées, on trouve : xẍ + 1 τ xẋ = 1 m Fx. En négligeant les corrélations entre F(t) et x(t), F x F x = 0 puisque la force fluctuante a une moyenne nulle. Par ailleurs xẍ = d dt xẋ ẋ2, d où l équation demandée pour xẋ : d dt xẋ + 1 τ xẋ ẋ2 = 0 D après le théorème d équipartition de l énergie, la particule étant en équilibre avec le bain, on a 1 2 m ẋ2 = 1 2 k BT, d où finalement : d dt xẋ + 1 τ xẋ = k BT m. (1.2) (c) La condition initiale xẋ (0) = 0 signifie, par exemple, que vitesse et position sont décorrélées au départ et on peut toujours choisir l origine de l axe au point de départ. La solution de (1.2) avec cette condition initiale est : xẋ (t) = k BT C (1 e t τ ). La condition x 2 (0) = 0 signifie qu au départ, il n y a pas de dispersion des positions initiales des particules de l ensemble statistique. En vertu de xẋ = 1 2 x2, cette dernière quantité s obtient par intégration : x 2 (t) = 2k BT C [t + τ(e t τ 1)] 2k B T C t ceci montre que la constante de diffusion est : t τ D = k BT C Noter qu avec une force extérieure systématique F ext, on a v (t) = 1 C F ext (après un bref transitoire), ce qui permet d identifier 1 C avec la mobilité µ ; dès lors, la relation précédente s écrit : D µ = k BT c est la formule d Einstein reliant constante de diffusion et mobilité, avatar le plus élémentaire du théorème de fluctuation-dissipation.

8 8 Corrigés du chapitre 1. Introduction (d) Avec la loi de Stokes (particules sphériques et faibles vitesses), C = 6πηa, m = 4π 3 a3 ρ, d où τ = 2a2 ρ 9η s. Sans aucun doute, l expression approchée x 2 (t) 2Dt est pertinente pour des expériences faites à l échelle de la seconde. 2. Relevé d une expérience de Jean Perrin (1905) (a) La table donnée dans le texte permet de calculer la moyenne statistique de l écart δ 2 : δ 2 = 0 ( 5, 5)2 + 1 ( 5) ( 4) (4) (5) (5, 5) soit δ 2 = µm2 2, 02 µm 2. D où 2D 2 2, 02 µm 2, et : (b) Par ailleurs D = kbt C l ambiante, T 293 K) : soit : N = D 0, cm 2 s 1. = RT NC, d où l expression du nombre d Avogadro N (à RT 6πηaD 8, π , , , N 6, Modèle stochastique : la marche de l ivrogne (a) x n (t) est la position 6 atteinte par la particule au temps t = N t quand elle a effectué n sauts vers la droite et N n sauts vers la gauche (0 n N), donc x n = n(+a)+(n n)( a) = (2n N)a. La probabilité correspondante est P n = C n N pn (1 p) N n, d où : déf P n = Prob[X = (2n N)a] = C n Np n (1 p) N n on vérifie sans peine que N n=0 P n = 1. Cette distribution est appelée loi binomiale. (b) L espérance mathématique de l aléatoire X, notée X, est par définition : X = N N P n (2n N)a = 2a np n Na. n=0 (c) En dérivant F(λ), on obtient df dλ = N n=1 nλn 1 P n, puis en faisant λ = 1, N n=1(ou 0) np n = ( ) df dλ. La somme au premier membre est l une des contributions apparaissant dans X. La connaissance de F(λ) permet visiblement λ=1 de trouver par dérivations successives les différentes valeurs moyennes X k, k N, appelées moments. 6 L origine est prise au point de départ. n=0,

9 1.3. Les expériences de Kappler (1931) 9 (d) L expression compacte de la fonction génératrice s obtient en calculant explicitement la somme apparaissant dans la définition (on remarque que c est le développement d un binôme) : F(λ) = N C n N λn p n (1 p) N n = [λp + (1 p)] N ; n=0 comme il se doit F(1) = 1 (c est la somme des probabilités). i. la valeur moyenne de la position à l instant t, X (t) est Na + 2F (1) ; le calcul donne X (t) = (p q)na = (p q) at t ; elle s annule bien si p = q = 1 2 (marche non biaisée), est positive si p > q et négative dans le cas contraire. La vitesse est donc V = (p q) a t. ii. la moyenne du carré de la position X 2 est a 2 n (2n N)2 P n. Un calcul sans difficulté donne X 2 = N 2 a 2 +4a 2 N(N 1)p(p 1). La soustraction du carré de la valeur moyenne donne l écart quadratique : X 2 = 4a 2 Npq = 4a 2 pq t t ; il croît linéairement en temps, ce qui signifie que la taille typique du domaine visité à l instant t augmente comme t, régime de croissance intermédiaire entre du sur-place et un mouvement de type balistique où la coordonnée augmente linéairement en temps. L expression de la constante de diffusion s obtient par identification avec D déf = X2 2t soit : D = 2a 2 Npq = pq 2a2 t En tant que fonction de p, D est maximum pour p = q = 1 2, soit quand le hasard est le plus grand. La constante D est bien sûr nulle pour une marche non aléatoire (p = 1 ou q = 1). Tous ces résultats sont en harmonie avec ceux obtenus dans les deux premières parties. Pour en savoir plus sur les marches au hasard et les processus stochastiques, le livre de Montroll et West [2] en propose une remarquable (et lisible) initiation. 1.3 Les expériences de Kappler (1931) Il s agit d une autre méthode précise de détermination du nombre d Avogadro 7. Kappler a mesuré les fluctuations de la position d équilibre d un petit miroir (surface de l ordre de 1 mm 2 ), suspendu dans l air verticalement par un fil de torsion de constante K ; la position du miroir peut être très précisément repérée par la déviation d un rayon lumineux. On note 7 Avant de faire cet exercice, il est recommandé d avoir fait l exercice 1.2 p. 4, tout particulièrement la partie 1.

10 10 Corrigés du chapitre 1. Introduction T la température de l air, θ l écart à la position d équilibre, I le moment d inertie du miroir par rapport à son axe de rotation. À la force de rappel près, le miroir est dans une situation très comparable à celle d une particule brownienne et, sous les impacts des molécules d air, effectue des petites oscillations aléatoires autour de sa position d équilibre. 1. Sachant que le miroir est en équilibre thermodynamique avec l air ambiant, quelles sont les valeurs moyennes de son énergie cinétique et de son énergie potentielle? 2. En déduire que N est donné par : N = RT K θ 2 (1.3) où θ 2 est l écart quadratique de la position du miroir. 3. La mesure donne θ 2 = 4, rad 2. Trouver la valeur de N sachant que K = 9, SI, R = 8, 31 J/K. ===============?????????? =============== 1. L énergie mécanique du miroir E a pour expression : E = 1 2 I θ Kθ2, où les deux termes à droite représentent respectivement les énergies cinétique et potentielle. Tout comme un oscillateur harmonique, la coordonnée θ et la vitesse θ figurent au carré dans E, d où équipartition de l énergie quand on prend les moyennes à la température T : 1 2 I θ 2 = 1 2 Kθ2 = 1 2 k BT 2. De 1 2 Kθ2 = 1 2 k BT et de k B = R N, on déduit l expression donnée dans l énoncé : N = RT K θ 2 (1.4) θ 2 étant l écart quadratique de la position du miroir, puisque la valeur moyenne de θ est nulle. 3. L expérience est évidemment menée à l ambiante, T 293 K ; on trouve : N 6,

11 1.4. Équilibre d une atmosphère isotherme Équilibre d une atmosphère isotherme Jean Perrin [1] a également étudié la répartition de la densité d équilibre d un gaz dilué de grosses particules de masse M immergées dans un fluide, le tout étant contenu dans un bocal cylindrique vertical. Plus précisément, Jean Perrin a observé que la densité linéaire n des grosses particules, homogène à l inverse d une longueur, variait avec l altitude z suivant la formule barométrique : n(z) = n(0)e βmgz (β = 1 k B T ) ; (1.5) g est l accélération de la pesanteur, z est l altitude comptée positivement vers le haut, k B la constante de Boltzmann. 1. Soit P(z) la pression à l altitude z. Montrer que la condition d équilibre mécanique de la tranche de gaz située entre les altitudes z et z + dz donne dp dz = Mg S n(z), S désignant la section droite du bocal cylindrique. 2. Le gaz de grosses particules étant très dilué, il obéit à une équation d état du genre gaz parfait PV = Nk B T, où N est le nombre de particules dans le volume V. En déduire la formule barométrique (1.5). 3. Comment N est-il inclus dans les résultats précédents? ===============?????????? =============== 1. P(z) étant la pression à l altitude z, la condition d équilibre mécanique de la tranche de gaz située entre les altitudes z et z + dz est : P(z + dz)s + P(z)S mg = 0, où m est la masse de la tranche de gaz de grosses particules situé entre les altitudes z et z + dz ; m = Mndz, où n(z) est la densité linéaire des grosses particules. Finalement : dp dz = Mg n(z) (1.6) S Cette équation est parfois appelée équation barométrique. 2. Avec l hypothèse du gaz parfait de grosses particules, l équation d état pour la petite tranche située entre z et z + dz est PSdz = ndzk B T, d où P = n S k BT et par dérivation P = n S k BT ; le report dans (1.6) donne l équation fermée pour la densité : dn dz + Mg k B T n(z) = 0, dont la solution est n(z) = n(0)e βmgz, avec β = 1 k BT.

12 12 Corrigés du chapitre 1. Introduction 3. N est inclus dans l argument de l exponentielle puisque k B = R N. L échelle caractéristique de décroissance de la densité avec l altitude est ξ = kbt Mg = RT NMg ; la mesure de ξ donne N par N = RT ξmg. 1.5 Mesure précise de l impulsion de particules par focalisation Des électrons d énergie E de l ordre du kev sont émis par une source S située au point O et sont injectés dans la région z > 0 (voir fig.1.4). La vitesse initiale v 0 est dans le plan xoz et sa direction par rapport à l axe Oz est caractérisée par l angle α 0, en principe bien déterminé. Dans la région z > 0 règne un champ magnétique statique et homogène, parallèle à Oz et de module B ; e et m désignent la charge et la masse de l électron 8, c la vitesse de la lumière dans le vide. Figure 1.4: Schéma précisant la géométrie de l injection des particules 1. Calculer numériquement le module v 0 et le comparer à c. 2. Écrire l équation fondamentale de la dynamique projetée sur les trois axes ; en déduire les équations différentielles pour les coordonnées x, y et z d un électron, exprimées à l aide de la pulsation cyclotron ω c = e B m. Combien vaut ω c? 3. Donner l expression de z(t), puis celle de la composante de la vitesse suivant Ox, soit v x (t) ; en déduire x(t). Achever l intégration en donnant y(t). 4. Soit r la distance d un électron à l axe Oz ; donner l expression de r en fonction du temps et en tracer le graphe. 5. On dispose un détecteur D sur l axe Oz : à quelles distances L k de O doit-on le placer pour recueillir les électrons? On désigne dans la suite par L 1 la plus petite des L k ; calculer L 1 numériquement quand α = 45 o. 6. On déplace le détecteur le long de Oz, désignant par d sa distance au point O. À l aide d un dessin, représenter le signal reçu sur le détecteur en fonction de d, sachant que d ne peut excéder 60 cm. Expliquer en quoi la mesure de L 1 constitue une détermination de l impulsion initiale p 0 des électrons. 8 Les valeurs à utiliser pour les applications numériques sont données à la fin de l exercice.

13 1.5. Mesure précise de l impulsion de particules par focalisation En réalité, le signal mesuré par D présente une largeur finie, provoquant une incertitude sur la mesure de p 0. Sachant que cette largeur ne peut être expliquée ni par les inévitables inhomogénéités spatiales du champ magnétique, ni par la valeur (inconnue) de v 0 (qui est parfaitement définie), quelle est la cause de l élargissement? 8. Il s agit maintenant de préciser comment on peut modifier l appareil pour réduire l erreur sur la mesure de p 0 = mv 0, à condition de pouvoir mettre le détecteur en-dehors de l axe Oz ; dans la suite, d désigne la distance entre le détecteur et le plan xoy. (a) Pour une valeur donnée de l angle α, exprimer la distance d un électron à l axe Oz, soit r, en fonction de sa coordonnée z. (b) Soit deux angles d injection α et α (α < α ) et les deux longueurs L 1 et L 1 correspondantes ; quelle est l inégalité entre L 1 et L 1? Pour ces deux angles, représenter graphiquement la variation de r en fonction z. (c) Soit α la valeur nominale de l angle d injection. Pour z fixé, donner l expression de la variation δr de r lorsque α varie de δα autour de α ; en déduire qu il est possible de choisir d afin que la variation de r par rapport à α ne dépende que de termes en (δα) 2. Écrire l équation fixant cette valeur particulière de d, soit d m (ne pas chercher à résoudre cette équation, mais en donner une illustration graphique). (d) En déduire la modification à apporter au dispositif pour que la mesure de p 0 soit beaucoup plus précise (l appareil focalise les électrons dans le plan d m ). Valeurs numériques : e = 1, C, E = 1 kev, mc 2 = 511keV, B = 10 3 T, α = 45 o. ===============?????????? =============== 1. Posant β = v0 c, l énergie cinétique est 1 2 mβ2 c 2 et vaut donc 10 3 kev ; comme mc kev, on voit d emblée que β 1 ; plus précisément β soit β 6, La vitesse v 0 est donc voisine de 6, m/s soit environ km/s. 2. L équation fondamentale de la dynamique projetée sur les trois axes donne : mẍ = ebẏ, mÿ = ebẋ, m z = 0. ω c = 1, , rad/s. 3. Par intégration compte tenu des conditions initiales z(0) = 0, v z (0) = v 0 cosα, z(t) = (v 0 cosα)t. Par ailleurs, on a v x = ω c v y et v y = +ω c v x, d où v x = ωc 2v x ; avec v x (0) = v 0 sin α, v x (0) = ω c v y (0) = 0, la solution est v x (t) = v 0 sinα cosω c t, d où x(t) = v0 ω c sin α sin ω c t puisque x(0) = 0. Enfin, compte tenu de v y (t) = 1 ω c v x, une intégration donne y(t) = v0 ω c sin α(1 cosω c t). La trajectoire est donc une hélice d axe parallèle à Oz, coupant l axe Oy au point d abscisse y 0 = v0 ω c sin α.

14 14 Corrigés du chapitre 1. Introduction 4. r 2 = x 2 + y 2 = ( v0 ω c sinα) 2 (2 2 cosω c t), soit : r(t) = 2 v 0 sinα sin ω ct ω c 2 C est une sinusoïde rectifiée (voir fig.1.5). Figure 1.5: Distance r(t) à l axe Oz. 5. Le détecteur D étant sur l axe Oz, il faut le placer là où la trajectoire recoupe l axe Oz, c est-à-dire en des points correspondant à r = 0 : les distances L k sont donc telles que L k = z(t = k 2π ω c ), soit L k = k 2π ω c v 0 cosα ; numériquement : L 1 47 cm. 6. Le signal est nul tant que d L 1 ; la mesure de L 1 permet de trouver la vitesse v 0, donc ausi p 0 mv 0 (voir fig.1.6). 7. Compte tenu des éléments donnés dans l énoncé, la cause de l élargissement du signal est l imprécision de l angle d injection α, qui provoque une dispersion des trajectoires. Figure 1.6: Représentation schématique du signal reçu par le détecteur en fonction de sa distance d par rapport à la fente d entrée. 8. On dispose le détecteur en-dehors de l axe Oz, d désignant la distance entre le détecteur et le plan xoy (a) Pour exprimer r, distance d un électron à l axe Oz, en fonction de z, il suffit d éliminer le temps entre les fonctions r(t) et z(t) obtenues ci-dessus. On

15 1.5. Mesure précise de l impulsion de particules par focalisation 15 trouve ainsi : r = 2 v 0 ω c z sin α sin déf = f(z) (1.7) ω c 2v 0 cosα (b) Physiquement, il est évident que L 1 > L 1 si α < α. Figure 1.7: Variation de la distance r à l axe Oz en fonction de z pour deux angles d injection voisins α < α (voir (1.7)). Le premier zéro est à l abscisse π cosα. (c) Pour réduire l incidence de l erreur sur l angle sur la largeur du signal, il suffit de placer le détecteur en un endroit tel qu une petite variation δα ne produise qu une variation d ordre supérieur pour les points d impact. Les variations de α provoquent aussi une dispersion des coordonnées x et y, mais on peut envisager un détecteur de forme annulaire, perpendiculaire à Oz, de rayon égal à la distance r introduite plus haut, et situé à la distance d de O. Afin qu une petite variation δα autour de la valeur nominale α donne une variation d ordre supérieur pour r, il faut et suffit que la dérivée de r par rapport à α s annule pour α = α : ( ) r α α=α = 0, condition qui s explicite en9 : tan X + (tan 2 α)x = 0, X déf = πd, L 1 où L 1 = 2π ω c v 0 cosα. Cette équation fixe la valeur de d à choisir, soit d m, d où la position du plan du détecteur. Cette équation a une infinité de solutions (comme le montre un graphique). La plus petite solution positive est un certain nombre X 0 compris entre π X0 2 et π, d où la plus petite valeur π L 1 pour d m (d) L appareil focalisant les électrons dans le plan d m, il faut disposer dans celui-ci déf un détecteur annulaire de rayon égal à r m = f(d m ) (voir éq.(1.7)). Les livres de Enge [3] et Smith [4] donnent de nombreux autres exemples d applications de cette technique de focalisation, et constituent une bonne introduction à la Physique nucléaire.

16 16 Corrigés du chapitre 1. Introduction 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 Figure 1.8: Focalisation des trajectoires pour des petites variations δα autour d un angle nominal d injection α. 1.6 Spectrographe de masse Un four à haute température (T de l ordre de K) contient du chlore gazeux. Après ionisation (par un dispositif non-représenté), le mélange isotopique binaire d ions Cl (charge q = e, masses M 1 et M 2 ) issus du four est accéléré par une ddp U (de quelques dizaines de kv) avant d être injecté dans la fente d entrée S d un spectro de masse. Le champ magnétique est horizontal, et perpendiculaire au plan de la figure. P désigne une plaque sensible détectant l arrivée des ions. Figure 1.9: Schéma d un spectrographe de masse. 1. Préciser le sens de la ddp U et la direction du champ magnétique B. 2. Donner l ordre de grandeur de la vitesse d un ion avant accélération par U et montrer que l énergie cinétique thermique correspondante peut être négligée. 3. Soit v la vitesse acquise au point S par un ion de vitesse initiale nulle. La trajectoire d un ion dans la partie où règne le champ magnétique est un arc de cercle : rappeler pourquoi ; donner l expression de son rayon R et le calculer numériquement. 4. L i désigne la distance horizontale entre S et le point d impact d un ion de masse M i. Comment varie qualitativement L i en fonction de M i, toutes choses égales par ailleurs? Exprimer L i en fonction de h et R i, et en fonction de h, M i, q, B et U.

17 1.6. Spectrographe de masse Calculer numériquement la distance L séparant les deux types d impacts. 6. Soit δv 0 l incertitude sur la vitesse initiale compte tenu de l agitation thermique dans le four. Écrire la condition sur v, M i, δv 0 et M = M 1 M 2 pour que les impacts de deux isotopes soient bien séparés malgré l agitation thermique. Valeurs numériques : q = 1, C, masses atomiques : M i = 35 et 37 g/mol, U = 10 kv, B = 0, 1 T, h = 10 cm. ===============?????????? =============== 1. Les ions sont chargés négativement : la plaque de droite doit être à un potentiel supérieur à celui de la plaque d entrée à gauche. Les trajectoires doivent incurvées vers le bas : le champ magnétique B doit donc être dirigé vers l arrière du plan de figure. Figure 1.10: À gauche : polarités de la ddp. Au milieu : orientation du champ magnétique (q < 0). À droite : impacts des ions quand M 1 > M L ordre de grandeur de l énergie d un ion avant accélération par U est celui d une vitesse thermique, soit meV ; l énergie cinétique thermique, environ 85meV, est donc négligeable devant les quelques kv acquis grâce à la ddp. 3. La force q v B étant perpendiculaire à la vitesse, il en est de même de l accélération : v a donc un module constant et le mouvement est circulaire uniforme. La relation M v2 Mv R = qvb donne le rayon R du cercle : R = q B, d autant plus petit que la charge est grande et le champ intense. 4. Une masse élevée correspond à une grande inertie, donc à une faible incurvation de la trajectoire : plus M est grand, plus le rayon de courbure est grand, et c est bien ce que dit la formule précédente R M. L i est donc d autant plus grand que la masse M i est élevée. Le théorème de Pythagore donne L i = Ri 2 (R i h) 2 = h(2r i h). Par ailleurs 1 2 M ivi 2 = q U, d où v i = 2 q U M i et R i = 1 2MiU B q. 5. Numériquement :

18 18 Corrigés du chapitre 1. Introduction R 1 = 1 0, , , , 7 cm, R 2 = L 1 40, 7 cm,l 2 40, 1 cm et L 0, 6 cm. M 2 M 1 85, 2 cm. 6. L est une fonction de R, qui varie si la vitesse initiale varie, et qui dépend de la masse des ions. Comparée à la vitesse acquise sous l effet de la ddp, δv 0 est très k petit, et vaut environ BT M ; par ailleurs, la différence relative de masse M M est elle-même assez petite (M 1 M 2 M). S agissant par ailleurs de trouver des ordres de grandeur, il est licite de raisonner par différentiation. Partant de L = h(2r i h), on trouve δl = h L δr. La variation δv 0 donne une variation δ 1 L h Mδv 0 L q B ; M donne la variation δ 2L h Mv 0 L q B. On veut δ 1 L δ 2 L, soit Mδv 0 v 0 M, ou encore 2 q U Mk B T M M, soit : ( M k B T q U M ) 2, condition qui est toujours très largement satisfaite dans les conditions de l expérience puisque k B T 85 mev q U quelques kv et ( ) M 2 M Le spectromètre de Bainbridge La figure 1.11 donne le schéma d un spectrographe de masse dû à Bainbridge. Une source émet des ions positifs (masse M, charge q) dont le module de la vitesse initiale, v, est réparti sur un grand intervalle. Ces ions sont injectés à travers la fente S 1 dans une enceinte à vide haute et étroite, où existent d une part un champ électrique E créé par deux plaques P et P parallèles distantes de d et portées à des potentiels différents (V = V P V P > 0), et d autre part un champ magnétique uniforme de module B, perpendiculaire au plan de la figure et pointant vers le lecteur. La vitesse initiale v est parallèle à l axe S 1 S 2. Figure 1.11: Schéma du spectro de masse de Bainbridge.

19 1.7. Le spectromètre de Bainbridge À l aide d un dessin, donner les directions des deux forces (électrique et magnétique) agissant sur un ion situé dans l enceinte. 2. Quel est le module de la force résultante? 3. B et v étant fixés, montrer que l on peut ajuster la ddp V de sorte qu un ion ayant cette vitesse ne subisse aucune déviation dans l enceinte. 4. Quelle est la vitesse v 0 des ions issus de la fente S 2? A.N. : V = 100 V, d = 2 cm, B = 1 T. 5. Dans la région située au-dessous du plan de trace xx existe un champ magnétique uniforme B dirigé comme indiqué. Dessiner la trajectoire d un ion. Quelle est l expression du rayon de celle-ci, en fonction de q, M, v 0 et B? A. N. : trouver la valeur approximative de R sachant que les ions constituent un mélange isotopique de 37 Cl + et de 35 Cl + et que B = 10 3 T. 6. Dessiner deux trajectoires pour deux ions de même charge et de masses M 1 et M 2 (M 1 < M 2 ). 7. Soit l = 1 mm la résolution linéaire de la plaque sensible (voir fig. 1.11). Quelle est la condition sur B assurant que l on peut séparer les impacts de deux ions dont la différence des masses est M? Peut-on séparer les isotopes du chlore avec la valeur de B choisie en 5? ===============?????????? =============== 1. Les deux forces sont horizontales, la force magnétique est dirigée vers la gauche, la force électrique vers la droite. 2. Le module de la force résultante est q(e vb) = q V d vb. 3. Un ion de vitesse v n est pas dévié dans l enceinte si V = qdb. 4. v 0 = V db = m/s = 5 km/s. 5. Dans la région située au-dessous du plan de trace xx, la trajectoire d un ion est un demi-cercle de rayon R = Mv qb = , , 9 m Les deux trajectoires pour deux ions de même charge et de masses M 1 et M 2 (M 1 < M 2 ) sont tracées sur la figure On a 2 R = 2 Mv0 qb. Pour que cette distance soit supérieure à l, il faut que B soit plus petit que 2 Mv0 déf qδl = B max 0, 25 T ; avec la valeur indiquée en 5., la séparation des deux types d impact est très nette.

20 20 Corrigés du chapitre 1. Introduction Figure 1.12: Trajectoires circulaires de deux ions après sélection de vitesse. Remarque Le chlore est très électronégatif et acquiert la structure de l argon en fixant un électron et devenant un ion Cl. On peut néanmoins facilement fabriquer et manipuler des ions Cl + en s assurant de l absence d électrons baladeurs. 1.8 La force d Abraham - Lorentz La force de freinage F rad écrite en (I-1.30) est conceptuellement pathologique, comme le montre l analyse qui suit. En reprenant les notations de la section 1.5, Tome I, l équation d Abraham - Lorentz pour une particule de charge e et de masse m soumise à une force 10 F est ( v r ) : m v = mτ v + F ; (1.8) où le temps τ 6, s est défini en (I-1.22). Comme déjà mentionné, une première bizarrerie de cette équation est l apparition d une dérivée troisième de la position de la particule (définie par le rayon-vecteur r), censée représenter l effet du freinage par rayonnement. De surcroît, la perturbation du mouvement provoquée par cet effet est fondamentalement singulière, au sens où elle modifie l ordre de l équation différentielle du mouvement, lequel passe de 2 à 3 dès que la charge est non-nulle. En fait, c est bien parce que le petit paramètre est en facteur de la plus haute dérivée que la perturbation est dite singulière, par définition 11. Ces avertissements étant donnés, il s agit maintenant d examiner les conséquences de l équation (1.8) telle qu elle est, précisément pour bien mettre en évidence les très graves difficultés de fond qu elle soulève. 1. En utilisant la méthode connue pour intégrer une équation différentielle telle que (1.8), écrire l expression générale de l accélération v(t), supposant connue l accélération à un certain instant t 0, v(t 0 ). 10 Dans le modèle de Thomson, cette force n est autre que mω 2 0 r, voir (I-1.31). 11 Le même phénomène se produit pour l équation aux valeurs propres de Schrödinger, où c est cette fois la constante de Planck qui est en facteur de la plus haute dérivée. Il existe un traitement perturbatif spécifique pour ce genre de question, appelé méthode BKW (ou WKB) dans le contexte quantique (voir chapitre 9).