Figure II.1 - Déplacements de la terre.

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1 II Géométrie solaire II.1 La relation entre terre et soleil II.1.1 Vue depuis le soleil La terre une un solide quasi sphérique de km de diamètre, en rotation autour du soleil selon orbite elliptique. La distance de la terre au soleil des approximativement de 150 millions de km et varie entre 152 millions de km (le premier juillet) et 147 million de km (le premier janvier). Le mouvement apparent du soleil sur la voûte céleste est le résultat de deux déplacements distincts de la terre (Figure II.1). le premier est une rotation de celle-ci autour de son axe en 24 heures; le second est une rotation de la terre autour du soleil en un peu plus de 365 jours. Figure II.1 - Déplacements de la terre. De plus l'axe de rotation de la terre représente un angle de par rapport au plan de l'écliptique et n'est affecté que par une translation lors de la rotation de la terre autour du soleil. L angle entre le plan de l équateur de la terre et le plan de l écliptique est appelé déclinaison et varie entre le 22 juin (solstice d été) et le 22 décembre (solstice d hiver). Ces deux types de rotation sont responsables des phénomènes climatiques saisonniers: modification de l'importance du rayonnement solaire; 1

2 longueur du jour; hauteur maximum du soleil sur l'horizon. Si l'axe de la terre était perpendiculaire au plan de l'écliptique, les conditions seraient presque uniformes tout au long de l'année. La figure 2 montre deux coupes réalisées par deux plans perpendiculaires au plan de l'écliptique passant par le soleil et par la terre, à deux moments particuliers de la course de cette dernière: lorsque le plan "vertical" contenant l'axe de rotation de la terre est confondu avec le plan de section; c'est-à-dire aux deux solstices (21 juin et 21 décembre); lorsque ce même plan vertical est perpendiculaire au plan de section; c'est-à-dire aux deux équinoxes (21 mars et 21 septembre). Le soleil décrit dans le ciel une trajectoire différente chaque jour et différente pour chaque latitude. Nous pouvons voir immédiatement sur la Figure II.2 que le soleil est au zénith (90 d'altitude) à midi, à l'équateur les 21 mars et 21 septembre. C'est ce que l'on appelle les équinoxes (12 heures de nuit, 12 heures de jour). De même, le soleil est à la verticale du tropique du Cancer (23.5 latitude nord) le 21 juin (solstice d'été) et à la verticale du tropique du Capricorne (23 latitude sud) le 21 décembre (solstice d'hiver). Figure II.2- Plans de coupe à l équinoxe et au solstice Les équinoxes existent à toutes les latitudes. A ces deux dates précises, tous les lieux de la terre ont 12 heures de jour et 12 heures de nuit. De plus, ces jours-là, le soleil se lève exactement à l'est et se couche exactement à l'ouest. II.1.2 Vue depuis la surface de la terre Dans la plupart des travaux pratiques, nous considérons que le point de vue est situé à la surface de la terre, et que la terre est le centre du monde : le cercle d horizon est supposé plat 2

3 et le ciel est une voûte hémisphérique. La position du soleil sur cette voûte hémisphérique peut être décrite par deux angles : l'altitude solaire mesurée dans un plan vertical, entre la direction du soleil et le point d observation ; l azimut, à savoir la direction du soleil mesurée dans un plan horizontal, à partir du nord et dans le sens horlogique (est = 90, sud = 180, ouest = 270 ). Figure II.3- Définition de la position du soleil Comme nous l avons dit, le jour des équinoxes (21 mars et 23 septembre) le soleil se lève exactement à l'est et se couche exactement à l'ouest. A midi il atteint une altitude solaire égale à 90 la latitude. L altitude au zénith du soleil sera de supérieure à cette valeur au solstice d été, et de inférieure au solstice d hiver. La Figure II.4 montre les mouvements apparents du soleil sur la voûte céleste aux solstices et aux équinoxes. Les trajectoires du soleil pendant l'année seront comprises entre ces courbes. Figure II.4- Mouvements apparents du soleil sur la voûte céleste - hémisphère nord. Cette représentation en perspective a le mérite d'être claire, mais elle n'est pas très pratique. La première tâche qui se présente à nous est de construire une représentation des mouvements solaires sur un diagramme à deux dimensions. Un certain nombre de représentations ont été proposées parmi lesquelles nous distinguerons deux grands groupes: d'une part, les projections de l'hémisphère sur une surface verticale cylindrique et d'autre part, les projections de l'hémisphère sur le plan d'horizon du lieu. 3

4 Ces différentes représentations sont basées sur une modélisation mathématique, permettant de représenter la trajectoire du soleil en deux dimensions. La position angulaire du soleil, à un moment et une latitude donnés, sont eux-mêmes dérivés des équations suivantes. II.2 Algorithmes pour le calcul numérique de la position du soleil par rapport à une face quelconque. II.2.1 Calcul des coordonnées solaires La déclinaison solaire δ varie selon un cycle de quatre ans. On peut calculer sa valeur moyenne par les formules suivantes: " = # cos J $ # cos2 J $ # cos3 J $ sin J $ sin2 J $ sin3 J $ deg. [2.1] ou " = # sin 2$ (284 + j) rad. [2.2] 365 où j = le numéro d'ordre du jour considéré dans l'année à partir du premier janvier (1 j 365) et j = 360 j / 365,25. Figure II.5- Déclinaison selon la date. La hauteur du soleil γ est donnée par la formule suivante : sin" = sin# $ sin% + cos# $ cos% $ cos& [2.3] où φ est égal à la latitude du lieu, δ à la déclinaison du soleil le jour considéré et ω l'angle en radian correspondant à l heure solaire du jour considérée (varie entre 12 et +12 * π/12). 4

5 L azimut du soleil, αs, mesuré par rapport au sud, est donné par: cos" s = sin# sin$ % sin& cos# cos$ [2.4] II.2.2 Angle d incidence du faisceau solaire sur une surface Pour une surface orientée selon un angle horizontal α par rapport au sud et une pente β par rapport à l horizontale, l angle d incidence ν du faisceau solaire, mesuré par rapport à la normale de la face est donné par: cos" = cos# sin$ + sin# cos$ cos(% &% s ) [2.5] Ces différentes formules vont donc permettre de calculer la position du soleil, par rapport à une face orientée de manière quelconque, pour une heure et un jour donné à une latitude donnée. II.3 Projections cylindriques (ou diagramme de Waldram). Ce type de représentation utilise une projection de l'hémisphère céleste sur un cylindre vertical, ayant pour base le cercle d'horizon du lieu, d une manière analogue aux projections Mercator du globe terrestre (Figure II.6). Le cylindre est ensuite découpé suivant une de ses génératrices et déployé pour fournir une représentation rectangulaire, dont les axes sont les azimuts et les hauteurs. Cette représentation présente l avantage d être assez précise pour des points situés près de l horizon, avec des distorsions de plus en plus importantes selon que l on se rapproche du zénith. Le point de zénith est étendu sous forme d une ligne de longueur égale à celle du cercle d horizon. Figure II.6- Projection cylindrique La projection de Waldram présente une échelle horizontale proportionnelle à 1-cos(2*ß), où ß est égal à la hauteur angulaire. Cette représentation est fort utilisée, particulièrement au Royaume-Uni et aux Etats-Unis. Elle est très utile pour l'étude: de la fenestration; des surfaces verticales; 5

6 du champ normal (horizontal) de la vision humaine; de la lumière diffuse et de la radiation solaire. De plus, elle permet de lui surimposer un masque ou une fenêtre sans en distordre la forme. La course du soleil dans cette représentation est représentée à la figure ci-dessous. Figure II.7- Course du soleil dans une projection Waldram, pour une latitude de 52 L'échelle verticale donne les altitudes; l'échelle horizontale, les azimuts et les lignes courbes indiquent l'heure et le mois. II.4 Projections sphériques Les projections sphériques projettent l'hémisphère sur un plan parallèle au cercle d'horizon. Parmi celles-ci, nous retiendrons quatre méthodes qui sont : les projections gnomoniques, orthographiques, équidistantes et stéréographiques. II.4.1 Projection gnomonique Cette représentation est dérivée des horloges solaires et des cadrans solaires. La Figure II.8 montre le principe de cette méthode. Le centre de projection est la position de l'observateur et le plan de projection est un plan parallèle au cercle d'horizon tangent à la voûte céleste à l'azimut du lieu. 6

7 Figure II.8- Méthode de projection gnomonique. Cette méthode présente deux inconvénients majeurs: elle fait intervenir une énorme distorsion de la représentation en agrandissant exagérément les objets proches de l'horizon et en réduisant à rien ou à peu ceux qui s'approchent du zénith; l'horizon s'étend à l'infini et les hauteurs angulaires faibles ne peuvent pas être représentées sur un dessin à échelle raisonnable. Reste que ce mode de projection est extrêmement facile à calculer dans la mesure ou les points sont projetés à une distance proportionnelle au ratio distance sur hauteur. Elle a ainsi été proposée pour calculer les énergies incidentes directes et diffuses sur un plan vertical. Nous reviendrons sur ce point à la section suivante. II.4.2 Projection orthographique Dans cette représentation, l'ensemble de l'hémisphère est projeté à l'intérieur du cercle d'horizon. Le plan de projection est le plan du cercle d'horizon et les droites de projection sont perpendiculaires à ce plan. Les cercles d'altitudes, définis sur la sphère par des distances angulaires égales, se projettent dans le plan d'horizon sous l'aspect de cercles concentriques dont le rayon se réduit avec l'altitude. 7

8 Figure II.9 - Méthode de projection orthographique. L'inconvénient de cette méthode est que les cercles d'altitude sont trop serrés près du cercle d'horizon et trop lâches près du centre. Il en suit que sa précision est insuffisante pour les latitudes supérieures à 40. Elle est surtout utilisée pour le calcul de l'éclairage naturel des locaux. II.4.3 Projection équidistante Pour remédier à l'inconvénient soulevé par la projection orthographique, on propose: de maintenir des cercles d'altitude définis par des distances angulaires constantes; de projeter les points de l'hémisphère sur le cercle d'horizon par une méthode de projection radiale dont le centre est mobile et se déplace sur l'axe zénith-nadir entre les distances de 1.6 à 1.75 fois le rayon en dessous de la position de l'observateur. Figure II.10- Méthode de projection équidistante. 8

9 Les cercles d'égale hauteur sont projetés sous la forme de cercles concentriques de rayon croissant régulièrement comme indiqué sur la figure 8. Cette méthode est exclusivement utilisée aux U.S.A. II.4.4 Projection stéréographique La méthode des projections stéréographiques est très semblable à la précédente à cela près que le centre de projection radiale est fixe et situé au nadir. Figure II.11- Méthode de projection stéréographique. Les cercles d'altitude sont légèrement moins serrés aux faibles hauteurs angulaires qu'aux grandes. Ceci a l'avantage de fournir une meilleure résolution à l'horizon qu'au zénith et convient donc parfaitement bien pour l'introduction des masques dans l'analyse de sites. De plus, sa formulation mathématique est beaucoup plus simple ainsi que sa construction graphique. Cette méthode est de pratique courante au Royaume-Uni, en Australie et dans le Commonwealth. Elle sera aussi utilisée dans ce cours. II.4.5 Variation du chemin solaire avec la latitude Jusqu'à présent, nous n'avons considéré que trois chemins solaires: le chemin central commun aux deux équinoxes (21 mars, 21 septembre); les deux extrêmes pour les solstices (21 juin, 21 décembre). Tout chemin solaire pour un jour quelconque de l'année est nécessairement compris entre ces lignes extrêmes. Il faut souligner de plus que ces courbes ne sont valables que pour une latitude donnée. Par exemple, les 3 chemins solaires de la figure 3.3. correspondent plus ou moins à une latitude de 50 Nord. La figure 3.10 donne l'allure de quelques chemins solaires pour différentes latitudes allant de 0 (équateur) à 80 N par pas de 20. 9

10 Figure II.12- Courses solaires pour différentes latitudes sur un diagramme stéréographique Remarquons que: le diagramme équatorial est symétrique; le "soleil de minuit" apparaissant sur le diagramme correspondant à la latitude 80 N, lors du solstice d'été; la disparition de la courbe correspondant au solstice d'hiver; les courbes correspondant à la même latitude nord et sud sont symétriques par rapport au diamètre Est-Ouest du cercle d'horizon. Il suffit donc de construire un seul ensemble de diagrammes allant de 0 à 90 et de transposer pour l'autre hémisphère en inversant les dates et les azimuts. II.4.6 Diagramme stéréographique pour une latitude donnée Le diagramme stéréographique d une latitude donnée résulte de le superposition de deux séries de courbes. Les courbes du parcours solaire pour l équinoxe, les deux solstice et les autres mois de l année. Il faut remarquer à ce propos que, dans la mesure où le parcours de la terre par rapport au soleil est symétrique, à chaque courbe correspondent deux dates de l année, l une située entre décembre et juin, l autre située entre juin et décembre. Une série de cercles concentriques représente l altitude angulaire en projection stéréographique. Il est important de souligner que ces courbes ne sont pas également espacées étant donné que la projection stéréographique n est pas équidistante. On trace également sur les chemins solaires des lignes horaires. Toutes ces heures sont en temps solaire vrai, c'est-à-dire correspondant au temps pour lequel le soleil est au sud vrai à midi (pour l'hémisphère nord). 10

11 On définira un ensemble dual pour l'autre hémisphère. La position du soleil peut être obtenue directement à partir du diagramme pour un moment donné de l année. Il suffit en effet de trouver le graphe correspondant à la latitude du lieu, de localiser la date et l heure sur les chemins solaires, en interpolant si nécessaire entre les courbes, de lire les angles, horizontal et vertical, sur le graphe. Figure II.13- Lecture de l azimut et de l altitude angulaire, pour le 31 août à 14h, α = 222, γ = 42 II.5 Construction de diagrammes solaires stéréographiques Il est possible d'obtenir des catalogues assez complets de diagrammes solaires pour un ensemble de latitudes allant de 0 à 70. L'incrément de ces séries est généralement de 5, quelques fois moins. Les valeurs correspondant à des latitudes intermédiaires sont interpolées lorsqu'elles s'avèrent utiles. En fait, il est nécessaire d'effectuer, trois interpolations : une première pour la latitude, une deuxième pour la date et une troisième pour l'heure. Outre la lenteur du procédé, soulignons la perte de précision pour chaque interpolation. 11

12 Ajoutons d'autre part, que la précision du travail dépend du diamètre du cercle d'horizon. Or, les diamètres des cercles sont rarement supérieurs à 150 mm; ils ont souvent 102 mm, parfois seulement 100 mm. Dans certains cas, la précision obtenue par ces moyens sera insuffisante et il faudra construire soi-même les diagrammes solaires à l'échelle utile. Il semble utile de fournir ici la méthode de construction des diagrammes solaires en toute généralité. II.5.1 Construction des chemins solaires La procédure de construction est la suivante: 1. Dessiner un cercle de rayon (r) choisi, et tracer deux diamètres à angles droits pour marquer les quatre points cardinaux. Etendre le diamètre vertical en direction du Nord (pour l'hémisphère nord) pour obtenir le lieu des centres de tous les cercles solaires. 2. A chaque jour de l'année, on peut associer un chemin solaire qui est un arc de cercle dont il suffit de calculer le rayon et de situer le centre. Appelons (rs) le rayon de ce cercle et (ds) la distance de son centre au centre du cercle d'horizon (voir figure 3.14). Figure II.14- Construction des chemins solaires. Les valeurs de (rs) et de (ds) sont données par les formules suivantes : rs = ds = r " cos# sin$ + sin# r " cos# sin# + sin$ [2.6] [2.7] en fonction de la latitude géographique φ et de la déclinaison δ de la date choisie. 12

13 II.5.2 Construction des courbes horaires On détermine tout d'abord la distance (dt) par la formule: dt = r " tan# [2.8] On trace une ligne parallèle à l'axe est-ouest, à la distance (dt) du centre du cercle vers le sud. Cette droite est le lieu des centres de toutes les courbes horaires. On notera que les courbes horaires sont des arcs de cercles de rayon (rh). rh = r cos" sin(15h) [2.9] et dont le centre est déterminé par la distance (dh) par rapport à l'axe nord-sud sur la droite dt. dh = r cos" # tan(15h) [2.10] où (h) est le nombre d'heures séparant l'heure considérée de midi. Figure II.15- Construction des courbes horaires. Les courbes horaires correspondant aux heures avant-midi sont tracées à partir de centres situés à gauche de l'axe nord-sud; celles de l'après-midi sont tracées à partir de centres situés à droite du même axe. 13

14 II.5.3 Construction de la grille de coordonnées 1. Des lignes radiales sont tracées sur le cercle avec un pas régulier et complétées par une échelle circulaire. 2. Les angles d'altitudes sont représentés par des cercles concentriques dont le rayon, pour toute altitude γ est donné par la formule: r " = r # cos" 1+ sin" [2.11] Notons qu'en général les cercles d'altitude et les rayons d'azimut sont dessinés sur un transparent séparé pour simplifier les diagrammes. II.6 Exemples d'utilisation des diagrammes solaires Les applications des diagrammes solaires sont nombreuses et variées. Ils permettent tous les calculs d'ombrage classiques (ombre portée, rendus de façades...), les calculs des protections solaires, l'étude des "taches" solaires dans les locaux... Nous retiendrons ici deux applications des diagrammes solaires, simples mais intéressantes, qui en illustrent particulièrement bien leurs caractéristiques. Mais avant cela, il nous faut présenter les outils utilisés pour projeter une surface tridimensionnelle dans une projection stéréographique. II.6.1 Construction du rapporteur d angle Le positionnement d un objet en projection stéréographique est facilitée par l utilisation d un rapporteur d angle, qui fournit la projection de droites horizontales pour une altitude angulaire et une direction donnée par rapport à l observateur. Figure II.16- Rapporteur d angles 14

15 Ce rapporteur d angle est construit de la manière suivante. 1. Dessiner un demi cercle de même rayon que le diagramme solaire, en le complétant d un diamètre horizontal et d un centre vertical (Figure II.17). 2. Indiquer sur la ligne centrale 0 et tracer des lignes radiales depuis la gauche 90 jusqu à la droite +90 selon l incrément désiré, selon l angle horizontal δ. 3. Le lieu des centres des arcs de cercle de hauteur angulaire constante ε est situé sur l axe vertical. Sa position est donnée par un rayon rv est une distance dv égales à : rv = r cos" [2.12] dv = r " tan# [2.13] où ε est l angle vertical choisi. Les arcs sont dessinés ainsi que montré sur la Figure II.17. Figure II.17- Construction du rapporteur d angles Les diagrammes solaires ainsi que le rapporteur d angles sont fournis en annexe. II.6.2 Effet des ombrages extérieurs Les protections solaires des bâtiments ne sont pas les seules à produire un masque s'interposant entre le bâtiment et le soleil dans son mouvement. Les bâtiments existants dans l'environnement immédiat produisent cet effet qui à nouveau, peut être pris en compte en utilisant le rapporteur d'angles d'ombrage et le diagramme solaire. Le problème qui se pose est de savoir pour quelle période un point donné d'un bâtiment sera dans l'ombre d'un bâtiment voisin. Pour répondre à cette question, on construira à l'aide du rapporteur d'angles d'ombrage la projection stéréographique du bâtiment voisin vu du point considéré. On la superposera ensuite sur le diagramme solaire en tenant compte de l'orientation et on obtiendra ainsi la période d'ombre du point considéré. 15

16 La Figure II.18 donne un exemple de masque produit par ombrage extérieur. Pour cet exemple, les deux angles horizontaux sont - 45 et + 28, l'angle vertical est de 40. Figure II.18- Masque extérieur simple. 16

17 La méthode de construction du masque extérieur pour une situation plus compliquée est donnée à la figure Figure II.19- Masque extérieur quelconque. Notons que tous les bâtiments étant orthogonaux, tous les côtés du masque peuvent être tracés à l'aide du rapporteur d'angles d'ombrage. Si tel n'était pas le cas, il faudrait tracer certaines arêtes points par points, ce qui allongerait le temps de travail mais ne le compliquerait que fort peu. 17