Fractions et décimaux du côté didactique

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1 Fractions et décimaux du côté didactique 2.1. Quelques définitions Les nombres décimaux D1 : Un nombre est un nombre décimal si et seulement si une de ses écritures fractionnaires est une fraction décimale (c est-à-dire le quotient d un entier par une puissance de 10 : d = a/10 n ) ex: 3852/1000 D2 : Un nombre est un nombre décimal si et seulement si une de ses écritures décimales comporte une partie décimale finie. (C est-à-dire ne comportant que des zéros à partir d un certain rang). Les nombres rationnels ex: 3,852 D 1: Un nombre est un nombre rationnel si et seulement si il peut s exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs. Les nombres rationnels non entiers (souvent appelés fractions) sont souvent notés a/b, où a et b sont deux entiers relatifs (avec b non nul). On appelle a le numérateur et b le dénominateur. ex: 7/3 D 2: Un nombre est un nombre rationnel si et seulement si une de ses écritures décimales comporte une partie décimale infinie périodique (c est-àdire ne comportant que des chiffres se répétant dans le même ordre à partir d un certain rang). ex:

2 Vous trouverez dans ce qui suit une synthèse et extraits de travaux de Roland Charnay, sur le site TFM Différentes significations de l écriture fractionnaire L écriture fractionnaire, comme l écriture décimale ne sont que des façons différentes d écrire un nombre. Selon les besoins, selon les contextes (sciences ou mathématiques par exemple) on privilégie l une ou l autre des écritures. Une fraction de deux entiers a b rationnel (ensemble Q). (avec b non nul) est une écriture d un nombre La difficulté de son étude provient en particulier du fait qu une fraction comme ହ prend différentes significations que les élèves ont du mal à relier entre elles. Une première signification est donnée à ହ, celle de la fraction-partage correspondant au partage de l unité. Comprendre la signification de ହ c est comprendre que : une unité étant donnée, on définit d abord le tiers de l unité en la partageant en 3 parties égales, puis on reporte 5 fois l une des parties obtenues. Dans le contexte des longueurs, cela peut être schématisé ainsi : Dans le contexte des aires, par exemple ହ de pizza, c est 5 morceaux de pizzas égaux chacun à de pizza Cette signification peut être traduite par l égalité ହ = 5 x = Cette fraction est introduite pour mesurer plus précisément des grandeurs qui ne peuvent être obtenues par simple report de l unité. Elle permet également de repérer des positions sur une ligne graduée. 2

3 Une seconde signification souvent appelée fraction-quotient. ହ est introduite comme solution de l équation 3 = 5, c est-à-dire comme quotient de 5 par 3, 5 partagé en 3. Il s agit de réaliser que ହ + ହ +ହ = 3 x ହ = 5. Dans le contexte des longueurs, cela correspond au partage d un segment de longueur 5 unités en 3 parts égales et peut être schématisé ainsi : Dans le contexte des aires, par exemple ହ de pizza c est ce qu on a chacun quand on est 3 à se partager 5 pizzas. La difficulté pour les élèves réside dans le fait qu ils doivent concilier ces deux significations de la fraction et comprendre que " 1 partagé en 3, pris 5 fois " est égal à " 5 partagé en 3 " ou encore que " 5 fois le tiers de 1 " est égal au " tiers de 5 ". C est à partir de là que la fraction prend le statut de nombre rationnel qui sera enrichi par le calcul sur les fractions. Dans les programmes 2002, on précisait que seule la fraction partage était vue à l école primaire. La fraction quotient devait être abordée au collège. Dans les programmes 2008, on ne précise rien quant à l apprentissage de ces deux significations de l écriture fractionnaire. Roland Charnay pense que la fraction partage doit être la seule signification donnée à l écriture fractionnaire à l école primaire. Pour Rémy Brissiaud, il est important de voir dès l école primaire les deux significations. 3

4 2.3. Différentes écritures des nombres décimaux Un nombre décimal peut se définir comme un nombre pouvant être exprimé sous forme de fraction décimale. Une fraction est dite décimale lorsque son dénominateur est une puissance de 10. Certaines fractions non décimales sont égales à des fractions décimales : ଶ = ହ = ହ D autres fractions comme ହ ou ଽ ne sont pas égales à des fractions décimales. L intérêt des fractions décimales réside principalement dans le fait que les calculs avec ces fractions sont plus simples qu avec d autres fractions, car la réduction au même dénominateur est facilitée. Il est plus aisé d additionner et que et! Les écritures à virgule de nombres décimaux sont issues de leurs décompositions sous forme de sommes de fractions décimales. Ainsi 15 ; ଶ ; 4, 054 sont tous trois des nombres décimaux. Trois façons intéressantes d exprimer un nombre décimal à l aide de fractions décimales : Un nombre décimal peut s écrire sous forme de somme de fractions décimales de numérateurs inférieurs à 10: Cette écriture permet de mettre en évidence la valeur de chaque chiffre de l écriture à virgule du nombre. Ainsi : 4,708 = met en évidence que 4,708 comporte 4 unités, 7 dixièmes et 8 millièmes. Un nombre décimal peut s écrire sous forme d une seule fraction décimale Cette écriture permet de préparer le lien avec la fraction quotient. Ainsi 4,708 = ସ met en évidence que 4,708 est le résultat de la division de par Un nombre décimal peut s écrire sous forme de somme d un entier et d une fraction décimale 4

5 Cette écriture met en évidence la partie entière et la partie décimale du nombre. Ainsi 4,708 = 4 + permet de reconnaître la partie entière (4) et la partie décimale (0,708 qui est égal à ) Un nombre décimal peut se définir comme un nombre pouvant être écrit avec une virgule. Historiquement, les fractions décimales ont été utilisées avant les nombres décimaux écrits à l aide d une virgule. Cette écriture à virgule a été inventée au XVI e siècle pour rendre les calculs plus simples car plus proches du calcul sur les entiers. Ainsi 4,708 est une autre manière d écrire Pour une bonne compréhension des nombres décimaux il est donc important : d une part de relier écriture à virgule et écriture à l aide de fractions décimales d autre part de prolonger aux écritures à virgule les principes de la numération de position étudiée sur les entiers : dans 345,26 - la position du 4 fait que sa valeur est multipliée par 10 (4 dizaines d unités) - la position du 6 fait que sa valeur est divisée par 100 (6 centièmes d unités) - un chiffre à la place du 6 a une valeur 10 fois inférieure que le même chiffre à la place du 2, fois inférieure que le même chiffre à la place du 4. La compréhension de ces relations permet de justifier et donc de comprendre la plupart des connaissances relatives à la comparaison et au calcul sur les nombres décimaux De l intérêt d une ligne graduée pour travailler fractions et décimaux. Les nombres ont plusieurs fonctions. Ils sont utilisés notamment pour exprimer des quantités, des mesures, des rapports et également pour repérer des positions sur une ligne munie d une graduation. Cette ligne sera appelée axe orienté au collège Intérêt pour les nombres rationnels (exprimés à l école primaire sous forme de fractions) : ils permettent de compléter le repérage de positions déjà réalisé avec les nombres entiers. Signalons simplement deux aspects importants. 5

6 Le premier aspect concerne la relation entre mesure et graduation, c'est-àdire entre la fraction associée à un point de la droite et la longueur du segment dont les extrémités sont le point-origine de la graduation et le point considéré. ସ permet de repérer le point M parce que, si on choisit la longueur AB comme unité de mesure (u), le point A comme origine de la graduation, la longueur AM peut être exprimée par ସ u. Il est important que les élèves établissent cette relation. Cela permet également de renforcer l encadrement de ସ par les nombres 2 et 3. Le second aspect concerne la décomposition d une fraction sous forme de somme d un nombre entier et d une fraction inférieure à 1. Le placement de ସ peut, en effet, être obtenu de deux façons : compter 11 quarts (de quart en quart) à partir de la position 0 ; considérer que 4 quarts c est 1, que 8 quarts c est 2 et que 11 quarts c est donc 2 plus 3 quarts : pour placer, il suffit donc d avancer de 3 quarts au- ସ delà de 2, ce qui illustre le fait que ସ = 2 + ସ on aurait pu de la même manière établir que ସ = 3 - ସ Le travail sur une droite graduée contribue à renforcer chez les élèves le statut de nombre pour les fractions : une fraction peut représenter un nombre entier, les fractions peuvent être situées par rapport aux nombres entiers, elles peuvent être comparées, décomposées Intérêt pour les nombres décimaux De même que pour les fractions, on utilisera une droite graduée pour mieux comprendre les nombres décimaux. Prenons le cas de 3,75. 3,75 peut être écrit sous la forme ହ. Les nombres 0 et 1 étant placés, ils déterminent une longueur-unité qui, partagée en 100 parties égales donnent des centièmes d unités et permet d associer la fraction ହ à un point de la droite situé à 375 centièmes d unités du point repéré par 0. 6

7 La décomposition de 3,75 sous la forme ହ permet de situer 3,75 en cherchant d abord le point repéré par 3, puis en avançant successivement de 7 dixièmes et de 5 centièmes. Le travail sur une droite graduée contribue : - à illustrer le fait que, entre deux nombres décimaux, il est toujours possible d en intercaler d autres (en utilisant, si nécessaire, un agrandissement du segment dont les extrémités sont repérées par ces deux décimaux). Cette notion permet de mettre en évidence une propriété qui différencie les nombres naturels et les nombres décimaux. - A comparer deux décimaux : cela permet notamment de comprendre que 3,75 est inférieur à 3,9 puisqu on a placé 3,75 entre 3,7 et 3,8. 7