Logique et théorie des ensembles

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1 Rappels : Logique et théorie des ensembles N : ensemble des entiers naturels = { 0,, 2, } A part 0, un nombre n a pas d opposé dans N = {0} : ensemble des entiers relatifs = {, 2,, 0,, 2, } = { n, -n ; n N } A part -,, un entier relatif n a pas d inverse dans = {0} p p p2 : ensemble des nombres rationnels = { ;( pq, ) } avec = pq. 2 = pq 2. } q q q Mais π, 2, e : ensemble des nombres réels = {0} : ensemble des réels strictement positifs Mais les racine i et i de x² ne sont pas dans 2 : ensemble des nombres complexes = { aib ;(a,b) } 2 = {0} = {0}. Logique.. Propositions logiques Définition : On appelle proposition, un énoncé qui ne prend que 2 valeurs : vrai (V) ou faux (F). xemple : «3 < 4» est une proposition de valeur vraie. «2 est un rationnel» est une proposition de valeur fausse..2. Négation d une proposition Soit P une proposition, on note P ou non P sa négation. La table de vérité résume la négation : P V F P F V xemple : P : 3 < 4 est vraie P : 3 4 est fausse.3. Connecteurs logiques 2 propositions P et Q peuvent être connectées pour obtenir une troisième proposition R. Le connecteur est défini par la valeur de la proposition R en fonction des valeurs de P et Q..3.. Connecteur «et» La conjonction de P et Q est P et Q ou P Q ou P Q est vraie si et seulement si P est vraie et Q est vraie. P Q Logique et théorie des ensembles / 8 A Chevalley

2 P Q P Q V V V V F F F V F F F F xemple : P P est toujours fausse Connecteur «ou» La disjonction de P et Q est P ou Q ou P Q («ou» inclusif). P Q est fausse si et seulement si P est fausse et Q est fausse. xemple : P P Q P Q V V V V F V F V V F F F P est toujours vraie Connecteur «implique» L implication de P vers Q est P Q : P est l hypothèse, Q est la conclusion P Q est fausse si et seulement si P est vraie et Q est fausse. - si P est vraie alors Q est vraie - il suffit que P soit vraie pour que Q soit vraie - il est nécessaire (il faut) que Q soit vraie pour que P soit vraie P Q est équivalent à P Q P Q P Q P P Q V V V F V V F F F F F V V V V F F V V V xemple : P P est toujours vraie. P Q : si ABCD est un carré alors ABCD est un parallélogramme P : ABCD est un carré Q : ABCD est un parallélogramme il suffit que P soit vraie pour que Q soit vraie Il suffit que ABCD soit un carré pour que ABCD soit un parallélogramme il est nécessaire (il faut) que Q soit vraie pour que P soit vraie il est nécessaire (il faut) que ABCD soit un parallélogramme pour que ABCD soit un carré mais ce n est pas suffisant. Réciproque La réciproque de P Q est Q P Logique et théorie des ensembles 2 / 8 A Chevalley

3 ATTNTION : P Q n est pas équivalent à Q Contraposée P La contraposée de P Q est : Q P P Q est équivalent à Q P P Q P Q P Q Q P V V V F F V V F F F V F F V V V F V F F V V V V Négation La négation d une implication n est pas une implication (P Q) ( P Q) ( P Q ).3.4. Connecteur «équivalent» Si P Q et Q P, on dit que P est équivalente à Q et on note P Q P Q est vraie si et seulement si P et Q sont vraies ou fausses, simultanément. - P est vraie si et seulement si (ssi) Q est vraie - il faut et il suffit que Q soit vraie pour que P soit vraie - P est une condition nécessaire et suffisante (CNS) pour que Q soit vraie P Q et Q P est équivalent à P Q P Q P Q Q P P Q V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V xemple : P P est toujours vraie Théorème On appelle théorème une proposition logique toujours vraie Propriétés Négation ( P) P non (non P) P ( P Q) ( P Q) non (P ou Q) (non P et non Q) Logique et théorie des ensembles 3 / 8 A Chevalley

4 ( P Q) ( P Q) non ( P et Q) (non P ou non Q) Associativité ( P Q) R (P (Q R)) (P ou Q) ou R (P ou (Q ou R) ( P Q) R (P (Q R)) (P et Q) et R (P et (Q et R) Distributivité ( P Q) R (P R) (Q R) (P ou Q) et R (P et R) ou (Q et R) ( P Q) R (P R) (Q R) (P et Q) ou R (P ou R) et (Q ou R) Transitivité ((P Q) (Q R)) (P R) (P Q) et (Q R) (P R) 2. Quantificateurs 2.. Deux quantificateurs Une proposition logique peut dépendre d une variable appartenant à un ensemble donné. 3 3 Par exemple, x x > signifie «pour tout, on a x >». x On introduit le quantificateur qui signifie «pour tout» ou «quel que soit». 3 L exemple précédent devient : x x > A l inverse, une proposition peut être vraie que pour certains éléments d un ensemble. On introduit le quantificateur qui signifie «il existe». Le symbole / signifie «tel que». / se place après. S il y a plusieurs dans une proposition, / se place après le dernier. Remarque : signifie «il existe un unique élément»! x /3x 2> x /3x 2> xemples : signifie «il existe au moins un réel tel 3x2 >» x=0 Vrai signifie «tous les réels vérifient 3x2 >» x = Faux 2.2. Négation d une phrase quantifiée La négation de est ( x, P(x) ) ( x / P(x) ) La négation de est ( x, P(x) ) ( x / P(x) ) 2.3. Propriété On ne peut pas modifier l ordre des quantificateurs sans changer le sens de la proposition. xemple : x, y / x y signifie «tout entier est majoré par un autre entier» VRAI car N est infini. On modifie l ordre des quantificateurs : y / x, x y signifie «il existe un entier supérieur ou égal à tous les autres» FAUX (il n y a pas de borne supérieure) xemples Les propositions suivantes sont-elles vraies? Quelle est la négation de celles qui sont fausses? a) x, x b) x / x c) x,ln( x) = d) x, n / n x< n e) n / x, n x< n 3. Théorie des ensembles 3.. Définitions Logique et théorie des ensembles 4 / 8 A Chevalley

5 Un ensemble est une collection d objets qui présentent une ou plusieurs propriétés communes. xemple : l ensemble des étudiants de. est l ensemble des nombres rationnels. Les éléments d un ensemble sont écrits entre accolades, les uns derrière les autres séparés par des virgules. nsemble des nombres pairs {0, 2, 4, } Soient, A des ensembles x A signifie «x est un élément de A» ou «x appartient à A». On désigne par l ensemble vide qui n a aucun élément. Si A est fini le cardinal de A, Card(A) ou #A, désigne le nombre d éléments de A. xemple : A = {, 2, 5, 0} Card (A) = 4 = { n N n² < 0 } donc = 3.2. Inclusion Définition : On dit que A est inclus dans B, noté A B si la proposition suivante est vraie : A est alors un sous ensemble ou une partie de B. On dit que xemple : ( x A ) ( x B ) A = B ssi A B et B A 3.3. Opération sur les ensembles Réunion Définition : Soient A et B deux ensembles. La réunion de A et B, noté A appartenant à A ou à B : ( x A B) ( x A) ou ( x B) xemple : = { nn, } Intersection B, est l ensemble des éléments Définition : Soient A et B deux ensembles. L intersection de A et B, noté A B, est l ensemble des éléments appartenant à A et à B : xemple : = = { x / Imx ( ) 0} = ( x A B) ( x A) et ( x B) Logique et théorie des ensembles 5 / 8 A Chevalley

6 Complémentaire c Définition : Soient A et deux ensembles avec A. Le complémentaire de A dans, noté A ou A ou A ( s il n y a pas de risque de confusion au niveau de l ensemble ), est l ensemble des éléments de n appartenant pas à A : ( x A ) ( x ) et ( x A) xemple : = {-n,n } Différence ( x A ) ( x A) Définition : Soient A et B deux ensembles. La différence de A moins B, noté A B ou A \ B, est l ensemble des éléments appartenant à A et n appartenant pas à B : ( x A \ B ) ( x A) et ( x B) A \ B = A B Différence symétrique Définition : Soient A et B deux ensembles. La différence symétrique de A et B, noté A des éléments appartenant à A et n appartenant pas à B ou appartenant à B et pas à A : ( x A B ) ( x A \ B) ou ( x B \ A) B, est l ensemble A B = (A B ) (B A ) xemple : Démontrer que A B = ( A B)\( A B) A B = (A B ) (B A ) et ( A B) \ ( A B) = ( A B) ( A B) = ( A B) ( A B ) =( ( A B) A ) ( ( A B ) B ) = ( ( A A ) ( B A ) ) ( ( A B ) ( B B ) ) = ( ( B A ) ) ( ( A B ) ) = ( B A ) ( A B ) = A B 3.4. Propriétés Négation = = ( ) A = A A = A e Logique et théorie des ensembles 6 / 8 A Chevalley

7 Commutativité A B = B A (A B) C = A (B C) A = A = A A A = A A = A B = B A B A = A = A A = A A = A A B = A A B A B = B A (A B) C = A (B C) Lois de Morgan A B = A B A B = A B Distributivité A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) A (B A) = A (A B) = A Différence A = \ A A \ = A A \ B = A B A \ B = A B = A \ (A B) Différence symétrique A B = B A A = A A A = A B = ( A B) \ (A B) Cardinaux Card (A B) = Card (A) Card (B) Card ( A B) Card ( A ) = Card () Card (A) Card (A \ B) = Card (A) Card ( A B) 3.5. nsemble des parties d un ensemble Soit un ensemble. Les sous ensembles ou parties de constituent un ensemble que l on note P ( ). A P ( ) A Remarque : Les éléments de P ( ) sont des ensembles et en particulier P ( ) et P ( ) Si Card (A) = n alors Card (P (A)) = 2 n xemple : A = {, 2, 3 } Les différentes parties de A sont :, { }, { 2 }, { 3 }, {, 2 }, {, 3 }, { 2, 3 }, {, 2, 3 } = A Card (A) = 3 et Card (P (A)) = 2 3 = Produit cartésien (d ensembles) Définition : Soient A et B deux ensembles. On appelle produit de A par B l ensemble : Souvent A x B B x A A x B = { ( a, b ), a A, b B } 2 xemple : = {( uv, ), u, v } {, 2, 3 } x { i, - i } = { (, i ), ( 2, i ), ( 3, i ), (, - i ), ( 2, - i ), ( 3, - i ) } Remarque : Si les ensembles A et B sont finis alors card ( A x B ) = card (A). card ( B) Logique et théorie des ensembles 7 / 8 A Chevalley

8 4. Récapitulatif Propositions nsembles et ou ou exclusif négation non A, A A ou A = Logique et théorie des ensembles 8 / 8 A Chevalley