TD Optique géométrique. Classe de PCSI

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1 TD Optique géométrique

2 Table des matières 1 Applications des notions de base de l optique géométrique Loi de Cauchy Dispersion par un verre Courbure d un rayon lumineux Angle de Brewster Réflexion totale dans un prisme Déviation par un prisme de petit angle au sommet Champ de vision du fond d une piscine Spectrophotométrie et Loi de Beer-Lambert Champ de vision avec un miroir plan Principe du catadioptre Rotation d un miroir Guidage dans une fibre optique Propagation dans un milieu inhomogène - Phénomène de mirage Réflexion totale Formation des images - Miroir sphérique et lentilles minces Nature des images d un miroir Etude d un miroir concave Relation de Lagrange-Helmoltz pour un miroir sphérique et une lentille sphérique mince Détermination des foyers objet et image d une association de lentilles Champ de vision d un miroir sphérique Etude d une association de lentille Etude d un système afocal Etude d un système catadioptrique Projection à l aide d une lentille convergente Méthode de Bessel Méthode de Silbermann Télescope à deux miroirs sphériques

3 Chapitre 1 Applications des notions de base de l optique géométrique 1.1 Loi de Cauchy 1. Imaginons que l on vous donne une ensemble de valeurs de l indice n pour différentes valeurs de λ. Quelle méthode vous parait la plus adaptée pour déterminer A et B dans la relation de Cauchy? Quelle sont les unités de A et B? 2. Appliquez cette méthode pour déterminer ces coefficients pour l eau dont les valeurs sont les suivantes : n F = 1,3371 pour λ = 486,1 nm n D = 1,3330 pour λ = 589,3 nm n C = 1,3311 pour λ = 656,3 nm Indication : pensez à la méthode graphique ; vous aurez besoin de votre calculatrice. 1.2 Dispersion par un verre Un verre a pour indice optique n violet = 1,63 et n rouge = 1,58. Un rayon lumineux se propageant dans ce verre contient ces deux longueurs d ondes et ils arrivent sur le dioptre séparant ce verre avec l air sous une incidence θ i = Calculer l angle de réfraction que font les deux rayons réfractés à la sortie du verre. 2. Que se passerait-il si le rayon lumineux incident arrivait sur le dioptre (air-verre) avec un angle d incidence θ i = 38, Courbure d un rayon lumineux On considère une superposition de dioptre plan parallèle tel que l indice optique de chaque milieu évolue de façon croissante (n 1 < n 2 < n 3 <...). 1. Démontrer que la grandeur suivante appelée invariant de Descartes est conservée : p, n p sin θ p = constante 2. En déduire l allure du rayon lumineux. Conclure de façon générale à la courbure du rayon lumineux dans un milieu où l indice optique est hétérogène. 1.4 Angle de Brewster On considère un dioptre séparant des milieux isotropes transparents d indice n 1 et n 2. Déterminer l angle d incidence θ B appelé incidence de Brewster pour laquelle les rayons réfléchi et réfracté sont perpendiculaires. Réponse : tan θ B = n 2 n 1 2

4 1.5 Réflexion totale dans un prisme On considère un prisme rectangle isocèle. les rayons lumineux arrivent sur le prisme comme sur le schéma ci-contre. Déterminer la valeur minimale de l indice du matériau constituant le prisme pour qu il y ait réflexion totale à l intérieur du prisme (milieu extérieur assimilé au vide). 1.6 Déviation par un prisme de petit angle au sommet On considère un prisme droit (c est-à-dire possédant un angle droit) d indice n. On éclaire ce prisme par un faisceau parallèle, en incidence normale comme sur le schéma ci-contre : A 1. Dessiner le faisceau à travers le prisme et le faisceau émergent. 2. En supposant l angle au sommet du prisme faible et en utilisant la loi de Képler, démontrer que la déviation du faisceau est : D = (n 1)A 1.7 Champ de vision du fond d une piscine 1. Calculer l angle maximal d incidence d un rayon lumineux qui, venant d un milieu transparent d indice n, rencontre l interface avec l air d indice 1, pour lui permettre de sortir. 2. En déduire ce que voit un plongeur situé au fond d une piscine dont la surface de l eau est parfaitemen plane lorsqu il regarde le plafond. 1.8 Spectrophotométrie et Loi de Beer-Lambert Bien qu en optique géométrique, on va principalement s intéresser aux propriétés optiques des milieux transparents, on va ici étudier l influence du phénomène d absorption dans une solution absorbante, comme vous le ferez en chimie. On considère un faisceau de lumière monochromatique de longueur d onde λ qui traverse un échantillon de solution absorbante de longueur l. On notera φ 0 le flux lumineux d entrée et φ(x) le flux lumineux pour l abscisse x de la cuve (0 x l). On notera α le flux lumineux absorbé par unité de longueur et par unité de flux lumineux incident. 1. En faisant un bilan de flux lumineux sur une tranche élémentaire de longueur dx de cuve, déterminer une relation entre φ(x + dx) et φ(x). 2. En déduire l équation différentielle vérifiée par φ(x) : dφ dx + αφ = 0 Résoudre cette équation et en déduire φ l pour x = l. 3. Quelle est l unité de α? 1.9 Champ de vision avec un miroir plan 1. Un individu est debout devant un miroir plan vertical et son oeil est situé à H=1,80 m du sol. La base du miroir est à une hauteur h au dessus du sol. Déterminer la valeur maximale de h max pour que la personne voit ses pieds. Cette condition dépend t elle de la distance D entre l individu et le miroir? 2. Ce même individu souhaite maintenant observer entièrement un objet de hauteur h=1,5 m à l aide d un miroir de longueur L=2,3 m posé horizontalement sur le sol. Où doit être placé ce miroir? A quelle distance D de l individu? Fairez l application numérique. 3

5 1.10 Principe du catadioptre Le catadioptre est constitué de 3 miroirs plans perpendiculaires entre eux deux à deux formant un trièdre de l espace. Démontrer que le rayon lumineux, après réflexion sur les 3 miroirs, est parallèle au rayon lumineux incident et de sens de propagation inverse. Indication : En exprimant le vecteur directeur du rayon lumineux incident u 0 = (a,b,c), déterminer les coordonnées des vecteurs directeurs des rayons réfléchis sur chacne des faces Rotation d un miroir On considère un miroir plan et un rayon lumineux incident quelconque. De combien tourne le rayon lumineux réfléchi si l on fait tourner le miroir d un angle α Guidage dans une fibre optique On considère une fibre optique constitué de l association de 2 milieux transparents homogènes. 1. A quelle condition sur l angle d entrée θ e dans la fibre optique, le rayon lumineux se propage uniquement dans le coeur, sans perte de lumière dans la gaine? 2. La propagation de ce rayon lumineux correspond à une onde se propageant le long de l axe (Oz). Déterminer sa longueur d onde. θ e gaine coeur n 2 n 1 z 1.13 Propagation dans un milieu inhomogène - Phénomène de mirage On étudie un milieu stratifié dans lequel l indice optique varie de la façon suivante : n 2 (z) = n 2 H + α(z H) avec α > 0 1. Justifier qualitativement le sens de la courbure du rayon lumineux issu du point initial de coordonnée : x = 0, z = H avec θ H [0,π/2]. 2. Rétablir (faites-le cours fermé) l équation du rayon lumineux dans un milieu stratifié pour lequel l indice dépend uniquement de la coordonnée z. On utilisera les conventions suivantes. axe z θ(z+dz) z+dz z n(z+dz) n(z) 3. Intégrer cette équation différentielle dans les cas où n 2 (z) = n 2 H +α(z H) avec α > 0. On prendra comme conditions initiales de la trajectoire du rayon lumineux : pour z = H, n = n H et θ = θ H. De quelle type de trajectoire s agit-il? 4. Factoriser cette solution et montrer que, pour un angle initial θ H donné, la trajectoire atteint un point d ordonnée minimun dont on déterminera les coordonées. Réponses : Equation différentielle du rayon lumineux : d2 z dx 2 = 1 d(n 2 ) 2n 2 H sin 2 ; Equation de la trajectoire du θ H dz rayon lumineux : z = α 2n 2 H sin 2 θ H x 2 x tgθ H + H 4 x θ(z) x x+dx

6 1.14 Réflexion totale On dispose d un flotteur mince, de rayon R, à la surface de l eau, au centre duquel on a planté un clou de longueur h perpendiculaire au disque. A quelle condition et dans quel domaine de l espace le clou est-il visible pour un observateur placé dans l air? Données : indice de l air n = 1 et indice de l eau n eau = 1,33 5

7 Chapitre 2 Formation des images - Miroir sphérique et lentilles minces 2.1 Nature des images d un miroir Montrer que, pour un miroir concave, l objet et l image ne sont jamais simultanément virtuels. Montrer que, pour un miroir convexe, l objet et l image ne sont jamais simultanément réels. 2.2 Etude d un miroir concave On considère un miroir sphérique concave de rayon de courbure R=1m. 1. Quelle sa distance focale? 2. Ce miroir est placé à une distance de D=5m d un écran E. Où doit-on placé un petit objet pour avoir une image nette de celui-ci sur l écran. Faire la construction de la position de l objet en respectant l échelle. 3. Si AB=5cm, quelle est la taille de l image et son orientation? Réponses : Position de l objet : SA = 5 9 m ; γ = Relation de Lagrange-Helmoltz pour un miroir sphérique et une lentille sphérique mince A α A' α' 1. Par des considérations géométriques simples, démontrer que pour un objet AB perpendiculaire à l axe et son image A B, on a la relation de Lagrange-Helmoltz : α.ab = α.a B 2. Retrouver une relation analogue dans le cas d une lentille mince. 2.4 Détermination des foyers objet et image d une association de lentilles On associe 2 lentilles l une derrière l autre en confondant leurs axe optique, formant ainsi un système optique centré. 1. En supposant les 2 lentilles convergentes, déterminer par construction des rayons, la position des foyers objet et image du système optique formé. 2. En supposant maintenant qu une lentille est convergente et l autre divergente, faites de même. 3. Argumenter par un des principes de l optique géométrique, que si l on intervertit les lentilles convergente et divergente sans changer leur position relative, on permute les foyers objet et image. 6

8 2.5 Champ de vision d un miroir sphérique H M On considère un oeil normal dont la distance minimale à partir de laquelle peut voir un objet est environ de 20cm (Punctum Proximun). cet oeil regarde par réflexion dans un miroir sphérique un objet PM. F S O P 1. Caluler la distance qui sépare l image P M de l oeil. Justifier que l on peut considérer que l objet PM est à l infini. 2. Calculer la grandissement γ. 3. Tracer le rayon lumineux correspondant au rayon extrême qui parvient à l oeil après réflexion sur le miroir et calculer la taille maximale de l image P M sachant que le miroir est de taille limitée transversalement SH. 4. En déduire la taille maximale de l objet PM pour qu il soit observable entièrement par l oeil. Données : SH=4cm ; FS=50cm ; SO=100cm ; SP=20m 2.6 Etude d une association de lentille On considère 2 lentilles convergentes L 1 et L 2 tel que si f est la distance focale de L 1 alors la distance focale de L 2 est : f 2 = 2f. Les 2 lentilles sont disposées de sorte que F 1 F 2 = f 1. On place un objet AB tel que O 1 A = 3f Déterminer la position de l image intermédiaire et en déduire la position de l image finale. 2. Faire la construction des rayons. Réponses : O 1 A i = 3f 2 et O 2A = 10f 2.7 Etude d un système afocal On considère un doublet optique constitué de 2 lentilles convergentes L 1 et L 2 de distances focales f 1 et f 2 tel que F 1 = F 2 1. Faire un schéma et déterminer la position de l image d un objet quelconque par le tracé des rayons. 2. Déterminer le grandissement γ. Dépend t il de la taille de l objet? 3. On considère un objet étendu à l infini. Déterminer le grossissement G = α α (α et α représentent les angles sous lesquels sont respectivement vu l objet de la face d entrée et l image de la face de sortie). Réponses : γ = f 2 f 1 et Gγ = Etude d un système catadioptrique On considère l association d une lentille convergente et d un miroir plan tel que la distance qui sépare le miroir de la lentille est égale à 3 fois la distance focale de la lentille. On place un objet AB tel que OA = 2f. 1. Faire la construction de l image finale par le tracé des rayons. 2. Déterminer par le calcul la position de l image finale ainsi que le grandissement. Réponse : OA = 4f 3 7

9 2.9 Projection à l aide d une lentille convergente On désire projeter, à l aide d une lentille convergente, l image d un petit objet AB dans un plan de front sur un écran E perpendiculaire à l axe optique. On suppose que la distance entre AB et l écran E est D et on désire avoir un grandissement fixé a en valeur absolue. Déterminer la distance focale f que doit avoir la lentille convergente. Réponse : f = ad (a + 1) Méthode de Bessel On dispose d un objet AB dont on veut projeter l image A B sur un écran situé à la distance D de AB. On utilise pour cela une lentille convergente L de focale f. 1. Montrer qu une projection est possible que si D 4f. 2. Montrer que si D > 4f, il existe deux positions de la lentille permettant d obtenir une image nette sur l écran et que ces 2 positions sont distantes d une distance d tel : f = (D2 d 2 ) 4D La méthode de Bessel consiste à mesurer expérimentalement D et d et en déduire f Méthode de Silbermann On cherche à projeter l image A B d un objet AB sur un écran (E) de façon que la grandissement soit γ = 1. On utilise pour cela une lentille convergente de focale f. Montrer que f = D Télescope à deux miroirs sphériques Soit 2 miroirs sphériques concaves (M 1 ) et (M 2 ) de même axe optique et en regard l un de l autre. L étoile est vue sous un diamètre angulaire ε. On notera R 1 le rayon de courbure du miroir (1) et R 2 celui du miroir (2). M 2 1. Déterminer la position et le rayon du miroir (M 2 ) pour que l image finale soit 3 fois plus grande que l image intermédiaire. 2. Répresenter, à l échelle sur un schéma, les rayons lumineux provenant de l étoile et leur chemin. Déterminer l image intermédiaire et finale. ε M 1 8