Traitement du Signal I

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1 Traitement du Signal I L3 EEA - GEII Camille Charbonnier Université de Rouen L3 EEA-GEII 1/29

2 Avant-propos Ce cours est construit à partir de la présentation de T. Paquet (Université de Rouen), disponible en ligne ici : http ://thierry.paquet.free.fr/ Il s appuie également sur les notes de cours très documentées de S. Dos Santos (Université de Tours, ENI Val de Loire), disponibles en ligne. Les illustrations de la TFD sont issues du cours Transformée de Fourier Discrète de G. Baudoin et J.-F. Bercher de l Ecole Supérieure d Ingénieurs en Électrotechnique et Électronique, disponible en ligne ici : http :// bercherj/new/polys/ Université de Rouen L3 EEA-GEII 2/29

3 Plan du cours Introduction Quelques définitions et classifications Motivations Rappels : Analyse de Fourier des signaux analogiques Rappels : Signaux numériques Quantification Échantillonnage Transformée de Fourier Discrète Transformée de Fourier Rapide Université de Rouen L3 EEA-GEII 3/29

4 Traitement du signal : KESAKO? Signal Représentation physique d une information portée depuis sa source à son destinataire. Évolution d une grandeur physique mesurable au cours du temps ex : onde acoustique, signal optique, magnétique, radioélectrique... Traitement du signal Élaboration des signaux : synthèse modulation, changement de fréquence codage, par exemple traduction en code binaire Interprétation des signaux : reproduction filtrage détection analyse Université de Rouen L3 EEA-GEII 4/29

5 Traitement du signal : KESAKO? Source Capteur Canal de transmission Récepteur Destinataire Bruit Bruit Bruit Université de Rouen L3 EEA-GEII 5/29

6 Traitement du signal : KESAKO? Elaboration Interprétation Source Capteur Canal de transmission Récepteur Destinataire Bruit Bruit Bruit Université de Rouen L3 EEA-GEII 5/29

7 Traitement du signal : KESAKO? Elaboration Interprétation Source Capteur Canal de transmission Récepteur Destinataire Bruit Bruit Bruit Université de Rouen L3 EEA-GEII 5/29

8 y x z x Traitement du signal : KESAKO? Elaboration Interprétation Source Capteur Canal de transmission Récepteur Destinataire Bruit Bruit Bruit Signal déterministe Signal aléatoire Université de Rouen L3 EEA-GEII 5/29

9 Traitement du signal : programme complet de traitement Exemple : compression audio Objectif : Reproduction fidèle d un signal audio via canal de transmission numérique Université de Rouen L3 EEA-GEII 6/29

10 Quelques définitions et classifications Signal analogique s(t) Signal quantifié s q (t) Signal échantillonné s(nt e ) Signal numérique s q (nt e ) Université de Rouen L3 EEA-GEII 7/29

11 Motivations : quelques applications Spatial Imagerie spatiale, compression de données, analyse de données de sondes spatiales Médical Imagerie médicale, analyse d électrocardiogramme, stockage et extraction d images numérisées Commercial Compression d image et de son, effets spéciaux, vidéo conférence Téléphonie Compression de données et de sons vocaux, réduction d échos Militaire Radar, sonar, téléguidage ou autoguidage, communications sécurisées Industriel Prospection minière et pétrolière, control de processus et monitoring, CAO et outils de conception Université de Rouen L3 EEA-GEII 8/29

12 Analyse de Fourier des signaux analogiques Représentation temporelle Arrivée des métros à 7h29, 7h35, 7h42,... x(t) = Acos(2πf 0 t) = A 2 (e2πjf 0t + e 2πjf 0t ) Représentation fréquentielle Arrivée des métros toutes les 6 minutes à partir de 7h X(f) = Aδ(f 0 ) = A 2 (δ( f 0) + δ(f 0 )) t est la variable f est la variable Dans les deux cas : le signal est caractérisé par A et f 0. Université de Rouen L3 EEA-GEII 9/29

13 Séries et transformées de Fourier Définition d une série de Fourier Définition d une transformée de Fourier Quelle différence entre les deux? A quels signaux ces deux outils s appliquent-ils? Séries/transformées inverses? Propriété de conservation de l énergie Université de Rouen L3 EEA-GEII 10/29

14 Analyse spectrale par séries et transformées de Fourier spectres d amplitude et de phase spectre de raie/spectre continu Université de Rouen L3 EEA-GEII 11/29

15 Transformées de Fourier usuelles Constant Sinusoïde Porte Signal carré Impulsion idéale (Dirac) Peigne de Dirac Université de Rouen L3 EEA-GEII 12/29

16 Propriétés des transformées de Fourier Dérivation Retard Affecte uniquement la phase Dilatation Durée du signal inversement proportionnelleà la largeur de bande Produit de convolution (filtrage) Produit de transformées Université de Rouen L3 EEA-GEII 13/29

17 Quelles sont les conséquences pour l analyse de la quantification et Université de Rouen L3 EEA-GEII 14/29 Rappels : Signaux numériques Signal analogique s(t) Signal quantifié s q (t) Signal échantillonné s(nt e ) Signal numérique s q (nt e )

18 Quantification par arrondi x q (t) = q ( ) x(t) arrondi q }{{} entier codé sur N bits xq(t) q x(t) Université de Rouen L3 EEA-GEII 15/29

19 Conséquences de la quantification d un signal Quantification par arrondi Erreur de quantification x q (t) = x(t) + ɛ q (t) Amplitude max sans écrêtage A N = 2 N 1 q xq(t) B = 1 τ Puissance tde l erreur Puissance de crête τ/2 τ/2 ɛ q(t) 2 dt = q2 12 P c = A2 N 2 = 2 2N 3 q 2 Dynamique de codage : Pc B = 22N 3 2 = Université de Rouen L3 EEA-GEII 16/29

20 Conséquences de la quantification d un signal Quantification par arrondi Erreur de quantification x q (t) = x(t) + ɛ q (t) Amplitude max sans écrêtage A N = 2 N 1 q xq(t) B = 1 τ Puissance tde l erreur Puissance de crête τ/2 τ/2 ɛ q(t) 2 dt = q2 12 P c = A2 N 2 = 2 2N 3 q 2 Dynamique de codage : Pc B = 22N 3 2 = Université de Rouen L3 EEA-GEII 16/29

21 Conséquences de la quantification d un signal Quantification par arrondi Erreur de quantification x q (t) = x(t) + ɛ q (t) Amplitude max sans écrêtage A N = 2 N 1 q xq(t) xq(t) B = 1 τ Puissance tde l erreur Puissancet de crête τ/2 τ/2 ɛ q(t) 2 dt = q2 12 P c = A2 N 2 = 2 2N 3 q 2 Dynamique de codage : Pc B = 22N 3 2 = Université de Rouen L3 EEA-GEII 16/29

22 Échantilonnage d un signal Pas d échantillonnage T e, fréquence d échantillonnage F e Représentation temporelle x e (t) = k x(kt e )δ(t nt e ) = x(t) porte Te (t) Représentation fréquentielle X e (ν) = X(ν) F e δ(ν nf e ) n Université de Rouen L3 EEA-GEII 17/29

23 Échantilonnage d un signal : repliement du spectre Université de Rouen L3 EEA-GEII 18/29

24 Échantilonnage d un signal : Théorème de Shannon Critère de Shannon : un spectre de fréquence maximale F m doit être échantillonné à une fréquence minimale de 2F m pour ne pas subir de repliement. F e > 2F m Il peut alors être reconstitué exactement grâce à l interpolateur idéal de Shannon x(t) = k= x(kt e ) sin(π(t/t e k)) π(t/t e k) Conséquence : toujours placer un filtre AR avant le convertisseur A/N!! Université de Rouen L3 EEA-GEII 19/29

25 Transformée de Fourier d un signal numérique Les intégrales deviennent des sommes : Transformée de Fourier X(f) = x(kt e )exp( 2πi f kt e ) k= Intégrales mte x(t)dt nt e k=n m x(kt e )T e Produits de convolution x(t) y(t) x(kt e )y((n k)t e )T e k= Périodicité : X(f) = X(f + F e ) Université de Rouen L3 EEA-GEII 20/29

26 Transformée de Fourier d un signal numérique Les intégrales deviennent des sommes : Transformée de Fourier continue en f X(f) = x(kt e )exp( 2πi f kt e ) k= Intégrales mte x(t)dt nt e k=n m x(kt e )T e Produits de convolution x(t) y(t) x(kt e )y((n k)t e )T e k= Périodicité : X(f) = X(f + F e ) Université de Rouen L3 EEA-GEII 20/29

27 Transformée de Fourier Discrète Objectif Manipuler numériquement la représentation fréquentielle de X(f). Échantillonnage du spectre Discrétisation de l intervalle [0, F e ] en N points : f n = n N F e, n = 0,..., N 1 Période d échantillonnage en fréquence : X(n f) = f = f n+1 f n = F e n x(k)exp( 2πi nf e N kt e) = k= k= Université de Rouen L3 EEA-GEII 21/29 x(k)exp( 2πi kn N )

28 Transformée de Fourier Discrète Objectif Manipuler numériquement la représentation fréquentielle de X(f). Échantillonnage du spectre Discrétisation de l intervalle [0, F e ] en N points : f n = n N F e, n = 0,..., N 1 Période d échantillonnage en fréquence : X(n f) = f = f n+1 f n = F e n x(k)exp( 2πi nf e N kt e) = k= k= Université de Rouen L3 EEA-GEII 21/29 x(k)exp( 2πi kn N )

29 Conséquences de l échantillonnage du spectre Regardons le signal x(kt e ) sur l intervalle de temps [0, (N 1)T e ], i.e. k = 0,..., N 1 : Transformée de Fourier Discrète et son inverse Transformée de Fourier Discrète (TFD) : X(n f) = N 1 x(k)exp( 2πi kn N ) Transformée de Fourier Discrète Inverse (TFDI) : x(kt e ) = 1 N N 1 n=0 X(n f)exp(2πi kn N ) Université de Rouen L3 EEA-GEII 22/29

30 Interprétation des TFD/TFDI Comment X(n f) approxime-t-elle X(f)? X(f) = x(t)exp(f t)dt Formule des rectangles, intervalles de durée T e : N 1 X( f) T e x(kt e )exp( nk N k) T e Comment x(kt e ) approxime-t-elle x(t)? x(t) = Fe 0 X(f)exp(2iπf t)df T F D( f) Formule des rectangles, intervalles de durée f = F e /N : x(kt e ) F e N N 1 n=0 X(n f)exp(2πi kn N ) F e T F DI Université de Rouen L3 EEA-GEII 23/29

31 Un peu de vocabulaire et de propriétés Vocabulaire Fréquences harmoniques de la TFD : f n = n f Durée du signal : N N représente à la fois le nombre d échantillons temporels et fréquentiels. Propriétés de la TDF Mêmes propriétés qu une TF en général Périodicité fréquentielle X(n f) = X(n f + F e ), X(ν = n/n) = X(ν + 1). Périodicité temporelle de la durée du signal due à l échantillonnage fréquentiel Université de Rouen L3 EEA-GEII 24/29

32 Retour en images : Echantillonnage temporel Université de Rouen L3 EEA-GEII 25/29

33 Retour en images : Restricition du signal à [0, (N 1)T e ] Université de Rouen L3 EEA-GEII 26/29

34 Retour en images : TFDI Conséquence de la discrétisation du spectre Risque de repli dans la représentation temporelle Université de Rouen L3 EEA-GEII 27/29

35 Retour en images : TFDI Conséquence de la discrétisation du spectre Risque de repli dans la représentation temporelle Université de Rouen L3 EEA-GEII 27/29

36 Transformée de Fourier Rapide (Cooley-Tuckey 1965) Objectif Algorithme efficace pour calculer X(n) = N 1 kn x(k)exp( N ). Sans algo efficace : N 2 multiplications complexes, N(N 1)additions complexes. Fast Fourier Transform : N 2 log 2(N)multiplications complexes. Si N = 2 l, on va décomposer le calcul de la TFD en l étapes successives : X(n) = x(2k)exp( 2kn N ) (2k + 1)n + x(2k + 1)exp( ) N }{{}}{{} pairs impairs Université de Rouen L3 EEA-GEII 28/29

37 Transformée de Fourier Rapide (Cooley-Tuckey 1965) X(n) = X(n) = X(n) = 2kn x(2k)e N + 2kn x(2k)e N + e n N (2k+1)n x(2k + 1)e N kn x(2k)e N/2 + e n N X(n) = T F D pairs (n) + ω n NT F D impairs (n) 2kn x(2k + 1)e N kn x(2k + 1)e N/2 où ω N = e /N : fractions du cercle unité. Université de Rouen L3 EEA-GEII 29/29

38 Transformée de Fourier Rapide (Cooley-Tuckey 1965) X(n) = X(n) = X(n) = 2kn x(2k)e N + 2kn x(2k)e N + e n N (2k+1)n x(2k + 1)e N kn x(2k)e N/2 + e n N X(n) = T F D pairs (n) + ω n NT F D impairs (n) 2kn x(2k + 1)e N kn x(2k + 1)e N/2 où ω N = e /N : fractions du cercle unité. Université de Rouen L3 EEA-GEII 29/29

39 Transformée de Fourier Rapide (Cooley-Tuckey 1965) X(n) = X(n) = X(n) = 2kn x(2k)e N + 2kn x(2k)e N + e n N (2k+1)n x(2k + 1)e N kn x(2k)e N/2 + e n N X(n) = T F D pairs (n) + ω n NT F D impairs (n) 2kn x(2k + 1)e N kn x(2k + 1)e N/2 où ω N = e /N : fractions du cercle unité. Université de Rouen L3 EEA-GEII 29/29

40 Transformée de Fourier Rapide (Cooley-Tuckey 1965) X(n) = X(n) = X(n) = 2kn x(2k)e N + 2kn x(2k)e N + e n N (2k+1)n x(2k + 1)e N kn x(2k)e N/2 + e n N X(n) = T F D pairs (n) + ω n NT F D impairs (n) 2kn x(2k + 1)e N kn x(2k + 1)e N/2 où ω N = e /N : fractions du cercle unité. Université de Rouen L3 EEA-GEII 29/29