PROPORTIONS (3) CALCUL ALGEBRIQUE (1)

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1 PROPORTIONS (3) Représentation graphique Si on représente des suites de nombres par un graphique, on reconnaît des suites proportionnelles au fait que les points sont alignés avec l'origine. Ex x y 3,2 4 6,4 8 Fractions et proportions Si deux suites de nombres sont proportionnelles, on peut écrire des égalités de fractions : Le tableau de a b c proportion donne l'égalité a b d e f d = c e = f Problèmes de vitesse A vitesse constante, distance parcourue et temps sont proportionnels. Formules d = vt ou v = d (d = distance, v = vitesse, t = temps) t Unités : une vitesse peut se compter en km/h (ou km.h -1 ), m/s (ou m.s -1 ) Exemple 1 : à la vitesse de 5 km/h, calculer la distance parcourue en 40 min Méthode 1 1 h ou 60 min 5 km 10 min 5 6 km 40 min 4 5 km 3,3 km 6 Méthode 2 : 40 min = h d = vt = ,3 km 60 Exemple 2 : J'ai parcouru 12 km en 2h 40min. Calculer la vitesse moyenne en km/h et en m/s. 2h 40 min = 120 min + 40 min = 160 min Méth 1 12 km 160 min m 160 min 0,75 km 1 min 750 m 1 min 4,5 km 60 min 12,5 m 1 s On obtient 4,5 km/h On obtient 12,5 m/s Méth 2 : avec d = m et t = 9600 s (160 60) ; v = d t m/s) = = 12, 5 (en CALCUL ALGEBRIQUE (1) Priorités opératoires Ordre de priorité dans un calcul sans parenthèses : 1) Puissances 2) Multiplications et divisions 3) Additions et soustractions Ex : = = 3-40 = -37 Suppression de parenthèses Suppression de parenthèses précédées d'un signe + : on ne change aucun signe. Ex : a + (b - c) = a + b - c ; a + (-b + c) = a - b + c Suppression de parenthèses précédées d'un signe - : Première méthode : - A = -1 A Ex : a - (b-c) = a -1 (b - c) = a - b + c ; a - (-b+c) = a -1 (-b + c) = a + b - c Deuxième méthode : - A = + Opp (A) Ex : a - (b-c) = a + (-b + c) = a - b + c ; a - (-b+c) = a + (b - c) = a + b - c Calcul littéral Sommes : 2a + 3a = 5a ; 2a + 3b ne peut pas s'écrire plus simplement Produits : 2a 3a = 6a² ; 2a 3b = 6ab ; 2y 3y = 6y² ; Distributivité et développement a (b + c) = a b + a c Ex : a (a + 3) = a a + a 3 = a² + 3a Double distributivité : (a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d Ex : (x + 1)(y + 3) = xy + 3x + y + 3 (a - 7)(a - 8) = a² - 8a - 7a + 56 = a² - 15a + 56 (3x + 2)(5x - 7) = 15x² - 21x + 10x - 14 = 15 x² - 11x - 14 Distributivité et factorisation a b + a c = a (b + c) On a mis "a" en facteur Ex : 3a + 3b = 3(a + b) ; 6x² - 8x = 2x(3x - 4)

2 CALCUL ALGEBRIQUE (2) RACINES CARREES Distributivité et factorisation (suite) 4x(x-5) + (2x+1)(x-5) = (x-5)[4x+(2x+1)] = (x-5)(4x+2x+1) = (x-5)(6x+1) : on a mis (x-5) en facteur. Egalités remarquables et développement (a + b) 2 = a² + 2ab + b² (a - b) 2 = a² - 2ab + b² (a + b) (a b) = a² - b² Ex : (x + 7)² = x² + 14x + 49 (3x 1)² = 9x² - 6x + 1 (5x + 10) ( 5x 10) = 25x² - 10 Egalités remarquables et factorisation a² + 2ab + b² = (a + b) 2 a² - 2ab + b² = (a - b) 2 a² - b² = (a + b) (a b) Ex : x² + 6x + 9 = (x + 3)² 4x² - 4x + 1 = (2x 1)² x² - 25 = (x + 5) (x 5) 4x² - 7 = (2x + 7) (2x 7) Produit nul Si A B = 0 alors A = 0 ou B = 0 : si un produit est nul, alors un des facteurs est nul. Si A = 0 ou B = 0, alors A B = 0 Application : résolution d'équation Ex Si (3x + 2)(x 4) = 0 alors 3x + 2 = 0 ou x 4 = 0 x = ou x = 4 Exemples : 25 = 5 car 5² = 25 ; = 3 10 car x doit être positif ou nul pour que x soit défini. x est aussi un nombre positif ou nul. Equations de la forme x² = a x² = -5 : aucune solution x² = 5 : deux solutions, x = 5 ou x = - 5 Propriétés : Si a et b sont deux nombres positifs ou nuls, a² = a ; ( a) 2 = a ; a b = a b ; Attention a + b n'est pas égal à a + b 3 10 a b = Ecriture sous la forme a b : 12 = 4 3 = 4 3 = 2 3 Additionner des racines : = = = = = 16 3 Supprimer une racine carrée au dénominateur : 32 = = Exemple de développement : 2 = a b (b 0) 5 3 ( ) = = = L'équation admet deux solutions 2 et 4. 3

3 STATISTIQUES Exemple de série statistique (Notes obtenues lors d'un contrôle avec 17 élèves) : Pour un note donnée, par exemple 14, on peut donner : - son effectif : 3 (il y a 3 notes de 14) - sa fréquence : 3 0,18 ou 18% 17 Pour la série, on peut calculer : ( ) - la moyenne : 12, la médiane : 13 (note du 9ème élève ici) - son étendue : 17 5 = 12 On peut regrouper les notes n par "classe" note 0 n 5 5 n n n 20 effectif tableau 1 On peut calculer des effectifs cumulés croissants : note n 5 n 10 n 15 n 20 effectif tableau 2 On peut représenter graphiquement cette série (tableau 1) : - par un histogramme : - par un diagramme circulaire ( ) Diviseurs DIVISEURS (a et b sont ici des nombres entiers) 7 est un diviseur de 42 car 42 : 7 = 6 (ou 42 = 6 7) a est un diviseur de b si le quotient de b par a est un nombre entier PGCD PGCD = Plus Grand Commun Diviseur Le PGCD de a et a est a. Ex PGCD (12 ; 12) = 12 Si a est un diviseur de b, le PGCD de a et b est a Ex : PGCD (6 ; 30) = 6 Le PGCD de a et b est égal au PGCD du plus petit et de leur différence Ex PGCD (100 ; 180) = PGCD (100 ; 80) = PGCD (80 ; 20) = 20 Pour trouver le PGCD de deux nombres avec l'algorithme d'euclide, on cherche le PGCD du plus petit des nombres et de leur différence jusqu'à ce que l'on obtienne un PGCD facile à trouver (lorsqu'un nombre est un diviseur de l'autre). Nombres premiers entre eux Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1 (1 est alors leur seul diviseur commun). Fraction irréductible Une fraction est irréductible si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux. On ne peut donc plus la simplifier. ( ) Calculs pour le diagramme circulaire : Nombre d'élèves Angle 360

4 FONCTIONS LINEAIRES ET AFFINES Fonctions linéaires Une fonction linéaire f est de la forme : f(x) = ax On peut aussi noter : x ax Remarque : si une fonction f est linéaire, alors f(x) est proportionnel à x. Fonctions affines Une fonction affine f est de la forme : f(x) = ax + b On peut aussi noter : x ax + b Remarques Les fonctions linéaires sont des cas particuliers de fonctions affines. Si une fonction f est affine, alors les accroissements de f(x) sont proportionnels aux accroissements de x. Si f(x) = ax+b et si x 1 et x 2 sont deux nombres distincts : a = f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 Représentations graphiques La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite. Si f(x) = ax + b, l'équation de la droite est y = ax + b a s'appelle le coefficient directeur de la droite (si x augmente de 1, y varie de a) b s'appelle l'ordonnée à l'origine. Pour tracer la représentation graphique d'une application affine, il suffit de déterminer les coordonnées de deux points. Un troisième est conseillé pour vérifier. Ex f(x) = 1 2 x 2 x f(x) INEQUATIONS On peut multiplier ou diviser par un même nombre NEGATIF chaque membre d'une inéquation A CONDITION de changer le sens de l'inégalité (< > et > <). Ex -3x < 30 x > 30-3 x > -10 Les autres propriétés sont semblables à celles sur les équations. On résout une inéquation du 1er degré à une inconnue comme une équation SAUF si l'on doit diviser ou multiplier par un négatif. Exemple 3x + 7 < 5x + 1 3x 5x < 1 7-2x < -6 x > -6-2 x > 3 Représentation des solutions sur une droite graduée :

5 2x + 3y = 7 x y = 6 SYSTEME DE DEUX EQUATIONS A DEUX INCONNUES. est un système de deux équations à deux inconnues. Résoudre un système de deux équations à deux inconnues c'est trouver le couple (x ; y) pour lequel les deux équations sont vérifiées simultanément. Méthode de résolution par substitution On exprime x en fonction de y (ou y en fonction de x) avec l'une des équations puis on remplace x (ou y) par l'expression trouvée dans l'autre équation. Exemple : résoudre le système 2x + 3y = 7 (1) x y = 6 (2) Dans l'équation (2), exprimons x en fonction de y : x = 6 + y (3) Dans l'équation (1) remplaçons x par (6 + y) 2(6 + y) + 3y = y + 3y = y = 7 5y = y = -5 d'où y = -1 Dans l'équation (3) remplaçons y par -1 : x = 6-1 = 5 Conclusion : x = 5 et y = -1 Vérifions : Remplaçons x par 5 et y par -1 dans les deux équations (-1) = 10-3 = 7 et 5 (-1) = = 6 Donc le couple (5 ; -1) est bien solution du système. Interprétation graphique. Résoudre graphiquement un système de deux équations c'est trouver le couple (x ; y) coordonnées du point d'intersection des représentations graphiques des deux fonctions affines associées à chacune des équations du système. Ex : dans chacune des équations du système, exprimons y en fonction de x : 2x + 3y = 7 3y = -2x + 7 y = -2x + 7/3 y = -2 3 x x y = 6 -y = -x + 6 y = x 6 Représentons les fonctions affines : f(x) = -2 3 x et g(x) = x 6 Les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites semblent être (5 ; -1). On peut vérifier que le couple (5 ; -1) est solution du système.

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