Bases du raisonnement

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1 02 Cours - Bases du raisonnement.nb 1/13 Bases du raisonnement I) Préambule 1) De l obscurité à la lumière, ou encore les quatre paliers de la compréhension 2) La langue mathématique: une vraie langue étrangère II) Raisonnement ou calcul? III) Assertion mathématique 1) Définition, assertion, démonstration 2) Vraie ou fausse 3) Remarques importantes IV) Opérations sur les assertions 1) Négation 2) Et 3) Ou 4) Négation d un et et d un ou 5) Distributivté du ou par rapport au et ainsi que du et par rapport au ou 6) Implication 7) ATTENTION au sens de donc 8) Equivalence 9) Exercices V) Raisonnements par la négative 1) Raisonnement par contraposée 2) Raisonnement par l absurde 3) Exercices VI) Raisonnement par analyse - synthèse 1) Présentation 2) Exemples VII) Quantificateurs 1) Il existe 2) Quel que soit (ou pour tout) 3) Négation d assertions quantifiées 4) Contre-exemple 5) Exercices VIII) Raisonnement par disjonction de cas 1) Présentation 2) Disjonction en deux cas ou en plusieurs cas 3) Exemples IX) Raisonnement par récurrence 1) Théorème 2) Rédaction 3) Exemples

2 02 Cours - Bases du raisonnement.nb 2/13 Proverbe: ce qui est compris doit pouvoir être expliqué clairement. I) Préambule 1) De l obscurité à la lumière, ou encore les quatre paliers de la compréhension Que les mathématiques en soient ou non l objet, imaginons une situation de transmission de savoir, par exemple un professeur et un élève. Le professeur essaie de faire comprendre quelque chose à l élève: une définition, un raisonnement,... L élève peut alors être dans un des quatre états suivants: 1) Il ne se rend pas compte qu il ne comprend pas. Il a l impression de comprendre, mais en réalité ne comprend pas. C'est pour l'élève un état bienheureux, et pour le professeur le pire des cas. 2) Il ne comprend pas, réalise qu il ne comprend pas, mais ne peut expliquer ce qu il ne comprend pas. C'est pour l'élève une situation douloureuse (Quelle aide peut-il demander, quelle question peut-il poser à son professeur?) et pour le professeur le début de l'espoir: l'élève qui souffre finira par demander, même maladroitement, de l'aide et le professeur pourra l'aider à essayer de cerner ce qui lui pose problème. 3) Il ne comprend pas mais peut expliquer exactement ce qu il ne comprend pas. L élève peut poser une question précise à laquelle le professeur apportera une réponse qui normalement règlera le problème. C est une situation presque idéale. 4) Il a parfaitement compris et peut l expliquer à son tour à autrui. 2) La langue mathématique: une vraie langue étrangère Une grande partie des difficultés qu ont les élèves puis les étudiants en mathématiques vient du fait qu ils comprennent mal le sens de ce qui est écrit dans leur cours ou dans l énoncé d un problème. Ce cours et ces énoncés sont écrits en français (par exemple), mais les mots n ont parfois pas le même sens en mathématiques et dans la langue française usuelle. Par exemple des mots clés comme donc, ou, supérieur, il existe, n ont pas la même signification. Tant que la séparation n est pas claire et nette entre langue française et langue mathématique, les difficultés persistent. La langue mathématique, même lorsqu elle utilise peu de symboles, est une langue étrangère qu il faut apprendre comme telle.

3 02 Cours - Bases du raisonnement.nb 3/13 II) Raisonnement ou calcul? Une assertion (ou encore affirmation) mathématique a une valeur boléenne. Elle est vraie ou fausse. Un raisonnement mathématique est un calcul sur des assertions. Tout comme dans un calcul sur des nombres, les procédures doivent être rigoureusement appliquées pour que le raisonnement soit validé. On peut faire un parallèle entre le calcul usuel sur des nombres et le raisonnement mathématique. Dans un calcul usuel : (1) On travaille sur des nombres (2) L objectif est de calculer un nombre (le résultat du calcul) (3) On utilise des opérateurs (par exemple l addition) (4) On applique les règles de calcul (par exemple a b + c d = a d+b c ) b d Dans un raisonnement: (1) On travaille sur des assertions (2) L objectif est de démontrer une assertion (3) On utilise des opérateurs (par exemple l implication) (4) On applique les règles de logique (par exemple si A est vraie et A fl B est vraie alors B est vraie) III) Assertion mathématique 1) Définition, assertion, démonstration Une définition (comme dans la langue usuelle) permet de condenser en un mot plusieurs propriétés caractéristiques, pour un certain type d'objet mathématique. Une définition ne se démontre pas. Une assertion (ou affirmation) mathématique est un énoncé portant sur des objets mathématiques, exprimée à l aide du langage mathématique (mots ou symboles). Pour être validée, une assertion mathématique doit être démontrée. Démontrer une assertion mathématique c est produire, en les justifiant avec les règles de logique, une suite d assertions mathématiques vraies aboutissant à la preuve que l assertion est vraie. 2) Vraie ou fausse? Une assertion (lorsquelle a un sens) a une valeur booléenne. A condition qu elle ait un sens (mathématique), une assertion mathématique est VRAIE ou (exclusif) FAUSSE. Une assertion (mathématique) n est JAMAIS parfois vraie, parfois fausse. Si vous pensez que c est le cas, c est que votre assertion n a pas de sens mathématique.

4 02 Cours - Bases du raisonnement.nb 4/13 3) Remarques importantes (1) Pour la langue française, une assertion (ou assertion) est par définition vraie pour celui qui l énonce, (si ce n est pas un menteur...). Le mot assertion n a donc pas le même sens en mathématiques que dans la vie courante. (2) Les propositions et les théorèmes sont des assertions mathématiques. Avant d accepter pour vrai un théorème ou une proposition, il faut le ou la démontrer. IV) Opérations sur les assertions 1) Négation Etant donné une assertion mathématique A, on définit son contraire non A par: non A est vraie lorsque A est fausse et non A est fausse lorsque A est vraie. b) Démonstration Pour prouver que l assertion non A est vraie, il faut démontrer que A est fausse 2) Et Etant données deux assertions mathématiques A et B, on définit l assertion (A et B) par: (A et B) est vraie signifie que A est vraie et B est vraie. b) Démonstration Pour prouver que l assertion (A et B) est vraie, on doit: (1) démontrer que A est vraie (2) démontrer que B est vraie 3) Ou Etant données deux assertions mathématiques A et B, on définit l'assertion (A ou B) par: (A ou B) est vraie signifie que A est vraie ou (inclusif) B est vraie. (Les deux peuvent être vraies) b) ATTENTION Le "ou" mathématique est un "ou" INCLUSIF alors que le ou de la langue courante est presque toujours un ou exclusif, sauf mention expresse.

5 02 Cours - Bases du raisonnement.nb 5/13 c) Démonstration Pour prouver que l assertion (A ou B) est vraie, on peut: (1) démontrer que l une au moins des deux assertions A ou B est vraie (2) ou encore démontrer que si A est fausse, alors B est vraie (3) ou encore démontrer que si B est fausse, alors A est vraie 4) Négation d un et et d un ou non (A et B) = (non A ou non B) et non (A ou B) = (non A et non B) 5) Distributivté du ou par rapport au et ainsi que du et par rapport au ou Pour toutes les assertions A,B,C, on a: (1): A ou (B et C) = (A ou B) et (A ou C) ( ou est distributif par rapport à et ) (2): A et (B ou C) = (A et B) ou (A et C) ( et est distributif par rapport à ou ) 6) Implication Etant données deux assertions A et B, on définit l'implication de B par A, que l'on note A fl B par: A fl B = (non A ou B). b) Démonstration Pour prouver que l implication A fl B est vraie, on peut: (1) démontrer que l une au moins des deux assertions non A ou B est vraie (2) ou encore démontrer que si A est vraie, alors B est vraie (c est le raisonnement habituel) (3) ou encore démontrer que si B est fausse, alors A est fausse (c est le raisonnement par contraposée) c) Faux implique n importe quoi est une implication vraie C est un peu curieux, mais: Si l assertion A est fausse, alors l implication A fl B est vraie, que B soit vraie ou fausse d) Négation d une implication Les règles de négation d un ou donnent: non (A fl B) = (A et non B). Pour prouver que l implication A fl B est fausse, on doit prouver que (A et non B) est vraie, c est à dire trouver un exemple de situation où A est vraie et B est fausse.

6 02 Cours - Bases du raisonnement.nb 6/13 e) Réciproque d une implication La réciproque de l implication A fl B est l implication B fl A. 7) ATTENTION au sens de donc Les mathématiciens utilisent indifféremment les termes implique et donc : c est une source d ennuis pour tous ceux qui ont oublié que la langue mathématique est une langue étrangère... En mathématiques, A donc B signifie que B est une conséquence logique obligatoire de A. Dans la langue usuelle, A donc B signifie que B est une conséquence temporelle possible de la cause A. Par exemple, quel rapport y-a-t-il entre la pluie et l ouverture du parapluie? En français, on dira: Il pleut donc j ouvre mon parapluie. L ouverture du parapluie est une conséquence possible (on n est pas obligé de l ouvrir) du fait qu il pleut. En mathématiques, on dirait: J ouvre mon parapluie donc il pleut. La pluie est une conséquence logique obligatoire (à moins d être fou) de l ouverture du parapluie. De plus, l implication réciproque d un donc français n a pas de sens: le temps s écoule dans un seul sens. Par contre, l implication réciproque d un donc mathématique peut être vraie: il n y a pas de temps dans le monde de la logique. 8) Equivalence Etant données deux assertions A et B, on définit l équivalence de A et B, que l on note A ñ B par: A ñ B = (A fl B et B fl A) b) Démonstration Pour prouver que l équivalence A ñ B est vraie, on doit: (1) démontrer que l implication A fl B est vraie (c est l implication directe) (2) démontrer que l implication B fl A est vraie (c est l implication réciproque) c) Quel est le sens du célèbre si et seulement si (1) A si B signifie B fl A (2) A seulement si B signifie non B fl non A, c est à dire (non(non B) ou non A), ou encore (B ou non A), ou encore A fl B On peut donc en conclure que: A ñ B peut se traduire par A si et seulement si B d) Négation d une équivalence Les règles de négation d un ou donnent: non (A ñ B) = (non(a fl B) ou non(b fl A)). Pour prouver que l équivalence A ñ B est fausse, on doit prouver que l une des deux implications A fl B ou B fl A est fausse.

7 02 Cours - Bases du raisonnement.nb 7/13 9) Exercices a) Est-ce que: (A fl (B ou C)) ñ ((A et non B) fl C)? b) Soient a et b deux entiers naturels quelconques. Quelles implications y-a-t-il toujours entre les assertions: A: a + b est pair B: a - b est pair C: aäb est impair D: a et b sont impairs E: a ou b est pair V) Raisonnements par la négative 1) Raisonnement par contraposée Ce raisonnement permet de démontrer l implication A fl B en démontrant l implication non B fl non A. En effet: (non B fl non A) = (non(non B) ou non A) = (B ou non A) = (A fl B) On dit que l implication non B fl non A est la contraposée de l implication AflB. 2) Raisonnement par l absurde Ce raisonnement sophistiqué permet de démontrer une assertion. Son principe est le suivant: on veut démontrer une assertion A. Si on peut trouver une assertion B telle que (non A fl B) et (non A fl non B), alors A est vraie (sinon A est fausse et B serait vraie et fausse à la fois, ce qui est impossible). 3) Exercices a) Démontrer (par contraposée) que si le carré d une entier naturel n est pair, alors n est pair. b) Démontrer (raisonner par l absurde) que 2 est un nombre irrationnel.

8 02 Cours - Bases du raisonnement.nb 8/13 VI) Raisonnement par analyse - synthèse 1) Présentation Ce mode de raisonnement est presque toujours utilisé lorsqu on doit résoudre un problème qui se ramène à: Trouver tous les objets x de l ensemble E vérifiant la propriété P Il se déroule en deux temps: a) La phase d analyse On prend un objet x de l ensemble E vérifiant la propriété P, et on essaie par déductions de réduire au maximum le domaine des objets x possibles. On obtient finalement un certain ensemble (qui doit être le plus petit possible) de candidats x solutions du problème. b) La phase de synthèse On teste, parmi les candidats x restant après la phase de synthèse a), lesquels (il peut y en avoir aucun, un, plusieurs ou une infinité) vérifient effectivement la propriété P. Ceux qui restent constituent l ensemble des solutions du problème posé. c) Rédaction (1) Analyse: Soit x œ E vérifiant P. Alors... Alors Alors x est dans le sous ensemble F de E. A ce moment, on peut juste affirmer que toutes les solutions du problème posé sont dans l ensemble F. Mais il se peut que certains éléments x de F ne soient pas solutions. On a donc besoin de faire la synthèse. (2) Synthèse: Soit x dans l'ensemble F: est-ce que x vérifie P? Si oui, il est solution. 2) Exemples a) Calculer la limite (si elle existe) de la suite Hu n L définie par u 0 = 1 et " n œ, u n+1 = 6 + u n. b) Trouver toutes les fonctions f : ö dérivables sur qui vérifient: " a, b œ, f Ha + bl = f HaL + f HbL

9 02 Cours - Bases du raisonnement.nb 9/13 c) Prouver que toute fonction f : ö peut s écrire de manière unique comme la somme d une fonction paire et d une fonction impaire. VII) Quantificateurs 1) $ : il existe Soit A (x) une assertion mathématique dépendant d' une variable x appartenant à un ensemble E. ($ x œ E / A (x)) signifie (et se lit) : il existe x appartenant à E tel que l' assertion A (x) est vraie. b) Démonstration Pour prouver que l assertion ($ x œ E / A(x)) est vraie on peut: (1) ou bien citer explicitement un élément x 0 de E tel que l assertion A Hx 0 L est vraie, en le justifiant. (2) ou bien démontrer qu un tel élément x 0 existe, en utilisant pour celà un théorème d existence approprié. c) Exemples a) Prouver qu il existe un réel x œ [0,1] tel que cos(x) = x b) Prouver qu il existe deux irrationnels strictement positifs dont la somme soit rationnelle.

10 02 Cours - Bases du raisonnement.nb 10/13 2) " : Quel que soit (ou pour tout) Soit A(x) une assertion mathématique dépendant d'une variable x appartenant à un ensemble E. (" x œ E, A(x)) signifie (et se lit) : pour tout x appartenant à E, l'assertion A(x) est vraie. b) Démonstration Pour démontrer que l'assertion (" x œ E, A(x)) est vraie, on doit: (1) "Prendre" un x quelconque dans E : " Soit x œ E ". (2) Justifier que pour cet x quelconque l'assertion A(x) est vraie : " Démontrons A(x) " c) Exemple Prouver que " a œ *+, a + 1 a r 2. En déduire que " a, b, c œ +*, A = b + c, B = a + c, C = a + b ). a b+c + b a+c + c a+b r 3 2. (Poser 3) Négation d assertions quantifiées (1) non ($ x œ E / A(x)) = ( " x œ E, non A(x) ) (2) non (" x œ E, A(x)) = ( $ x œ E / non A(x) ) 4) Contre-exemple Pour prouver que (" x œ E, A(x)) est fausse, on doit prouver ($ x œ E / non A(x)), c est à dire (très souvent) trouver un exemple de valeur de x œ E pour laquelle A(x) est fausse. Un tel exemple s appelle un contre exemple. 5) Exercices a) Soit f : Ø. Ecrire la négation de: A : " x, y œ, f HxL = f HyL fl x = y et B : " y œ, $ x œ ê f HxL = y.

11 02 Cours - Bases du raisonnement.nb 11/13 La fonction f : Ø définie par f HxL = x 3-3 x vérifie-t-elle A? vérifie-t-elle B? b) Les assertions (1) : " a, b œ *, a b + 1 r a + b et (2) : " a, b œ +*, a b + 1 r a + b sont-elles vraies? VIII) Raisonnement par disjonction de cas 1) Présentation L idée, vieille comme le monde, est de diviser pour régner. Le raisonnement par disjonction de cas peut s utiliser lorsque: (1) on doit démontrer une assertion du type " x œ E, A(x) (2) on doit résoudre un problème P(x) (par exemple une équation) dépendant d un élément (un paramètre) x dans un ensemble E et que les justifications diffèrent suivant les valeurs de x œ E. 2) Disjonction en deux cas ou en plusieurs cas a) Disjonction en deux cas (1) Si E 1 E 2 = E, alors H" x œ E, A HxLL ñ H" x œ E 1, A HxLL et H" x œ E 2, A HxLL (2) Si E 1 E 2 = E, alors la résolution du problème P(x) avec x œ E se ramène à la résolution des problèmes P(x) avec x œ E 1 et de P(x) avec x œ E 2 b) Disjonction en n cas (1)Si E 1 E 2... E n = E, alors H" x œ E, A HxLL ñ H" x œ E 1, A HxLL et H" x œ E 2, A HxLL et... et (2) De même pour le problème P(x) avec x œ E H" x œ E n, A HxLL c) Remarque Les ensembles E 1, E 2 ou E 1, E 2,.., E n peuvent être deux à deux disjoints, mais ce n est pas nécessaire. 3) Exemples a) Prouver que " n œ, A n = n Hn + 10L Hn + 20L est divisible par 3

12 02 Cours - Bases du raisonnement.nb 12/13 b) Prouver que " a œ + a, lim n -1 nø+ a n +1 existe. n c) Simplifier S Hn, xl = S x k pour n œ * et x œ. k=1 d) Soit y œ. Résoudre dans l équation d inconnue x : y x 2 + x Hy + 1L - 1 = 0 e) Résoudre dans l équation a 2 + b 2 = 4 c + 3. IX) Raisonnement par récurrence 1) Théorème Soit P(n) une assertion dépendant d un entier naturel n. Alors: Version française: Si P(0) est vraie et si pour tout entier n l implication P(n) fl P(n+1) est vraie alors pour tout entier n l assertion P(n) est vraie. Version symbolique: : P H0L " n œ, P HnL fl P Hn + 1L fl " n œ, P HnL 2) Rédaction ( Les mots clés en gras doivent apparaître ) On démontre par récurrence la propriété P HnL. Initialisation: P H0L est vraie car... Transmission: Soit n œ. On suppose que P HnL est vraie. Montrons que P Hn + 1L est vraie.... (Ou encore: On suppose que P HnL est vraie pour un entier n et on montre que P Hn + 1L est vraie ) Conclusion: " n œ, P HnL est vraie. Au cours de la transmission, indiquer clairement, avec par exemple HR, le moment où l on utilise l hypothèse de récurrence.

13 02 Cours - Bases du raisonnement.nb 13/13 3) Exemples a) On pose pour n œ * n : S HnL = S k 3. Calculer S HnL pour n b 5, deviner l expression simplifiée de S HnL et le démontrer par k=1 récurrence. n 2 k+2 b) Montrer par récurrence que " n œ, P k=0 2 k+1 > 2 n + 3