Ch. V DYNAMIQUE DU SOLIDE

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1 Ch. V DYNAMQUE DU SOLDE Dynamique : Etude d un mouvement en tenant compte des causes qui le produisent.. Actions mécaniques Action mécanique : toute cause (force, moment) capable de provoquer le mouvement d un système ou de le maintenir au repos. Deux catégories d actions mécaniques : à distance sans contact (champ de pesanteur, ) de contact (liaisons entre solides,..) Un système matériel (S) peut alors subir des forces: Ponctuelles : i appliquée au point M i N G (S) Exemple : et en T Réparties : = : densité massique de la force Exemple : = P α

2 Résultante générale des forces : Moment résultant en un point A : = i + = i i +. Torseur d action mécanique Relation de Chasles : = + Formule de transfert: = + Le moment résultant est antisymétrique de vecteur associé la résultante générale. On définit le torseur d action mécanique sur (S): = : Résultante générale : Moment résultant au point A.

3 Exemple Sphère (S) de rayon r sur le plan incliné Résultante : =++ = + + Moment résultant en G : O i 0 j 0 T G N = ++ = = = += += = = Le torseur des actions mécaniques en G: P α = + + Moment résultant en : = ++ = = += += Le torseur des actions mécaniques en : = + = + +

4 Les actions mécaniques peuvent être extérieures ou intérieures à (S) : = + Eléments de réduction au point A : = + =, +, Exemple : (S)=(S 1 ) U (S 2 ) au repos = = + Remarque : () = milieu extérieur à (S) (S 2 ) N 2 N 21 N 12 (S 1 ) N 1 (mur fixe) = = 2 P 2 1 N 3 Système à étudier : (S 1 ) ( ) = (S 2 ) U (mur fixe) U (plan incliné) P 1 α = + + +

5 . Torseurs particuliers d action mécanique 1. Couple : = A F G B F 2. Glisseur : = avec.= l existe au moins un point A: =. A est un point central et l axe central du glisseur est appelé la ligne d action de la force. V. Action à distance: le champ de pesanteur Résultante : === : Poids de (S) Moment résultant : = = = = =

6 V. Actions mécaniques de contact. Lois d Amontons-Coulomb 1. Torseur d action mécanique de contact = Résultante générale : O i 0 j 0 P G (S 1 ) α (S 1 ) : Composante normale (perpendiculaire au plan tangent π) π : Composante tangentielle (parallèle au plan π) C est une force de frottement qui s oppose au glissement. (S 2 )

7 Moment résultant : : Composante normale du moment résultant au point. On l appelle également moment de résistance au pivotement. : Composante tangentielle du moment résultant au point. On l appelle également moment de résistance au roulement. Dans la suite on négligera les frottements de roulement et de pivotement : Torseur d action mécanique de contact: Les actions de contact forment alors un glisseur au point de contact

8 2. Lois d Amontons-Coulomb Ce sont des lois expérimentales du frottement solide, déterminées par Amontons (1699) et Coulomb (1871) Vecteur résultante générale La résultante générale du torseur d actions mécaniques s écrit comme : =+ Composante normale : Le solide (S 1 ) ne peut pas pénétrer à l intérieur du solide (S 2 ), par contre il peut s en écarter. Sens : = Equilibre : Critère de maintien du contact. La liaison est unilatérale Si au cours du mouvement N = 0 : le contact cesse (rupture du contact) (S 1 ) R=N G (S 2 ) P

9 Composante tangentielle : On distingue deux cas : Absence de glissement : = = Equilibre R N pas de glissement. O : coefficient de frottement statique ou d adhérence Cône et angle de frottement T G Equilibre : = ϕ et = ϕ = P ϕ Soit l angle maximum pour lequel le glissement apparait : = R N = : angle de frottement La force est contenue à l intérieur d un cône, qui s appelle cône de frottement, de demi-angle au sommet T ϕ ϕ 0

10 Glissement : = = = Glissement apparaît. R N Alors: G 1. = 2.. < 3. = T max P : coefficient de frottement dynamique en R N : dépendent de la nature et de l état des surfaces (surfaces polies ou rugueuses, etc.) des deux solides en contact. T G Liaison parfaite : = et = P

11 V. Principe Fondamental de la Dynamique - Théorèmes Généraux 1. Enoncé du PFD: l existe au moins un repère, appelé repère galiléen, tel que : = Ou encore: =, 2. Théorème de la résultante dynamique ou du Centre d inertie : = 3. Théorème du moment dynamique : =,

12 Exemple : Sphère de rayon r sur l axe (O Torseur des actions mécaniques en G: = + + Torseur Dynamique : = Accélération du centre de masse G : = + = + = = =. =. = = = Torseur dynamique : = Egalité des résultantes : =+ = = + Egalité des moments au point G: =, = = O i 0 j 0 T P G N α

13 4. Théorème du moment cinétique Comme =, =, Cas particuliers : A est fixe dans () : =, A confondu avec G : =, Dans : =, Cette relation est valable que le référentiel barycentrique (R G ) soit galiléen ou non.

14 5. Système isolé Le système est dit isolé ou pseudo isolé si : = Le moment cinétique d un système isolé est une constante du mouvement. = On dit qu il y a conservation du moment cinétique de (S) au cours du mouvement 6. Système en équilibre Un système (S) est en équilibre dans si son torseur cinétique est nul : Conséquences : = Principe fondamental de la statique : = Repos (absence de mouvement) : =

15 7. Equilibrage Dynamique Afin d éviter la naissance de vibrations mécaniques qui peuvent créerr une détérioration rapide d un solide (S) tournant autour d un axe, il faut que les conditions d équilibrage dynamique suivantes soient satisfaites: Le centree d inertie G de (S) doit être sur l axe de rotation. C est la condition d équilibrage statique L axe de rotation doit être un axe principal d inertie pour (S) (E=D=F=0)

16 8. Equation de mouvement :,,, = =,.., Exemple : Equation de mouvement d un oscillateur harmonique linéaire : + = 9. ntégrale première du mouvement :,, = =,.., Exemple : ntégration de l équation de mouvement d un oscillateur harmonique: + = V. Théorème des actions mutuelles 1. Enoncé L action mécanique d un solide (S 1 ) sur un solide (S 2 ) est opposée à l action mécanique du solide (S 2 ) sur le solide (S 1 ) : = N 12 (S 2 ) N 21 (S 1 ) Conséquence Eléments de réduction : = = N 21 = N 12

17 2. Torseur d action mécanique intérieure à un système (S) Le torseur d action mécanique intérieure à un système (S) est un torseur nul : = Ou explicitement, en termes de ses éléments de réduction en un point A : =, = Preuve: (S)= (S 1 ) U (S 2 ), = + = V. PFD dans non Galiléen 1. Théorème. Avec = +, +,, =,, =, : Torseur dynamique des effets d inertie d entraînement : Torseur dynamique des effets d inertie de Coriolis

18 Preuve : = = Composition des vecteurs accélération : = + + = = Torseur dynamique des effets d inertie d entraînement :, = Torseur dynamique des effets d inertie de Coriolis : =,, = =,

19 2. en translation rectiligne uniforme par rapport à Tout repère en mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport à un repère galiléen est aussi un repère galiléen ; = Démonstration : Le référentiel d origine O est en translation par rapport à : = Mouvement rectiligne uniforme : = = Donc les torseurs dynamiques d inertie d entraînement et de Coriolis sont nuls :, =, =