Addition et soustraction de fractions

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1 Addition et soustraction de fractions Au cours de cette activité, l élève utilise du matériel concret pour représenter, additionner et soustraire des fractions. Pistes d observation L élève : utilise des fractions et des nombres repères pour estimer le résultat d une addition ou d une soustraction de fractions; résout des problèmes d addition et de soustraction de fractions : en représentant l opération à l aide de matériel concret ou illustré; en déterminant des fractions équivalentes pour obtenir des dénominateurs communs; en additionnant pour soustraire. Matériel requis PPcrayons-feutres à encre effaçable PPensembles de tours d équivalence ou de tuiles de fractions (un ensemble par élève) PPrétroprojecteur PPtours d équilavence ou tuiles de fractions transparentes pour le rétroprojecteur PP feuille Le trajet de Maryse (une copie par élève) PP transparent de la feuille Le trajet de Maryse PPfeuille Une comparaison de devoirs (une copie par élève) PPtransparent de la feuille Une comparaison de devoirs PP trousse du jeu Bingo (section Jeux Série ) (une trousse pour le groupe-classe) PP fiche Des sommes et des différences (une copie par élève) Déroulement Étape Présenter la mise en situation suivante. Même si cela devient de moins en moins courant depuis que nous avons adopté le Système international d unités de mesure (SI), il arrive parfois que nous devons effectuer des opérations sur les fractions dans des situations de la vie quotidienne. Dans certains livres de recettes, par exemple, on décrit les quantités des ingrédients à l aide de fractions ou, dans plusieurs magasins de rénovation, on décrit les matériaux de construction à l aide de fractions. Au cours de cette activité, nous découvrirons une stratégie de calcul qui nous permet d additionner ou de soustraire des fractions. Grouper les élèves en équipes de deux. Remettre à chaque équipe deux ensembles de tours d équivalence ou de tuiles de fractions. Note : Au cours de cette étape, nous utiliserons les tours d équivalence. Pour des tuiles de fractions, adapter le questionnement et les réponses. Numération et sens du nombre/mesure Module Série

2 Écrire, au tableau, le problème suivant. Thierry lit un roman policier. Au cours de la première journée, il lit un quart du livre. Pendant la seconde journée, il lit un autre quart du livre. Quelle partie du livre Thierry a-t-il lue? Demander aux élèves de lire le problème, d estimer la réponse et de résoudre le problème en utilisant les tours d équivalence de leur ensemble. Donner aux élèves le temps requis pour réaliser le travail. Questions à poser aux élèves Qu est-ce que l on cherche dans ce problème? On cherche la partie du livre que Thierry a lue au cours des deux jours. Comment peut-on représenter les données de ce problème à l aide d une opération? On peut écrire l addition +. Quelle tour d équivalence as-tu utilisée pour déterminer la somme? J ai utilisé deux blocs de la tour d équivalence jaune, car chaque bloc représente d une tour. Deux blocs représentent. Éléments à écrire au tableau Souligner la question. Écrire l addition. + Dessiner les deux blocs. Représentation symbolique : + Remettre à chaque élève la feuille Le trajet de Maryse. Projeter le premier problème du transparent de la feuille Le trajet de Maryse et le lire avec les élèves. Questions à poser aux élèves Qu est-ce que l on cherche dans ce problème? On cherche la partie du trajet qu a effectuée Maryse au cours d une journée. Comment peut-on représenter les données de ce problème à l aide d une opération? On peut écrire l addition +. Éléments à écrire au tableau Souligner la question. Écrire l addition. + En quoi l addition + est-elle différente de l addition +? Dans l addition +, les dénominateurs sont les mêmes, soit. Les fractions sont des quarts. Dans l addition +, les dénominateurs sont différents, soit et. Il y a des quarts et des huitièmes. Rappeler aux élèves que l estimation est très importante lorsqu on effectue des opérations sur les nombres. Elle permet d avoir une bonne idée de l ordre de grandeur de la réponse. Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 7 e année

3 Demander aux élèves d estimer la partie du trajet que Maryse a parcourue au cours de la journée? Voici un exemple de réponse possible : J ai estimé que la réponse est plus près de., et est près de + Alors, la somme doit être un peu moins que. Tracer, au tableau, une droite numérique, et situer la zone dans laquelle devrait se trouver la solution. 0 Selon notre estimation, la réponse doit être un peu moins que. Demander aux élèves : de déterminer une façon de résoudre le problème en utilisant les tours d équivalence; de représenter visuellement et symboliquement leurs solutions sur la feuille Le trajet de Maryse; d utiliser des opérations pour décrire leurs représentations visuelles. Donner aux élèves le temps requis pour réaliser le travail. Circuler parmi les élèves et intervenir, au besoin, en leur posant des questions. Lorsque les élèves ont terminé, animer un échange mathématique à l aide du transparent de la feuille Le trajet de Maryse. Questions à poser aux élèves Comment as-tu déterminé la somme de et de? J ai formé une tour à l aide de trois blocs bleus, soit, et de deux blocs jaunes, soit. J ai changé les deux blocs jaunes pour quatre blocs bleus, puisque équivaut à. + 7 Pourquoi as-tu changé les deux blocs de pour quatre blocs de? Pour additionner des fractions, tous les blocs doivent être de la même taille. Éléments à écrire sur le transparent Dessiner les tours. Écrire l égalité Numération et sens du nombre/mesure Module Série 7

4 Est-ce que et sont des fractions équivalentes? Comment le sais-tu? Voici des exemples de réponses possibles : Oui, est une fraction équivalente à, car quatre blocs de représentent la même longueur que deux blocs de. Oui, puisque le numérateur et le dénominateur de sont deux fois plus grands que le numérateur et le dénominateur de. Oui, parce qu on a multiplié le numérateur et le dénominateur par le même nombre. Montrer les équivalences. J ai deux fois plus de morceaux et ils sont deux fois plus grands. Demander aux élèves de remplir la feuille Le trajet de Maryse à l aide des tours d équivalence. Donner aux élèves le temps requis pour réaliser le travail. Circuler parmi les élèves et intervenir, au besoin, en leur posant des questions. À l aide du transparent de la feuille Le trajet de Maryse, animer un échange mathématique au cours duquel les élèves expliquent leurs stratégies de calcul. Faire ressortir les différentes stratégies de calcul utilisées pour résoudre chacun des problèmes en consultant les feuilles Le trajet de Maryse Corrigé. Faire ressortir : que, dans ce problème, le trajet représente l entier; que, pour additionner ou soustraire des fractions, les dénominateurs doivent être communs; que l on peut déterminer des fractions équivalentes : en changeant des blocs des tours d équivalence pour obtenir des blocs de même taille; en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre. Étape Remettre à chaque élève la feuille Une comparaison de devoirs. Demander aux élèves : d estimer le résultat de chaque problème; de résoudre chaque problème à l aide de tours d équivalence et d un calcul; de laisser des traces de leur travail sur la feuille Une comparaison de devoirs. Donner aux élèves le temps requis pour réaliser le travail. Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 7 e année

5 Circuler parmi les élèves et intervenir, au besoin, en leur posant des questions. Observer les élèves en vue de relever les différentes stratégies qu elles et ils utilisent pour résoudre les problèmes. À l aide du transparent de la feuille Une comparaison de devoirs, animer un échange mathématique au cours duquel les élèves expliquent leurs stratégies de calcul. Faire ressortir : les stratégies de calcul possibles pour résoudre chacun des problèmes en consultant les feuilles Une comparaison de devoirs Corrigé; les liens entre la représentation visuelle et la représentation symbolique des calculs. Lien jeux Au moment opportun, présenter aux élèves le jeu Bingo (section Jeux Série ). Permettre aux élèves d y jouer en grand groupe. Le but du jeu est de déterminer des dénominateurs communs. Ce jeu peut servir pendant des temps libres, des fins de période ou des fins de journée. Lien technologie Au moment opportun, présenter aux élèves l activité Bandes sur la droite numérique Fractions (section Technologie Série ). Le but de cette activité est d utiliser des bandes colorées sur une droite numérique pour additionner des fractions. Cette activité peut servir pendant des temps libres, des temps de travail autonome, des fins de période et des fins de journée ou en centres d apprentissage. Elle peut aussi être réalisée à la maison. Remettre à chaque élève la fiche Des sommes et des différences et choisir les exercices à réaliser individuellement. Numération et sens du nombre/mesure Module Série

6 Le trajet de Maryse Nom :. Maryse doit parcourir une grande distance pour se rendre chez son frère. Au cours de la matinée, elle parcourt du trajet. Pendant l après-midi, elle parcourt du trajet. Quelle partie du trajet a-t-elle parcourue au cours de la journée? Estimation Représentation visuelle à l aide de tours d équivalence Représentation symbolique. Additionne les fractions suivantes. a) + 0 Estimation Représentation visuelle à l aide de tours d équivalence Représentation symbolique b) + Estimation Représentation visuelle à l aide de tours d équivalence Représentation symbolique 0 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 7 e année

7 Le trajet de Maryse Corrigé. Maryse doit parcourir une grande distance pour se rendre chez son frère. Au cours de la matinée, elle parcourt du trajet. Pendant l après-midi, elle parcourt du trajet. Quelle partie du trajet a-t-elle parcourue au cours de la journée? Voici un exemple de réponse possible : Estimation + + La somme doit être un peu moins de. Représentation visuelle à l aide de tours d équivalence Représentation symbolique Additionne les fractions suivantes. a) + 0 Voici un exemple de réponse possible : Estimation Représentation visuelle à l aide de tours d équivalence Représentation symbolique b) + Estimation + + Numération et sens du nombre/mesure Module Série

8 Représentation visuelle à l aide de tours d équivalence Représentation symbolique + + Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 7 e année

9 Une comparaison de devoirs Nom :. Marcel et Suzie ont les mêmes devoirs. Marcel a terminé les de ses devoirs et Suzie en a terminé les. a) Qui a terminé une plus grande partie de ses devoirs? Estimation Représentation visuelle à l aide de tours d équivalence Représentation symbolique b) Quelle fraction de devoirs cette personne a-t-elle faite de plus que l autre? Estimation Représentation visuelle à l aide de tours d équivalence Représentation symbolique. Détermine la différence des expressions suivantes. a) Estimation Représentation visuelle à l aide de tours d équivalence Représentation symbolique b) Estimation Représentation visuelle à l aide de tours d équivalence Représentation symbolique Numération et sens du nombre/mesure Module Série

10 Une comparaison de devoirs Corrigé. Marcel et Suzie ont les mêmes devoirs. Marcel a terminé les de ses devoirs et Suzie en a terminé les. a) Qui a terminé une plus grande partie de ses devoirs? Voici des exemples de réponses possibles : Estimation et Marcel a terminé une plus grande partie de ses devoirs que Suzie. Représentation visuelle à l aide de tours d équivalence Représentation symbolique > > > b) Quelle fraction de devoirs cette personne a-t-elle faite de plus que l autre? Voici des exemples de réponses possibles : Estimation 0 Représentation visuelle à l aide de tours d équivalence La partie des devoirs que Marcel a faite de plus que Suzie. Marcel a fait de devoirs de plus que Suzie. Représentation symbolique Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 7 e année

11 Numération et sens du nombre/mesure Module Série. Détermine la différence des expressions suivantes. a) Voici un exemple de réponse possible : Estimation 0 Représentation visuelle à l aide de tours d équivalence Représentation symbolique ou b) Voici un exemple de réponse possible : Estimation Représentation visuelle à l aide de tours d équivalence Représentation symbolique

12 Des sommes et des différences Nom : PP ensemble de tours d équivalence ou de tuiles de fractions Section A. a) Estime la somme ou la différence des expressions suivantes b) Situe les expressions dans les colonnes appropriées du tableau suivant. Entre 0 et. Voici des fractions : Entre et Entre et Entre et Utilise des tours d équivalence ou des tuiles de fractions pour répondre aux questions suivantes. a) Quelle est la somme de la première et de la dernière fraction? b) Quelle est la somme de la première et de la troisième fraction? c) Quelle est la somme des trois premières fractions?. Évalue les expressions suivantes. a) + ( ) b) 0 + c) ( + ) ( + ) sur une droite numérique. Je veux me rendre à. De combien dois-je avancer? b) Je suis à sur une droite numérique. Je veux me rendre à. De combien dois-je avancer?. Martine dit que équivaut à. A-t-elle raison? Explique ta réponse.. a) Je suis à Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 7e année

13 Section B. Chaque grille représente. Que représentent les parties ombrées dans les grilles ci-dessous? Décris-les au moyen d un nombre décimal, d une fraction décimale et d un nombre fractionnaire.. Est-ce que les égalités ci-dessous sont vraies ou fausses? Justifie tes réponses. a) 0, 0,0 0,00 b) centièmes 0 millièmes c),0 d) 0,0 0,00 0 Numération et sens du nombre/mesure Module Série 7

14 Des sommes et des différences Corrigé Section A. a) Estime la somme ou la différence des expressions suivantes < < > + 0+ < b) Situe les expressions dans les colonnes appropriées du tableau suivant. Entre 0 et Entre et Entre et Entre et Voici des fractions : Utilise des tours d équivalence ou des tuiles de fractions pour répondre aux questions suivantes. a) Quelle est la somme de la première et de la dernière fraction? b) Quelle est la somme de la première et de la troisième fraction? + c) Quelle est la somme des trois premières fractions? ou. Évalue les expressions suivantes. Voici des exemples de réponses possibles : a) ou b) ( ( ) ou Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! ) c) ( + ) ( + ) + + ( ) ( ) 7 7e année

15 . a) Je suis à sur une droite numérique. Je veux me rendre à. De combien dois-je avancer? Voici un exemple de réponse possible : 0 Je dois avancer de. b) Je suis à sur une droite numérique. Je veux me rendre à. De combien dois-je avancer? Voici un exemple de réponse possible : Je dois avancer de.. Martine dit que équivaut à. A-t-elle raison? Explique ta réponse. Voici des exemples de réponses possibles : Exemple Exemple Martine a raison, car si elle multiplie le Martine a raison, car si elle divise le numérateur numérateur et le dénominateur de la fraction par, elle obtient et le dénominateur de la fraction par, elle. obtient. Numération et sens du nombre/mesure Module Série

16 Section B. Chaque grille représente. Que représentent les parties ombrées dans les grilles ci-dessous? Décris-les au moyen d un nombre décimal, d une fraction décimale et d un nombre fractionnaire ,, ou ou Est-ce que les égalités ci-dessous sont vraies ou fausses? Justifie tes réponses. a) 0, 0,0 0,00 b) centièmes 0 millièmes 0, 0,0 0,00 C est vrai que 0, 0,0 0,00. c),0 0 d) 0,0 0,00 ou 0, 0 0 centièmes 0 millièmes C est vrai que centièmes 0 millièmes. 70 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 0,0 0,0 C est faux, car 0,. 0 0,00 C est faux, car 0,0 0,0. 7e année

17 Des sommes et des différences Au cours de cette activité, l élève utilise un modèle rectangulaire pour représenter, additionner et soustraire des fractions et des nombres fractionnaires. Pistes d observation L élève : utilise des fractions et des nombres repères pour estimer le résultat d une addition ou d une soustraction de fractions; résout des problèmes d addition et de soustraction de fractions et de nombres fractionnaires : en représentant l opération à l aide de matériel concret ou illustré; en déterminant des fractions équivalentes pour obtenir des dénominateurs communs; en décomposant des nombres fractionnaires pour déterminer des sommes et des différences partielles; en additionnant pour soustraire. Matériel requis PPcrayons-feutres à encre effaçable PPensembles de tours d équivalence ou de tuiles de fractions (un ensemble par élève) PPpaires de ciseaux PPrétroprojecteur PP sacs en plastique à fermeture à glissière à pression (un par élève) PP transparents des feuilles Modèles rectangulaires (deux copies par élève et une copie pour l enseignant ou l enseignante) PPfeuille Des additions de fractions (une copie par élève) PPtransparent de la feuille Des additions de fractions PPfeuille Des soustractions de fractions (une copie par élève) PPtransparent de la feuille Des soustractions de fractions PP trousses du jeu Nombre ciblé (section Jeux Série ) (une trousse par équipe de deux) PPfiche Méli-mélo d additions et de soustractions de fractions (une copie par élève) Note : Avant de commencer l activité, découper les carrés des transparents des feuilles Modèles rectangulaires destinées à l enseignant ou à l enseignante. Déroulement Étape Présenter la mise en situation suivante. Au cours de la prochaine activité, nous allons poursuivre l étude de l addition et de la soustraction de fractions. Nous avons vu qu il était possible de représenter et d effectuer des opérations sur des fractions à l aide de tours d équivalence et de symboles. Aujourd hui, nous allons découvrir qu il est aussi possible d effectuer des opérations sur des fractions à l aide de rectangles. Grouper les élèves en équipes de deux. Numération et sens du nombre/mesure Module Série 7

18 Remettre à chaque élève un ensemble de tours d équivalence ou de tuiles de fractions et la feuille Des additions de fractions. Note : Au cours de cette étape, nous utiliserons des tours d équivalence. Pour des tuiles de fractions, adapter le questionnement et les réponses. Projeter le premier problème du transparent de la feuille Des additions de fractions et le lire avec les élèves. Questions à poser aux élèves Qu est-ce que l on cherche dans ce problème? On cherche à déterminer la quantité de carrés au chocolat que Julie, Sophie et leurs amies ont mangée. Comment peut-on représenter les données de ce problème à l aide d une opération? On peut utiliser une addition, soit +. Éléments à écrire sur le transparent Souligner la question. Écrire l addition. + Dire aux élèves d estimer le résultat et de résoudre le problème en utilisant des tours d équivalence. Donner aux élèves le temps requis pour réaliser le travail. Circuler parmi les élèves et intervenir, au besoin, en leur posant des questions. Lorsque les élèves ont terminé, faire la mise en commun de la solution à l aide du transparent de la feuille Des additions de fractions. Dire aux élèves que l on peut aussi additionner des fractions en utilisant des rectangles (carrés). Remettre à chaque élève : une paire de ciseaux; deux transparents des feuilles Modèles rectangulaires; un sac en plastique à fermeture à glissière à pression. Donner aux élèves le temps requis pour découper les rectangles (carrés) transparents et les regrouper selon le nombre de parties. Projeter de nouveau le premier problème du transparent de la feuille Des additions de fractions. Poser aux élèves les questions ci-dessous et utiliser les rectangles (carrés) transparents pour résoudre le problème. Questions à poser aux élèves D après le contexte du problème, que représente un rectangle (carré)? Un rectangle représente un plateau de carrés au chocolat. Actions à faire au rétroprojecteur Éléments à écrire au tableau Déposer le rectangle (carré). 7 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 7 e année

19 D après le problème, combien de plateaux y a-t-il au départ? Il y en a deux, soit le plateau de Julie et celui de Sophie. Déposer un second rectangle (carré). Tracer les deux plateaux. Julie Sophie Quelles fractions de plateau doit-on utiliser? Écrire +. On doit utiliser des tiers et des quarts de plateau, puisqu on doit additionner +. Quel rectangle (carré) transparent, peut-on utiliser pour représenter la fraction? On peut représenter la fraction au moyen du rectangle (carré) qui est divisé en trois parties égales. Superposer ce rectangle (carré) sur le premier rectangle (carré) vide. Diviser le premier rectangle en trois parties égales. Julie Que représente la fraction? La fraction représente deux parties parmi trois. Ombrer du plateau de Julie. Julie Quel rectangle (carré) transparent, peut-on utiliser pour représenter la fraction? On peut représenter la fraction au moyen du rectangle (carré) qui est divisé en quatre parties égales. Superposer ce rectangle (carré) sur le second rectangle (carré) vide. Diviser le second rectangle (carré) en quatre parties égales. Sophie Que représente la fraction? Ombrer du plateau de La fraction représente trois parties parmi quatre. Sophie. Sophie Que doit-on faire pour additionner d un plateau de carrés au chocolat et d un autre plateau de carrés au chocolat? On cherche des fractions équivalentes dont les dénominateurs sont communs. Numération et sens du nombre/mesure Module Série 7

20 Observons les deux plateaux de carrés au chocolat. Comment peuton diviser ces plateaux de manière à obtenir des fractions équivalentes? Donner aux élèves le temps requis pour réaliser le travail. Je peux diviser chaque plateau en douzièmes. Superposer le rectangle (carré) transparent représentant des douzièmes sur le premier rectangle (plateau de Julie). Diviser le premier rectangle (carré) en douze parties. Julie Superposer le rectangle (carré) transparent représentant des douzièmes sur le second rectangle (plateau de Sophie). Diviser le second rectangle (carré) en douze parties. Sophie Que peut-on dire maintenant du plateau de Julie et de celui de Sophie? En superposant les deux rectangles (carrés) sur celui désignant le plateau de Julie, je remarque que deux parties parmi trois représentent la même quantité que huit douzièmes. En superposant les deux rectangles (carrés) sur celui désignant le plateau de Sophie, je remarque que trois parties parmi quatre représentent la même quantité que neuf douzièmes. Écrire les deux paires de fractions équivalentes. et Que remarques-tu au sujet des numérateurs et des dénominateurs des fractions et? Le numérateur et le dénominateur de la fraction ont été multipliés par pour obtenir la fraction équivalente. Ajouter à l égalité. ou 7 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 7 e année

21 Que remarques-tu au sujet des numérateurs et des dénominateurs des fractions et? Le numérateur et le dénominateur de la fraction ont été multipliés par pour obtenir la fraction équivalente. Ajouter à l égalité. ou Peut-on déterminer maintenant la quantité de carrés au chocolat qui a été mangée? Voici des exemples de réponses possibles : Oui, on peut facilement additionner des morceaux de même taille. Oui, les fractions ont maintenant le même dénominateur. Oui, car on sait maintenant que + +. Demander aux élèves : de résoudre le problème en utilisant des rectangles et des symboles; de montrer leurs calculs à l aide de symboles; de montrer leur démarche pour obtenir des fractions équivalentes. Donner aux élèves le temps requis pour réaliser le travail. Lorsque les élèves ont terminé, faire la mise en commun des solutions à l aide du transparent de la feuille Des additions de fractions. Animer un échange mathématique au cours duquel les élèves expliquent leurs stratégies de calcul. Demander aux élèves de remplir la feuille Des additions de fractions au moyen de rectangles et de stratégies de calcul. Donner aux élèves le temps requis pour réaliser le travail. Circuler parmi les élèves et intervenir, au besoin, en leur posant des questions. Lorsque les élèves ont terminé, faire la mise en commun des solutions à l aide du transparent de la feuille Des additions de fractions. Animer un échange mathématique au cours duquel les élèves expliquent leurs stratégies de calcul. Faire ressortir : que, pour additionner ou soustraire des fractions, les dénominateurs doivent être communs; que l on peut déterminer des fractions équivalentes : en changeant des morceaux des tours d équivalence pour obtenir des morceaux de même taille; en divisant des rectangles (carrés) pour obtenir des parties de même taille; en multipliant ou en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre; que l on peut utiliser différentes stratégies de calcul pour effectuer des opérations sur des fractions; que l on doit organiser ses calculs en laissant des traces claires et précises de sa démarche. Numération et sens du nombre/mesure Module Série 7

22 Étape Reprendre la même démarche pour la feuille Des soustractions de fractions en vue de montrer qu il est possible d utiliser les mêmes stratégies pour effectuer des soustractions. Remettre à chaque élève la feuille Des soustractions de fractions. Donner aux élèves le temps requis pour réaliser le travail. Circuler parmi les élèves et intervenir, au besoin, en leur posant des questions. Observer les élèves en vue de relever les différentes stratégies qu elles et ils utilisent pour résoudre les problèmes. Lorsque les élèves ont terminé, faire la mise en commun des solutions à l aide du transparent de la feuille Des soustractions de fractions. Animer un échange mathématique au cours duquel les élèves expliquent leurs stratégies de calcul. Lien jeux Au moment opportun, présenter aux élèves le jeu Nombre ciblé (section Jeux Série ). Permettre aux élèves d y jouer avec un ou une partenaire. Le but du jeu est d obtenir une somme ou une différence de fractions qui est le plus près possible du nombre ciblé. Ce jeu peut servir pendant des temps libres, des temps de travail autonome, des fins de période et des fins de journée ou en centres d apprentissage. Les élèves peuvent aussi jouer à ce jeu à la maison avec des membres de leur famille. Lien technologie Au moment opportun, présenter aux élèves l activité Fractions Addition (section Technologie Série ). Le but de cette activité est d illustrer, au moyen de rectangles, la somme de fractions en déterminant d abord un dénominateur commun. Cette activité peut servir pendant des temps libres, des temps de travail autonome, des fins de période et des fins de journée ou en centres d apprentissage. Elle peut aussi être réalisée à la maison. Remettre à chaque élève la fiche Méli-mélo d additions et de soustractions de fractions et choisir les exercices à réaliser individuellement. 7 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 7 e année

23 Le tout Modèles rectangulaires Des demis Des tiers Des quarts Des cinquièmes Des sixièmes Numération et sens du nombre/mesure Module Série 77

24 Des huitièmes Des neuvièmes Des dixièmes Des douzièmes 7 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 7 e année

25 Des additions de fractions Nom : PPensemble de tours d équivalence ou de tuiles de fractions PPensemble de rectangles transparents. Julie et Sophie ont préparé chacune un plateau de carrés au chocolat pour leurs amies. Julie et ses amies ont mangé les de leur plateau, tandis que Sophie et ses amies ont mangé les du leur. Combien de plateaux de carrés au chocolat les filles ont-elles mangés en tout? Estimation Représentation visuelle au moyen de tours d équivalence Représentation visuelle au moyen de rectangles Représentation symbolique. Détermine les sommes ci-dessous au moyen de rectangles (carrés). a) + Estimation b) + Estimation Représentation visuelle au moyen de rectangles Représentation visuelle au moyen de rectangles Représentation symbolique Représentation symbolique Numération et sens du nombre/mesure Module Série 7

26 Des additions de fractions Corrigé. Julie et Sophie ont préparé chacune un plateau de carrés au chocolat pour leurs amies. Julie et ses amies ont mangé les de leur plateau, tandis que Sophie et ses amies ont mangé les du leur. Combien de plateaux de carrés au chocolat les filles ont-elles mangés en tout? Voici des exemples de réponses possibles : Estimation Environ un plateau et demi, car j ai pensé à +. Environ un plateau et demi, car j ai pensé à + ou. Environ un plateau, car j ai pensé à +. Un peu moins de deux plateaux, car j ai pensé à +. Représentation visuelle au moyen de tours d équivalence Représentation visuelle au moyen de rectangles Julie + 7 Sophie Exemple Exemple Exemple 0 Exemple Julie Sophie Représentation symbolique Exemple Exemple En tout, les filles ont mangé les carrés au chocolat d un plateau et cinq douzièmes. 0 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 7e année

27 . Détermine les sommes ci-dessous au moyen de rectangles (carrés). Voici des exemples de réponses possibles : a) + Estimation + + b) + Estimation Représentation visuelle au moyen de rectangles Représentation visuelle au moyen de rectangles ou Exemple + Représentation symbolique + Exemple 0 Représentation symbolique et Exemple et Exemple Alors, Numération et sens du nombre/mesure Module Série

28 Des soustractions de fractions Nom : PPensemble de tours d équivalence ou de tuiles de fractions PPensemble de rectangles transparents. Patrick et François ont préparé chacun un plateau de carrés au chocolat pour la classe. Sur le plateau de Patrick, il reste des carrés au chocolat. Sur le plateau de François, il en reste. a) Sur quel plateau reste-t-il le plus de carrés au chocolat? b) Quelle fraction de carrés au chocolat y a-t-il de plus sur ce plateau? Estimation Représentation visuelle au moyen de tours d équivalence Représentation visuelle au moyen de rectangles Représentation symbolique. Détermine les différences ci-dessous au moyen de rectangles. a) Estimation b) Estimation Représentation visuelle au moyen de rectangles Représentation visuelle au moyen de rectangles Représentation symbolique Représentation symbolique Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 7 e année

29 Des soustractions de fractions Corrigé. Patrick et François ont préparé chacun un plateau de carrés au chocolat pour la classe. Sur le plateau de Patrick, il reste des carrés au chocolat. Sur le plateau de François, il en reste. a) Sur quel plateau reste-t-il le plus de carrés au chocolat? b) Quelle fraction de carrés au chocolat y a-t-il de plus sur ce plateau? Voici des exemples de réponses possibles : Estimation 0 Il reste un peu plus de carrés au chocolat sur le plateau de Patrick. Représentation visuelle au moyen de tours d équivalence Exemple Exemple Représentation visuelle au moyen de rectangles Je dois enlever des carrés au chocolat, ce qui représente cinq blocs de un dixième Lorsque je compare les carrés au chocolat des plateaux, je constate qu il y a un dixième de carrés au chocolat de plus sur le plateau de Patrick. Exemple 0 Partie de plus sur le plateau de Patrick Lorsque je compare les deux plateaux, je constate qu il y a un dixième de carrés au chocolat de plus sur le plateau de Patrick. 0 0 Je dois enlever des carrés au chocolat, ce qui représente cinq rectangles de un dixième. 0 Il y a un dixième de carrés au chocolat de plus sur le plateau de Patrick. Exemple 0 0 Lorsque je compare les deux plateaux, je constate qu il y a un dixième de carrés au chocolat de plus sur le plateau de Patrick. 0 Numération et sens du nombre/mesure Module Série

30 Représentation symbolique et Il y a un dixième de plus de carrés au chocolat sur le plateau de Patrick.. Détermine les différences ci-dessous au moyen de rectangles. Voici des exemples de réponses possibles : a) Estimation Estimation b) Représentation visuelle au moyen de rectangles Représentation visuelle au moyen de rectangles Exemple J enlève de. Il reste. Exemple Je compare à. Exemple 7 Exemple J enlève de. Si. Il reste. Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 7e année

31 Exemple Représentation symbolique Représentation symbolique Exemple et Exemple et Exemple et 0 0 Numération et sens du nombre/mesure Module Série

32 Méli-mélo d additions et de soustractions de fractions Nom : PPensemble de tours d équivalence ou de tuiles de fractions PPensemble de rectangles transparents Section A. Effectue les opérations suivantes. a) + b) c). Additionne toutes les fractions ci-contre par la fraction impropre placée au centre de la figure. Écris, sur chacun des côtés correspondants de la figure, les quatre sommes sous la forme d une fraction impropre et sous celle d un nombre fractionnaire.. Complète le diagramme ci-contre en sachant que la somme des deux fractions adjacentes se trouve au-dessus de ces fractions. Ex. : 7 Section B Forme six paires de nombres équivalents à l aide des nombres suivants. a) 0,00 0, 00 0,0 0,0 0 dixièmes 0,00 0,0 millièmes 00 centièmes b) dixièmes et centièmes, dixièmes, 000 0, 0 dixièmes millièmes, Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 7 e année

33 Méli-mélo d additions et de soustractions de fractions Corrigé Section A. Effectue les opérations suivantes. Voici des exemples de réponses possibles : a) + Exemple b) Exemple c) Exemple 7 ou Exemple + ( + ) + + ( ) Exemple Exemple Additionne toutes les fractions ci-contre par la fraction impropre placée au centre de la figure. Écris, sur chacun des côtés correspondants de la figure, les quatre sommes sous la forme d une fraction impropre et sous celle d un nombre fractionnaire. 7 0 Numération et sens du nombre/mesure Module Série 7

34 . Complète le diagramme ci-contre en sachant que la somme des deux fractions adjacentes se trouve au-dessus de ces fractions. Ex. : 7 Section B Forme six paires de nombres équivalents à l aide des nombres suivants. a) 0,00 0, 00 0,0 0,0 0 dixièmes 0,00 0,0 millièmes 00 centièmes Première paire 0 dixièmes Deuxième paire 0,00 0,0 Troisième paire 0, 0,0 Quatrième paire 00 0,0 Cinquième paire 0,00 millièmes Sixième paire 00 centièmes b) dixièmes et centièmes,, dixièmes 0, 0 dixièmes millièmes, Première paire dixièmes et centièmes, Deuxième paire 0 00, Troisième paire 0, millièmes Quatrième paire Cinquième paire 0 dixièmes Sixième paire dixièmes, Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 7 e année

35 Résolution de problèmes Au cours de cette activité, l élève interprète, représente et résout des problèmes comportant des fractions et des nombres fractionnaires. Pistes d observation L élève : utilise des fractions et des nombres repères pour estimer le résultat d une addition ou d une soustraction de fractions et de nombres fractionnaires; résout des problèmes d addition et de soustraction de fractions et de nombres fractionnaires : en représentant l opération à l aide de matériel concret ou illustré; en déterminant des fractions équivalentes pour obtenir des dénominateurs communs; en décomposant des nombres fractionnaires pour déterminer des sommes et des différences partielles; en additionnant pour soustraire, ou vice versa; en utilisant la compensation; en déterminant des fractions irréductibles. Matériel requis PPensembles de tours d équivalence ou de tuiles de fractions (un ensemble par élève) PPensembles de rectangles transparents des feuilles Modèles rectangulaires (activité ) PPfeuille Additionner ou soustraire (une copie par élève) PPfiche Les fractions et les nombres fractionnaires (une copie par élève) Déroulement Dire aux élèves qu au cours de cette activité elles et ils vont résoudre des problèmes complexes d additions et de soustractions de fractions et de nombres fractionnaires. Grouper les élèves en équipes de deux. Remettre à chaque élève la feuille Additionner ou soustraire et lire les problèmes avec les élèves. Demander aux élèves : de discuter des problèmes avec leur partenaire; d estimer le résultat à l aide de fractions ou de nombres repères; de résoudre un problème à la fois; d utiliser différentes stratégies pour résoudre les problèmes; d organiser leurs calculs en laissant des traces claires et précises de leur travail. Donner aux élèves le temps requis pour réaliser le travail. Circuler parmi les élèves et intervenir, au besoin, en leur posant des questions. Choisir quelques stratégies de résolution de problèmes différentes pour chacun des trois problèmes et inviter les équipes à expliquer leur travail au groupe-classe. Numération et sens du nombre/mesure Module Série

36 Faire ressortir les différentes stratégies de calcul utilisées pour résoudre chacun des problèmes en consultant les feuilles Additionner ou soustraire Corrigé et pistes d exploration. Remettre à chaque élève la fiche Les fractions et les nombres fractionnaires et choisir les exercices à réaliser individuellement. Effectuer la tâche d évaluation sommative A à la suite de cette activité. Note : Consulter l activité Révision de cette série et présenter aux élèves diverses activités dont les activités de technologie, le projet Une mosaïque et les jeux. Ces activités portent sur la représentation de fractions, la comparaison, l ordre de grandeur et l addition et la soustraction de fractions simples. Proposer ensuite aux élèves des questions de révision des feuilles Révision A qui portent sur l addition et la soustraction de fractions simples. 0 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 7 e année

37 Nombres carrés 7 Au cours de cette activité, l élève évalue le carré de nombres naturels. Pistes d observation L élève : reconnaît les mots et les symboles associés aux puissances; établit un lien entre la multiplication répétée et le concept de puissance; représente les nombres carrés : à l aide de matériel concret ou illustré; à l aide d une disposition rectangulaire; à l aide de symboles; évalue des puissances ayant un nombre naturel comme base et comme exposant. Matériel requis calculatrices scientifiques crayons-feutres à encre effaçable élastiques de différentes tailles (six par équipe de deux) géoplans de 0 0 (un par équipe de deux) géoplan transparent de 0 0 rétroprojecteur feuille Des carrés parfaits (une copie par élève) transparent de la feuille Des carrés parfaits feuille Nombres carrés (une copie par élève) feuilles Feuillet de 00 (une copie par élève) (activité ) fiche Au carré (une copie par élève) Déroulement Étape Présenter la mise en situation suivante. Pythagore est un philosophe et un mathématicien qui a fait plusieurs découvertes en mathématiques. Il a été le premier à s intéresser aux propriétés des nombres. Au cours de cette activité, nous étudierons une suite de figures géométriques pour découvrir un autre sous-ensemble des nombres naturels. Placer trois élastiques, sur un géoplan transparent, de manière à former trois carrés ayant une aire de unité carrée, de unités carrées et de unités carrées. Mettre le géoplan transparent de 0 0 sur le rétroprojecteur et le projeter sur l écran. Dire aux élèves que ces trois figures font partie d une suite numérique fondée sur une régularité. Pour découvrir cette régularité, elles et ils devront prolonger la suite en construisant la quatrième et la cinquième figure. Numération et sens du nombre/mesure Module Série

38 7 Grouper les élèves en équipes de deux. Remettre à chaque équipe : deux feuilles Des carrés parfaits; un géoplan et six élastiques de différentes tailles. Demander aux élèves de répondre aux questions. Donner aux élèves le temps requis pour réaliser le travail. Circuler parmi les élèves et intervenir, au besoin, en leur posant des questions. Voici des exemples de questions : Que dois-tu faire? En quoi les figures se ressemblent-elles? Comment peux-tu déterminer l aire de ce carré? Quelle est l aire du premier carré? du second carré? du troisième carré? Quelles sont les dimensions de chaque carré? Comment peux-tu prédire la quatrième et la cinquième figure? Quelle est la régularité? Quelle sera l aire du quatrième carré? du cinquième carré? Pourquoi? Quelles sont les dimensions du quatrième et du cinquième carré? Lorsque les élèves ont terminé, faire la mise en commun des solutions à l aide du transparent de la feuille Des carrés parfaits. Dire aux élèves : que les facteurs, dans chacune des multiplications qui donnent les dimensions des carrés, sont répétés deux fois; que l on peut exprimer ces multiplications répétées à l aide d une puissance dont l exposant est ; que les nombres se lisent comme suit : exposant ou au carré; exposant ou au carré; exposant ou au carré; exposant ou au carré; exposant ou au carré; exposant ou au carré; que, puisque ces nombres forment des carrés, on les appelle des carrés parfaits; qu un carré parfait est un nombre qui est le carré d un nombre naturel. Ex. : Le nombre est un carré parfait, car il est le carré de, soit. Le nombre est un carré parfait, car il est le carré de, soit. Le nombre est un carré parfait, car il est le carré de, soit. Le nombre est un carré parfait, car il est le carré de, soit. Le nombre est un carré parfait, car il est le carré de, soit. Demander aux élèves de remplir, dans leur feuillet de 00 (activité ), les colonnes intitulées Carré parfait en indiquant les carrés parfaits des nombres de à 00. Donner aux élèves le temps requis pour réaliser le travail. Lorsque les élèves ont terminé, leur dire de comparer leurs réponses avec leur partenaire et d utiliser une calculatrice, au besoin, si les réponses diffèrent. Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 7 e année

39 Étape Écrire, au tableau, l expression et tracer un carré. Questions à poser aux élèves Que représente cette expression? C est au carré. C est exposant. Sur le carré, comment peut-on représenter ce que signifie cette expression? L expression, c est. Les côtés du carré mesurent donc unités. Quelle est la valeur de? Elle est de. Comment le sais-tu? Voici des exemples de réponses possibles : J ai utilisé une disposition rectangulaire. J ai déterminé des produits partiels. J ai multiplié à l aide de la calculatrice. Éléments à écrire au tableau Représentation visuelle 0 0? Symboles (0 + ) (0 + ) (0 0) + (0 ) + ( 0) + ( ) ou Faire remarquer : que certaines calculatrices ont une touche spéciale, soit x, réservée aux calculs des nombres dont l exposant est ; qu on peut également appuyer sur les touches et pour former le nombre, qui est la base, et utiliser la touche «puissance», soit x y (si elle s y trouve), pour écrire l exposant ; que, dans l expression, l exposant signifie que la base () est utilisée deux fois comme facteur ( ). Remettre à chaque élève la feuille Nombres carrés. Donner aux élèves le temps requis pour réaliser le travail. Circuler parmi les élèves et intervenir, au besoin, en leur posant des questions. Voici des exemples de questions : Que signifie ce symbole? Comment peux-tu calculer la valeur de cette expression? Comment peux-tu évaluer cette expression à l aide d une disposition rectangulaire? à l aide de symboles? Qu est-ce qu une puissance? Qu est-ce qu un nombre naturel impair? Que veut dire?? Lorsque les élèves ont terminé, leur demander de comparer leur travail avec un ou une partenaire. Animer, au besoin, un échange mathématique ou afficher les solutions pour que les élèves vérifient leurs réponses. Remettre à chaque élève la fiche Au carré et choisir les exercices à réaliser individuellement. Numération et sens du nombre/mesure Module Série

40 7 Lien journal Demander aux élèves de définir, dans leur journal de mathématiques, le terme carré parfait en leurs propres mots. Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 7 e année

41 Des carrés parfaits Nom : 7 géoplan de 0 0 élastiques de différentes tailles a) Construis les trois figures ci-contre sur un géoplan. Figure Figure Figure b) Construis, sur un géoplan, les figures et et reproduis-les sur le papier à points suivant. c) Quelle est l aire des cinq premières figures? Figure Figure Figure Figure Figure d) Quelles sont les dimensions des cinq premières figures? Exprime-les à l aide d une multiplication répétée et d une puissance. Figure Figure Figure Figure Figure e) Quelles seraient les dimensions et l aire de la sixième figure? Numération et sens du nombre/mesure Module Série 7

42 7 a) Construis les trois figures ci-contre sur un géoplan. Des carrés parfaits Corrigé Figure Figure Figure b) Construis, sur un géoplan, les figures et et reproduis-les sur le papier à points suivant. Figure Figure c) Quelle est l aire des cinq premières figures? Figure unité carrée Figure unités carrées Figure unités carrées Figure unités carrées Figure unités carrées d) Quelles sont les dimensions des cinq premières figures? Exprime-les à l aide d une multiplication répétée et d une puissance. Figure Figure Figure Figure Figure ou ou ou ou ou e) Quelles seraient les dimensions et l aire de la sixième figure? Les dimensions de la e figure seraient ou. L aire serait de unités carrées. Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 7 e année

43 Nombres carrés Nom : 7 calculatrice scientifique. Évalue les expressions ci-dessous en utilisant une représentation visuelle et des symboles. a) b) c) 0 d). Exprime les expressions ci-dessous sous la forme d addition ou de multiplication répétée. a) b) c) d). Écris les nombres ci-dessous sous la forme de puissance. a) b) 00 c) d) 00. Complète les phrases ci-dessous à l aide de mots. a) est de 7 b) est de. Mathilde prétend qu un nombre naturel impair ne peut être un nombre carré. A-t-elle raison? Justifie ta réponse.. Ajoute le symbole <, > ou. Justifie tes réponses. a).. b).. c). Numération et sens du nombre/mesure Module Série

44 7 Nombres carrés Corrigé. Évalue les expressions ci-dessous en utilisant une représentation visuelle et des symboles. a) b) (0 + ) (0 + ) (0 0) + (0 ) + ( 0) + ( ) ou 0 0 (0 + ) (0 + ) (0 0) + ( 0) + (0 ) + ( ) ou c) d) (0 + 0) (0 + 0) (0 0) + (0 0) + (0 0) + (0 0) 00 ou (0 + ) (0 + ) (0 0) + ( 0) + (0 ) + ( ) ou Exprime les expressions ci-dessous sous la forme d addition ou de multiplication répétée. a) b) + c) d) +. Écris les nombres ci-dessous sous la forme de puissance. a) ou b) 00 0 c) d) Complète les phrases ci-dessous à l aide de mots. a) est la deuxième puissance de 7 ou est le carré de 7 b) est la deuxième puissance de ou est le carré de 0 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 7 e année

45 . Mathilde prétend qu un nombre naturel impair ne peut être un nombre carré. A-t-elle raison? Justifie ta réponse. Voici un exemple de réponse possible : Mathilde n a pas raison, car les nombres impairs,,, sont des carrés parfaits. Lorsqu on multiplie un nombre impair par lui-même, on obtient un nombre impair. 7. Ajoute le symbole <, > ou. Justifie tes réponses. a) < b) c) Numération et sens du nombre/mesure Module Série

46 7 Au carré Nom : calculatrice scientifique Section A. a) Reproduis le tableau ci-dessous et remplis-le de manière à obtenir les 0 premiers carrés parfaits b) Évalue les expressions numériques ci-dessous en utilisant les données du tableau. 0 c) Exprime les nombres ci-dessous en notation exponentielle dont l exposant est Le mathématicien Pierre de Fermat disait qu on pouvait représenter chaque nombre naturel sous la forme d une somme de quatre carrés parfaits Écris les nombres ci-dessous sous la forme d une somme de quatre nombres carrés. Le tableau de la question peut t aider à résoudre ce problème. a) b) c) d). La somme des chiffres du nombre 00 et du nombre 007 sont des nombres carrés. Combien y a-t-il de nombres qui ont cette propriété entre 000 et 00? Quels sont-ils? 000 : : : * 00 : Section B. Évalue les expressions suivantes. a) + b) 0 c) + d) e) f) + g) h) +. Écris deux additions et deux soustractions qui ont comme somme et comme différence la fraction. Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 7 e année

47 Section A Au carré Corrigé 7. a) Reproduis le tableau ci-dessous et remplis-le de manière à obtenir les 0 premiers carrés parfaits b) Évalue les expressions numériques ci-dessous en utilisant les données du tableau c) Exprime les nombres ci-dessous en notation exponentielle dont l exposant est Le mathématicien Pierre de Fermat disait qu on pouvait représenter chaque nombre naturel sous la forme d une somme de quatre carrés parfaits Écris les nombres ci-dessous sous la forme d une somme de quatre nombres carrés. Le tableau de la question peut t aider à résoudre ce problème. Voici des exemples de réponses possibles : a) b) c) d) La somme des chiffres du nombre 00 et du nombre 007 sont des nombres carrés. Combien y a-t-il de nombres qui ont cette propriété entre 000 et 00? Quels sont-ils? Il y a 0 nombres qui ont cette propriété : : : * 00 : Numération et sens du nombre/mesure Module Série

48 7 Section B. Évalue les expressions suivantes. a) + b) 0 c) + d) Exemple Exemple Exemple Exemple Exemple + + Exemple 0 Exemple + + Exemple e) f) + g) 0 ou h) +. Écris deux additions et deux soustractions qui ont comme somme et comme différence la fraction. Voici des exemples de réponses possibles : Addition Exemple + Exemple + ou Soustraction Exemple 0 Exemple Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie! 7 e année

49 Racines carrées Au cours de cette activité, l élève évalue la racine carrée de carrés parfaits. Pistes d observation L élève : établit un lien entre un nombre carré et le concept de racine carrée; reconnaît les mots et les symboles associés aux puissances et aux racines carrées; détermine la racine carrée de nombres parfaits. Matériel requis calculatrices scientifiques crayons-feutres à encre effaçable ensembles de matériel de base 0 ( planches, 0 bâtonnets, 0 petits cubes) (un par équipe de deux) ensemble de matériel de base 0 transparent pour rétroprojecteur rétroprojecteur transparent vierge feuille Racines carrées (une copie par élève) fiche Une opération inverse (une copie par élève) Avant la présentation de l activité tracer au tableau la droite numérique des carrés parfaits suivante Déroulement Étape Présenter la mise en situation suivante. Grâce au mathématicien Pythagore, nous avons découvert les carrés parfaits ou les nombres carrés. Nous les avons exprimés à l aide d une puissance dont l exposant est. En mathématiques, toutes les opérations que nous avons vues jusqu à maintenant ont des opérations inverses. Par exemple, la soustraction est l opération inverse de l addition, et vice versa. La division est l opération inverse de la multiplication, et vice versa. Une puissance dont l exposant est, soit au carré, a aussi une opération inverse : c est la racine carrée. Au cours de cette activité, nous découvrirons à quoi sert la racine carrée d un nombre et comment nous pouvons la calculer à l aide de différentes stratégies. Montrer aux élèves la droite numérique et leur dire que, sur cette droite numérique, on trouve les nombres carrés jusqu à 00. Revoir avec les élèves qu on peut représenter chacun de ces nombres à l aide d un carré, d une multiplication dont le facteur est répété deux fois et d une puissance. Demander à quelques élèves de venir représenter, à tour de rôle, chacun des nombres sur la droite numérique à l aide d un carré, d une multiplication répétée et d une puissance. Numération et sens du nombre/mesure Module Série