Probabilité. Concepts de base

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1 Probabilité Concepts de base

2 Théorie des probabilités C est une théorie mathématique fascinante qui nous offre des outils puissants pour porter un jugement sur l issue d une expérience soumise aux lois du hasard Un jugement probabiliste: se fait avec les règles du calcul des probabilités concerne des v.a. liées à une population dépend de la distribution de probabilité des v.a.

3 Statistique versus probabilité La statistique: offre des outils pour alimenter le raisonnement probabiliste permet de valider les conclusions Mais surtout, la statistique: donne des moyens pour estimer la distribution de probabilité des v.a. via l inférence d un échantillon vers toute la population paramétrique: loi mathématique + paramètres non-paramétrique: directement de l échantillon

4 Calcul des probabilités Principales règles du calcul des probabilités:

5 Modèle de probabilité La théorie des probabilités ne dit pas comment obtenir P(x) pour un événement! Il faut un modèle qui fait l association: P: x -> [0,1] Ce modèle correspond explicitement ou implicitement à la distribution de probabilité de la v.a. x Il y a 2 approches: fréquentiste et théorique

6 Approche fréquentiste On exploite un échantillon pour postuler la probabilité d un événement A via sa fréquence de succès: P(A) = nombre d issues favorables / n où n est le nombre total d issues possibles On prends le tableau de fréquence comme distribution de probabilité

7 Approche théorique On postule la probabilité de succès d un événement A via un raisonnement théorique En fait, c est la distribution de probabilité qu on postule Par exemple: un dé à 6 faces est un cube parfait d un matériau homogène, chacune des faces à autant de chance d être vers le haut, donc P(f)=⅙, f=1,2,3,4,5,6 C est une distribution uniforme: p=⅙ pour les 6 issues

8 Calcul avec un arbre de probabilité Règles de calcul via un arbre de probabilités: 1. la somme des noeuds d un même niveau est toujours 1 2. la probabilité d un chemin est le produit des noeuds 3. la probabilité d un événement est la somme des chemins associés Exemple d arbre avec 2 événements A, B, de probabilité p, q:

9 Exemple d arbre de probabilité Considérons l expérience lancer 2 pièces avec un coté f et un coté p On utilise le modèle de probabilité théorique P(f) = P(p) = ½, alors P(f et f) = ½ * ½ = ¼, car indépendant mais P(f ou f) n est pas ½ + ½, car non mutuellement exclusif Donc, P(f ou f) = P(f)+P(f)-P(f et f) = ½ + ½ - ¼ = ¾ On peut aussi utiliser un arbre de probabilité: ½+(½*½)=¾ Pile ½ Face ½ Face ½

10 Distribution de probabilité Nous savons qu on peut représenter la distribution d une v. a. au sein d un échantillon par un tableau de fréquence C est une distribution échantillonnale (i.e. non-param.) Dans le cas de modèle de probabilité théorique, la distribution est plutôt sous la forme d une formule permettant d évaluer les probabilités On appelle ce genre de formule loi de probabilité

11 Inférence statistique Un échantillon E est un sous-ensemble de la population P Ainsi, la distribution E ne donne pas la distribution P On obtient la distribution P en faisant une inférence à partir de l étude d un échantillon représentatif de P Les paramètres de la loi de probabilité sont estimés à partir d un échantillon via les outils de la statistique descriptive Approche naïve: E représente bien P, en conséquence on utilise la distribution E comme distribution P

12 Loi de Bernoulli Dans le calcul avec un arbre de probabilité, on a implicitement utilisé la loi de Bernoulli avec paramètre ½ Cette loi a 2 possibilités: succès (s) et échec (e) Le paramètre est la probabilité de succès P(s)=p, on en déduit la probabilité d échec: P(e) = 1 - P(s) = 1-p

13 Exemple - dé à 6 faces (expérience) Quelles sont les chances d obtenir 4 ou 5 sur un dé standard à six faces? Supposons qu on a un échantillon avec la distribution: Face Freq Selon les fréquences, on estime (95+107)/600= Intuitivement, on s attendait à ⅓. L écart vient du fait qu on a utilisé une distribution échantillonnale

14 Exemple - dé à 6 faces (modèle) En utilisant l argument de la symétrie et du nombre de faces, on estime que la distribution de probabilité au sein de la population est bien représenté par la loi: P(n) = ⅙, avec n=1,2,3,4,5,6 Avec ce modèle classique (loi uniforme), on a donc (⅙+⅙) =⅓ chance d obtenir 4 ou 5 en considérant la loi au sein de la population Notons qu il y a d autres modèles possibles... Suggestion?

15 Excursion dans l univers de hasard Quelques observations: L invisible évidence est difficile à voir Les événements rares (ER) se produisent On sous-estime les possibilités d un ER qu on a pas vécu On sur-estime les possibilités d un ER qu on a vécu Il est plus facile de modéliser les événements communs que les ER Les humains ont 2 systèmes de prédictions, intuitif et rationnel La capacité d analyse rationnelle des humains est très limitée Si on a un modèle simple qui fonctionne presque toujours et qu on est pas forcé de tenir compte des ER, on utilise le modèle simple Le système de prédiction intuitive à un biais pour la continuité: si un modèle simple fonctionne plusieurs fois, il va continuer à bien fonctionner l intuition de continuité obscursie les risques d ER La complexité augmente la fragilité (théorie du chaos) Fragilité + ER = catastrophe

16 Exercices 1. On lance un dé à 6 faces. Si le résultat est pair on tire un jeton d'une urne contenant 3 jetons (numérotés 1, 2 et 3). Quelle est la probabilité que la somme dé + jeton éventuel soit égale à 5? 2. Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules blanches. On tire des boules de l'urne (sans remise) jusqu'à obtention d'une boule rouge. Quelle est la probabilité d'obtenir les 3 boules blanches? 3. Le lièvre et la tortue : on lance un dé. Si le 6 sort, le lièvre gagne, sinon la tortue avance d'une case. On continue jusqu'à ce qu'il y ait un gagnant en suivant les cases ci-dessous. Qui est plus enviable : lièvre ou tortue?