Géométrie plane : les niveaux de géométrie

Transcription

1 Géométrie plane : les niveaux de géométrie

2 Quelques «règles» trouvées dans des manuels de collège «Une constatation ou des mesures sur un dessin ne suffisent pas pour prouver qu un énoncé de géométrie est vrai» (Triangle, 5 ème ). «L utilisation des instruments permet seulement de se faire une idée, plus ou moins juste, de certaines propriétés d une figure» (Cinq sur Cinq, 4 ème ).

3 Une «confusion» commune Tracer à la règle et au compas un triangle T dont les longueurs des côtés mesurent en cm : 3, 5 et 7. Est ce un triangle rectangle? Justifier.

4 Dans les programmes Géométrie pratique - expérience, intuition - construction, reconnaissance - dessin/objet matériel Dualité Géométrie théorique - raisonnement, déduction - démonstration - dessin/outil-représentant 6ème 5ème 4ème

5 Dans les programmes Classe de 6ème Classe de 5ème Classe de 4ème Consolider «une première expérience des figures et des solides en passant d une reconnaissance perceptive à une connaissance prenant appui sur quelques propriétés vérifiées à l aide d instruments» Prendre appui sur des figures dessinées, parfois à main levée. Expérimenter, conjecturer, justifier. Entretenir la pratique des constructions géométriques et des raisonnements sous jacents qu elles mobilisent.. Elaboration, rédaction d une démonstration. Initier les élèves à la démonstration.

6 Exemple Exercice: - ABCD est un carré - AE = BF = CG = DH A H E B Quelle est la nature du quadrilatère EFGH? F D G C

7 Exemples Tracer un triangle dont les côtés mesurent 12 cm, 7 cm et 3 cm. Tracer un triangle dont les côtés mesurent et 11cm, 4cm et 7cm. Tracer un triangle dont les côtés mesurent et 4cm, 7cm et 11cm.

8 Les trois géométries

9 Intuition Fournit au sujet: - Une théorie première basée sur un lot d évidences - Un socle pour le raisonnement Est une source de découvertes. Peut être vue comme un ensemble de strates qui se superposent et font oublier les premières intuitions. Non stable, évolue grâce aux expériences. Exemple : «par 2 points distincts, il passe une seule droite»

10 Expérience Est non immédiate, action physique ou mentale nécessaire. Lieu: espace mesurable. Outil: perception, instruments. Ex: «la somme des angles intérieurs d un triangle est un angle plat»

11 Déduction Permet d atteindre de nouvelles informations à partir de celles déjà acquises sans recours à l expérience. Fondée sur le raisonnement. Permet de réorganiser les apports de l expérience.

12 Liens entre Intuition, Expérience, Déduction 1) Expérience nourrit structure Intuition 2) «La déduction avance mais ne voit pas. L intuition voit mais n avance pas.» 3) Évidence renseignement issue de l intuition # issu de l expérience Résultat d une expérience # conclusion d un raisonnement

13 Géométrie naturelle (ou géométrie I) (ou la confusion entre la géométrie et la réalité) La déduction s exerce sur des objets matériels. Preuve dynamique et mécanique. Importance de la construction et la perception (pliage, superposition). Source de validation: monde réel, sensible. Présence des 3 pôles: intuition, expérience, déduction.

14 Géométrie axiomatique naturelle (ou géométrie II) Géométrie comme schéma de la réalité. Importance de la déduction logique et de la démonstration au sein d un système axiomatique précis. Présence des 3 pôles.

15 Géométrie axiomatique formelle (ou géométrie III) Indépendance entre la géométrie et la réalité L axiomatisation vise à être complète Vision algébrique de la géométrie Elle a émergé avec la naissance des géométries non euclidiennes

16 Comparaison des Géométries Géométrie I Géométrie II Géométrie III Intuition Sensible et perceptive Liée aux figures Interne aux mathématiques Expérience Liée à l espace mesurable Schéma de la réalité De type logique Déduction Proche du réel et liée à l expérience par la vue Démonstration basée sur des axiomes Démonstration basée sur des axiomes Type d espace Espace intuitif et physique Espace physicogéométrique Espace abstrait euclidien