NUMERATION. Mathématiques OPERATIONS. Mathématiques =

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1 NUMERATION OPERATIONS La numération égyptienne : Une décomposition simple s nombres L addition = calculer une SOMME Pour calculer une SOMME DE PLUSIEURS TERMES, il est parfois utile FAIRE DES REGROUPEMENTS pour simplifier les calculs = Chaque symbole correspond à un GROUPEMENT : Million Centaine Dizaine Unité Centaine Dizaine Unité Le zéro n existe pas Pour poser et EFFECTUER en colonne, il faut : placer les nombres les uns sous les autres en ALIGNANT LES CHIFFRES DES GROUPEMENTS SE RAPPELER DES RETENUES d u c d u m m

2 NUMERATION NUMERATION La numération maya : Une décomposition s nombres Dans notre numération : Le rôle du zéro dans la numération position Chaque chiffre a une valeur différente selon sa position dans le nombre o 513 le «5» est le chiffre s centaines il vaut 500 o le «0» est le chiffre s unités Chaque groupement est 10 fois plus grand que celui qu il précè m 10 m 10 m 10 m 10 m 10 m La numération maya utilise trois signes qui n ont pas la même valeur selon leur position. Le zéro est important pour marquer le manque dans un groupement. Dans notre numération le même signe, le même chiffre a une valeur différente selon sa position : 215 le 5 vaut 5 unités 253 le 5 vaut 5 dizaines unité Million centaine Mille dizaine Mille unité Mille centaine dizaine unité Dans un nombre, il peut y avoir plusieurs fois le même chiffre, ils représentent s valeurs différentes le premier «5» est dans le le second «5» est dans le le zéro est important : il permet repérer les groupements vis groupement s unités millions, groupement s centaines d unités,

3 NUMERATION La numération sino-japonaise : la décomposition canonique s nombres La numération sino-japonaise utilise un symbole différent pour chacun s 9 premiers nombres A chaque groupement correspond un symbole. Le zéro n existe pas La juxtaposition s signes correspond à une MULTIPLICATION dans chaque groupement et à une ADDITION entre les différents groupements x 1000 NUMERATION ORALE Dire et écrire les nombres Avec les mots suivants on peut dire les nombres 1 à un ux trois quatre cinq six sept huit neuf dix onze douze treize quatorze quinze seize vingt trente quarante cinquante soixante cent million et Le mot «zéro» sert à désigner le nombre «0» mais ne sert dans aucune décomposition nombre. Pour lire un grand nombre il est plus facile : - le décomposer en tranches trois chiffres selon les classes (séparées par un espace) - donner à chaque tranche, le nom la classe correspondante x 100 (2 x 1 000) + (5 x 100) + 7 = m 1000 m 1000 m unité Million centaine Mille dizaine Mille unité Mille centaine dizaine Unité Cette décomposition par addition produits selon chaque groupement s appelle la DECOMPOSITION CANONIQUE. Classe s milliards Classe s millions Classe s Classe s unités d u c d u c d u c d u c d u se lit millions unités milliards quarante-ux milliards six cent trente cinq millions sept cent quatre-vingt ux trois cent cinquante-quatre unités JCR JCR

4 GEOMETRIE : l équerre, la règle angles droits, droites perpendiculaires, parallèles GEOMETRIE : le compas cercle, rayon, diamètre, cor Pour reconnaître un angle droit, utilise l équerre. d 2 Pour tracer un angle droit, utilise l équerre et la règle. Pour reporter s distances, le compas est très utile. d 2 d 1 d 1 d 1 Pour tracer s droites parallèles, utilise l équerre et la règle. Pour tracer un cercle, utilise un compas. La mesure l ouverture du compas s appelle le rayon. Le périmètre du cercle s appelle une A d 1 d 2 circonférence. cercle rayon d 2 I centre O diamètre J L équerre ne sert pas à tracer, mais à guir la règle. M cor N JCR JCR

5 OPERATIONS Différents sens la multiplication Voici s situations où calculer un produit permet retrouver rapiment la solution : Trouver le prix 4 crayons : 4 x 2 = 8 8 pour les 4 crayons 4 50 le kg Trouver le prix 25 livres : 25 x 7 = 175 Les livres coûtent 175. Trouver le nombre crayons couleurs : 5 x 12 = crayons couleurs Trouver le prix 2 kg fraises : 2 x 4,50 = 9 9 pour les 2 kg fraises. Trouver l aire du terrain (trouver le nombre d un mètre côté) : 75 x 200 = La superficie est m 2. 7 carrés OPERATIONS la multiplication : calculer un produit Multiplier par 2, c est doubler 54 x 2 = = 108, Multiplier par 4, c est doubler puis doubler : 54 x 4 = = 216 Multiplier par 10, c est ajouter un zéro à droite 54 x 10 = 540 Multiplier par 100, c est ajouter ux zéros à droite 54 x 100 = 5400 Certains produits peuvent se calculer en ligne très rapiment : x 5= x 5 = (5x4) + (5x20) + (5x1000) = = x 500 = x 5 x 100 = x 100 = Poser et effectuer un produit : 428 x 37 = (428x7) + (428x30) + (428x100) x x x x x 137

6 NUMERATION La numération romaine : Elle est encore utilisée pour numéroter les chapitres s livres ou pour nommer les siècles en histoire. Les chiffres sont s lettres : I V X L C D M Il est habituel ne pas utiliser 4 fois le même signe dans un groupement, on effectue alors une soustraction : 4=5 1 IV 9=10 1 IX 40=50 10 XL 90= XC 400= CD 900= CM Exemples : XV 15 XIV 14 Pour nommer les siècles : 0 XIX 19 En quel siècle MCMLXXXIV 1984 NUMERATION La notation exponentielle : les puissances Le nombre 3 x 3 x 3 x 3 peut s écrire 3 4, ce qui se lit «3 puissance 4» C est une écriture pratique pour exprimer s grands nombres et en particulier les centaines, dizaines milliers, millions, milliards, x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = x 10 x 10 x 10 x 10 = x 10 x 10 x 10 = x 10 x 10 = x 10 = = = 10 0 Nombres et chiffres Classe s milliards m 1000 m 1000 m 1000 Classe s millions Classe s Classe s unités c d u c d u c d u c d u De l an -201 à -300 De l an -101 à -200 De l an -1 à -100 I er siècle avant J-C De l an 1 à 100 I er siècle De l an 101 à 200 II e siècle De l an 201 à 300 Le XX e siècle a commencé en Le XXI e siècle a commencé en est situé au XV e siècle. Dans le nombre : Le chiffre s unités est : 0 Le nombre d unités est : Le chiffre s dizaines est : 5 Le nombre dizaines est : il y a dizaines dans

7 NUMERATION : l expression du temps La mesure du temps et ses expressions dépennt règles numération complexe. Il existent plusieurs unités : La secon : s La minute : min L heure : h Le jour : j L année 1 MINUTE 60 SECONDES 1 HEURE 60 MINUTES 60 x 60 secons = secons 1 JOUR 24 HEURES 24 x 60 minutes = minutes 1 année 365 jours (ou 366 tous les 4 ans) LES INSTANTS : ce sont s moments très courts. On peut utiliser une montre pour définir un instant. LES DUREES : ce sont s espaces temps entre 2 instants que durent quelque chose. On peut utiliser un chronomètre ou faire un calcul pour définir une durée. m 365 m 24 m 60 m 60 année j h min s NUMERATION : l expression du temps Le même instant peut être noté façons différentes 14 heures 15 minutes 30 secons 2 heures et quart h min s A l oral, on utilise souvent les termes «quart», «mi» et «moins le quart» pour désigner 15, 30 ou 45 minutes. (5 h45 6 h moins le quart) Dans nombreuses situations, on aura besoin CONVERTIR s durées exprimées en jours, heures, minutes et secons dans d autres unités. 15 h 45 minutes (15 x 60) + 45 minutes = 945 minutes 180 minutes 3 x 60 minutes = 3 heures 600 secons 6 x 60 secons = 6 minutes Pour additionner s durées, il est nécessaire D ADDITIONNER ENSEMBLE LES MEMES UNITES, puis faire, si besoin une CONVERSION. h min s j heures 1 jour 14 : 15 : secons secons = 1 minute 44 secons

8 NUMERATION L ordre dans les nombres entiers : POUR COMPARER DEUX NOMBRES ENTIERS : S ils n ont pas le même nombre chiffres : c est simple, le plus grand est celui qui a le plus chiffres. Comparer et a 6 chiffres a 5 chiffres > S ils ont le même nombre chiffres : Tu compares alors le 1 er chiffre chacun en partant la gauche. Si ces ux chiffres sont égaux, tu compares les ux suivants, et ainsi suite. Comparer et > 3, donc > ORDRE CROISSANT : du plus petit au plus grand. 1 < 5 < 24 < 58 < 699 ORDRE DECROISSANT : du plus grand au plus petit. 699 > 58 > 24 > 5 > 1 OPERATIONS : La soustraction : La soustraction : sens. Voici s situations où la soustraction permet trouver rapiment la solution : Pour trouver une DISTANCE ou un ECART. Louis XIV, né en 1638, est mort en Il a vécu = 77 ans Pour calculer une DIFFERENCE. Pierre a 135 et Guillaume 75. Il y a 60 différence entre les sommes que possè chaque enfant = 135 ( ) = = = 60 Pour trouver un COMPLEMENT. 21 carreaux sont posés sur 36. On cherche CE QU IL MANQUE, le COMPLEMENT : =15 Pour trouver un RESTE. On a 40 carreaux. On en pose 36. Il en reste = = 77

9 GEOMETRIE : les polygones UN POLYGONE EST UNE FIGURE PLANE LIMITEE PAR UNE LIGNE BRISEE FERMEE GEOMETRIE : les polygones Nombre Nom du polygone côtés 3 triangle 4 quadrilatère 5 pentagone 6 hexagone 7 heptagone 8 octogone 9 10 décagone 12 dodécagone GEOMETRIE : les quadrilatères un QUADRILATERE qui a DEUX COTES PARALLELES est un TRAPEZE Les polygones (3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) peuvent être CONCAVES ( 6) ou CONVEXES concave : qui présente un creux QUELCONQUES (6,5) ou REGULIERS (3,4,7,8,9) régulier : tous les côtés et les angles sont égaux un QUADRILATERE qui a 4 COTES PARALLELES DEUX A DEUX est un PARALLELOGRAMME un PARALLELOGRAMME qui a 4 COTES EGAUX est un LOSANGE un PARALLELOGRAMME qui a 4 ANGLES DROITS est un RECTANGLE un PARALLELOGRAMME qui a 4 ANGLES DROITS et 4 COTES EGAUX est un CARRE

10 GEOMETRIE : les triangles Pour tracer un triangle dont on connaît les mesures s côtés, on utilise un compas. Un triangle qui a DEUX COTES EGAUX est un triangle ISOCELE. Un triangle qui a DEUX COTES PERPENDICULAIRES est un triangle RECTANGLE. OPERATIONS Partages et divisions : Toutes les situations partages ne sont pas s situations division. Pour qu elles le soient, il faut : que le partage soit équitable (que les parts soient les mêmes) que ce qui reste après le partage soit inférieur au diviseur (qu on ne puisse plus continuer le partage) Un triangle qui a DEUX COTES EGAUX et PERPENDICULAIRES est un triangle RECTANGLE ISOCELE. Un triangle qui a TROIS COTES EGAUX est un triangle EQUILATERAL. On partage 52 cartes en 6 52 = (6 x. ) +. Le divin : ce qu on partage 52 = ( 6 x 8 ) + 4 Le diviseur : le nombre parts Le quotient : le résultat la division Le reste : plus petit que le diviseur

11 GEOMETRIE les quadrilatères TRAPEZES Deux côtés sont parallèles. En traçant les diagonales et en utilisant le compas pour reporter les distances, il est facile à reproduire. PARALLELOGRAMMES Deux côtés sont parallèles. (trapèze) Les côtés sont parallèles ux à ux. En traçant les diagonales, on remarque qu elles se croisent en leur milieu. Cette propriété est utile pour les tracer ou les reproduire. LOSANGES Deux côtés sont parallèles. (trapèze) Les côtés sont parallèles ux à ux. (parallélogramme) Les 4 côtés sont égaux. En traçant les diagonales, on remarque qu elles se croisent en leur milieu et qu elles sont perpendiculaires. Ces propriétés sont utiles pour les tracer ou les reproduire. RECTANGLES Deux côtés sont parallèles. (trapèze) Les côtés sont parallèles ux à ux. (parallélogramme) Les côtés sont perpendiculaires : 4 angles droits En traçant les diagonales, on remarque qu elles se croisent en leur milieu et qu elles ont la même longueur. CARRES Deux côtés sont parallèles. (trapèze) Les côtés sont parallèles ux à ux. (parallélogramme) Les 4 côtés sont égaux : (losange) Les côtés sont perpendiculaires : 4 angles droits (rectangle) Le carré a les propriétés du trapèze, du parallélogramme, du losange et du rectangle. OPERATIONS Partages et divisions : Voici plusieurs procédés utilisés pour calculer un quotient : = (35 x ) + 1. On ne fait que s multiplications : 35 x 100 = fois ; trop petit 35 x 200 = fois ; trop petit 35 x 300 = fois ; trop grand 35 x 250 = fois ; trop grand 35 x 220 = fois ; trop grand 35 x 210 = fois ; trop petit 35 x 215 = fois ; trop grand 35 x 213 = fois ; trop petit 35 x 214 = fois ; trop grand = (35 x 213 ) < On fait s multiplications et s soustractions : fois fois fois 35 1 fois 35 2 fois fois = (35 x 213 ) < 35

12 MESURES associer un nombre à une granur en comparant avec une unité : On a l habitu d utiliser : la secon comme unité DUREE s le mètre comme unité LONGUEUR m le gramme comme unité MASSE g le litre comme unité CAPACITE l l euro comme UNITE MONETAIRE en Europe le mètre carré comme unité mesure d AIRE m 2 le mètre cube comme unité VOLUME m 3 durée, temps, entre ux instants, distance, hauteur, largeur, longueur, profonur, altitu, taille, poids, peser, masse, récipients, bouteille, somme, prix, total, surface, superficie, taille, volume gazeux, volume d eau, Il existe d autres unités le VOLT, l AMPERE, le DEGRE CELSIUS, le DEGRE d angle, l OCTET, Pour parler d unités plus gran ou plus petites, on utilise quelques fois s préfixes : OPERATIONS Partages et divisions : Évaluation du nombre chiffres du quotient Pour éviter faire trop d opérations et pour connaître le nombre chiffres du quotient d une division, on peut faire une évaluation l ordre granur grâce à un encadrement : x 10 est trop petit 350 < x 100 est trop petit < x est trop grand > x 100 < < 35 x Le quotient est donc un nombre compris entre 100 et Il s écrira avec 3 chiffres. 3 opérations suffiront pour effectuer le partage. Les multiples Les sousmultiples Giga- : G fois plus grand : Go = 1 Gigaoctet Méga- : M fois plus grand : Mo = 1 Mégaoctet kilo - : k 1000 fois plus grand : kg = 1 kilogramme hecto - : h 100 fois plus grand : hl = 1 hectolitre déca - : da 10 fois plus grand : dam = 1 décamètre -1 1 dm = déci- : d 10 fois plus petit : 10 centi- : c 100 fois plus petit : 10 milli- : m 1000 fois plus petit : 10 micro- µ fois plus petit : 10 nano- n fois plus petit : 10 1 décimètre -2 1 cl = 1 centilitre -3 1 mm = 1 millimètre -6 1 µm = 1 micromètre -9 1 ns = nanosecon On fait s multiplications et s soustractions : fois fois 35 3 fois fois = (35 x 213 ) < 35 On commence par les centaines puis les dizaines enfin les unités

13 OPERATIONS Diviser. 3 étapes : : 27 Déterminer le nombre chiffres au quotient. 27 x 100 < < 27 x chiffres donc centaines, dizaines, et unités LES NOMBRES DECIMAUX On appelle nombre décimal un nombre qui peut s écrire sous forme d une fraction 10, 100, 1000, Exemples : 10,1 = = On peut toujours placer un décimal entre ux décimaux : Poser et calculer Si c est nécessaire on peut écrire le répertoire du diviseur c d u c d u , ,8 12,7 12,74 12,8 12,9 12,75 12 unités et 7 dixièmes 12 unités et 74 centièmes Écrire l égalité et vérifier = (27 x 692) + 18 Poser ou utiliser la calculette 12,73 12,74 12,744 12,75 12, unités et 744 millièmes 12 unités 7 dixièmes 4 centièmes 4 millièmes

14 LES NOMBRES DECIMAUX Le nombre 13504/10000 se lit : dizaine unité millièmes 1350 centièmes et 4 millièmes 135 dixièmes et 4 millièmes 13 unités et 5 dixièmes 0 centièmes et 4 millièmes 13 unités 50 centièmes et 4 millièmes 13 unités et 504 millièmes 13, 504 se lit treize virgule 504 Partie entière Partie décimale ou fractionnaire centaine dizaine unité dixième centième millième /10 1/100 1/1000 0,1 0,01 0,001 OPERATIONS sur les décimaux (additions et soustractions) dizaine unité centaine dizaine unité dixième centième millième /10 1/100 1/ , , 7 1 6, On aligne les unités sous les unités pour poser l opération. Pour la soustraction si aucun chiffre n est au-ssus, c est que la valeur est égale à 0, on effectue la soustraction sans oublier les retenues Pour comparer ux nombres décimaux : o On compare d abord les parties entières exemple : 6, 94 et 26,894 6 est plus petit que 26 6, 94 < 26,894 o Si les nombres ont la même partie entière, on compare les chiffres après la virgule en commençant par les dixièmes 4,7248 et 4,725 4,7248 < 4,725 car 4 millièmes < 5 millièmes dizaine unité centaine dizaine unité dixième centième millième /10 1/100 1/ , 5 + 2, , 8 2