ECOULEMENT DE FLUIDES VISQUEUX

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1 Fl5 ECOULEMENT DE FLUIDES VISQUEUX Nous étudierons dans cette expérience l écoulement, dans un tube, de fluides réels, en tenant compte du frottement interne qui existe dans ces fluides. Cette propriété des fluides est appelée viscosité. THÉORIE DE L ECOULEMENT DANS UN TUBE 1. COEFFICIENT DE VISCOSITÉ, η Nous savons par l expérience que, par exemple, de l huile est plus visqueuse que de l eau et que du miel est encore plus visqueux! De plus, nous nous rendons bien compte que la force qui s oppose au mouvement d un objet dans un fluide doit être proportionnelle à la viscosité du fluide. Enfin, on observe expérimentalement qu à cause de la force de frottement interne, le fluide en contact avec la surface qui le contient ne bouge pas par rapport à cette surface. Pour définir un coefficient de viscosité qui caractérise la viscosité d un fluide, considérons un véhicule porté sur un coussin d air (exemple, l hovercraft ou l air-track utilisé lors des manipulations de 1 ière candidature). Ce coussin d air produit une force de frottement qui s oppose au mouvement du véhicule et qui peut s écrire : F = ηa dy (1) dt où dy/dt est le gradient de vitesse suivant y, épaisseur de la couche d air, A la surface de contact entre le véhicule et la couche d air et η le coefficient de viscosité de l air. Il est en effet raisonnable que la force de freinage provenant des frottements soit liée à la différence de vitesse entre les couches en mouvement ; cette différence intervient dans la loi (1) par l intermédiaire de dy/dt. Dans le système SI, η s exprime en Ns/m² ou Pa.s, ou encore kg m -1 s -1. Dans le système CGS, η s exprime en dyne.s cm - ² ou g cm - 1 s - 1, unité appelée Poise (P). La conversion : 1 Pa.s = 10 Poise. Exemples de coefficient de viscosité pour quelques milieux : Liquide ou gaz hydrogène air acétone eau pétrole sang acide sulfurique glycérine η [µ 9,5 18,

2 Ecoulement visqueux loi de Poiseuille Fl 3 -. TYPES D ECOULEMENT L équation (1) ne peut être utilisée que si on peut considérer le fluide comme composé de couches ou "lamelles" parallèles tel que l écoulement du fluide s effectue par glissement de ces couches les unes sur les autres sans échange de particules entre elles. On a alors un écoulement laminaire. Le gradient de vitesse (dy/dt dans l exemple cité plus haut) est une grandeur petite. Lorsqu il n en est plus ainsi, et que le gradient de vitesse devient important, la force de frottement cesse d être donnée par une loi linéaire, et d autres termes beaucoup plus compliqués interviennent. Physiquement, cette situation correspond à un écoulement turbulent, caractérisé par des tourbillons (comme dans une rivière dont le cours est rapide, ou au-dessus de l orifice de votre baignoire quand vous la videz). Le passage d un régime à l autre est déterminé par la géométrie de l écoulement, et par sa vitesse moyenne. On définit, pour caractériser la transition, le nombre de Reynolds, nombre sans dimension tel que : (1') R e = v ρ d η où v est la vitesse moyenne de l écoulement, ρ la masse volumique du fluide, η sa viscosité et d une dimension caractéristique de la section du fluide (le rayon si la section est circulaire). On vérifie aisément que R e est un nombre sans dimension, et lorsque toutes les grandeurs qui le définissent sont exprimées dans un système d unités cohérent, la valeur R e < 1000 indique un écoulement laminaire et R e > 1500 un écoulement turbulent.

3 3. VITESSE D ECOULEMENT EN RÉGIME LAMINAIRE Soit (figure 1) une section du tube dans lequel le fluide s écoule suffisamment lentement pour que le régime soit laminaire. Ici, les couches du fluide sont des cylindres concentriques dont l axe est l axe du tube. Soit un tel cylindre de rayon r, de longueur L et de surface π r L. Figure 1: profil des vitesses d un écoulement laminaire dans un tube cylindrique D après (1), la grandeur de la force de frottement sur cette surface est F rl dv 1 =ηπ () dr Comme l écoulement est uniforme (pas d accélération) et en supposant que le tube est horizontal, cette force F 1 doit être opposée à la force due à la différence de pression aux deux extrémités du cylindre, soit : F = πr p p = πr b 1 g p (3) où p 1 et p sont les pressions à l entrée et à la sortie du cylindre et où p = p 1 - p est appelé perte de charge. En écrivant que F 1 + F = 0, on obtient : dv dr = 1 p η L r (4) Pour obtenir la distribution de la vitesse en fonction du rayon, on doit intégrer (4) en posant v(r) 1 p R = 0. D où : vr vr L rdr p bg bg z 1 = = c L R r h η r 4η Comme v(r) = 0, on obtient finalement : p vr b g = 1 c 4 η L R r h (5) La répartition des vitesse le long du rayon du tube est donc parabolique (figure 1). Cette conséquence du calcul est difficilement accessible à la vérification expérimentale. Par contre, il est facile de mesurer le débit D du fluide, c est-à-dire le volume qui traverse une section droite par unité de temps. La couche limitée par deux cylindres de rayons r et r + dr possède la vitesse v. Sa section est π r dr et le débit correspondant est : c dd rdrv rdr p R = = r h π π 4 ηl

4 Ecoulement visqueux loi de Poiseuille Fl 3-4 Le débit total dans le tube est donc : z pz 4 R π R pr D= dd= cr r h dr = π (6) 0 4ηL 0 8ηL ce qui permet d obtenir la vitesse moyenne, qui par définition vaut : D p R = πr 8ηL L équation (6) est appelée loi de Poiseuille. Elle s applique chaque fois que l on aura un écoulement laminaire d un fluide visqueux. 4. ETUDE DE L ECOULEMENT EN FONCTION DU TEMPS Au laboratoire, nous procédons à une mesure indirecte de la viscosité d un liquide. Pour cela, nous utilisons le même arrangement expérimental que pour l expérience de l'écoulement d'un fluide parfait (eau colorée). La seule différence est que nous remplacerons l orifice par un tube. Puisque le débit D est proportionnel à la perte de charge p, démontrons que la hauteur du fluide dans le réservoir de stockage va décroître alors exponentiellement en fonction du temps. La perte de charge entre les extrémités du tube et le débit sont donnés par : p= ρg y y0 où ρ est la masse volumique du fluide, et y 0 la hauteur du trou d écoulement. Le débit est donné par : b g (7) D= A dy dt (8) où A est l aire de la face horizontale du liquide, y la coordonnée verticale dans le réservoir de stockage. En remplaçant dans l équation (6), nous obtenons : dy by y = 0 g (9) dt τ avec η τ = 8 LA 4 πr ρg (9a) où τ est le temps de relaxation. La solution de (9) est : t/τ by y0g= by y0g e (10) in où (y y 0 ) in est la hauteur initiale du liquide dans le réservoir repérée par rapport au centre du tube de sortie. Cette équation sera vérifiée expérimentalement et elle nous permettra de déterminer le coefficient de viscosité η du fluide utilisé.

5 Ecoulement visqueux loi de Poiseuille Fl 3-5 MANIPULATION Fl5 ECOULEMENT DE FLUIDES VISQUEUX ECOULEMENT DES FLUIDES DANS UN TUBE Le dispositif expérimental est le même que celui utilisé lors de l expérience précédente (écoulement d un liquide parfait). Vous remplacerez seulement les "capsules"par des tubes en aluminium qui se fixent de la même façon que les capsules. De plus, vous mettrez les deux réservoirs à une distance d environ 7 cm l un de l autre. 1. ETUDE THEORIQUE DE L EAU Néanmoins, et à titre d exercice, vous commencerez par analyser l écoulement de l eau à travers le tube de 8 mm de diamètre, à partir des données représentées sur le graphique ci-après. La courbe tracée sur le graphique semi-logarithmique est-elle conforme aux prévisions théoriques? Pourquoi? Quelle est la partie du graphique la plus susceptible de s accorder avec la loi théorique? Pourquoi? Estimer le nombre de Reynolds (formule 1') - pour l écoulement entre 0 et 10 s (en prenant η 10 - P) = R e = - entre t = 75 s et t = 80 s = R e = Calculez le temps de relaxation τ à l aide de (10), en utilisant des points du graphique semi-log. auxquels la loi est applicable, et calculez η à l aide de (9a): τ = η =

6 Ecoulement visqueux loi de Poiseuille Fl 3-6 Graphique Ecoulement de l eau à travers un tube de 8 mm de diamètre et de 10,5 cm de long

7 . ETUDE EXPERIMENTALE DE L ANTIGEL La masse volumique de l antigel est ρ = 1.1 gr/cm 3. Vous avez à votre disposition 4 tubes dont les diamètres intérieurs sont de 4, 6,8 et 1 mm..1 Schématisez le dispositif expérimental... Placez le tube de 8 mm de diamètre. Déterminez alors en fonction du temps t la hauteur y dans le réservoir de stockage à partir du centre du tube (pour plus de facilité prendre le centre du tube correspondant à y = y 0 = 0 sur votre bande de papier millimétré). Vous prendrez (y y 0 ) in = 16 cm et vos mesures toutes les 5 secondes. t(s) (y y 0 ) (cm) t(s) (y y 0 ) (cm) Vous porterez ensuite (y y 0 ) = f(t) sur un graphique semi-logarithmique.

8 Ecoulement visqueux loi de Poiseuille Fl Placez le tube de 4 mm de diamètre et observez l écoulement de l antigel. Procédez aux mesures comme pour le tube de 8 mm. t(s) (y y 0 ) (cm) t(s) (y y 0 ) (cm) t(s) (y y 0 ) (cm) Portez (y y 0 ) = f(t) sur un graphique semi-log. En examinant les graphiques, lequel se prête le mieux à la détermination de la viscosité? Pourquoi? Calculez à partir de ce graphique τ = η = A l aide de la valeur de η que vous avez déterminée, estimez la valeur du nombre de Reynolds - pour le tube de 8 mm de diamètre : & pour le tube de 4 mm de diamètre : au début de l écoulement au début de l écoulement : v = v = R e = R e = à la fin de l écoulement : v = R e =

9 Ecoulement visqueux loi de Poiseuille Fl Avec de l antigel et les tubes de 6 mm et 1 mm, déterminez le temps de relaxation. Rappelez-vous que τ= T 1 / ln où T 1/ est le temps nécessaire pour que la hauteur dans le réservoir de stockage soit diminuée de la moitié de sa hauteur initiale. Vous mesurerez alors T 1/ à l aide du chronomètre. (d = 6 mm) T 1/ = τ = (d =1 mm) T 1/ = τ = A partir de ces mesures et à l aide de la formule (9a), calculez le coefficient de viscosité. (d = 6 mm) η 1 = (d = 1 mm) η =.5. Comparez les valeurs η 1 et η. Pratiquement, comment sont-elles l une par rapport à l autre? Théoriquement, comment devraient-elles être l une par rapport à l autre? Que pouvez-vous conclure de vos résultats?