Leçon 5 Les systèmes d équations et d inéquations

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1 Leçon 5 Les systèmes d équations et d inéquations Cette leçon ne figure pas eplicitement au programme mais, comme nous rencontrons de plus en plus de systèmes dans les eercices, j ai pensé qu il était utile de faire un point rapide sur les méthodes pour résoudre les systèmes d équations linéaires, non linéaires et les systèmes d inéquations. Cela permet de progresser en calculs. Lycée Elève : Classe : Fiche Leçon 5 Les systèmes Première ES Eercice 1 : Résoudre dans R : Eercice : Résoudre dans R : 3 y = 10 + y = 10 + y = 8 y = 3 Eercice 3 : Résoudre dans R : Eercice 4 : Résoudre dans R 3 : y 4 8 y 4 = = 3 + y z = 3 y + z = 3 5 y 6z = 3 Eercice 5 : Résoudre dans R : Eercice 6 : (un peu plus difficile) 0 Résoudre dans R : y ( y + 1) ( + y 4) 0 y 0 Eercice 7 : Un système «mite» mélangeant équation et inéquations : Résoudre dans R : 0 ; y 0 + y 8 y =

2 Tout ce savoir-faire de calculs sur les systèmes servira en Terminale pour résoudre les problèmes de programmation linéaire. Il est intéressant dés la première d en faire quelques-uns. Eercices d approfondissement La programmation linéaire Un pépiniériste propose à un grand magasin des sapins sous deu conditionnements différents : les uns avec motte de terre, pesant 3 kg, au pri de 9 l un les autres sans motte, pesant 9 kg, au pri de 6 l un. Le pépiniériste n accepte que les commandes d au moins 400 sapins de chaque type. Le transporteur dispose d un camion dont la charge ne peut pas dépasser kg, il n assure la livraison que si elle est d au moins 000 arbres. Le magasin dispose de 800 au maimum pour approvisionner son rayon sapins. On appelle le nombre de sapins avec motte et y le nombre de sapins sans motte que le grand magasin commande. 1) Compléter le tableau ci dessous : Nombre de sapins Poids Pri à l achat Avec motte : 3? Sans motte : y?? Total :??? ) Epliquer chaque ligne du système de contraintes ci dessous : et y entiers tels que 400 y y y y ) Faire un graphique dans un repère orthonormal du plan (P) et montrer graphiquement le domaine des contraintes contenant les points M ( ; y ) vérifiant le système cidessus. Une péréquation De quoi s agit-il? Par eemple, lors d un devoir à la maison, j ai des notes trop dispersées par rapport à la moyenne et trop basses dans l ensemble : La moyenne est 7 et l écart type 4 (vérifiez le pour vous entraîner). Je veu une moyenne à 9 et un écart type de. Comment faire?

3 Correction Eercice 1 Nous pouvons utiliser la substitution mais, en 1 ES nous préférons la combinaison de lignes pour résoudre ce premier système qui est un système linéaire. Il ne contient que des équations formées avec des polynômes en et y de degré 1 autrement dit des équations de droites. D E = R. Il n y a pas de conditions particulières à poser. R est l ensemble des couples ( ; y) avec et y réels. 3 y = 10 (L1) + y = 8 (L) = 4 + y = 8 (L) 7 = 8 (L1 + L) y = 4 d où y = S = {(4 ; )}. N oublions pas que graphiquement, nous avons ici deu droites et le système permet de trouver les coordonnées du point d intersection de ces deu droites. L accolade remplace le mot «et» donc les deu équations doivent être vérifiées en même temps. (D1) y = 3 10 (D) y = (D1) (D) = { I } et nous avons I(4 ; ) Eercice Ce n est pas un système linéaire, nous pouvons le faire aussi par substitution, mais nous pouvons voir qu il s agit d un système symétrique par rapport à et y c est-à-dire nous pouvons échanger les variables et y sans changer le système. Pour résoudre un tel système, nous pouvons utiliser S et P. (Voir leçon 4) (S = + y ; P = y) En effet + y = ( + y) y = S P + y = 10 S P = 10 P = 3 y = 3 P = 3 ; S = 16 donc S = 4 ou 4 Théorème (rappel) Si on connaît la somme et le produit de deu réels, si ces réels eistent, ils sont solutions de X SX + P = 0

4 Nous avons deu équations à résoudre : X 4 X + 3 = 0, deu racines évidentes : X 1 = 1 et X = 3 car P = 3 X + 4 X + 3 = 0, deu racines évidentes encore : X 3 = 1 et X 4 = 3 Nous avons donc 4 solutions pour ce système : S = {(1 ; 3) ; (3 ; 1) ; ( 1 ; 3) ; ( 3 ; 1)} Nous pouvons aussi voir graphiquement mais c est un peu plus compliqué : + y = 10 donne une courbe que nous allons étudier cette année : en effet dans un repère orthonormal, cette équation équivaut à OM = 10 si M ( ; y) et O l origine du repère et donc OM = 10, le point M est sur le cercle ( C ) de centre O et de rayon 10. Pour tracer ce cercle sur la calculette, il faut tirer y : + y = 10 y = 10 y = 10 ou y = 10. Pour la deuième équation, nous retrouvons une courbe étudiée en seconde : y = 3 y = 3 (nous savons que 0 car y = 3) c est un hyperbole. (Nous voyons bien 4 points d intersection.) Eercice 3 Nous avons dans R et y dans R = y 4 Il y a ici des conditions de calculs à poser : 0 et y 4 8 = 3 y 4 Nous devons procéder à des changements d inconnus : 1 1 X = et Y = (X R * et Y R * ) y 4 Le système devient linéaire en X et Y :

5 X + 3Y = (L1) X + 3Y = (L1) Y = 1 8X Y = 3 (L) 6Y = 13 (8L1 L) X = 3 = Cherchons maintenant et y en revenant au changements d inconnues effectuées : = = et = y 4 = y = 6. S = {( ; 6)} y 4 Pour vérifier graphiquement, c est encore un peu plus compliqué mais nous pouvons le faire : L équation 1 donne y = ; l équation donne y =. ( hyperboles) Nous avons deu points d intersection mais = 0, y = 4 ne convient pas. Seul ( ; 6) est solution. (voir conditions de calculs) Eercice 4 La méthode utilisée s appelle la méthode du pivot de GAUSS, elle est préférable à la substitution. a) Nous choisissons une équation comme premier pivot après avoir numéroter les lignes et dans un premier temps, nous éliminons par combinaisons de lignes la même inconnue dans les deu autres lignes (Ici, nous éliminons y) : + y z = (L1) + y z = (1 er Pivot) (L 1) 3 y + z = 3 (L) 7 + z = 8 (L1+L) (L ) 5 y 6z = 3 (L3) 6 7z = 1 (L1+L3) (L 3) Nous pouvons utiliser l addition ou la soustraction de lignes après les avoir multipliées si nécessaire. b) Dans un deuième temps, après avoir renumèroter les lignes, nous choisissons un deuième pivot et nous éliminons une deuième inconnue Ici, z. (Nous pouvons mettre (L 1, L etc. mais c est plus simple de garder le même nom) + y z = (1 er Pivot) = z = 8 ( ième Pivot) z = 8 7(1) z = 1 55 = 55 (7L + L 3) y = (1) + (1) y = 1

6 Nous remontons donc dans les pivots pour calculer successivement les deu inconnues qui ne sont pas données par la dernière équation. Conclusion : S = {(1 ; 1 ; 1)}(une seule solution) Nous verrons dans la leçon suivante sur l espace que ce système représente la recherche du point d intersection de trois plans dans l espace, en effet chaque équation est l équation d un plan de l espace. Vous pouvez vous entraîner tout seul en fabriquant vous-même un système : Vous décidez que la solution sera par eemple = 1, y = et z = 3 et vous fabriquez des équations de plans : E : 5 y + 6z =?, en remplaçant par la solution choisie, vous trouvez 5(1) + 6(3) = 1. Puis vous créez une autre équation jusqu à trois équations pour avoir un système. Eercice 5 Les systèmes d inéquations se font par le graphique et il n y a pas de solutions par le calcul. Nous avons un seul théorème pour les systèmes d inéquations linéaires : Théorème Toute epression de la forme a+ by+ c=0 est l équation d une droite du plan (P), cette droite partage le plan (P) en deu régions sur lesquelles, a+ by + c garde le même signe. (a et b ne sont pas nuls simultanément) La méthode consiste donc à traiter chaque inéquation graphiquement l une prés l autre et à barrer chaque fois la région qui ne convient pas. (Nous testons avec un point choisi au hasard) 0 y y 0 (I1) (I) (I3) Pour (I1), nous utilisons l ae des y ( = 0) et nous barrons la région qui contient les points d abscisse négative : Pour (I), nous gardons les points qui font partie de la bande comprise entre les droites horizontales d équations y = et y =. Pour (I3), appliquons la méthode, nous traçons la droite (D3) d équation : y = 0. Si = 0, y = 0 et si =, y =. Pour tester, nous choisissons un point quelconque A(4 ; 1) 4 1 est-il supérieur ou égal à zéro : réponse oui donc nous barrons la région ne contenant pas le point A en considérant uniquement les deu régions apparues avec la droite (D3). S = {les coordonnées ( ; y) des points de la région non hachurée y compris les frontières} Les frontières sont les demi-droites ou segments bordant la zone solution, elles sont ici valables à cause du signe = dans les inéquations.

7 (Nous avons colorié la région solution) Eercice 6 Nous cherchons et y tels que : ( y + 1)( + y 4) 0. Nous avons ici deu epressions qui nous donnent à penser qu il faut utiliser deu droites : (D1) y + 1 = 0 et (D) + y 4 = 0. Traçons ces deu droites dans un repère du plan (P), il apparaît alors 4 régions, nous prenons un point pour tester une des régions et nous pouvons dire, en utilisant le théorème vu cidessus que chaque fois que nous franchirons une demi-droite, le produit étudié changera de signe. Nous pouvons ainsi déterminer les régions qui conviennent. La méthode reste donc graphique : Nous testons avec le point O : ( )(0 + (0) 4) = 4 donc la région contenant O est négative pour ce produit, elle ne convient pas donc nous la barrons, la région, à droite en franchissant (D) convient donc etc. La solution ici, est représentée par les coordonnées et y des points des régions restées blanches.

8 Eercice 7 Les systèmes «mites» se font par le calcul ou/et par le graphique, en effet la présence d une équation permet grâce au signe = d effectuer des calculs sur les inéquations. Le plus simple est de garder l équation et de travailler sur les conditions concernant : 0 ; y 0 y = y = + y 8 0 ; 0 0 y = Conclusion : La solution est représenté par les coordonnée et y des points de la droite d équation y = mais 0 4. Il s agit donc des coordonnées des points d un segment de droite. Nous barrons la région à droite de l ae des ordonnées ( 0) puis nous barrons la partie en dessous de l ae des abscisses (y 0) puis, nous utilisons la droite (D) d équation : + y 8 = 0 enfin, nous testons avec le point O, est négatif donc nous mettons en gris la région au-dessus de la droite. Il reste tracer la droite d équation y = et le segment solution apparaît. Il s agit des points de la droite qui sont dans la région non grisée. La solution est donc bien constituée par les coordonnées des points du segment colorié ici en rouge.

9 Eercices d approfondissement La programmation linéaire Nous allons utiliser un système d inéquations que nous allons trouver grâce au contraintes trouvées dans l énoncé mais remplissons d abord le tableau donné pour nous aider. 1) Nombre de sapins Poids Pri à l achat Avec motte : 3 5 Sans motte : y 9y 10y Total : + y 3 + 9y y ) Il faut commander plus de 400 arbres de chaque catégorie donc : 400 et y 400. Il faut commander plus de 000 arbres donc : + y 000 La charge ne doit pas dépasser 1 600kg donc 3 + 9y y Enfin, pour le pri d achat, 9 + 6y y Nous avons donc le système suivant, car toutes ces contraintes doivent être réalisées en même temps. et y sont des entiers naturels tels que : 400 (L1) y 400 (L) + y 000 (L3) + 3y 7 00 (L4) 3 + y (L5) La méthode de résolution est graphique, nous traitons les inéquations les unes après les autres en éliminant la partie du plan qui ne convient pas. (L1), nous traçons la verticale = 400et nous éliminons tout ce qui se trouve à gauche de cette droite. (L), nous traçons l horizontale y = 400 et nous éliminons tout ce qui se trouve en dessous de cette droite. (L3), nous traçons y = 000 et nous testons avec 0(0 ; 0) : ? réponse non donc nous éliminons par rapport à la droite tracée la région contenant le point O. 1 (L4), nous traçons y = et nous testons aussi avec O : 3 (0) + 3(0) 7 00? oui, donc nous gardons par rapport à la droite tracée, la région contenant O. 3 (L5), nous traçons y = , testons avec O : 3(0) + (0) 7 600? oui, nous gardons par rapport à la droite tracée, la région contenant O. Graphique

10 S Nous voyons apparaître en blanc, le domaine des contraintes c est-à-dire toutes les solutions possibles. S = {les coordonnées ( ; y ) des points du domaine non grisé, attention N et y N}. Si on veut faire étape par étape :

11 Il y a ici beaucoup de solutions possibles, en terminale, vous verrez en plus le gain possible en déterminant la situation donnant le gain maimum. Une péréquation Le problème est le suivant, si on ajoute simplement un nombre à chaque note, la moyenne monte mais l écart type reste le même ; par contre si on multiplie chaque note par un réel plus grand que 1 pour augmenter la moyenne alors l écart type augmente. Nous sommes obligés de combiner les deu choses. Cherchons donc a et b tels que : Les nouvelles notes soient y i = a i + b alors nous aurons : Théorèmes : µ = a µ + b et σ = a σ. Ceci nous donne un système : 9 = a (7) + b a = 0,5 ou a = 0, 5 = a 4 b = 9 3,5 = 5,5 ou bien b = 9 + 3,5 = 1, 5 La solution négative pour a aboutit à une aberration car elle inverse les notes, devient 11,5 et 13 devient 6! La solution est donc y i = 0,5i + 5, 5 et les nouvelles notes seront donc : devient 6,5 ; 4 devient 7,5 ; 6 devient 8,5 et 10 devient 10,5 ; 13 devient 1, ici c est un peu dur! Mais il n y a pas d autres moyens si on veut augmenter la moyenne et diminuer l écart entre les personnes.