1.1 Les deux différents types d énoncés

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1 Chapitre 1 Eléments de logique Le contenu de ce chapitre n est pas un cours de logique. La logique a pour objet d étude les processus de la pensée, elle ne montre à proprement parler aucun résultat, elle décrit ce qu est un raisonnement valide et explique pourquoi un raisonnement donné est valide. Elle est sous-jacente à toute construction mathématique mais aussi à toute construction théorique. Il existe plusieurs forme de logique, logique du premier ordre, logique multivaluée, différente forme de logique floue. Nous présentons ici simplement quelque élément de logique du premier ordre qui est la forme de la logique la plus utilisée en mathématique. 1.1 Les deux différents types d énoncés Il y a en mathématique deux grandes catégories d énoncés, les énoncés qui représentent ou désignent les objets étudiés et les énoncés qui affirment une propriété qu ont (ou n ont pas les objets étudiés. Exemples - Homer, Bart, Lisa. - Homer est gros. - Bart est un lapin. - L ensemble des entiers naturels. - L application à valeur réelle de la variable réelle f : x sin(x est continue sur R. - Les fonctions polynômiales sont des fonctions croissantes sur R. Les énoncés 1 et 4 désignent des objets. Les énoncés 2, 3, 5 et 6 sont des affirmations. 1

2 2 CHAPITRE 1. LOGIQUE Concernant les énoncés désignant des objets, les concepts de vrai ou faux n ont aucun sens, en revanche un énoncé qui est une affirmation peut être vrai ou faux on dit qu il admet une véracité ou une valeur de vérité. Exemples - Dire ou écrire la fonction sinus est fausse ou le lapin est vrai sont des énoncés qui n ont pas sens. - L application f : R R; x sin(x est continue sur R est une affirmation vraie. - Les fonctions polynômiales sont des fonctions croissantes sur R est une affirmation fausse. Exercice 1. Parmi les énoncés suivants lesquels ont un sens? lesquels désignent un objet? une affirmation? lesquels admettent une véracité? (tiré d un poème de R.Desnos - Une fourmi de dix-huit mètres ça n existe pas! - Une fourmi parlant français, parlant latin et javanais. - Cette fourmi est fausse. - Une vraie fourmi. 1.2 Idées générales sur la construction axiomatique Les mathématiques sont une juxtaposition de constructions appelées théories, ce qu est exactement une théorie ne se dégage avec précision qu au fur et à mesure de l histoire de la pensée scientifique et mathématique en particulier. Les premiers textes dans lesquels on distingue clairement ce qu est une théorie sont des textes écrits vers la fin de l époque hellenistique (-300, 100, l un des plus célèbres est Les éléments d Euclide. Composé de 13 livres traitant de différents thèmes, géométrie plane et arithmétique. La structure globale du texte est en trois parties : - Une première partie fixe et donne un nom aux objets qui vont être étudiés, points, droites, cercles,... - Une deuxième partie est une liste d affirmations faites sur les objets décrits en première partie. Ces affirmations sont les axiomes de la théorie, elles sont affublée d office d une valeur de vérité vraie. - La troisième partie est également une liste d affirmations faites sur les objets décrits dans la première partie, mais contrairement aux axiomes énoncés dans la seconde partie, ces affirmations sont déduites des axiomes, elles sont

3 1.2. IDÉES GÉNÉRALES SUR LA CONSTRUCTION AXIOMATIQUE 3 appelées propositions ou théorèmes. Chacune de ces affirmations est suivie d un texte (la démonstration : partant des valeurs de vérités (déjà connues de certaines affirmations et en appliquant des règles de déduction (les règles de la logique la démonstration établit que l énoncé proposé admet une valeur de vérité vraie Termes Les objets étudiés sont représentés par des lettres appelés des termes. Par exemple dans la phrase les points A, B et C sont alignés Les lettres A, B et C sont des termes (chacun d eux représente un objet appelé point. Un terme peut prendre une valeur, par exemple dans les phrases Soit x un réel alors e x est un réel positif et si on suppose que le réel x vaut 1 alors x + 2 = 3 la lettre x est un terme elle représente un objet, dans les deux cas cet objet est un réel, dans la première phrase le réel représenté par le terme x n est pas précisé, dans la seconde on affecte au terme x une valeur précise. Il arrive souvent qu on rencontre des objets d un type nouveau, dans ce cas on décrit précisément quelle est la nature de ces objets grâce à une définition et on fixe très souvent une notation. Exemples - Définition : On appelle nombre premier tout entier naturel différent de 1 qui n est divisible que par 1 et par lui-même. Cette définition permet par exemple d écrire Soit p un nombre permier au lieu de Soit p un entier naturel différent de 1 et qui n est divisible que par 1 et par lui-même. - Notation : L ensemble des entiers naturels est noté N. Cela permet dans un texte de substituer la notation N à la phrase l ensemble des entiers naturels. - Définition et notation : Une sphère est l ensemble des points de l espace équidistants d un même point appelé centre de la sphère, la distance commune entre chaque point de la sphère et son centre est appelé rayon de la sphère. La sphère de centre C et rayon ϱ est notée S(C, ϱ. Il peut arriver qu aucun objet n entre dans le cadre d une définition donnée. Exemples - Définition : Une Drôle de fonction est une fonction réelle de la variable réelle continue et admettant une limite égale à + en 0.

4 4 CHAPITRE 1. LOGIQUE Il n existe aucune drôle de fonction. On dit que cette définition est vide Assertions Une assertion est la représentation d une affirmation. On a déjà dit qu une affirmation peut être vraie ou fausse, les axiomes sont des assertions dont on décide arbitrairement qu elles sont vraies. Exemples - Par un point hors d une droite donnée du plan passe une et une seule droite parallèlle C est un des axiomes d Euclide. Un axiome ne se démontre pas, il est vrai a priori. C est sur la collection des axiomes que repose l ensemble de la théorie : Après s être donné une liste d axiome on applique des règles de déduction (que nous étudierons plus tard pour trouver de nouvelles assertions vraies. Ces nouvelles assertions sont appelées théorèmes, lemmes, ou corollaires. La distinctions entre ces trois types d assertion est plutôt de nature culturelle voire émotionnelle, les théorèmes sont les assertions qui semblent les plus importantes, les lemmes sont des assertions préparatoires aux théorèmes, les corollaires sont des conséquences de théorèmes. Ce qu on exige de la collection initiale d axiome est qu ils ne soient pas contradictoires. Les théorèmes, lemmes et corollaires sont accompagnés d un texte appelé démonstration ce texte établit la véracité de l énoncé. Un type particulier d assertions sont les égalités : si a et b sont deux termes, lorqu ils désignent le même objet on dit que a égale b et on écrit a = b. Exemples - 5 = 3 + 3, 7 = sont des assertions, la première est fausse, la seconde est vraie. Le symbole = ne peut être écrit qu entre deux termes! Par exemple, (x + 4 = 0 = (x = 4 n a pas de sens puisque (x + 4 = 0 est une assertion et non un terme.

5 1.3. RÈGLES ET SYMBOLES LOGIQUES Règles et symboles logiques Les symboles logiques sont des symboles qui permettent d écrire de nouvelles assertions à partir d assertions déjà écrites, ils obéïssent à des règles de syntaxe précises qui doivent être respectées. Les règles logiques établissent les valeurs de vérité des assertions écrites à l aide des symboles logiques et d assertions de valeur de vérité connues. La négation Syntaxe : Soit A une assertion. En écrivant à gauche de A le symbole NON, on obtient une assertion NON (A. Exemple Si A est l assertion la fonction cosinus est continue. On obtient une nouvelle assertion en écrivant NON (la fonction cosinus est continue dans l usage courant on utilisera bien entendu plutôt la phrase La fonction cosinus n est pas continue. L assertion NON (A est appelée la négation de A. Règle logique : La véracité d une négation s obtient par application de la règle suivante donnée sous forme d un tableau de vérité. A V F NON A F V On dit qu une famille d axiome est non contradictoire lorsqu on ne peut pas en déduire d assertions qui soient à la fois vraie et fausse. La disjonction Syntaxe : Soit A et B deux assertions. Une nouvelle assertion est obtenue en écrivant AouB. L assertion A ou B est appelée la disjonction de A et de B. Règle logique : La véracité d une disjonction s obtient par application de la règle suivante donnée sous forme d un tableau de vérité. A B A ou B V V V V F V F V V F F F La négation NON et la disjonction ou sont deux symboles logiques à partir desquels on peut définir tous les autres symboles logiques, les symboles suivants peuvent donc être vus comme de simple abbréviations destinées à alléger les textes.

6 6 CHAPITRE 1. LOGIQUE L implication logique Syntaxe : Soit A et B deux assertions. L assertion (N ON A ou B est notée A B. L assertion A B est appelée l implication de B par A. Règle logique : La véracité d une implication s obtient par application de la règle suivante donnée sous forme d un tableau de vérité. A B A B V V V V F F F V V F F V Exercice 2. a Vérifier cette règle. b Que peut-on dire de la véracité de B sachant que A B est vraie, dans le cas où l on sait que A est vraie? dans le cas où l on sait que A est fausse? La conjonction Syntaxe : Soit A et B deux assertions. L assertion NON((NONA ou (NONB est notée A et B. L assertion A et B est appelée la conjonction de B et de A. Règle logique : La véracité d une conjonction s obtient par application de la règle suivante donnée sous forme d un tableau de vérité. L équivalence logique A B A et B V V V V F F F V F F F F Syntaxe : Soit A et B deux assertions. L assertion (A B et (B A est notée A B. L assertion A B est appelée la équivalence logique de B et de A. Règle logique : La véracité d une équivalence logique s obtient par application de la règle suivante donnée sous forme d un tableau de vérité. A B A B V V V V F F F V F F F V

7 1.3. RÈGLES ET SYMBOLES LOGIQUES 7 Exercice 3. Les lettres minuscules désignant des termes et les lettres majuscules des assertions, parmi les énoncés suivants quels sont ceux qui respectent la syntaxe (donc ont un sens? a a B. b a = B. c A = B. d (a = b NON(a = b. Autres règles logiques Les règles présentées dans ce paragraphe sont des conséquences des règles déjà vues. 1 Transitivité de l implication logique Soit A, B et C trois assertions. L assertion ( (A B et (B C (A C est vraie en toutes circonstances. En effet, on a le tableau de vérité A B C A B B C (A Bet(B C A C ( (A Bet(B C (A C V V V V V V V V V V F V F F F V V F V F V F V V V F F F V F F V F V V V V V V V F V F V F F V V F F V V V V V V F F F V V V V V 2 Règles de Morgan Soit A et B deux assertions. Les assertions ( NON(A ou B (NONA et (NONB ( NON(A et B (NONA ou (NONB sont vraies en toutes circonstances. 3 Double négation Soit A une assertion. L assertion NON(NONA A est toujours vraie.

8 8 CHAPITRE 1. LOGIQUE 4 Associativité de la disjonction et de la conjonction Soit A, B et C trois assertions. Les assertions [A et (B et C (A et B et C] et [A ou (B ou C (A ou B ou C] sont toujours vraies. Exercice 4. Vérifier les règles 2, 3 et 4 5 Discussion Soit A, B( et C des assertions. L assertion (A ou B et (A C et (B C vraie. En effet, on a le tableau ( de vérité suivant ( D note l assertion (AouBet(A Cet(B C C est toujours A B C AouB A C B C (A ou B et (A C et (B C D C V V V V V V V V V V F V F F F V V F V V V V V V V F F V F V F V F V V V V V V V F V F V V F F V F F V F V V F V F F F F V V F V Cette règle est le fondement des raisonnement par discussion. Exemples Si n est un entier naturel alors n(n+3 est un entier 2 Un entier naturel n est pair ou impair. - Si n est pair alors n n(n+3 est un entier, on a = n (n + 3 est donc le produit de deux entiers : c est un entier. - Si n est impair alors n + 3 est la somme de deux entiers impairs donc est pair, donc n+3 est un entier, on a n(n+3 = n+3n c est donc le produit de deux entiers : c est un entier. La structure du raisonnement est visible : Notons H l assertion n est un entier, A l assertion n est pair, B l assertion n est impair, et C l assertion n(n+3 est un entier. 2 - Lorsque H est vraie on a AouB - Si A alors C - Si B alors C donc C est toujours vrai.

9 1.3. RÈGLES ET SYMBOLES LOGIQUES 9 6 Contraposition Soit A et B deux assertions. L assertion (A B (NONB NONA est toujours vraie. Exercice 5. 1 Montrer cette règle. 2 Supposons qu on veuille montrer que Tout point M du plan situé sur le cercle d équation x 2 + y 2 = 1 forme avec les points A = ( 1, 0 et B = (+1, 0 un triangle rectangle en M. On suppose qu on sait qu un triangle (A, B, C est rectangle en C si et seulement si la formule de Pythagore est satisfaite. a Donner une démonstration directe du résultat. b Donner une démonstration par contraposition du résultat. 7 Règle du raisonnement par l absurde Soit A une assertion. S il existe une assertion B telle que est vraie, alors A est vraie. (NONA B et (NONA NONB Exercice 6. Etablir une table de vérité montrant l équivalence de A et de [(NONA B et (NONA NONB]. Exemples On veut montrer que lorsque n est un entier naturel, n n est pas le carré d un entier naturel non nul. Soit n un entier naturel. Si n est le carré d un entier naturel non nul a, alors n = a 2, donc (n + a(n a = 1. Or le produit de deux entiers vaut 1 si et seulement si ces deux entiers valent simultanément 1 ou valent simultanément 1, donc - ou bien n + a = 1 et n a = 1 ce qui entraîne que a = 0. - ou alors n + a = 1 et n a = 1 ce qui entraîne que a = 0. Exercice 7. Identifier la nature de ce raisonnement.

10 10 CHAPITRE 1. LOGIQUE 1.4 Quantificateurs Soit A l assertion n est un entier pair - Si on fait n = π cette assertion est fausse (π n est pas un entier donc encore moins un entier pair. - Si on fait n = 18 cette assertion est vraie. On voit donc que la valeur de vérité d une assertion donnée peut dépendre de la valeur donnée à un terme (n dans notre exemple, en fait même si ce n est pas systématique c est la plupart du temps le cas. Lorsque la valeur de vérité d une assertion A dépend de la valeur donnée à un terme x on la notera A(x. Dans l exemple qui précède on notera donc A(n l assertion n est un entier pair. - Si n = π ( ou 21 A(n est fausse - Si n = 16, A(n est vraie. - Pour exprimer qu il arrive qu une assertion A(x dont la valeur de vérité dépend du choix de la valeur du terme x soit vraie, on écrit qui se lit il existe x tel que A(x. x/a(x - Pour exprimer qu une assertion A(x dont la valeur de vérité dépend du choix de la valeur du terme x est vraie pour n importe quelle valeur donnée de x, on écrit x, A(x qui se lit pour tout x, A(x. Les énoncés x/a(x et x, A(x sont des assertions ils peuvent être vrais ou faux. Exemples n/n est un entier pair est vraie. x/x est un réel et e x est un réel négatif est fausse. n, si n est un entier c est un entier pair est fausse. x, si x est un réel x 2 est un réel positif ou nul est vraie.

11 1.4. QUANTIFICATEURS 11 Règles concernant les quantificateurs 1 Quantificateurs et négation NON( x/a(x x, NON(A(x NON( x, A(x x/non(a(x 2 Quantificateurs, disjonction et conjonction ( x, A(x et B(x ( x, A(x et ( x, B(x ( x, A(x ou B(x = ( x, A(x ou ( x, B(x ( x/a(x et B(x = ( x/a(x et ( x/b(x ( x/a(x ou B(x ( x/a(x ou ( x/b(x Exercice 8. Trouver un exemple de deux assertions dépendant d un terme x sur lesquelles on constate que les implications ( x, A(x ou B(x ( x, A(x ou ( x, B(x ( x/a(x et B(x ( x, A(x et ( x, B(x sont fausses. Exercice 9. 1 Ecrire des assertions équivalentes aux négations des assertions x, y/b(y A(x x/ y, NON(A(x et B(y En n utilisant le symbole NON qu éventuellement appliqué à A ou B. 2 Comparer du point de vue de l implication logique les assertions x/ y, A(x, y et y, x/a(x, y. I.5 Compléments : lettres muettes, lettres parlantes L utilisation des quantificateurs pose un problème concernant les noms donnés aux termes : - Lorsqu on écrit x, A(x ou x/a(x on peut changer le nom du terme x sans pour autant changer le sens de l assertion ni sa valeur de vérité. Ainsi x, A(x y, A(y. On dit que dans l assertion x, A(x la lettre x est muette. - Dans d autre cas le nom donné à un terme a une véritable importance Les deux assertions x, A(x B(x, y et x, A(x B(x, z

12 12 CHAPITRE 1. LOGIQUE n ont pas la même signification la première affirme que le terme y a une certaine propriété la seconde que c est le terme z qui l a! ici les lettres y et z sont parlantes.

13 1.4. QUANTIFICATEURS 13 I.6 Application pratique des tableaux de vérité : algèbre de Boole, un des fondements de l informatique Il s agit ici d une applications des mathématiques à électronique. Les aspects électroniques ne sont pas un détails mais n ont pas leur place dans ce cours. 1 Variable Booléenne, fonction booléenne et simultation électronique : Un terme qui peut prendre deux valeurs est un Booléen, par exemple une assertion peut être vue comme un booléen. Etant donné deux Booléens indépendants, il existe exactement 4 situations données par le tableau A V V F F B V F V F - Il existe exactement 16 tableaux de trois colonnes ayant les colonnes du tableau précédent pour premières colonnes à savoir A B V V V (1 V F V F V V F F V (2 A B A(OuB V V V V F V F V V F F F (3 A B A B V V V V F V F V F F F V (4 A B A B V V V V F F F V V F F V (5 A B A(NandB V V F V F V F V V F F V A B V V V (6 V F V F V F F F F A B V V V (7 V F F F V V F F F (8 A B A B V V V V F F F V F F F V (9 A B A(XorB V V F V F V F V V F F F A B V V F (10 V F V F V F F F V A B V V F (11 V F F F V V F F V (12 A B A(EtB V V V V F F F V F F F F A B V V F (13 V F V F V F F F F A B V V F (14 V F F F V V F F F (15 A B A(NorB V V F V F F F V F F F V A B V V F (16 V F F F V F F F F

14 14 CHAPITRE 1. LOGIQUE Il est d usage de noter 0 au lieu de F et 1 au lieu de V, c est ce que nous ferons désormais. Chacun de ces tableaux est un opérateur logique, les tableaux (2, (4, (8 et (12 correspondent respectivement au Ou, à implication logique, à l équivalence logique et au Et étudiés dans le cours. Les tableaux (5, (9 et (15 représentent les opérateurs Nand, Xor et Nor, ils n ont pas été étudiés car on ne les utilise que très rarement en mathématiques. Une fonction booléenne de k variables booléenne est une application de {0, 1} k vers {0, 1}. On peut représenter une fonction booléenne de k variables boolénnes par une table de vérité à k + 1 colonnes, les k premières colonnes représentent le k variables (il y a 2 k situations différentes la dernière colonne donnant la valeur de la fonction selon les valeurs données aux variables. L opérateur Nand est particulièrement important. L intéret de cet opérateur est double : D une part toute fonction booléenne peut être définie exclusivement à l aide de cet opérateur et d autre part il existe des systèmes électroniques simples simulant cet opérateur. Concernant le premier point on se contentera de donner deux exemples, si A est un booléen NON(A (l application A NON(A est une fonction booléenne d une variable booléenne est équivalente à A(N anda puisque A NON(A A(NandA Si A et B sont deux booléens, A B (l application (A, B A B est une fonction booléenne de deux variables booléennes est équivalente à A(N and[b(n andb] puisque A B A B B(NandB A(Nand[B(NandB] Il existe une technique simple, la méthode des diagrammes de Karnaugh, permettant d obtenir une expression de toute fonction booléenne de k variables booléennes n utilisant que l opérateur Nand. D autre part, pour simuler électroniquement une variable booléenne on utilise sur un composant une tension faible (de 0 à 0,8 V qui simule un 0 ou une tension forte (de 2,5 à 2,8 V qui simule un 1. Il existe des systèmes electroniques relativement simples et faciles à fabriquer, appelés portes Nand, ayant deux entrées et une sortie pour lesquels

15 1.4. QUANTIFICATEURS 15 l état de la sortie est donnée par le tableau suivant E1 E2 S (Le nom de portes Nand provient evidemment de l anglais Un circuit électronique composé de portes Nand pourra donc simuler n importe quel opérateur. Si on représente une porte Nand par le schéma Nand Le circuit électronique A B Nand Nand simulera A(Nand[B(NandB] qui n est autre que A B. Chaque circuit de porte Nand représentant un opérateur logique (à deux entrée sera représenté par un schéma Nom de l opérateur par exemple le circuit précédent sera représenté par le schéma

16 16 CHAPITRE 1. LOGIQUE 2 Système de numération binaire : Le deuxième ingrédient est de nature plus mathématique. Tous les nombres entiers peuvent être représentés par une succession de chiffre, dans le cas de l écriture décimale - celle avec laquelle on est en général le plus familier - on dispose de 10 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Une succession de chiffres s interprète comme un nombre entier : Le nombre N s écrivant C k... C 2 C 1 C 0 où C 0, C 1,..., C k sont des chiffres vaut C 0 + C C C k.10 k. La succession C k... C 2 C 1 C 0 est la représentation décimale de N. On peut utiliser un nombre quelconque de symboles c est-à-dire un nombre de chiffres différents de 10. Historiquement, en Mésopotamie par exemple on utilisait, un système similaire mais comportant 60 chiffres (on parle alors de représentation sexagégimale. Lorsque le nombre de symboles utilisés vaut 2 on parle de système binaire. On utilise usuellement les chiffres 0 et 1. Le nombre N s écrivant C k... C 2 C 1 C 0 où C 0, C 1,..., C k sont des chiffres (donc dans ce système des 0 ou des 1 vaut C 0 + C C C k.2 k. La succession C k... C 2 C 1 C 0 est la représentation binairede N. Par exemple, le nombre onze (qui s écrit 11 dans le système décimal s écrit 1011 dans le système binaire puisque 11 = La représentation binaire des entiers permet de simuler un nombre facilement de manière électronique. Pour représenter concrètement un entier dont la représentation binaire est C k... C 2 C 1 C 0 on considérera k fils ( numérotés de 1 à k, par exemple une tension faible ou forte étant appliquée à chaque fils selon que C j vaut 0 ou 1. On peut maintenant réaliser un circuit additionneur Par exemple un additionneur de deux nombres ayant une représentation binaire comportant chacun au plus 5 chiffres ( donc valant au maximum binaire = = 31 decimal peut être vue comme une machine ayant 10 entrées disons A 1,..., A 5, B 1,..., B 5 et 6 sorties di-

17 1.4. QUANTIFICATEURS 17 sons R 1,..., R 6 (le résultat de l addition ne peut dépasser 62 donc admet une représentation binaire d au plus 6 chiffres. Les entrées A 1 à A 5 et B 1 à B 5 permetront de simuler les deux nombres à additionner, le circuit doit être tel que les tensions des sorties R 1 à R 6 représentent la somme. Commençons par un additionneur de deux nombres N 1 et N 2 ayant une représentation binaire à un chiffre ces deux nombres valent chacun 0 ou 1 donc le résultat peut valoir 0, 1 ou 2 et donc le résultat nécéssite peut être deux chiffres pour être représenté. La représentation binaire de la somme N 1 + N 2 est donnée par le tableau N 1 N 2 N 1 + N Donc si on nomme S la sortie représentant le chiffre des unités et R celui des deuzaines (la retenue. Il nous faudra réaliser deux circuits Un premier circuit donnant un résultat suivant le tableau N 1 N 2 S un deuxième suivant le tableau N 1 N 2 R On constate que S équivaut à N 1 XorN 2 et R à N 1 etn 2 Le circuit électronique suivant fourni une réponse concrète. Xor Et

18 18 CHAPITRE 1. LOGIQUE La réalisation d additionneurs pour des nombres de valeurs plus élevées nécéssite de considérer des additions de trois nombres N 1, N 2 et N 3 ayant une représentation binaire à un chiffre, cette nécéssité est due à la présence éventuelle de retenue, ces trois nombres valent chacun 0 ou 1 donc leur somme peut valoir 0, 1, 2 ou 3 et donc le résultat nécéssite peut être deux chiffres pour être représenté (c est une chance!. La représentation binaire de la somme N 1 +N 2 +N 3 est donnée par le tableau N 1 N 2 N 3 N 1 + N 2 + N Donc si on nomme S la sortie représentant le chiffre des unités et R celui des deuzaines (la retenue. Il nous faudra réaliser deux circuits Un premier circuit donnant un résultat suivant le tableau N 1 N 2 N 3 S un deuxième suivant le tableau N 1 N 2 N 3 R

19 1.4. QUANTIFICATEURS 19 Exercice 1 Exprimer S et R à l aide de N 1, N 2 et N 3 et d opérateurs logiques. 2 Donner un circuit électronique simulant l addition de deux entiers quelconques dont la représentation binaire nécéssite au plus trois chiffres.

20 20 CHAPITRE 1. LOGIQUE Exercices du chapitre I 1. Compléter par l un des symboles logiques ou les assertions suivantes de manière à ce que l assertion obtenue soit vraie : - Pour un réel x : x 3 = x = 2 - Pour un réel x : x 2 = x = 3 2. Pour f une fonction réelle de la variable réelle définie sur R. Ecrire formellement (avec quantificateur si nécessaire - f est croissante sur R. - f est monotone sur R. - f est bornée sur R. - f est paire. Ecrire formellement les négations. 3. Parmi les déductions suivantes lesquelles respectent les règles logiques? - Si les vaches volaient les poules auraient des dents! - Si les vaches volaient, les poules pondraient des oeufs! - Si les vaches ne volent pas alors les poules ont des dents. - Si les vaches ne volent pas alors les poules pondent des oeufs. (On rappelle qu il est faux de dire que les vaches volent, que les poules n ont pas de dents mais qu elles pondent des oeufs! 4. A(x et B(x étant deux assertions dépendant de la donnée du terme x. 1Comparez du point de vue de l implication les assertions suivantes a x, A(x B(x et x, A(x x, B(x b x/a(x B(x et x/a(x x/b(x Pour chaque implication, on donnera soit une démonstration soit un contre exemple. 2 A-t on [ x, A(x B(x] [ x, A(x x, B(x]?

21 Chapitre 2 Ensembles Les ensembles, relations binaires et applications sont les notions de base de toutes les mathématiques. On présente ici l essentiel des notions et du vocabulaire les concernant. 2.1 Ensembles Il est très difficile de définir exactement ce qu est un ensemble. On se contentera d une approximation, un ensemble est une collection d objet cette collection doit être décrite de manière à ce que l on puisse dire sans aucune équivoque si un objet donné fait partie ou non de cette collection. Définition 1 Soit E un ensemble. Soit x un terme. Lorsque x est un membre de la collection représentée par E, on dit que x est un élément de E. On note x E, ce qui se lit x appartient à E ou encore x est un élément de E. Lorsque x n est pas un membre de la collection on note x / E qui se lit x n appartient pas à E. Le symbole est le symbole d appartenance. La négation de l assertion x E, NON(x E peut donc s écrire x / E. Exemples - π R se lit π appartient à R (cette assertion est vraie. - π N se lit π appartient à N (cette assertion est fausse. 21

22 22 CHAPITRE 2. ENSEMBLES Comment écrire un ensemble? 1 Ecriture extensive, ensembles donnés par liste Si la liste des éléments d un ensemble E peut être écrite (c est le cas uniquement si la collection est finie une manière d écrire l ensemble en question est d écrire la liste, sans répétition, entre deux accolades. Exemple - P S = {Homer, Marge} est l ensemble des Parents Simpson donné par liste. Les limitations d une écriture de ce type sont immédiates : si la liste est infinie il est impossible de l écrire, donc, en toute rigueur, une écriture de la forme 2N = {0, 2, 4, 6, 8, 10,...} pour l ensemble des entiers naturels pairs n est pas licite. 2 Ensembles donnés par une propriété collectivisante Il est aussi possible, très classique et commode, de se donner un ensemble par une assertion A(x dont la valeur de vérité dépend de la valeur donnée au terme x. Alors x E si et seulement si A(x est vraie. On écrit alors E = {x/a(x} ce qui se lit E est l ensemble des x tels que la propriété A(x est vraie. Exemple - 2N = {x/x N et le reste de la division de x par 2 vaut 0} est l ensemble des entiers naturels pairs donné par propriété collectivisante. Exemples fondamentaux d ensembles - Il existe un ensemble ne possédant aucun élément c est l ensemble vide il est noté. - Les entiers naturels 0, 1, 2, 3,... forment un ensemble noté N. - A partir de l ensemble des entiers naturels, on construit d autres ensembles de nombres : Z l ensemble des entiers relatifs ou entiers signés, Q l ensemble des nombres rationnels, R l ensemble de nombres réels, C l ensemble des nombres complexes. Nous verrons comment Z et Q sont construits dans un chapitre ultérieur, la construction de R est plus délicate elle sera donnée en annexe, l ensemble C sera étudié au cours du chapitre III.

23 2.2. ENSEMBLE DES PARTIES D UN ENSEMBLE Ensemble des parties d un ensemble Définition 2 Soit E et F deux ensembles. Lorque tout élément de F est un élément de E on dit que F est inclus dans E ou F est une partie de E ou encore E contient F. On note alors F E. Le symbole est le symbole d inclusion. Autrement dit (F E ( x, x F x E On peut visualiser cette situation grâce à un diagramme de patate : E F Exemple - Soit E = {a, b, c} alors, {b, c} sont des parties de E : E et {b, c} E. - N est une partie de Z. Remarque : Lorsqu une inclusion est fausse on utilise aussi le symbole. Propriété 1 Soit E, F et G trois ensembles. i (E F et F G E G. ii (E F et F E E = F. Démonstration Soit E,F et G trois ensembles. i Si E F et F G alors x E, x F et x F, x G donc x E, x G ce qui signifie que E G. ii Si E F et F E alors x E, x F et x F, x E donc x E x F ce qui signifie que E = F. Définition 3 Soit E un ensemble. Les parties de E forment un ensemble appelé ensemble des parties de E et noté P(E. Exemple - P( = { }, attention : c est l ensemble contenant un seul élément égal à. - P({ } = {, { }} : c est un ensemble contenant deux éléments. -Si E = {a, b, c} alors P(E = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Remarque : Le fait que l ensemble des partie d un ensemble est un ensemble est un axiome.

24 24 CHAPITRE 2. ENSEMBLES Opérations sur les parties d un ensemble Dans tous ce paragraphe E est un ensemble et P(E est l ensemble de ses parties. 1 Complémentation Définition 4 Soit A P(E, on pose C E A = {x E/x / A}. L ensemble C E A est une partie de E appelée complémentaire dans E de A, on le note également A c. On peut visualiser cette situation grâce à un diagramme de patate : A A c Exemple - Soit E = {a, b, c} alors C E = E, C E E =, C E {a, b} = {c}. Propriété 2 Soit A P(E on a C E (C E A = A. Démonstration Soit A P(E. Soit x E, on a x C E (C E A x / C E A et x C E A x / A, donc x / C E A x A. 2 Intersection Définition 5 Soit A et B des parties de E, on pose A B = {x E/x A et x B}. L ensemble A B est appelé intersection de A et de B. On peut visualiser cette situation grâce à un diagramme de patate : A A B B

25 2.2. ENSEMBLE DES PARTIES D UN ENSEMBLE 25 Propriété 3 Soit A, B et C trois parties de E. i A B = B A ii A (B C = (A B C. iii A =. iv A E = A. v A B A B = A Démonstration i On a (x A et (x B (x B et (x A. ii ( On a ( (x A et [(x B et (x C] [(x A et (x B] et (x C. iii et iv De manière plus générale on a A B A. En particulier on a donc A donc A =. Et aussi A E A v Si A B alors x A x B donc (x A (x A et (x B, autrement dit A = A B. Réciproquement, si A = A B alors x A (x A et (x B donc x A x B et donc A B. 3 Réunion Définition 6 Soit A et B des parties de E, on pose A B = {x E/x A ou x B}. L ensemble A B est appelé réunion de A et de B. On peut visualiser cette situation grâce à un diagramme de patate : A B A B Propriété 4 Soit A, B et C trois parties de E i A B = B A ii A (B C = (A B C. iii A = A. iv A E = E. v A B A B = B

26 26 CHAPITRE 2. ENSEMBLES Exercice 1. Démontrer ces propriétés. 4 Comportements relatifs de la complémentation, de l intersection et de la réunion Propriété 5 Soit A, B et C trois parties de E. i C E (A B = C E A C E B, C E (A B = C E A C E B. ii A (B C = (A B (A C. iii A (B C = (A B (A C. Exercice 2. Démontrer ces résultats. Exercice 3. Montrer que pour deux parties A et B de E on a A B = A B A = B. Exercice 4. Soient A, B et C trois parties d un ensemble donné E. Parmi les assertions suivantes lesquelles sont vraies en toutes circonstances? Pour celles qui ne seraient pas toujours vraies pouvez-vous donner une condition nécessaire et suffisante sur la partie A pour qu elles le deviennent? a (C C E A = et C C E B = (C A B. b (A B et A C A (B C. c C A ( (B C A = CE (B C. Exercice 5. Soit A, B et C trois parties d un ensemble E donné. Comparer pour l inclusion C A (A B C A (A C et C E (C E A B C.

27 2.3. PRODUIT CARTÉSIEN Produit cartésien Soit a et b deux termes, le couple (a, b est un nouveau terme. Attention (a, b n est pas un ensemble, il s agit d un objet consistant en la donnée des deux termes a et b dans cet ordre. En particulier le couple (a, b n est pas égal (sauf si a = b au couple (b, a. Exemples - (, N est un couple d ensemble. - (2.36, π est un couple de réel. - (4, 156 est un couple d entiers naturels. Définition 7 - Soit E et F deux ensembles. Les couples (e, f où e est un élément de E et f est un élément de F forment un ensemble que l on note E F et appelé produit cartésien de E par F. E F = {(e, f/e E, f F } -Dans un couple (e, f, e est appelé premier terme, et f est le second terme. Exemple - Soit E = {a, b, c} et F = {x, y}. On a E F = {(a, x, (a, y, (b, x, (b, y, (c, x, (c, y}. Exercice 6. Soit E et F deux ensembles. Soit A une partie de E et B une partie de F. Comparer a E C F B et C E F E B. b C E A C F B et C E F (A B. Graphe Définition 8 Soit E et F deux ensembles. Un graphe de E vers F est une partie du produit cartésien E F. Exemple - Les deux schémas suivants représentent des graphes. Le premier shéma représente le graphe G = {(a, x, (a, z, (c, y} de E = {a, b, c, d} vers F = {x, y, z}. Exercice 7. Quel est le graphe représenté par le second shéma?

28 28 CHAPITRE 2. ENSEMBLES Les graphes peuvent s interpreter essentiellement de deux manières. La première est d interpréter un graphe de E vers E comme une relation binaire sur E. La seconde, est d interpréter un graphe comme celui d une application. Relations binaires Définition 9 Soit E un ensemble. Une relation binaire sur E consiste en la donnée d un graphe R de E vers E. Pour (a, b E E si (a, b R on note arb sinon on note a Rb. Les relations binaires sont omniprésentes. Par exemple est une relation binaire sur l ensemble des parties d un ensemble, est une relation binaire sur R, sur l ensemble des triangles du plan est semblable est une relation binaire, sur l ensemble des applications réelles de la variable réelle est une primitive de est une relation binaire. Lorsqu on a une relation binaire sur un ensemble fini une manière agréable de visualisation est un diagramme sagittal. Exemple Pour E = {a, b, c, d, e} et R = {(a, a, (a, c, (b, a, (b, d, (d, b} on a ara, arc, bra, brd et drb, le diagramme sagittal correspondant consiste à tracer dessiner une patate représentant E et une flèche entre deux éléments x et y lorsque xry. Exercice 8. Soit E = {a, b, c, d}, donner le diagramme saggital de la relation binaire sur E, R = {(a, a, (b, d, (d, c} Fonctions et applications Définition 10 Soit E et F deux ensembles (il peut arriver que ce soit deux fois le même ensemble. Une correspondance f de E vers F consiste en la donnée d un graphe G f de E vers F. - Parmi les correspondances de E vers F celles qui satisfont si pour tout élément x de E il existe au plus un élément y de F tel que (x, y est dans le graphe sont appelées des fonctions. - Parmi les correspondances de E vers F celles qui satisfont si pour tout élément x de E il existe exactement un élément y de F tel que (x, y est dans le graphe sont appelées des applications.

29 2.4. RELATIONS BINAIRES 29 L usage est de noter les fonctions et les applications par f : E F x f(x où f(x est l unique élément de F (s il existe tel que (x, f(x est dans le graphe. Les fonctions et les applications sont aussi des objets très courants en mathématique. Par exemple, les fonctions classiques de terminale sont des fonctions de R dans R, il existe aussi des exemples plus exotiques : la dérivation peut être vue comme une fonction de l ensemble des fonctions réelles de la variable réelle vers lui même, la complémentation peut être vue comme une application de l ensemble P(E dans lui-même. Dans les deux paragraphes suivants on étudiera plus en détail les notions concernant les relations binaires et les applications. 2.4 Relations binaires Définition 11 Soit R une relation binaire sur un ensemble E. On dit que R est i Réflexive lorsque x E, xrx. ii Symétrique lorsque x, y E, xry yrx. iii Transitive lorsque x, y, z E, (xry et yrz xrz. iv Antisymétrique lorsque x, y E, (xry et yrx x = y. Exemple - On muni N (l ensemble des entiers naturels non nuls de la relation a b lorsque a est un diviseur de b, autrement dit le graphe de cette relation est G = {(a, b N N / k N/b = ka}. - Soit a N, on a a = 1.a donc a a, ceci est vrai pour n importe quel entier a donc est une relation refléxive. - Soit a et b dans N si on a a b on n a pas forcément b a comme le montre l exemple 2 4 et 4 2, donc la relation n est pas symétrique. - Soit a, b et c dans N si on a a b et b c alors a c, donc la relation est transitive. - Soit a et b dans N si on a a b et b a alors on a a = b, en effet comme a b on trouve un entier k tel que b = k.a et comme b a on trouve un entier l tel que a = l.b donc a = l.(k.b = (l.k.a, donc l.k = 1 comme l et k sont des entiers positifs on a l = k = 1 donc a = b, la relation est antisymétrique.

30 30 CHAPITRE 2. ENSEMBLES Exercice 9. mais sur Z? Que ce passe-t il si on considère la relation non pas sur N - Soit E un ensemble. La relation binaire sur P(E est reflexive, transitive, antisymétrique, mais n est pas symétrique. Exercice 10. Pour E = {a, b, c} donner le graphe de la relation sur P(E. Exercice 11. Quelles sont les propriétés des relations binaires sur R définies par a xry sin(x sin(y = 0? b xqy x.y 0? Relations d équivalence Définition 12 Soit E un ensemble. Une relation binaire sur E est une relation d équivalencelorsque elle est reflexive, symétrique et transitive. La notion de relation d équivalence est extrémement importante. C est un outil utilisé pour la fabrication d objets nouveaux, nous rencontrerons de nombreuses relations d équivalence dans les développements ultérieurs. Définition 13 Soit E un ensemble et une relation d équivalence sur E. - Soit x E, la classe d équivalence de x est l ensemble des éléments de E qui sont en relation avec x, il est fréquent de noter x la classe d équivalence de x, x = {y E/x x}. - Soit x E, un élément de la classe d équivalence de x est appelé un représentant de cette classe, autrement dit y est un représentant de x signifie simplement que y x. - Les classes d équivalences sont des parties de E, elles forment un ensemble (qui est une partie de P(E appelé ensemble quotient de E par et noté E/. Exemple - Soit E = {Homer, Marge, Lisa, Bart}. Soit la relation binaire définie sur E par x y x et y sont du même sexe. Cette relation est une relation d équivalence (cela est facile a vérifier. On a Homer = {Homer, Bart}(= Bart et Marge = {Marge, Lisa}(= Lisa, Il y a deux classes d équivalence : Homer et Lisa. L ensemble quotient est E/ = {Homer, Marge}.

31 2.4. RELATIONS BINAIRES 31 - Soit la relation binaire sur R définie par x y xy > 0. C est une relation d équivalence. En effet, - Soit x R on a xx = x 2 > 0 donc x x : la relation est donc réflexive. - Soit x, y R si on suppose que x y alors x.y > 0 donc on a y.x > 0 c est-à-dire y x : la relation est donc symétrique. - Soit x, y et z dans R, si on suppose que x y et que y z alors x.y > 0 et y.z > 0 alors x.y.y.z > 0 mais y.y > 0 quelle que soit la valeur donnée à y donc x.z > 0 c est-à- dire x z : La relation est donc transitive. Soit x R la classe de x est x = {y R /y x}. - Si x > 0 on a y x x.y > 0 y > 0, - Si x < 0 alors y x x.y > 0 y < 0. Donc finalement x = { R + si x > 0 R si x < 0. Il y a deux éléments dans l ensemble quotient, R / = {R +, R }. Sur les deux exemples on remarque que deux classes d équivalences distinctes sont disjointes (c est-à-dire d intersection vide et que la réunion des classes d équivalence vaut E. C est un fait général que nous allons montrer. Définition 14 Soit E un ensemble. Soit (A i ı I une famille de partie de E. On dit que cette famille forme une partition de E lorsque i aucune des parties A i n est vide, ii deux parties distinctes A i et A j sont disjointes, iii la réunion de ces parties vaut E. Exemple - Soit E = {Homer, Marge, Lisa, Bart}. A 1 = {Homer, Bart}, A 2 = {Marge, Lisa} est une partition de E (en deux parties. - Les parties de R, A 1 = R + et A 2 = R forment une partition de R. (en deux parties également. - Il peut y avoir plus d une partie dans une partition et même une infinité. Par exemple, si pour k Z on pose A k = [k, k + 1[, on obtient une partition de R puisque aucune des parties A k n est vide, si elles sont distinctes les deux parties A k et A l sont disjointes et que leur réunion vaut R.

32 32 CHAPITRE 2. ENSEMBLES Propriété 6 Soit E un ensemble et une relation d équivalence sur E. Les classes d équivalences forment une partition de E. Démonstration Soit C une classe d équivalence, c est la classe d un élément x de E donc C = x comme est refléxive x x donc x x = C et C est donc non vide. Soit C et D deux classes d équivalence, soit x et y des représentants de ces classes. Si elles ne sont pas dijointes, alors on trouve z C D = x y donc on a z x et z y. Soit t C = x, on a t x, compte tenu du fait que est symétrique et transitive on a x z donc t z et comme z y on a t y donc t y = D : donc C D. On montre de même que D C. Finalement, C = D. On a montré que si elles ne sont pas disjointes alors les classes d équivalence C et D sont égales. (ceci est un exemple de raisonnement par contraposition. Soit x E, alors x x donc x est dans la réunion des classes d équivalence, autrement dit E C E/ C. Propriété 7 Soit (A i i I une partition d un ensemble E. Alors il existe une unique relation d équivalence sur E dont les A i sont les classes d équivalence. Démonstration Soit (A i i I une partition d un ensemble E. Pour x et y dans E, posons x y lorsqu il existe i I tel que x A i et y A i. Cela définit une relation binaire sur E. Soit x E, comme les A i forment une partition de E, leur réunion vaut E, donc x est au moins dans l une des parties A i, disons dans la partie A i0. On a x A i0 ( et x A i0 donc x x : La relation est donc reflexive. Soit x et y dans E. Si on suppose que x y alors on trouve i dans I tel que x A i et y A i, donc on a y A i et x A i c est-à-dire y x : La relation est symétrique. Soit x, y et z dans E si on suppose que x y et y z alors on trouve i I tel que x A i et y A i et on trouve j I tel que y A j et z A j (ce n est pas a priori la même partie A qui contient x et y et qui contient y et z. On a alors y A i A j donc les parties A i et A j ne sont pas disjointes, elles sont donc égales donc x z : la relation est donc transitive. Finalement est une relation d équivalence sur E. Soit x E, comme les A i forment une partition de E il existe un et un seul i I tel que x A i disons A i0, alors x = {y E/y x} = {y E/ i I/x A i et y A i } = A i0. La classe d équivalence de x est l unique partie A i0 qui le contient!

33 2.4. RELATIONS BINAIRES 33 Exercice 12. Soit R la relation binaire sur E = {a, b, c, d, e} représentée par le diagramme saggital Quel est le graphe de cette relation? est-ce une relation d équivalence? si oui quelles sont les classes d équivalence? Donner l ensemble quotient. Exercice 13. Soit une relation d équivalence sur un ensemble E. Soit F une partie de E, pour x, y F on pose x F y lorsque x y. a Montrer que F est une relation d équivalence sur F b Soit x F donner en fonction de la classe d équivalence de x pour et de F la classe d équivalence de x pour F. c Donner une condition nécessaire et suffisante sur F pour que les classes d équivalence pour F soient toutes des classes d équivalence pour. Exercice 14. Soit et deux relations déquivalence sur un même ensemble E. On suppose que x, y E, x y x y. a Comparer les graphes de et de b Montrer que toute classe d équivalence relative à est contenue dans une classe d équivalence relative à. c Montrer que toute classe d équivalence relative à est une réunion de classes d équivalence relatives à. Relations d ordre Définition 15 - Soit E un ensemble. Une relation binaire sur E est une relation d ordre sur E lorsqu elle est reflexive, transitive et antisymétrique. - Un ensemble E muni d une relation d ordre est un ensemble ordonné. Les exemples de relation d ordre sont également très nombreux. est une relation d ordre sur N ( mais aussi sur Z, Q et R. l inclusion est une relation d ordre sur l ensemble des parties d un ensemble.

34 34 CHAPITRE 2. ENSEMBLES Définition 16 - Soit (E, un ensemble ordonné, soit {x, y} une paire d élément de E on dit qu ils sont une paire d éléments comparables pour si on a x y ou y x. - Si toute paire d éléments de E est une paire d éléments comparables on dit que est un ordre total sur E. Définition 17 Soit (E, un ensemble ordonné. Soit A une partie de E et x un élément de E. - x est un majorant de A si a A, a x x est un minorant de A si a A, x a. - x est un plus grand élémentde A si x A et a A, si a x alors x a, x est un plus petit élément de A si x A et a A, si a x alors a x. - Une borne supérieure de A est un plus petit majorant de A, une borne inférieure est un plus grand minorant de A. Exercice 15. a Pour chacune des parties suivantes de R muni de l ordre naturel, donner si cela existe un exemple de majorant, de minorant, de plus grand élément, de plus petit élément, de borne supérieure, de borne inférieure. A = [0, 1[, B = [0, 1], C =]0, + [, D = N, E = Z. b Soit E = {a, b, c, d, e}, on muni P(E de l inclusion. Est-ce un ensemble totalement ordonné? Pour chacune des parties suivantes de P(E donner si cela existe un exemple de majorant, de minorant, de plus grand élément de plus petit élément, de borne supérieure, de borne inférieure. A = {, {a, c}, {b, c, d}} B = {{a}, {a, c}, {a, c, f}}. Exercice 16. Soit (E, un ensemble totalement ordonné. Soit A une partie non vide de E. Montrer que A possède au plus un plus grand élément et que s il existe ce plus grand élément est également l unique borne supérieure de A.

35 2.4. RELATIONS BINAIRES 35 Un exemple extrémement important d ensemble totalement ordonné est (N,. Axiome de récurrence. Soit P n une assertion dont la valeur de vérité dépend de la valeur donnée à l entier naturel n. Si - P 0 est vraie. - n N, P n P n+1 Alors n N, P n est vraie. Exemple On veut montrer que n N, n = n(n+1 2 Notons P n l assertion n = n(n L assertion P 1 signifie 1 = 1 2 qui est manifestement vraie. 2 - Supposons que pour n N donné P n soit vraie, alors on a Alors, on a n = n(n (n + 1 = ( n + (n + 1 n(n+1 = + (n n(n+1+2(n+1 = 2 = (n+1(n+2 2 donc P n+1 est vraie. Une application de l axiome de récurrence donne n N, P n est vraie. Exercice 17. Trouver et démontrer une formule similaire à la formule précédente donnant l expression de la somme n 2.

36 36 CHAPITRE 2. ENSEMBLES 2.5 Fonctions et applications Définition Soit E et F deux ensembles et G f un graphe de E vers F. On dit qu il s agit d un graphe fonctionnel lorsque x E Il existe au plus un élément y F/(x, y G f Dans ce cas on dit aussi que G f est le graphe d une fonction f de E vers F que l on note f : E F x y = f(x Où y est l unique élément, si il existe, de F tel que (x, y G f 2. Soit E et F deux ensembles et G f un graphe de E vers F. On dit qu il s agit du graphe d une application lorsque x E Il existe exactement un élément y F/(x, y G f Dans ce cas on dit aussi que G f est le graphe d une application f que l on note f : E F x y = f(x Où y est l unique élément de F tel que (x, y G f 3. Si f est une fonction (ou une application de E vers F on dit que E est l ensemble de départ de f et que F est son ensemble d arrivée. 4. Soit f : E F une fonction. La partie de E formée des éléments pour lesquels f(x existe est appelé l ensemble de définition de f. On note cette partie Def f ou Def(f. Exemple - cos : R R est une application de R dans R. - f : R R; x 1 est une fonction dont l ensemble de définition x est R. - g : R R; x 1 est une application. x Il faut remarquer que f et g ne sont pas le même objet!!

37 2.5. FONCTIONS ET APPLICATIONS 37 Injections, surjections et bijections Dans tout ce paragraphe on considère des applications f, g, h,... d un ensemble E vers un ensemble F. Définition 19 Soit y F, un antécédant de y pour f est un élément x de E tel que f(x = y. Il y a trois cas de figure : L élément y de F peut admettre plusieurs antécédants, un unique antécédant ou aucun antécédant. Définition 20 On dit que f est une - Injection de E vers F lorsque tout élément de F admet au plus un antécédant. - Surjection de E vers F lorsque tout élément de F admet au moins un antécédant. - Bijection de E vers F lorsque tout élément de F admet exactement un antécédant, autrement dit une bijection est une application qui est simultanément injective et surjective. Exemple -Le graphe représenté par le premier diagramme est une application qui n est ni injective ni surjective, le diagramme 2 représente une injection qui n est pas surjective, le diagramme 3 une surjection qui n est pas injective, le diagramme 4 une bijection. Les applications représentées par les diagrammes ci-dessus peuvent aussi être représentées par les diagrammes sagitaux suivants