Brevet blanc de mathématiques avril 2015
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- Alfred Croteau
- il y a 7 ans
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1 Durée de l épreuve : 2 h 00 Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1/4 à 4/4. Dès que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu il est complet. L usage de la calculatrice est autorisé. Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6 Maîtrise de la langue 6 points 6 points 10 points 4 points 7 points 3 points 4 points Exercice 1 : Chaque affirmation est-elle vraie ou fausse? Justifier. 1) La moitié de 5 6 est ) ( 3 2)( 3 + 2) est un nombre entier. 3) Pour tous les nombres x, on a (x + 5)² - (x - 5)² = 20x. 4) Pour tous les nombres x, on a (3x)² - 3x² = O. 1
2 Exercice 2 : Guillaume et Elsa habitent tous les deux à Marseille et doivent se rendre à Paris. Guillaume fait le trajet en train et Elsa, en voiture. Les documents ci-dessous donnent différentes informations concernant leur voyage. La Ligne Grande Vitesse Paris-Marseille a une longueur de 750 km. Guillaume a choisi le tarif le moins élevé lui permettant d'arriver avant 14 h à Paris. Comparez le coût de chacun de ces trajets. Vous présenterez votre démarche en faisant figurer toutes les pistes de recherche même si elles n'ont pas abouti. 2
3 Exercice 3 : Pour emprunter des livres dans une bibliothèque, on a le choix entre trois formules : Formule A : payer une participation de 0,50 euro par livre emprunté. Formule B : acheter une carte rose de bibliothèque à 7,50 euros par an et ne payer qu une participation de 0,20 euro par livre emprunté. Formule C : acheter une carte verte de bibliothèque à 15,50 euros par an et emprunter autant de livres que l on veut. 1) Recopier et compléter le tableau suivant : Nombre de livres empruntés par an Prix à payer avec la formule A en euros Prix à payer avec la formule B en euros Prix à payer avec la formule C en euros 2) On appelle x le nombre de livres empruntés par une personne en un an. Soit P A le prix à payer avec la formule A. Soit P B le prix à payer avec la formule B. Soit P C le prix à payer avec la formule C. Exprimer P A(x) et P B(x) en fonction de x. 3) Résoudre l équation 0,5x = 7,5 + 0,2x Donner une interprétation de la solution trouvée. 4) a) Tracer un repère orthogonal (O ;I,J), O étant placé en bas à gauche. On prendra les unités suivantes : - 1 cm pour 5 livres sur l axe des abscisses - 1 cm pour 1 euro sur l axe des ordonnées. b) Tracer dans ce repère: - la droite D A qui représente la fonction x 0,5x ; -la droite D B qui représente la fonction x 0,2x + 7,5 ; -la droite D C qui représente la fonction x 15,5. 5) En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes : a) Quelle est la formule la plus intéressante si on emprunte 20 livres en un an? b) A partir de combien de livres empruntés par an la formule C est-elle plus intéressante? 3
4 Exercice 4 : On donne les égalités suivantes : A) (5x + 4)² = 25x² + 16 B) (x 6)(1 2x) = 7x + 6(x 1) 2x² 1) Dire si chaque égalité est vraie ou fausse. Si elle est vraie, écrire les étapes des calculs qui permettent de l obtenir. Si elle est fausse, la corriger pour qu elle devienne vraie. 2) Résoudre l équation 7x + 6(x 1) 2x² = 0 Exercice 5: La figure ci-dessous, qui n'est pas dessinée en vraie grandeur, représente un cercle (C) et plusieurs segments. On dispose des informations suivantes: [AB] est un diamètre du cercle (C) de centre O et de rayon 7,5 cm. K et F sont deux points extérieurs au cercle (C). Les segments [AF] et [BK] se coupent en un point T situé sur le cercle (C). AT = 12 cm, BT = 9 cm, TF = 4 cm, TK=3 cm. 1) Démontrer que le triangle ATB est rectangle. 2) Calculer la mesure de l'angle BAT arrondie au degré près. 3) Les droites (AB) et (KF) sont-elles parallèles? 4) Calculer l'aire du triangle TKF. Exercice 6 : Un paysagiste souhaite clôturer la surface cicontre. ABCD est un carré de côté 9 m. E, F, H et I sont les milieux des quatre côtés du carré. Calculer la longueur de la clôture au centimètre près. 4
5 Exercice 1 : Chaque affirmation est-elle vraie ou fausse? Justifier. 1) La moitié de 5 6 est ) ( 3 2)( 3 + 2) est un nombre entier. 3) Pour tous les nombres x, on a (x + 5)² - (x - 5)² = 20x. 4) Pour tous les nombres x, on a (3x)² - 3x² = O. 1) Faux la moitié de 5 6 est ) Vrai : ( 3 2)( 3 + 2) = 3² - 2² = 3 4 = -1 qui est bien un nombre entier. 3) Vrai : (x + 5)² - (x 5)² = [(x + 5) + (x 5)][(x + 5) (x 5)] = 2x(5 + 5) = 20x 4) Faux : (3x)² - 3x² = 9x² - 3x² = 6x² (faux par exemple pour x = 1). 5
6 Exercice 2 : Guillaume et Elsa habitent tous les deux à Marseille et doivent se rendre à Paris. Guillaume fait le trajet en train et Elsa, en voiture. Les documents ci-dessous donnent différentes informations concernant leur voyage. 6
7 La Ligne Grande Vitesse Paris-Marseille a une longueur de 750 km. Guillaume a choisi le tarif le moins élevé lui permettant d'arriver avant 14 h à Paris. Comparez le coût de chacun de ces trajets. Vous présenterez votre démarche en faisant figurer toutes les pistes de recherche même si elles n'ont pas abouti. Cout du trajet d Elsa : Longueur du trajet = = 776 km Consommation en L 8,3/ = 64,408 L Prix du carburant : 64,4081,35 = 86,9508 Cout total (carburant + péage) = 86, ,80 142,75 Cout du trajet de Guillaume : Une baisse de 40% correspond à un coefficient multiplicateur de = 0,6 Une baisse de 25% correspond à un coefficient multiplicateur de = 0,75 Trains possibles arrivant avant 14 h : o TGV 6108 : 105 0,60 = 63 o TGV 6112 : 1100,75 = 82,5 o TGV 6114 : 970,75 = 72,75 Guillaume choisit donc le TGV 6108 et paiera 63. Le tarif en train est nettement plus avantageux. 7
8 Exercice 3 : Pour emprunter des livres dans une bibliothèque, on a le choix entre trois formules : Formule A : payer une participation de 0,50 euro par livre emprunté. Formule B : acheter une carte rose de bibliothèque à 7,50 euros par an et ne payer qu une participation de 0,20 euro par livre emprunté. Formule C : acheter une carte verte de bibliothèque à 15,50 euros par an et emprunter autant de livres que l on veut. 1) Recopier et compléter le tableau suivant : Nombre de livres empruntés par an Prix à payer avec la formule A en euros Prix à payer avec la formule B en euros Prix à payer avec la formule C en euros 2) On appelle x le nombre de livres empruntés par une personne en un an. Soit P A le prix à payer avec la formule A. Soit P B le prix à payer avec la formule B. Soit P C le prix à payer avec la formule C. Exprimer P A(x) et P B(x) en fonction de x. 3) Résoudre l équation 0,5x = 7,5 + 0,2x Donner une interprétation de la solution trouvée. 4) a) Tracer un repère orthogonal (O ;I,J), O étant placé en bas à gauche. On prendra les unités suivantes : - 1 cm pour 5 livres sur l axe des abscisses - 1 cm pour 1 euro sur l axe des ordonnées. b) Tracer dans ce repère: - la droite D A qui représente la fonction x 0,5x ; -la droite D B qui représente la fonction x 0,2x + 7,5 ; -la droite D C qui représente la fonction x 15,5. 5) En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes : a) Quelle est la formule la plus intéressante si on emprunte 20 livres en un an? b) A partir de combien de livres empruntés par an la formule C est-elle plus intéressante? 8
9 1) Nombre de livres empruntés par an Prix à payer avec la formule A en euros 100,5 = 5 300,5 = ,5 = 22,5 Prix à payer avec la formule B en euros 100,2 + 7,5 = 9,5 300,2 + 7,5 =13,5 450,2 + 7,5 = 16,5 Prix à payer avec la formule C en euros 15,5 15,5 15,5 2) P A(x) = 0,5x P B(x) = 0,2x + 7,5 3) 0,5x = 0,2x + 7,5 0,5x 0,2x = 0,2x + 7,5 0,2x 0,3x = 7,5 0,3x 0,3 = 7,5 0,3 4) a) b) x = 25 La solution de l équation 0,5x = 0,2x + 7,5 est 25. Interprétation : pour 25 livres achetés les formules A et B ont le même tarif. 5) a) Si on emprunte 20 livres par ans, la formule la plus avantageuse est la A. En effet, par mi les 3 points A, B et C d abscisse 20, celui qui a l ordonnée la plus petite est A. b) La formule C est la plus intéressante à partir de 40 livres achetés par an. Ce qui correspond à l abscisse du point D du graphique. 9
10 Exercice 4 : On donne les égalités suivantes : A) (5x + 4)² = 25x² + 16 B) (x 6)(1 2x) = 7x + 6(x 1) 2x² 1) Dire si chaque égalité est vraie ou fausse. Si elle est vraie, écrire les étapes des calculs qui permettent de l obtenir. Si elle est fausse, la corriger pour qu elle devienne vraie. 2) Résoudre l équation 7x + 6(x 1) 2x² = 0 1) L égalité A est fausse : (5x + 4)² = (5x)² + 25x4 + 4² = 25x² + 40x + 16 (x 6)(1 2x) = x 2x² x = -2x² + 13x 6 7x + 6(x 1) 2x² = 7x + 6x 6 2x² = -2x² + 13x 6 Donc l égalité B est vraie. 2) 7x + 6(x 1) 2x² = 0 (x 6)(1 2x) = 0 Un produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul. x 6 = 0 ou 1 2x = 0 x = ou 1 2x - 1 = 0-1 x = 6 ou -2x = -1 x = 6 ou x = -2x -2 = -1-2 = 1 2 Les solutions de cette équation sont donc 1 et
11 Exercice 5: La figure ci-dessous, qui n'est pas dessinée en vraie grandeur, représente un cercle (C) et plusieurs segments. On dispose des informations suivantes: [AB] est un diamètre du cercle (C) de centre O et de rayon 7,5 cm. K et F sont deux points extérieurs au cercle (C). Les segments [AF] et [BK] se coupent en un point T situé sur le cercle (C). AT = 12 cm, BT = 9 cm, TF = 4 cm, TK=3 cm. 1) Démontrer que le triangle ATB est rectangle. 2) Calculer la mesure de l'angle BAT arrondie au degré près. 3) Les droites (AB) et (KF) sont-elles parallèles? 4) Calculer l'aire du triangle TKF. 1) Le triangle ATB étant inscrit dans le cercle de diamètre [AB] est rectangle en T. 2) Dans le triangle ATB rectangle en T, on a : tan BAT = BT AT = 9 12 = 3 4 A l aide de la touche ArcTan de la calculatrice, on obtient BAT 37. 3) TF AT = 4 12 = 1 TK et 3 TB = 3 9 = 1 3 Les points A, T, F d une part et les points K, T, B sont alignés dans cet ordre et TF AT = TK TB ; donc selon la réciproque du théorème de Thalès les droites (AB) et (KF) sont parallèles. 4) Le triangle TKF est rectangle en T. Donc Aire(TKF) = KTTF = = 6 cm². 11
12 Exercice 6 : Un paysagiste souhaite clôturer la surface cicontre. ABCD est un carré de côté 9 m. E, F, H et I sont les milieux des quatre côtés du carré. Calculer la longueur de la clôture au centimètre près. Le cercle a pour rayon DE = AD 2 = 9 2 m. Le périmètre d un cercle de rayon R est 2R. Le périmètre du cercle de la clôture est donc 2 9 = 9 2 La partie circulaire de la surface est représentée par les 3 de ce cercle. 4 Soit une longueur de = 27 m. 4 Le périmètre de la surface délimitée à partir du carré est : EA + AI + IH + HC + CF = 4AI + IH = IH = 18 + IH 2 Calcul de IH : Dans le triangle IBH rectangle en B, appliquons le théorème de Pythagore : IH² = BI² + BH² = 2BI² = ² 81 = 2 4 = 81 2 Donc IH = 81 2 = 81 2 = 9 2 = m Finalement la longueur de la clôture est : ,57 m 12
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