TD de topologie et calcul différentiel Feuille 1: Topologie, intérieur, adhérence

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1 LM360 Mathématiques 2008 TD de topologie et calcul différentiel Feuille 1: Topologie, intérieur, adhérence Groupe de TD 5 Si A est un sous-ensemble de E, on notera A c = E A son complémentaire. Exercice 1. Enumérer les topologies de l ensemble E = {a, b}. Lesquelles sont séparées? Correction 1. Déterminer une topologie, c est déterminer quels sous-ensembles sont des ouverts. Il n y a que 4 sous-ensebles ditincts de E :, E = {a, b}, et les singletons {a} et {}. D après les axiomes d une topologie, E et doivent être ouverts. Il reste donc à étudier 4 cas suivants: - il n y a pas d autres ouverts; on a alors muni E de la topologie grossière (qui ets bien une topologie; voir le cours. - {a} est ouvert mais {b} n est pas ouvert. Il faut vérifier que les axiomes d une topologie sont vérifiés ce qui ets immédiat. On appelle τ a cette topologie. - {b} est ouvert mais {a} n est pas ouvert. Il faut vérifier que les axiomes d une topologie sont vérifiés ce qui est immédiat. On appelle τ b cette topologie. - {a}, {b} sont ouverts; on recconait la topologie discrète (cf le cours, qui est bien une topologie. La topologie discrète est séparée. Les autres topologie ne le sont pas car, par exemple, dans τ a le seul ouvert contenant b est {a, b} = E contient aussi a. Donc a et b ne peuvent être séparés. Un raisonement similaire s applique pour τ b et la topologie grossière. Exercice 2. Soit l ensemble E = {a, b, c}, muni d une topologie. Montrer que si les singletons {a}, {b} et {c} sont ouverts dans E, alors E est discret (c est à dire que la topologie sur E est la topologie discrète. Note, on définit parfois la topologie discrète comme la topologie pour laquelle tous les singletons sont ouverts (cet exercice explique pourquoi; vérifier que la démonstration donnée s applique ne fait à tout espace topologique dans lesquels les singletons sont ouverts. Correction 2. Il faut montrer que tout sous-ensemble de E est ouvert. Or un tel sous-ensemble S est réunion de ses singletons. Comme une réunion d ouvert est ouvert, S est ouvert. Par exemple {a, b} = {a} {b}. 1

2 Exercice 3 (Topologie sur R (topologie usuelle. On appelle ouvert (usuel de R 2, une réunion de produits d intervalles ouverts (c est à dire de la forme ]a, b[ ]c, d[. Montrer que ces ouverts forment une topologie sur R 2. Existe-t-il une partie de R 2 qui ne soit ni ouverte, ni fermée? 2. Est-ce que la famille des B(0, r := {(x, y R 2 x 2 +y 2 < r} (pour r [0, + ] forme une topologie sur R 2? Si oui, est-elle séparée? 3. Est-ce que les topologies définies en 1 et 2. sont les mêmes? Y en-a-t-il une plus fine que l autre? 4. Y-a-t-il un ouvert usuel de R 2 qui ne soit pas de la forme U V où U et V sont des ouverts de R (c est à dire une réunion d intervalles ouverts? On appelle rectangle élémentaire un produits d intervalles ouverts de la forme ]a, b[ ]c, d[. Correction 3. 1 Le seul axiome d une topologie qui ne soit pas trivial est la stabilité par intersection finie. Une récurrence aisée ramène au cas de ( ]a i, b i [ ]c i, d i [ j J]u j, v j [ ]x j, y j [ = i I (i,j I J ( (]ai, b i [ ]c i, d i [ (]u j, v j [ ]x j, y j [. (on démontre aisément cette égalité en raisonant par double inclusion. Or l intersection de deux rectangles ets un rectangle: (]a i, b i [ ]c i, d i [ (]u j, v j [ ]x j, y j [ est vide ou égal à ]max(a i, u j, min(b i, v j [ ]max(c i, x j, min(d i, y j [. On en déduit le résultat. Une partie X = [a, b[ [c, d[ n est ni ouverte, ni fermée. En effet, aucun rectangle élémentaire contenant (a, c n est inclus dans X ce qui prouve que X n est pas ouvert. Le complémentaire de X contient le point (b, d et tout rectangle élémentaire contenant (b, d intersecte X. Donc X C n est pas ouvert et il suit que X n est pas fermé. 2 On vérifie que B(0, r i = B(0, Sup(r i et B(0, r j = B(0, min(r j. De i I j J plus R 2 = B(0, et = B(0, 0. Donc la famille des B(0, r forme une topologie sur R 2. Elle n est pas séparée car par exemple, tout ouvert non vide contient le point 0. Donc aucun point de R 2 ne peut être séparé de 0. 3 La topologie de la question 1 est séparée (voir le cours donc elle ne peut coincider avec la topologie pour la question 2. La topologie usuelle est en fait plus fine que la topologie de la question 2 car toute boule ouverte est un ouvert pour la topologie usuelle. 4 Il y en a fait beaucoup. Par exemple B(0, r. En effet si X = U V alors X = p 1 (X p 2 (Y où p 1, p 2 sont les projections respectives sur la première et deuxième coordonnées. 2

3 Exercice 4. Soient X, Y, deux ensembles et f : X Y une application. Soient (U i i I une famille de parties de X. 1. Montrer que f ( i I U i = i I f(u i. 2. Montrer que f ( i I U i i I f(u i et que l inclusion peut être stricte. A quelle condition sur f a-t-on égalité? 3. Soit A un sous-ensemble de Y. Montrer que f 1 (Y A = X f 1 (A. Correction 4. 1 Si x ( i I U i, alors il existe i I tel que x Ui. Il suit que f(x f(u i i I f(u i. Réciproquement, si y i I f(u i, il existe i I tel que y f(u i f ( i I U i. 2 Soit x ( i I U i, alors pour tout i I, x U i donc, pour tout i I, f(x f(u i. On a égalité si f est injective. En effet si x y et f(x = f(y, alors {x} {y} = {f(x} (ce qui fournit un contre-exemple si f n est pas injective. Réciproquement, si f est injective, alors que que soit y i I f(u i, il existe une famille (x i U i i I telle que y = f(x i. Par injectivité, tous les x i coincident. On peut donc les noter x qui, par construction, appartient à chaque U i. Il suit que y = f(x f ( i I U i. 3 on a f 1 (Y A = {x X / f(x / A} = X f 1 (A. Soit E un espace topologique et A une partie de E. Rappelons que l adhérence de A, notée A est le plus petit fermé de E contenant A. L intérieur de A, noté Å est le plus grand ouvert de E contenu dans A. Exercice 5. On considère R muni de sa topologie usuelle. Déterminer l intérieur et l adhérence de Q et R Q. Correction 5. On utilise que Q est dense dans R. Il suit que Q = R. Montrons que Q =. En effet si p/q Q, tout intervalle ]a, b[ contenant p/q est non-d{enombrable, donc contient des éléments de R Q. Il suti qu aucun point de Q est intérieur à Q; c est à dire Q =. On montre de même que R Q = R et R Q =. Exercice 6. On considère R 2 muni de sa topologie usuelle. Déterminer l intérieur et l adhérence des sous-ensembles suivants: A = {(x, y R 2 / 2x > y + 1} B = {(x, y R 2 / 0 < x < 2 et 0 y 1} C = {(x, y R 2 / 0 x 2 + y 2 1} D = {(x, y R 2 / x 2 + y 2 4} Q 2. Correction 6. L ensemble A est ouvert. En effet A = (2p 1 p 2 1 (]1, + [ où p 1 (x, y = x et p 2 (x, y = y sont les projections canonique des R 2 dans R. D après le cours, elles sont continues. Il suit que A est la pré-image d un ouvert par une fonction continue, donc est ouvert. Par conséquent Å = A. On a A = {(x, y R 2 / 2x y + 1}. En effet ce dernier ensemble est fermé (même raisonement que pour A ouvert et de plus tout point de {(x, y R 2 / 2x y + 1} est adhérent à A. En effet si (x, y {(x, y R 2 / 2x y + 1}, la suite (x + 1/n, y est dans A et converge vers (x, y. Des raisonements analogues montrent que B = {(x, y R 2 / 0 x 2 et 0 y 1}, B = {(x, y R 2 / 0 < x < 2 et 0 < y < 1}, C = C (C est fermé et C = {(x, y R 2 / 0 x 2 + y 2 < 1} (attention, ici 0 est bien un point intérieur à C. Comme tout disque ouvert non vide de R 2 contient des points de Q 2, on voit que l adhérence de D est {(x, y : x 2 + y 2 4}. Et comme tout ouvert non vide de R 2 contient des points à coordonnées irrationnelles, l intérieur de D est l ensemble vide. 3

4 Exercice 7 (une autre définition de l intérieur et de l adhérence. Soit A une partie d un espace topologique E. On dit qu un point x A est intérieur à A si il existe un ouvert U x contenant x et inclus dans A. on dit qu un point x E est adhérent à A si tout ouvert U contenant x rencontre A (c est à dire U A pour tout ouvert U contenant x. 1. Montrer que Å = {x A / x est intérieur à A}. 2. Montrer que A B implique Å B. 3. Montrer que A c = (Åc et que A c = (A c. 4. En déduire que A = {x E / x est adhérent à A}. Correction 7. 1 Par définition, si x est intérieur, il existe un ouvert x U x A. Mais alors x est intérieur U x est un ouvert inclus dans A. De plus si x Å, alors x est intérieur à A (on peut prendre U x = Å. Il suit que Å {x A / x est intérieur à A} et comme Å est le plus grand ouvert inclus dans A, on a Å = {x A / x est intérieur à A}. 2 On a Å A B; donc Å est un ouvert inclus dans B, donc dans le plus grand ouvert inclus dans B, c est à dire B. 3 Rappelons que si (X i est une famille de parties de E, le complémentaire de la réunion des X i est l intersection des complémentaires des X i. Par définition, (Åc est le complémentaire de la réunion de tous les ouverts contenus dans A, c est donc l intersection de tous les fermés contenant A c, c est-à-dire A c. La deuxième égalité se déduit de la première en remplaçant A par son complémentaire. 4 D après 3, par passage au complémentaire, il suffit de montrer que l on a {x E / x est adhérent à A} c = Åc. Or {x E / x est adhérent à A} c = {x E / x U x ouvert, U x A } c = {x E / x U x ouvert, U x A c } = {x E / x est intérieur à A c } = Åc. Exercice 8. Soit X un espace topologique, A, B des sous-ensembles de X. 1. Montrer que A B A B, A B = A B, (A B = Å B et montrer que la première inclusion peut être stricte. 2. Que peut on dire de Å B? 3. On note u(a = Å et v(a = Å. a Calculer u(a et v(a pour E = R (avec la topologie usuelle et A =]0, 2] et A = Q. b Comparer A, Å, u(a et v(a. c Montrer que u 2 = u et v 2 = v. 4. Soit Y un espace topologique et C Y. On munit X Y de la topologie produit. Montrer que A C = A C et (A C = Å C. 4

5 Correction 8. 1 On a clairement A B A et A B B, donc A B A et A B B, d où l inclusion : A B A B. Comme on a A A B et B A B, on a aussi A A B et B A B. Donc A B A B. D autre part, on a A B A B. Ce dernier ensemble étant fermé, comme réunion de deux fermés, il contient A B. On a donc bien A B = A B. Par passage au complémentaire, et en utilisant l exercice précédent on obtient (A B = Å B. L inclusion A B A B est fausse en général: prenons dans R, A = [0, 2[ et B =]2, 3]. A B est alors vide, donc son adhérence aussi, mais A = [0, 2] et B = [2, 3] d où A B = {2}. 2 On a Å B est un ouvert inclus dans A B, donc inclus dnas le plus grand ouvert de A B. Il suit que Å B A B. l inclusion inverse est fausse come on le voit en considérant les complémentaires pour le contre-exemple de la question précédente 1. 3 a u(]0, 2] = [0, 2] =]0, 2[ et v(]0, 2] = ]0, 2[ = [0, 2]. On a u(q = R et v(q =. b On a pour tout ensemble X X X. De plus X = X et X = X. Il suit que Å u(a A et de même Å v(a A. En revanche, on ne peut pas comparer u(a et v(a en général car pour A = Q on a v(a est strictement inclus dans v(a et pour une boule ouverte dans R d, c est le contraire... c D après b, on a u(a = Å v(a. comme u(a est ouvert, il suit que u(a v(a = u 2 (A. De plus, on a u(a A, d où, u(a A = A. En prenant les intérieurs, il suit que u 2 (A u(a. On a donc montré que u(a = u 2 (A. On montre de même que v 2 (A = v(a. 4 on sait que les projections p X : X Y C et p Y : X Y Y sont continues et ouvertes. On a Å B A B est ouvert, donc Å B A B. De plus, comme p X est ouverte, p X ( A B est un ouvert inclus dans A, donc inclus dans Å. De même, p Y ( A B B. Il suit que A B Å B. On a obtenu Å B = A B. Comme A B est fermé, on a A B A B. Montrons l inclusion inverse. Si (x, y est dans A B, alors pour tout ouvert élḿentaire U x V y dans la topologie produit, on a x U x est un ouvert de A donc U x A = car x A. De même, V y B. Il en découle que (U x V y (A B et donc (x, y est adhérent à A B. Ainsi, A B A B. Exercice 9 (Frontière. Si A est une partie d un espace topologique X, la frontière de A, notée A, est l ensemble A = A Å. 1. Montrer que A = A A c = (A c et que A est fermé. 2. Déterminer la frontière des ensembles de R 2 suivants: A = {(x, y R 2 / 0 < x 2 + y 2 < 2}, B = Q 2, C =] 2, 1[ [0, 1]. Correction 9. 1 Par définition, la frontière de A est l intersection de l adhérence de A et du complémentaire de l intérieur de A. D après l exercice 7, le complémentaire de l intérieur d une partie est l adhérence de son complémentaire. Donc A = A A c. On en déduit que A = A c et que la frontière est fermée comme intersection finie de fermés. 5

6 2 On vérifie que A = {0} {(x, y R 2 / x 2 + y 2 = 2}. En effet A est ouvert (raisonner comme dans l exercice 5, son adhérence est la boule fermée centrée à l origine et de rayon 2, donc A = A \ A = {(0, 0} {(x, y : x 2 + y 2 = 2}. On a Q 2 = R 2 = R 2. On a C = { 2} [0, 1] {1} [0, 1] [ 2, 1] {0} [ 2, 1] {1} car C = [ 2, 1] [0, 1]. Exercice 10. Soit X un espace topologique, Y un sous-espace de X muni de la topologie induite et A Y. 1. On note A l adhérence de A dans X et A Y l adhérence de A dans Y. Montrer que A Y = A Y. 2. On note aussi Å, ÅY les intérieurs de A dans X et Y respectivement. Montrer que Å ÅY. Montrer que cette inclusion peut être stricte. Correction L ensemble A Y est fermé dans Y en tant que trace d un fermé de X. Il faut montrer que c est le plus petit fermé de Y contenant A. Soit G un fermé du sous-espace Y contenant A. Par définition de la topologie de Y, G est de la forme O F où O est fermé dans X. Comme A G, il vient A O. O étant fermé, A O. Par conséquent A Y O Y = G. 2 On a Å A Y ouvert, donc Å = Å Y est ouvert dans Y et il suit que Å ÅY. Prenons Y = [0, 1[ [2, 3], A = [0, 1[ et X = R. Alors Å =]0, 1[ mais, A = Y ] 1, 1[ est ouvert dans Y, donc ÅY = A. 6