DEVOIR COMMUN DE MATHÉMATIQUES

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1 Classe de Troisième DEVOIR COMMUN DE MATHÉMATIQUES Samedi 9 janvier 2016 Durée de l épreuve : 2 H 00 Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1 à 7. Dès que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu il est complet. Il se compose de 6 exercices. Les exercices peuvent être traités dans n importe quel ordre. Les exercices sont notés sur 36 points. 4 points sont réservés à la maîtrise de la langue, à la qualité de la rédaction et au soin apporté à la copie. En page 7 figure un formulaire de géométrie. L usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur. 1

2 EXERCICE 1 (4 points) Répondre à chacune des affirmations suivantes par VRAI ou FAUX. Chaque réponse sera justifiée par un calcul détaillé. A et B sont les expressions suivantes : A = B = Affirmation 1 : L'expression A peut s'écrire sous la forme : A = 9 3. Affirmation 2 : L'écriture scientifique de l'expression B est : B = 4, EXERCICE 2 (6 points) Une ville propose à ses habitants un parcours sportif schématisé par la figure ci-dessous (qui n'est pas à l'échelle). On suppose que les chemins permettant de se rendre d'un point à l'autre du parcours sont rectilignes, que les points D, T et V sont alignés, que les points D, C et E sont alignés et que les chemins [DM] et [MB] sont perpendiculaires. On donne : Distances depuis le point de départ D Mur d'escalade M 276 m Barre fixe B 345 m Table abdominale T 264 m Vélo fixe V 396 m Corde à nœuds C 318 m Echelle horizontale E 477 m 1) Prouver que le chemin reliant la table abdominale à la corde à nœuds est parallèle au chemin reliant le vélo fixe à l'échelle horizontale. 2) Calculer la longueur du chemin reliant le mur d'escalade à la barre fixe. Détailler la démarche. 3) La distance entre la table abdominale et la corde à nœuds est exactement égale à 200 m. Quelle est alors la distance séparant le vélo fixe de l'échelle horizontale? 2

3 EXERCICE 3 (6 points) On considère le programme de calcul suivant : Choisir un nombre Ajouter 1 Élever au carré Soustraire le double du nombre de départ. 1) a) Vérifier que si le nombre choisi est 3, le résultat du programme de calcul est 10. b) Calculer la valeur exacte du résultat lorsque le nombre choisi est 1. On détaillera les calculs. 3 2) On nomme x le nombre choisi. a) Parmi les propositions suivantes, quelle est l'expression qui permet de trouver le résultat du programme de calcul (on ne demande pas de justifier la réponse) : Proposition 1: P = x + (1 2x) 2 Proposition 2: P = (x + 1) 2 2x Proposition 3: P = (x + 1) 2 x 2 b) Développer et réduire l'expression choisie. c) Quels nombres peut-on choisir pour que le résultat soit 8? On détaillera sa démarche. 3

4 EXERCICE 4 (6 points) Pour attirer davantage de visiteurs dans sa ville, un maire décide de faire construire un parc d'attraction sur le thème de la mer. Les architectes prévoient de poser un énorme aquarium à l'entrée, dont la vitre a une forme sphérique. Partie 1 : La figure ci-dessous représente la situation. Cette figure n'est pas en vraie grandeur. 1) Calculer le volume en m 3 d'une boule de rayon 5 m. Donner l'arrondi à l'unité. 2) En réalité, l'aquarium est implanté dans le sol. La partie supérieure, visible aux visiteurs, est une "calotte sphérique". La partie enfouie abrite des machines. a) Quelle est la nature géométrique de la section entre le plan horizontal du sol et l'aquarium (la partie grisée sur la figure)? b) Le point O désigne le centre de la sphère. On donne les dimensions réelles suivantes : OH = 3 m ; RO = 5 m ; HR = 4 m où H et R sont les points placés sur le sol comme sur la figure. Le triangle ORH est-il rectangle? Justifier. 3) a) T est un point de la sphère tel que les points T, O et H soient alignés comme sur la figure. Calculer la hauteur HT de la partie visible de l'aquarium. b) Le volume d'une calotte sphérique de rayon 5 m est donné par la formule : π h2 V calotte = (15 h) 3 où h désigne sa hauteur (correspondant à la longueur HT sur la figure). Calculer le volume en litres de cette calotte sphérique. On rappelle que 1L = 1 dm 3 c) Pour cette question, on prendra comme volume de l'aquarium litres. Des pompes délivrent à débit constant de l'eau de mer pour remplir l'aquarium vide. En deux heures de fonctionnement les pompes réunies y injectent litres d'eau de mer. Au bout de combien d'heures de fonctionnement les pompes auront-elles rempli l'aquarium? 4

5 EXERCICE 5 (7 points) Partie A : Une entreprise du Sénégal conditionne des mangues au sirop dans des boîtes de conserve. Sur chaque boîte il est indiqué «masse nette 250 g». Chaque jour l entreprise effectue un contrôle qualité : ce contrôle consiste à prélever 23 boîtes de la chaîne de production pour contrôler la masse nette de mangues de chacune de ces boîtes. Voici les résultats observés le 8 juin 2015 : Masse nette (en g) Nombre de boîtes ) Quelle est l étendue de cette série statistique? 2) Calculer le pourcentage de boîtes prélevées correspondant exactement à la masse nette indiquée. On arrondira ce pourcentage à l'unité. 3) Si la masse nette moyenne ou la masse nette médiane est strictement inférieure à 250 g, on arrête la chaîne de production pour effectuer des vérifications de bon fonctionnement. La chaîne de production a-t-elle été arrêtée le 8 juin 2015? Justifier votre réponse. 4) Déterminer la valeur du premier quartile de cette série. Partie B : A la fin de l année 2015, beaucoup de contrôles ont été effectués qui permettent de juger du bon fonctionnement de la chaîne de production. On résume l ensemble des résultats dans le tableau suivant : Masse nette Masse nette Premier quartile Médiane Troisième quartile minimale maximale 235 g 248 g 251 g 255 g 274 g Recopier et compléter les affirmations suivantes. «Au moins 75% des boîtes contrôlées ont une masse supérieure ou égale à g» «Au moins % des boîtes contrôlées ont une masse comprise entre 248 g et 255 g» «Au moins.. % des boîtes contrôlées ont une masse supérieure ou égale à 251 g» «Il y a une différence de 39 g entre.» 5

6 EXERCICE 6 (7 points) Un constructeur propose à ses clients un modèle de maison "basse consommation". Ce type de maison à un étage possède un toit à quatre pentes ayant la forme d'une pyramide à base carrée. Les murs extérieurs sont également des carrés. Pour isoler la maison on remplit une partie du toit d'une mousse isolante composée à partir de matériaux biologiques. Un des murs de la maison est destiné à recevoir des panneaux solaires. Partie 1: Coût de la mousse isolante Schéma du toit Le toit est considéré comme une pyramide SABCD de sommet S, de base le carré ABCD de centre O, et de hauteur [SO]. La mousse isolante est injectée de telle sorte que sa surface EFGH soit une section de la pyramide SABCD par un plan parallèle à sa base, comme l'indique le schéma ci-dessus. Ainsi SEFGH est une réduction de SABCD de rapport k. La partie ABCDEFGH remplie de mousse isolante est appelé un tronc de pyramide. On donne : AB = 8,40 m et SO = 4 m. 1) Démontrer que le volume de la pyramide SABCD est égal à 94,08 m 3 2) Quelle est la nature de la section EFGH? Dans la suite, on appelle [SI] la hauteur de la pyramide SEFGH. On admet que S, I et O sont alignés et on donne SI = 3 m. 3) Calculer le coefficient de réduction k, puis en déduire le volume de la pyramide SEFGH. 4) La mousse isolante est vendue 175 par m 3. Calculer le coût de la mousse nécessaire à l'isolation prévue. Partie 2: Coût des panneaux solaires. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation. Les panneaux solaires prévus ont la forme d'un rectangle de longueur 1,10 m et de largeur 0,55 m. Les panneaux doivent être placés verticalement et peuvent être collés les uns aux autres. On souhaite couvrir en panneaux la plus grande surface possible du mur destiné à les recevoir. Sachant qu'un panneau coûte 124, quel sera le coût de l'ensemble des panneaux solaires? 6

7 Formulaire de géométrie Aires et volumes 7