1. On désigne par A et B deux évènements indépendants d un univers muni d une loi de probabilité p.

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1 2011 Pondichéry ex 3 (5 pts) Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous. On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups. 1. Le joueur lance une fléchette. On note p 0 la probabilité d obtenir 0 point. On note p 3 la probabilité d obtenir 3 points. On note p 5 la probabilité d obtenir 5 points. On a donc p 0 +p 3 +p 5 = 1. Sachant que et que, déterminer p 0, p 3 et p Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette. On note G 2 l évènement : «le joueur gagne la partie en 2 lancers». On note G 3 l évènement : «le joueur gagne la partie en 3 lancers». On note P l évènement : «le joueur perd la partie». On note p(a) la probabilité d un évènement A. 2.a. Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que. On admettra dans la suite que. 2.b. En déduire. 3. Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2. Quelle est la probabilité qu il gagne au moins une partie? 4. Pour une partie, la mise est fixée à 2. Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5. S il gagne en trois lancers, il reçoit 3. S il perd, il ne reçoit rien. On note X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour X sont donc : 2, 1 et 3. 4.a. Donner la loi de probabilité de X. 4.b. Déterminer l espérance mathématique de X. Le jeu est-il favorable au joueur? 2010 Polynésie Des robots se trouvent au centre de gravité O d un triangle de sommets S, I et X. Chacun se déplace en trois étapes successives de la manière suivante : - à chaque étape il passe par l un des trois sommets S, I et X puis il rejoint le point O ; - les robots sont programmés de telle sorte que, lors d une étape, la probabilité de passer par le sommet S est égale à celle de passer par le sommet X et la probabilité de passer par le sommet S est le double de celle de passer par le sommet I ; - les différentes étapes sont indépendantes les unes des autres ; - on ne tient pas compte des passages par O. Partie A Un seul robot Un seul robot se trouve au point O. 1. Démontrer qu à chaque étape, la probabilité que le robot passe par le sommet I est égale à 2. On note E l événement : «au cours des trois étapes, le robot passe successivement par les 3 sommets S, I et X dans cet ordre». Démontrer que la probabilité de E est égale à 3. On note F l événement : «au cours des trois étapes, le robot passe exactement par les 3 sommets S, I et X dans un ordre quelconque». Déterminer que la probabilité de F. Partie B Plusieurs robots Des robots se trouvent au point O, leurs déplacements étant indépendants les uns des autres. Quel nombre minimal n de robots doit-il y avoir pour que la probabilité de l événement : «au moins l un des robots passe successivement par les sommets S, I et X dans cet ordre» soit supérieure ou égale à 0,99? 2009 Liban 3 points Pour chacune des trois questions. une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie, sans justification. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon. 1. On désigne par A et B deux évènements indépendants d un univers muni d une loi de probabilité p.

2 On sait que ( A B ) 4 5 p = et ( A ) 3 p =. La probabilité de l évènement B est égale à : 5 a. 2 5 b. 2 3 c. 3 5 d On note X une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre λ = 0,04. On rappelle que pour tout réel t positif, la probabilité de l événement X t, notée p( X t ), est donnée par ( ) t x λ λ 0 p X t = e dx. La valeur approchée de p(x > 5) à 10 2 près par excès est égale à : a. 0,91 b. 0,18 c. 0,19 d. 0,82 3. Dans ma rue, il pleut un soir sur quatre. S il pleut, je sors mon chien avec une probabilité égale à 1 ; s il ne pleut pas, je sors 10 mon chien avec une probabilité égale à 9. Je sors mon chien ; la probabilité qu il ne pleuve pas est égale à : 10 a b La Réunion Juin ex3 5 points c. 3 4 Une usine produit des sacs. Chaque sac fabriqué peut présenter deux défauts : le défaut a et le défaut b. Un sac est dit défectueux s il présente au moins l un des deux défauts. d Dans cette question les probabilités demandées seront données avec leurs valeurs décimales exactes. On prélève un sac au hasard dans la production d une journée. On note A l évènement «le sac présente le défaut a» et B l évènement «le sac présente le défaut b». Les probabilités des évènements A et B sont respectivement p(a) = 0,02 et p(b) = 0,01 ; on suppose que ces deux évènements sont indépendants. a. Calculer la probabilité de l évènement C : «le sac prélevé présente le défaut a et le défaut b». b. Calculer la probabilité de l évènement D : «le sac est défectueux». c. Calculer la probabilité de l évènement E : «le sac ne présente aucun défaut». d. Sachant que le sac présente le défaut a, quelle est la probabilité qu il présente aussi le défaut b? 2. On suppose que la probabilité (arrondie au centième) qu un sac soit défectueux est égale à 0,03. On prélève au hasard un échantillon de 100 sacs dans la production d une journée. La production est suffisamment importante pour que l on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 sacs. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 100 sacs, associe le nombre de sacs défectueux. a. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b. Quelle est la probabilité de l évènement «au moins un sac est défectueux»? On arrondira cette probabilité au centième. Interpréter ce résultat. c. Calculer l espérance mathématique de la variable aléatoire X. Interpréter ce résultat dans le cadre de l énoncé National Septembre Dans une kermesse un organisateur de jeux dispose de 2 roues de 20 cases chacune. La roue A comporte 18 cases noires et 2 cases rouges. La roue B comporte 16 cases noires et 4 cases rouges. Lors du lancer d'une roue toutes les cases ont la même probabilité d'être obtenues. La règle du jeu est la suivante : Le joueur mise 1 euro et lance la roue A. S'il obtient une case rouge, alors il lance la roue B, note la couleur de la case obtenue et la partie s'arrête. S'il obtient une case noire, alors il relance la roue A, note la couleur de la case obtenue et la partie s'arrête. 1. Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré. 2. Soient E et F les événements : E : «à l'issue de la partie, les 2 cases obtenues sont rouges» ; F : «à l'issue de la partie, une seule des deux cases est rouge». Montrer que p(e) = 0,02 et p(f) = 0,17.

3 3. Si les 2 cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10 euros ; si une seule des cases est rouge le joueur reçoit 2 euros ; sinon il ne reçoit rien. X désigne la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur (rappel : le joueur mise 1 euro). a. Déterminer la loi de probabilité de X. b. Calculer l'espérance mathématique de X et en donner une interprétation. 4. Le joueur décide de jouer parties consécutives et indépendantes ( désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2). a. Démontrer que la probabilité qu'il lance au moins une fois la roue B est telle que : 10,9. b. Justifier que la suite de terme général est convergente et préciser sa limite. c. Quelle est la plus petite valeur de l'entier pour laquelle 0,9? 2011 Pondichéry ex 3 (5 pts) 1. On a donc p 0 +p 3 +p 5 = 1, et et D où Arbre pondéré des deux premiers lancers On atteint une somme supérieure ou égale à 8 sur 3 issues Ainsi, on a 2.b les événements,, forment une partition de l univers, Donc 1 Donc

4 3. avec une loi binomiale, on répète 6 fois de manière identique et indépendante une même épreuve qui n a que deux issues : «le joueur gagne la partie» de probabilité et de probabilité donc la variable aléatoire! qui désigne le nombre de parties gagnées, suit une loi binomiale de paramètres 6 et 1/3 «il gagne au moins une partie» : (" $) (! 1) = 1 (! = 0) = 1 % 6 0 & '1 3 ( ' 2 3 ( = 1 ' 2 3 ( = 665 0, Ainsi, la probabilité de gagner au moins une partie est de 0,912 à 0,001 près. 3. sans loi binomiale + «il gagne au moins une partie» est l événement contraire de +, «il perd les six parties» : (+) = 1 (+,) Donc (+) = 1 ( ) = 1.()/ car les parties sont indépendantes. Donc (+) = 1 % & = 0 Ainsi la probabilité qu il gagne au moins une partie est égale à 0. 4.a. Donner la loi de probabilité de X. Valeur de X Situation correspondante (1 = 2 3 ) b. Déterminer l espérance mathématique de X. Le jeu est-il favorable au joueur? 4(1) = 2 3 ( 2) (1)+ 5 3 = ,72 Pour une partie, l espérance de gain est négative, le jeu est défavorable au joueur. Polynesie Juin 2010 Partie A : 1. d après les données : () = (1) 67 () = 2(8) De plus,8,1 forment une partition de l univers : donc ()+(8)+(1) = 1 D où 5(8) = 1 c est-à-dire (8) =. on en déduit : () = (1) = 2. les différentes étapes étant indépendantes les unes des autres, on a : (4) = ("81") = () (8) (1) = = ; est la réunion de 6 issues ordonnées SIX,18,81,81,18,18 qui sont 2 à 2 incompatibles, Donc : (;) = (81)+(18)+(81)+(81)+(18)+(18) = 6 (8) () (1) = =

5 Partie B : On répète fois de manière identique et indépendante une même épreuve qui n a que deux issues, le succès robot passe successivement par les sommets S, I, X dans cet ordre» de probabilité 4/125 et 4< de probabilité 121/125 La variable aléatoire N donnant le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres 67 4/125 4 «le «au moins l un des robots passe successivement par les sommets S, I X» : (! 1) (! 1) = 1 (! = 0) = 1 % 0 & ' 4 On veut : (! 1) 0,99 1 ' 121 0,99 ' 121 0,01 ln' 121 B0,01 ln' 121 B0,01 B0,01 ln% & Or C, DE% FGF FGH & ' 121 = 1 ' 121 Il faut donc un minimum de 142 robots pour que la probabilité d avoir au moins un robot passant successivement par les sommets S, I X soit supérieure à 0, Liban 1 Rappels de cours : quels que soient les événements A et B : (K M) = (K)+(M) (K M) A et B indépendants si et seulement si (K M) = (K) (M) OP Q (K) = (K)OP R (M) = (M) On considère A et B deux événements indépendants, on a : (K M) = (K)+(M) (K) (M) Or (K M) = 67 (K) = 1 (K )=1 = D où = +(M) (M) (M) = (M) = réponse b 2 réponse d (1 >5) = 1 (1 5) = 1 T U6 VWX Y2 = 1 Z 6 VWX [ = 1+6 VW 1 = 6 VW = 6 V, = 6 V. 0,82 3 réponse d on veut \ (<) \ (<)= (] <) (]) En s aidant d un arbre pondéré, on a : (] <) = (<) ^<(]) = = (]) = (] <)+(] ) = () ^(]) = = Y _ Où \ (<) = (] <) (]) 2009 La Réunion = = Données : (K) = 0,02 (M) = 0,01 1.a. Rappels de cours : quels que soient les événements A et B : (K M) = (K)+(M) (K M) A et B indépendants si et seulement si (K M) = (K) (M) OP Q (K) = (K)OP R (M) = (M)

6 les événements K et M sont indépendants, donc (]) = (K M) = (K) (M) = 0,02 0,01 = 0, b. «le sac est défectueux» i.e. «le sac a au moins l un des deux défauts» : K M (b) = (K M) = (K)+(M) (K M) = 0,02+0,01 0,0002 = 0, c. E : «le sac ne présente aucun défaut» i.e. 4 = K M< = <<<<<<< K M (4) = (K M<) = (K M <<<<<<<) = 1 (K M) = 1 0,0298 = 0, d «avoir le défaut c, sachant qu il a le défaut d» Les événements A et B étant indépendants : R (M) = (M) = 0,01 2.on prélève au hasard 100 sacs. 2.a. On répète 100 fois de manière identique et indépendante ( assimilé à un tirage avec remise) une épreuve qui n a que 2 issues, D «le sac est défectueux» de probabilité 0,03 et b, de probabilité 0,97. La variable aléatoire X qui désigne le nombre de sacs défectueux ( parmi les 100) suit une loi binomiale de paramètres 100 et 0,03. 2.b. X peut prendre les valeurs 0, 1, 2,,100 «au moins 1 sace est défectueux» : 1 1 (1 1)=1 (1 = 0) = 1 % & 0,03 0,97 0,95 La probabilité d obtenir au moins 1 sac défectueux dans un échantillon de 100 sacs est égale à 0,95 à 0,01 près. 2.c. espérance Pour une loi binomiale, l espérance est égale au produit des paramètres : 4(1) = 100 0,03 = 3 Interprétation : X désigne le nb de sacs défectueux parmi les 100, donc 4(1) désigne le nombre moyen de sacs défectueux que l on peut «espérer» avoir parmi les 100. En moyenne, il y a 3 sacs défectueux par échantillon de 100 sacs National Septembre 1 arbre pondéré : Pour e = 1 OP 2, on considère les événements : f 3 «le i-ième tirage donne une boule rouge»! 3 «le i-ième tirage donne une boule noire» 1/10 f 1/5 4/5 f! Issues f f f! Mise Somme reçue 10 2 Gain algébrique 9 9/10 1/10 f! f 2! 9/10!!! 0-2 (4) = (f f ) = (f ) gf (f )= = = 0,02 ; «une seule des deux cases est rouges» ; est la réunion de f! et de! f qui sont deux événements incompatibles (;) = (f! )+(! f )=(f ) gf (! )+(! ) hf (f ) = = = 0,17

7 3 a) D après l arbre complété avec la mise, la somme reçue, et le gain, la variable aléatoire 1 donnant le gain algébrique peut prendre 3 valeurs +9, + et. (1 = +9) = (4) = 0,02 (1 = +1) = (;) = 0,17 (1 = 1) = (!! )=(! ) hf (! ) = = 0,81 D où la loi de probabilité : (1 = 2 3 ) 0,02 0,17 0,81 3s 3b) Espérance 4(1) = r(1 = 2 3 ) 2 3 = 0,02 9+0,17 1+0,81 ( 1) = 0,46 3s En moyenne, un joueur peut «espérer» perdre 0,46 par partie. 4 Il joue parties ( chaque partie est constituée de deux lancers) Le joueur répète fois de manière identique et indépendante une même épreuve qui n a que deux issues : f «le 1 er lancer donne une rouge», c est-à-dire «il lance la roue B» et f<<< de probabilités respectives 0,1 et 0,9. La loi de probabilité de la v. a.! donnant le nombre de fois où il lance la roue B (parmi les parties) suit une loi binomiale de paramètre et 0,1. L événement «au moins 1 fois il lance la roue B» est! 1. = (! 1) = 1 (! = 0) = 1 % 0 & 0,1 0,9 = 1 0,9 4b) 1 < 0,9 <1 donc Bev xy 0,9 = 0 Bev xy 1 0,9 = 1 Bev = 1 xy Ainsi la suite ( ) converge vers 1 4z) >0,9 1 0,9 >0,9 0,9 < 0,1 B0,9 < B0,1.B0,9 <B0,1 > B0,1 B0,9 Or C, 21,85 Donc la plus petite valeur de pour laquelle C,0 >0,9 est 22.