Chapitre 5 ANALYSE TRANSITOIRE DES CIRCUITS ELECTRIQUES

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1 Chapitre 5 ANALYSE TRANSITOIRE DES CIRCUITS ELECTRIQUES

2 Objectifs reconnaître et comprendre les deux régimes (transitoire et permanent) d une réponse à une excitation; retrouver l équation différentielle unissant un paramètre d un circuit électrique à une excitation; connaître et exploiter les propriétés des circuits électriques linéaires; déduire l ordre d un circuit électrique (1er ou 2e ordre seulement); calculer la réponse d un circuit électrique du 1er ou 2e ordre à un échelon partir de l équation différentielle, étendre cette réponse à une excitation apériodique quelconque; savoir distinguer la réponse forcée de la réponse naturelle; déduire la réponse d un circuit électrique du 1er ordre par inspection; déterminer les paramètres d un circuit de 2e ordre à partir de l équation caractéristique; connaître les différentes réponses d un circuit de 2e ordre selon l équation caractéristique et ses racines; trouver le circuit équivalent avec des conditions initiales non-nulles. 2/51

3 Plan du cours Excitation et réponse Méthodes d analyse transitoire Analyse par équations différentielles Circuits du premier ordre Circuits du deuxième ordre Circuits initialement excités 3/51

4 Excitation et réponse Excitation (Sources de tension et de courant) Circuit Électrique Réponse (Tensions et courants dans les éléments) 4/51

5 Régime transitoire et régime permanent V1 V2 Échelon de tension Excitation t Excitation Transistoire Réponse t Régime permanent 0 t Repos Régime transitoire Régime permanent 5/51

6 Excitations électriques communes (Tensions ou courants électriques) Continu Rampe Échelon Impulsion (et Porte) Exponentielle Sinusoïde 6/51

7 Méthodes d analyse transitoire Analyse par équations différentielles La relation entre l excitation x et la réponse y est décrite par une équation différentielle qu on solutionne analytiquement d n y a n dt a dy n 1 dt + a y = b 0 m d m x dt m b 1 dx dt + b 0 x Simulation numérique Saisie de schéma Équations d équilibre Résolution numérique Réponse du circuit 7/51

8 Méthodes d analyse transitoire Analyse par la transformation de Laplace Étape 1 La transformée de Laplace est appliquée aux éléments électriques et aux tensions et courants Étape 2 Résolution des équations algébriques dans l espace de Laplace pour déterminer la transformée de Laplace de la réponse Y(s) Étape 3 Transformation inverse (analytique ou numérique) de Laplace de Y(s) pour déterminer le vecteur de sortie y(t) dans l espace temps 8/51

9 Analyse par équations différentielles Loi des tensions de Kirchhoff N k =1 v k = v s Loi des courants de Kirchhoff M k =1 i k = i s Équations caractéristiques v-i v = R i v = L di dt i = C dv dt v=sl i v= 1/(sC) i d n y a n dt a dy n 1 dt + a y = b 0 m d m x dt m b 1 dx dt + b 0 x 9/51

10 Analyse par équations différentielles Exemple Écrire l équation différentielle qui permet de déterminer i 1 (t) L d 2 i 1 dt + R di 1 2 dt + 1 C i = dv s 1 dt 10/51

11 Résolution des équations différentielles des circuits électriques Équation différentielle d un circuit initialement au repos: d n y a n dt a dy n 1 dt + a y = x 0 Excitation x à t = 0 0 t Trois étapes Réponse y=z pour les temps négatifs Réponse y=z pour les temps positifs Prise en compte des conditions initiales 11/51

12 Conditions initiales (ou aux limites) important S il y a une discontinuité dans le membre droit à t=0, il faut absolument que d cette discontinuité apparaisse uniquement dans le terme n y a n du membre gauche. dt n 12/51

13 Propriétés des circuits électriques linéaires d n y a n dt a dy n 1 dt + a y = b 0 m d m x dt m b 1 dx dt + b 0 x Linéarité Si y=z 1 est la réponse à l excitation x 1 et si y=z 2 est la réponse à l excitation x 2 y=(a z 1 + B z 2 ) est la réponse à l excitation (A x 1 + B x 2 ) 13/51

14 Propriétés des circuits électriques linéaires d n y a n dt a dy n 1 dt + a 0 y = b m d m x dt m b 1 dx dt + b 0 x Si y=z est la réponse à l excitation x y = d n z sera la réponse à d n x dt n dt n y = t z(τ ) dτ sera la réponse à x(τ ) dτ t y = z(t t o ) sera la réponse à x(t t o ) 14/51

15 Propriétés des circuits électriques linéaires d n y a n dt a dy n 1 dt + a y = b 0 m d m x dt m b 1 dx dt + b 0 x Si y=z est la réponse à l excitation complexe x y = z * sera la réponse à x * y = Re[z] sera la réponse à Re[x] y = Im[z] sera la réponse à Im[x] 15/51

16 Propriétés des circuits électriques linéaires Équations différentielles Solution n d y dy a1 + a y x z n dt dt an 0 = n d y dy an a1 + a0 y = b n 0 dt dt x b 0 z n d y dy dx dz a1 + a0 y = b1 b x b n 1 + b0 z dt dt dt dt an + 0 n m m d y dy d x dx d z dz a1 + a0 y = bm b1 b x b b z n m m b1 + m 0 dt dt dt dt dt dt an /51

17 Partie 1 Circuits du premier ordre 17/51

18 Circuits du premier ordre Équation du premier ordre dy a 1 dt + a y = b dx 0 1 dt + b x 0 Circuit de base Circuit du premier ordre ou non??? Le-Huy, Circuits Électriques 18/51

19 EXEMPLES D ANALYSE PAR EQUATIONS DIFFERENTIELLES 19/51

20 Réponse à un échelon d un circuit RC Déterminer v(t) et i(t) t /RC V 0 V 0 e V0 R e t /RC 20/51

21 Réponse à un échelon d un circuit RL Déterminer i(t) et v(t) possibilité: remplacement de la fermeture de l interrupteur par une source tension ayant v inter (t=0 - ) à ses bornes /51

22 ANALYSE PAR INSPECTION 22/51

23 Principe de l analyse par inspection Réponse d un circuit RC Réponse d un circuit RL 0.6 à t = 0 + Court circuit à t = 0 + Circuit ouvert à t Circuit ouvert à t Court circuit 23/51

24 Procédure d une analyse par inspection Étape 1 Déterminer la constante de temps τ à partir du circuit de base τ = RC τ = L/R pour un circuit RC pour un circuit RL Étape 2 Chercher la réponse y(t) sous la forme: y(t) = A + B e t τ u(t) A et B sont des constantes et τ étant la constante de temps du circuit Étape 3 Déterminer A et B à partir des condition aux limites aux temps courts (t = 0 + ) et aux temps longs ( t ) de la réponse y(t). Condition initiale y(0 + ) = A + B Court-circuiter les condensateurs «Ouvrir» les inductances Condition finale y( ) = A Court-circuiter les inductances «Ouvrir» les condensateurs 24/51

25 a) Réponse à un échelon Déterminer puis tracer par une analyse par inspection i 1a et v 2a R 1 V sa = 120 u(t) + i 1a - C R v 2a R 1 = 100 Ω R 2 = 200 Ω C = 500 µf Courant dans R 1 i 1a (t) = e t τ u(t) Tension aux bornes de R 2 v 2a (t) = 80 1 e t τ u(t) 25/51

26 b) Réponse à une porte Déterminer i 1b et v 2b R 1 v sb (t)=0.5v sa (t)-0.5v sa (t-3) V sb (t) + i 1 - C R v 2 R 1 = 100 Ω R 2 = 200 Ω C = 500 µf t (s) Courant dans R 1 i 1b (t) = 0.5 i 1a (t) i 1a (t 3) = e t τ u(t) e t 3 τ u(t 3) Tension aux bornes de R 2 v 2b (t) = 40 1 e t τ u(t) 1 e t 3 τ u(t 3) 26/51

27 c) Réponse à une impulsion de Dirac Déterminer i 1c et v 2c R 1 v sc (t)=a/120 dv sa /dt V sc (t) + i 1 - C R v 2 R 1 = 100 Ω R 2 = 200 Ω C = 500 µf A 0 t Courant dans R 1 i 1c (t) = A δ(t) τ e t τ u(t) Tension aux bornes de R 2 v 2c (t) = 2A 3τ e t τ u(t) 27/51

28 d) Réponse à une rampe Déterminer i 1d et v 2d R 1 v sd (t)=v 0 /120 t v sa ( t )d t V sd (t) + i 1 - C R v 2 R 1 = 100 Ω R 2 = 200 Ω C = 500 µf v t Courant dans R 1 i 1d (t) = v t 0.4t 0.8 τ e τ τ u(t) Tension aux bornes de R 2 v 2d (t) = 2v t 0 3 t + τ e τ τ u(t) 28/51

29 REPONSE A UNE EXCITATION EXPONENTIELLE 29/51

30 Réponse à une exponentielle Exemple Déterminer i at v s (t ) = V0 oe u(t )) V 0 t Si a R/L i(t) = V o R L a e at e R L t u(t) Si a = R/L R i(t) = V o L t e L t u(t) 30/51

31 REPONSE A UNE EXCITATION SINUSOIDALE 31/51

32 Réponse d un circuit RL à une excitation sinusoïdale Déterminer i V s (t) = V 0 cos(ωt) u(t) v s (t) vs(t ) = V0 cos( ω t ) u(t ) t i(t) = I 0 cos(ωt + ϕ) cosϕ (e R L t ) u(t) Réponse forcée Réponse naturelle 32/51

33 Réponse d un circuit RL à une excitation sinusoïdale AN: V 0 = 50 V R = 10 Ω L = 5 mh ω = 2000π rad/s Réponse forcée τ= 0.5 ms Réponse naturelle 5τ = 2.5 ms Durée du régime transitoire Réponse totale Le-Huy, Circuits Électriques 33/51

34 Discussion sur la réponse des circuits du premier ordre Réponse composée de: Réponse forcée (Solution particulière) Même nature que l excitation + Réponse naturelle (Solution de l équation homogène) Déterminée par la nature du circuit Exponentielle décroissante de constante de temps τ τ = RC pour un circuit RC τ= L/R pour un circuit RL REPOS Excitation Réponse naturelle + Réponse forcée 0 5τ RÉGIME TRANSITOIRE Réponse forcée RÉGIME PERMANENT t 34/51

35 Partie 2 Circuits du deuxième ordre 35/51

36 Réponse d un circuit du deuxième ordre de base d 2 y a 2 dt + a dy 2 1 dt + a 0 y = f (t)u(t) Réponse particulière (Réponse forcée) - Même nature que l excitation y P = B f (t) Réponse homogène (Réponse naturelle) - Déterminée par la nature du circuit - Caractérisée les fréquences naturelles s 1 et s 2 Circuits RCC et RLL s 1 et s 2 sont réelles négatives: durée du régime transitoire = 5τ, la plus grande de 5/s 1 et 5/s 2 y H = A 1 e s 1 t + A 2 e s 2 t 36/51

37 Circuits du deuxième ordre Équation du deuxième ordre d 2 y a 2 dt + a dy 2 1 dt + a y = b d 2 x 0 2 dt + b dx 2 1 dt + b x 0 Circuit de base: - circuit RCC: deux condensateurs et des résistances - circuit RLL: deux inductances et des résistances - circuit RLC: une inductance, un condensateur et des résistances Circuit du deuxième ordre ou non??? L R C 2 C 1 i s 37/51

38 Réponse d un circuit RCC à un échelon V 1 (t) =? Va=10 V Vb=6 V C1 R1=1 s C1 R2=1 s C2R3=1 s C2 R2= ½ s v 1 (t) = e 4t 26 3 e t u(t) 38/51

39 Réponse d un circuit RLL à un échelon Déterminer les courants i 1 en supposant le circuit au repos aux temps négatifs. i1 V = 0.5 V R 1 = R 2 = 2 Ω L 1= L2=1 H d 2 I 1 dt di 1 dt + 4I 1 = 2V(t) + 2 dv dt 39/51

40 Réponse d un circuit RLC série à un échelon équation différentielle entre i 1 (t) et v s (t)? Δ = (5R) 2 4(1)(10 5 ) R = 200 Ω R = 50 Ω R = Ω Δ= racines s 1,2 réelles Δ= racines s 1,2 complexes conjugées Δ=0 racines s 1 =s 2 réelles 40/51

41 Réponse d un circuit du deuxième ordre de base (suite) Circuits RLC a)s 1 et s 2 réelles négatives b)s 1 et s 2 réelles négatives identiques: durée du régime transitoire est 5/s 1 y H = A 1 e s 1 t + A 2 e s 2 t y H = (B 1 + B 2 t) e s 1 t c)s 1 et s 2 sont complexes conjuguées s 1 = -α + jβ, s 2 = -α - jβ : durée du régime transitoire est 5/α y H = A 1 e s 1 t + A 2 e s 2 t y H = A 1 e αt cos(βt + A 1 ) + A 2 e αt cos(βt A 2 ) = Ce αt cos(βt + ϕ) N.B.: dans le cas où A 2 = A 1 * f (t) = Ku(t), on a normalement donc C=2 A 1 et ϕ= A1 41/51

42 Fréquence naturelle non amortie et coefficient d amortissement S 2 Équation caractéristique a s 2 + b s + c = 0 S 1 = ζ ω n ± ω n ζ 2 1 s 2 ω n + 2 ζ s +1= 0 2 ω n Coeff. d amortissement Fréquence naturelle non amortie ζ > 1 ζ = 1 ζ < 1 ζ = 0 fréquence propre (ζ<1) Réponse naturelle sur-amortie Amortissement critique Réponse naturelle sous-amortie Réponse naturelle oscillatoire s 2 + 2ζω n s + ω n 2 = 0 42/51

43 Réponse d un circuit RLC parallèle à un échelon LC s 2 + L R s +1= 0 s ζ s +1= 0 2 ω ω n n ω n = 1 L C ζ = 1 2R L C 43/51

44 Réponse d un circuit RLC parallèle: v(0) = 1 V et i(0) = 0 A Réponse sur-amortie ζ > 1 Réponse sous-amortie ζ < 1 Amortissement critique ζ = 1 Réponse oscillatoire ζ = 0 44/51

45 Lieu des pôles du 2 e ordre dans plan complexe s 2 +bs+c b 2 <4c Im +ω n b 2 >4c s 2 b 2 =4c è s 1 =s 2 =-b/2 -ω n s 1 Re -ω n 45/51

46 Localisation des pôles du 2 e ordre et réponse à l échelon =ω p =α 46/51

47 Amortissement d un circuit RLC série à un échelon coefficient d amortissement selon R, L et C? Δ = (5R) 2 4(1)(10 5 ) coef. d amortissement R = 50 Ω R = 200 Ω R = Ω ζ=0.4 ζ=1.58 ζ=1.0 47/51

48 Régime continu permanent (RCP) Source continue CC dv/dt=0 et di/dt=0 On remplace les condensateurs par un circuit ouvert On remplace les inductances par un court-ciruit Exemple i 1 et v 2 i 1 = 0.4 A v 2 = 80 V 48/51

49 Circuits initialement excités Condensateur: C a b + - V c (0 - ) C a b + Vc (0 - )u(t) - Inductance: a a L L i L (0 - )u(t) b i L (0 - ) b 49/51

50 Circuits initialement excités Méthode d analyse Étape 1 Déterminer les tensions aux bornes des condensateurs et les courants aux bornes des inductances à t = 0 -. Étape 2 Remplacer les condensateurs et les inductances par leurs circuits équivalents = Éléments au repos + sources échelon. Étape 3 Analyser le circuit obtenu à l étape 2 comme étant un circuit initialement au repos. 50/51

51 Circuits initialement excités Déterminer la tension dans le condensateur LC d 2 V 2 dt 2 + L R dv 2 dt +V 2 = L di L dt +V s V 2 = e 40t cos(444.5t 3.05) +120 u(t) 51/51