Probabilités et Biostatistique. PCEM1 Pitié-Salpêtrière A. Mallet et V. Morice Cours 11 et 12

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1 Probabilités et Biostatistique PCEM Pitié-Salpêtrière A. Mallet et V. Morice Cours et 2

2 Tests d indépendance entre deux variables aléatoires - qualitatives - quantitatives (ch.3-4)

3 Test d indépendance entre deux variables qualitatives. χ 2 d indépendance () Contexte. Sur chaque unité statistique peuvent être observées deux variables aléatoires qualitatives et Y; a k modalités, Y en a m; on cherche à prouver que ces variables ne sont pas indépendantes sont liées Exemples. État rénal (présence-absence d insuffisance rénale) et état hépatique (présence-absence d insuffisance hépatique) sont liés Perte de connaissance (oui-non) après accident traumatique et survie à mois (oui-non) sont liés Couleur des cheveux et couleur des yeux sont liées

4 Test d indépendance entre deux variables qualitatives (2) Etape. H 0 : les variables et Y sont indépendantes H : les variables et Y sont liées car: -> H 0 : Pr (=modalité i et Y=modalité l) = Pr (=modalité i) x Pr (Y=modalité l), ceci pour toutes les couples de modalités i,l H : l une des multiples (k x m) égalités ci-dessus est violée

5 Test d indépendance entre deux variables qualitatives (3) Etape 2. Une expérience portant sur n unités statistiques est envisagée. Elle produira des effectifs observés, notés o li. Y(l) (i) Blonds Bruns Roux Noirs bleus gris marrons Tableau appelé TABLEAU DE CONTINGENCE Ces effectifs sont encore aléatoires, O li.

6 Cheveux () Yeux (Y) Modalité (blonds) Modalité2 (bruns) Modalité3 (roux) Modalité4 (noirs) Modalité (bleus) O O 2 O 3 O 4 Modalité 2 (gris) O 2 O 22 O 23 O 24 Modalité 3 (marrons) O 3 O 32 O 33 O 34 n

7 Cheveux () Yeux (Y) Modalité (blonds) Modalité2 (bruns) Modalité3 (roux) Modalité4 (noirs) Mélange (total) Répartition (Y «donnée» Modalité (bleus) ,35 Modalité 2 (gris) ,38 Modalité 3 (marrons) ,27 Mélange (24) (total) Répartition() «donnée» 0,36 0,3 0,6 0,7

8 H 0 : Pr (=modalité i et Y=modalité l) =Pr (=modalité i) x Pr (Y=modalité l) Cheveux () Yeux (Y) Modalité (blonds) Modalité2 (bruns) Modalité3 (roux) Modalité4 (noirs) Mélange (total) Répartition (Y) «donnée» Modalité (bleus) ,35 Modalité 2 (gris) ,38 A 23 Modalité 3 (marrons) ,27 x Mélange (24) (total) Répartition() «donnée» 0,36 0,3 0,6 0,7

9 Cheveux () Yeux (Y) Modalité (blonds) Modalité2 (bruns) Modalité3 (roux) Modalité4 (noirs) Mélange (total) Répartition (Y) «donnée» Modalité (bleus) ,35 Modalité 2 (gris) ,38 7,2 Modalité 3 (marrons) ,27 x Mélange (24) (total) Répartition() «donnée» 0,36 0,3 0,6 0,7

10 Calcul plus rapide Cheveux () Yeux (Y) Modalité (blonds) Modalité2 (bruns) Modalité3 (roux) Modalité4 (noirs) Mélange (total) Répartition (Y) «donnée» Modalité (bleus) ,35 Modalité 2 7,2 (gris) ,38 Modalité 3 (marrons) ,27 Mélange (total) (24) Répartition() «donnée» 0,36 0,3 0,6 0,7 / x

11 Test d indépendance entre deux variables qualitatives (4) Etape 2. Suite. Paramètre: Q = les les colonnes lignes (O A A 2 li li soit encore: li ) Q = nombre de cases du tableau j= (O j A A j j ) 2 Q ~ soit :Q Sous H 0, 2 χ ((nombre de modalités de -) ~ 2 χ (( k )( m )) Conditions de validité à vérifier: tous les a j > 5 x (nombre de modalités de Y -)) Réalisation de A j

12 Test d indépendance entre deux variables qualitatives (5) Etape 3. Standard IP α (Q) = [0 K (k-)(m-); α ] Etape 4. Standard. En cas de rejet de H 0 : les variables ne sont pas indépendantes Etapes 5,6. Standards

13 Tests d indépendance entre deux variables aléatoires - qualitatives - quantitatives (ch.3-4)

14 Test d indépendance entre deux variables quantitatives () Contexte. Sur chaque unité statistique peuvent être observées deux variables aléatoires quantitatives et Y; on cherche à prouver que ces variables ne sont pas indépendantes sont liées Exemples précédents. État rénal (présence-absence d insuffisance rénale) et état hépatique (présence-absence d insuffisance hépatique) sont liés Perte de connaissance (oui-non) après accident traumatique et survie à mois (oui-non) sont liés Couleur des cheveux et couleur des yeux sont liées

15 Test d indépendance entre deux variables quantitatives (2) Exemples précédents. État rénal (présence-absence d insuffisance rénale) et état hépatique (présence-absence d insuffisance hépatique) sont liés Perte de connaissance (oui-non) après accident traumatique et survie à mois (oui-non) sont liés Couleur des cheveux et couleur des yeux sont liées Exemples actuels. État rénal (niveau de créatininémie) et état hépatique (niveau d bilirubinémie) sont liés Degré de conscience (mesuré sur une échelle quantitative) aprè accident traumatique et état clinique à mois (mesuré sur une échelle quantitative) sont liés Couleur des cheveux (longueur d onde de la lumière réfléchie) et couleur des yeux (longueur d onde de la lumière réfléchie) sont liées

16 (Test d )indépendance entre deux variables quantitatives (3) Concept étudié (comme précédemment). Supposons que soit d abord recueillie, puis Y chez l unité statistique i liaison: la connaissance de x i modifie ce que l on attend de Y. Quelque chose comme «Pr(Y=y/=x i ) Pr(Y=y)» indépendance: la connaissance de x i ne modifie pas ce que l on attend de Y Remarques En fait le point de vue est général: la connaissance de modifie-t-elle ce que l on attend de Y? La propriété est symétrique entre et Y

17 Indépendance entre deux variables quantitatives (). Abord graphique Un échantillon de valeurs a été obtenu: {(x i,y i ), i=,2, n} sont disponibles bilirubinémie (Y) Domaine de valeurs des bilirubinémies Domaine de valeurs des bilirubinémies connaissant x 0 bilirubinémie (Y) Pas de liaison apparente x 0 créatininémie ()

18 Indépendance entre deux variables quantitatives (2). Abord graphique Un échantillon de valeurs a été obtenu: {(x i,y i ), i=,2, n} sont disponibles bilirubinémie Domaine de valeurs des bilirubinémies Domaine de valeurs des bilirubinémies connaissant x 0 bilirubinémie Liaison apparente x 0 créatininémie

19 Indépendance entre deux variables quantitatives (3). Abord graphique Conclusion: Liaison: propension des points à ne pas emplir l espace (deux dimensions), mais plutôt à se répartir autour d une courbe (une dimension) La connaissance de Y, si elle est améliorée par celle de, l est: En localisation (espérance de Y connaissant ) En dispersion (variance de Y connaissant ) moyenne (variance de Y connaissant ) = variance de Y moyenne( (espérance de Y connaissant - espérance de Y) 2 ) Se rappeler que les propriétés sont symétriques entre et Y Recherche d un indicateur de liaison (ou non indépendance

20 Un indicateur de liaison entre deux variables quantitatives. Remarque Une liaison n est facilement interprétable que si le lien est monotone (courbe sous-jacente croissante ou décroissante) x x x x x x x L indicateur recherché idéal serait une mesure de l empâtement du nuage autour d une courbe: le seul indicateur connu est une mesure de l empâtement autour d une droite

21 Un indicateur de liaison entre deux variables quantitatives. Le coefficient de corrélation linéaire (). Principe de construction à partir des x i,y i Doit exprimer la façon dont x i et y i varient ensemble (on dit covarient ) Doit ne pas dépendre de l origine choisie pour mesurer et Y Doit ne pas dépendre de l échelle choisie pour mesurer et Y -> on s intéresse aux: x - m i x ri = et yri = s y i - m s Y Y réalisations de r et Y r où m et m Y sont les moyennes observées s et s Y sont les écart-type observés Remarque: x i grand <-> x ri >0; x i petit <-> x ri <0

22 Un indicateur de liaison entre deux variables quantitatives. Le coefficient de corrélation linéaire (2). Nuage des x i, y i Nuage des x ri, y ri x 2 x x x 2 m Y m

23 Un indicateur de liaison entre deux variables quantitatives. Le coefficient de corrélation linéaire (3). Si et Y covarient de façon coordonnée, alors souvent: Si et Y varient dans le même sens: lorsque x i est grand (x ri >0), y i l est aussi (y ri >0) et le produit x ri.y ri est positif. lorsque x i est petit (x ri <0), y i l est aussi (y ri <0) et le produit x ri.y ri est encore positif. Si et Y varient en sens contraire: lorsque x i est grand (x ri >0), y i est petit (y ri <0) et le produit x ri.y ri est négatif lorsque x i est petit (x ir <0), y i est petit (y ri >0) et le produit x ri.y ri est encore négatif

24 Un indicateur de liaison entre deux variables quantitatives. Le coefficient de corrélation linéaire (4). Pour indicateur observé de covariation coordonnée, on choisit le nombre: r = n - Propriétés n i= x ri.y ri r est toujours compris entre - et Si r est grand (vers ), c est le signe que et Y covarient dans le même sens Si r est petit (vers -), c est le signe que et Y covarient en sens contraire Si r est voisin de zéro, c est le signe que et Y covarient de façon désordonnée; c est le signe d une absence de lien entre et Y

25 Un indicateur de liaison entre deux variables quantitatives. Le coefficient de corrélation linéaire (5). r s appelle coefficient de corrélation observé Expressions équivalentes Le numérateur s appelle covariance observée Y n i Y i i Y n i Y i i s s ) m m y x n ( n - n r ou encore s s ) m )(y m (x n - r = = = =

26 Un indicateur de liaison entre deux variables quantitatives. Le coefficient de corrélation linéaire (6). Autres propriétés de r r [- ] (déjà dit) r=- <-> Y=a+b, a<0 r= <-> Y=a+b, a>0 r décroit Au fur et à mesure que le caractère rectiligne du nuage se distord Au fur et à mesure que le nuage s épaissit On dit que les variables apparaissent de moins en moins corrélées

27 Un indicateur de liaison entre deux variables quantitatives. Le coefficient de corrélation linéaire. Quelques exemples d épaississement r=0,97 2,5 2,5 0,5 0-2,5-2 -,5 - -0,5 0 0,5,5 2 2,5 Série -0,5 - -,5-2 -2,5

28 Un indicateur de liaison entre deux variables quantitatives. Le coefficient de corrélation linéaire. Quelques exemples r=0,75 2,5 2,5 0,5 0-2,5-2 -,5 - -0,5 0 0,5,5 2 2,5 Série -0,5 - -,5-2 -2,5

29 Un indicateur de liaison entre deux variables quantitatives. Le coefficient de corrélation linéaire. Quelques exemples r=0,37 2,5 2,5 0,5 0-2,5-2 -,5 - -0,5 0 0,5,5 2 2,5 Série -0,5 - -,5-2 -2,5

30 Un indicateur de liaison entre deux variables quantitatives. Le coefficient de corrélation linéaire. Quelques exemples r=0,04 2,5 2,5 0,5 0-2,5-2 -,5 - -0,5 0 0,5,5 2 2,5 Série -0,5 - -,5-2 -2,5

31 Un indicateur de liaison entre deux variables quantitatives. Le coefficient de corrélation linéaire. Quelques exemples de distorsion r=-0,97 2,5 2,5 0,5 0-2,5-2 -,5 - -0,5 0 0,5,5 2 2,5 Série -0,5 - -,5-2 -2,5

32 Un indicateur de liaison entre deux variables quantitatives. Le coefficient de corrélation linéaire. Quelques exemples de distorsion r=-0,87 2,5 2,5 0,5 0-2,5-2 -,5 - -0,5 0 0,5,5 2 2,5 Série -0,5 - -,5-2 -2,5

33 Un indicateur de liaison entre deux variables quantitatives. Le coefficient de corrélation linéaire. Quelques exemples r=-0,48 2,5 2,5 0,5 0-2,5-2 -,5 - -0,5 0 0,5,5 2 2,5 Série -0,5 - -,5-2 -2,5

34 Un indicateur théorique de liaison entre deux variables quantitatives. Le coefficient de corrélation linéaire vrai. Y n i Y i i Y n i Y i i s s ) m m y x n ( n - n r ou encore s s ) m )(y m (x n - r = = = = Y Y σ σ E().E(Y) ] [E(Y) r ou encore σ σ ] E(Y)) E())(Y E[( r Y n i i i Y n i i i σ σ E()E(Y)) y x n ( r ou encore σ σ E(Y)) E())(y (x n - r = = ~ car n grand Coefficient de corrélation vrai, noté ρ

35 Propriétés du coefficient de corrélation linéaire vrai. Propriétés de ρ Si et Y sont indépendantes, alors ρ=0 De façon équivalente si ρ 0, et Y sont liées La réciproque étant fausse, deux variables de coefficient de corrélation nul seront dites non corrélées (et non pas indépendantes nécessairement) Ces propriétés engagent à tester la nullité de ρ pour démontrer la liaison entre et Y

36 Test d égalité à zéro du coefficient de corrélation linéaire vrai (). Etape. H 0 : ρ=0 : les variables et Y ne sont pas corrélées H : ρ 0 : les variables et Y sont liées

37 Test d égalité à zéro du coefficient de corrélation linéaire vrai (2). Etape 2. Paramètre du test Z = n ( n - M n.y S 2 n M S 2 n Y n M n Y ) n Z = M dont la réalisation sera r n r n - r.y Sous H 0, Z a une distribution connue, tabulée, celle du coefficient de corrélation, à (n-2) degrés de liberté Condition de validité: toute combinaison de et Y du type a+by suit une loi normale. Condition

38 Test d égalité à zéro du coefficient de corrélation linéaire vrai (3). Etape 3. Intervalle de pari lu dans une table IP -α (Ζ) = [-corr α (n-2) corr α (n-2) ] Etape 4. Décision selon que z (=r, le coefficient de corrélation linéaire observé) ou IP 0,95 (Z) Si rejet de H 0 : on conclut que et Y sont liées, et Y ne sont pas indépendantes Si non rejet de H 0 : on n a pas montré que et Y sont liées Etapes 5,6. Standards

39 Remarques générales sur les tests d hypothèses La mise en œuvre d un test suppose de synthétiser le problème Le seuil de signification- ou risque de première espèce vaut toujours 0,05 On ne conclut jamais que H 0 est vraie Le risque de première espèce d une étude (conclure au moins une fois à tort) augmente si l on effectue plusieurs tests car à chaque test un tel risque est pris. Risque global: -(-α) m (si questions résolues indépendantes) On choisit toujours un test avant recueil des données expérimentales

40 Cours 2 Analyse des durées de survie. Analyse des délais de survenue d un événement.

41 Analyse des durées de survie Contexte On cherche à quantifier la probabilité qu ont des (ou a un) patients de survivre au moins un certain temps à compter d un instant de référence ayant une pertinence dans le contexte de la pathologie étudiée. Exemples Probabilité qu un patient présentant un carcinome hépatocellulaire survive au moins 36 mois après la date de diagnostic Probabilité qu un patient ayant bénéficié d une hépatectomie survive au moins 0 ans après l intervention

42 Analyse des durées de survie Remarques. On s intéresse souvent à d autres événements que le décès: probabilité qu un patient infecté par le VIH présente 7 ans après la date d infection un taux de CD4 encore supérieur à 400 CD4/ml ; on s intéresse ici au délai d apparition d un taux <400 CD4/ml pour la première fois. -> de façon générale on s intéresse au délai de survenue d un événement à partir d un instant de référence

43 Analyse des durées de survie 2. Si on souhaite répondre à la question survivre au moins 5 ans, on souhaite généralement répondre à des questions portant sur des délais plus précoces. Le problème général est donc: quelle est la probabilité de survivre au moins une durée t à compter de l instant de référence? quelle est la probabilité que l événement d intérêt survienne après la date t à compter de l instant de référence? Réponse: fonction de survie

44 Analyse des durées de survie. Fonction de survie. Définition On appelle fonction de survie, notée S, la fonction telle que: S(t) = Pr (délai de survenue de l événement d intérêt > t) Courbe de survie 0 délai

45 survie à compter de la naissance- vue par l'insee ,9 0,8 0,7 0,6 0,5 Série 0,4 0,3 0,2 0, années

46 Comprendre une fonction de survie () Information directe: S(t) = Pr (durée de survie >t) Notation. T: variable aléatoire durée de survie. S(t)=Pr(T>t) S(t)=-Pr(T<t)=- fonction de répartition de T Autre information directe: Pr(T [t t 2 ]) = S(t )-S(t 2 ) Information indirecte +++ Probabilité de survivre au moins une durée t chez les individus ayant déjà survécu une durée τ (n a d intérêt que pour t>τ), notée S(t/τ)

47 Comprendre une fonction de survie (2),9,8,7,6,5 Sé Sé,4,3,2,

48 Comprendre une fonction de survie (3) Ainsi: si t>τ Pr(T > t) Pr(T > t / T > τ) = ; S(t/τ ) = Pr(T > τ) S(t) S(τ ) Autres façons: mécanique: Pr(T>t / T>τ).Pr(T>τ) =Pr(T>t et T>τ)=Pr(T>t) Intuitive?. Survivre une durée t c est survivre une durée τ et survivre une durée t sachant que l on a survécu une durée τ: S(t)=S(τ).S(t/τ)

49 Comprendre une fonction de survie (4) Autre information indirecte: le risque de décès (ou de survenue de l événement d intérêt) à chaque instant t. C est le risque (probabilité) de décéder juste après t disons entre t et t+ t, par unité de temps. En raisonnant comment précédemment: risque (t)= Pr(T [t t+ t]/t>t)/ t = risque (t) = Pr(T [t t + t]/t t > t) = S(t) -S(t + t) S(t). t Si par exemple t= an, on calculera tous les ans (t entier) le risque S(t + ) S(t) c est la proportion vraie de sujets présentant l événement dans l année chez ceux qui ne l ont pas présenté en début d année

50 Comprendre une fonction de survie (5) lorsque t devient très petit: risque (t) = ds (t) dt S(t) appelé risque instantané de survenue de l événement. C est un risque encouru à chaque instant.

51 risque de décès-par an- ou taux de mortalité par âge- INSEE ,009 0,008 0,007 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002 0, années Série2

52 Les deux problèmes fondamentaux de l analyse de la durée de survie Décrire la survenue d un événement -> estimer une fonction de survie à partir d observations Mesurer une action sur la durée de survie -> comparer des fonctions de survie à partir d observations

53 Le contexte expérimental. Terminologie Une étude est envisagée; elle a: Un début Une fin, appelée date de point durant cette étude des sujets sont suivis au cours du temps pour observation de la survenue de l événement d intérêt; ce suivi a: Une date de début, différente selon les sujets, appelée date d origine, c est l instant de référence pour ce sujet (ex:date de diagnostic) Une fin, qui peut être: ()La date de point et le sujet n a pas présenté l événement (2)Une date antérieure sans que le sujet ait encore à cette date présenté l événement, le sujet est dit perdu de vue Une date antérieure, date de la survenue de l événement Dans les cas et 2 on parle d information censurée

54 Décédé (sujet ayant présenté l événement) Perdu de vue Date de point

55

56 Le contexte expérimental. Les données n sujets ont été suivis, on raisonne en durées comptées à partir de l instant de référence (ex: instant du diagnostic) Pour le sujet i on dispose, à la date de point, de: La durée de suivi, t i L information selon laquelle il a, ou non, présenté l événement d intérêt Exemple Sujet Sujet 2 Sujet 3 Durée suivi (jours) statut Vivant (censuré) décédé Perdu de vu (censuré)

57 Estimation d une fonction de survie. I. Méthode actuarielle (). On estime la fonction de survie à des instants successifs b, b 2,., b r choisis. 0 b b 2 b 3 b 4 b 5 durée La fonction de survie est estimée de proche en proche, en utilisant: S(b i )=S(b i- ).S(b i /b i- ) L estimation de S(b i /b i- ) constitue le problème principal

58 Estimation d une fonction de survie. I. Méthode actuarielle (2). Sur l intervalle [b i- b i ] on dispose des informations suivantes: Le nombre de sujets connus vivants à b i- : N i.ces sujets constituent les sujets appelés à risque à b i-. Le nombre de sujets connus vivants à b i : N i+ Le nombre de sujets censurés dans l intervalle [b i- b i ] (vivants dont le suivi s arrête dans l intervalle) : C i Le nombre de sujets décédés dans l intervalle, D i. On a la relation: D i = N i N i+ -C i (N i+ =N i -D i -C i )

59 Estimation d une fonction de survie. I. Méthode actuarielle (3)

60 Estimation d une fonction de survie. I. Méthode actuarielle (4)

61 Estimation d une fonction de survie. I. Méthode actuarielle (5). Ŝ(b S(b i /b i- ) est estimée par: i / b i- ) = N i D i C 2 i Nombre moyen à risque sur l intervalle On peut utiliser la formule voisine: Ni+ Ci Ni 2

62 Estimation d une fonction de survie. I. Méthode actuarielle (6). Exemple (b 0 =0; Ŝ (0) = ) Instants b i Vivants à b i- (N i ) censurés C i Décédés dans [b i- b i ] D i (bi/bi- ) Ŝ(b ) Ŝ i ,805 0, ,93 0, ,826 0, , ,74 0,442

63 Estimation d une fonction de survie. I. Méthode actuarielle (7). Entre les instants b i, la fonction de survie est interpolée linéairement (segment de droite sur la courbe) Estimation de la médiane du délai de survenue de l événement (médiane de survie) Valeur t m telle que Ŝ(t ) = m 0,5

64 survie actuarielle 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 Séri 0,4 0,3 0,2 0,

65 survie actuarielle 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 Séri 0,4 0,3 0,2 0,

66 Estimation d une fonction de survie. II. Méthode de Kaplan-Meier (). Méthode plutôt utilisée pour de faibles effectifs Principe. Très voisin du précédent. Même principe de calcul Différence : la survie est supposée constante entre deux instants de décès Différence 2: la survie est calculée à tous les instants de décès Rappel. Pour le sujet i on dispose, à la date de point, de: La durée de suivi, t i L information selon laquelle il a, ou non, présenté l événement d intérêt NOTATION DE CETTE INFORMATION: si le sujet est censuré, t i est noté t i * ->survie calculée aux t i

67 Estimation d une fonction de survie. II. Méthode de Kaplan-Meier (2). Principe (connu) S(t i ) = S(t i- ).S(t i /t i- ) Estimation de S(t i /t i- ) par Ŝ(t formule très voisine de la précédente N i -C i est le nombre de sujets susceptibles de décéder à la date t i -> RETENIR nombre de décès à t Ŝ (ti/ti-) = - nombre à risque à t i /t i- i i ) = - Di N C i i

68 Estimation d une fonction de survie. II. Méthode de Kaplan-Meier (3). Exemple Valeurs des t i : 6; 6; 6; 6,*; 7; 9*; 0; 0,*; *; 3; 6; 7*; 9*; 20*; 22; 23; 25*; 32*; 32*; 34*; 35* Fonction de survie à estimer aux instants: 6; 7; 0; 3; 6; t i ; 23 N i C i à risque à t i D i 3 Ŝ(t / ti- ) Ŝ(t ) i i 0,857 0,94 0,933 0,97 0,909 0,857 0,857 0,807 0,753 0,690 0,627 0,537

69 estimation Kaplan-Meier 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,

70 estimation Kaplan-Meier 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0 Estimation de la médiane

71 Estimation d une fonction de survie. II. Méthode de Kaplan-Meier (4). Estimation de la médiane du délai de survenue de l événement (médiane de survie) Valeur t m telle que Ŝ(t m ) = 0,5

72 Mesure d une action sur la durée de survie: comparaison de deux fonctions de survie Exemple On voudrait faire la preuve qu un traitement adjuvant à la chirurgie dans le carcinome hépatocellulaire améliore la survie des patients. la survie sera comptée à partir de la date de la chirurgie. des patients ont été inclus pendant une année dans une étude qui a duré 3 ans et répartis par tirage au sort dans un des deux groupes de traitement: chirurgie seule ou chirurgie +traitement adjuvant. La durée de suivi des patients (durée de participation à l étude) varie d un patient à l autre à la fin de l étude on dispose pour chaque patient Du groupe auquel il a appartenu, A ou B De t Ai ou t Bi (si le patient est décédé) ou t Ai *ou t Bi *(si le patient est censuré, qu il soit encore vivant ou perdu de vue)

73 Comparaison de deux fonctions de survie: test du logrank Remarque. Pour simplifier l écriture, N Ai et N Bi désigneront le nombre de sujets à risque des échantillons issus de A et B à la date t i (et non pas juste après t i- ) Etape. H 0 : les deux fonctions de survie S A et S B sont identiques: S A (t) = S B (t) à tout instant H : pour au moins une date: S A (t) S B (t)

74 Comparaison de deux fonctions de survie: test du logrank Etape 2. Principe: calculer à chaque instant (en fait à chaque instant de décès) un nombre de décès attendus sous l hypothèse nulle. Paramètre construit sur un exemple information dans le groupe A (t Ai ): ; ; 2; 2; 3; 4; 4; 5; 5; 8; 8; 8; 8; ; ; 2; 2; 5; 7; 22; 23 information dans le groupe B (t Bi ): 6; 6; 6; 6,*; 7; 9*; 0; 0,*;,2*; 3; 6; 7,3*; 9*; 20*; 22; 23; 25*; 32*; 32*; 34*; 35* I. Enumérer les instants de décès, t i, tous groupes confondus: ; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 0; ; 2; 3; 5; 6; 7; 22; 23

75 i Comparaison de deux fonctions de survie: test du log-rank -Ŝ(t /t ) = II. Remarquer que - S(t i /t i- ) exprime le risque pour un sujet vivant à t i- de décéder entre les instants t i- et t i et calculer pour tous les instants t i les estimées de Kaplan-Meier de - S(t i /t i- ), en utilisant les données, tous groupes confondus. i- nombre de décès à t nombre à risque à t i i t i -Ŝ(t / t ) i i- 0, , , , , ,09 7 0, ,43 0 0,043 0, , 3 0, , ,07 7 0, ,222

76 Comparaison de deux fonctions de survie: test du log-rank t i -Ŝ(t / t ) i i- 0, , ,026 E Ai,000 0,950 0,447 E Bi,000,050 0, ,054 0,864,36 III. Appliquer ce risque aux effectifs à risque de chacun des échantillons à chacun des instants de décès t i ; on obtient des décès attendus sous H 0, E Ai, E Bi ,057 0,09 0,034 0,43 0,043 0,095 0,799,092 0,408,74 0,344 0,760,20,988 0,578 2,286 0,656,240 IV. Totaliser les décès totaux attendus par groupe, E A, E B: 2 3 0, 0,062 0,666 0,249,334 0,75 5 0,067 0,268 0,732 E A E B 0,74 9, ,07 0,077 0,24 0,230 0,786 0, ,222 0,445, ,286 0,286,74

77 Comparaison de deux fonctions de survie: test du log-rank approché V. calculer les décès totaux observés,d A, D B : ici, D A =2, D B =9 (E A =0,74; E B =9,26) Le paramètre s obtient par: (D Q = A E E A A ) 2 + (D B E E B B ) 2 Sous H 0, Q suit une distribution de χ² à degré de liberté Condition de validité: E A et E B > 5 ici, Q c = 5,26 Etapes 3,4,5,6. Standards

78 Comparaison de deux fonctions de survie: test du logrank approché Etape 3. IP 0,95 = [0 3,84] Etape 4. Standard En cas de rejet de H 0 : les fonctions de survie diffèrent. Etapes 5,6. Standards. L orientation du rejet et plus généralement l interprétation nécessitent l examen des courbes de survies estimées