Analyse numérique. et optimisation. Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique. Grégoire Allaire.

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1 Analyse numérique et optimisation Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique Grégoire Allaire c^'qv,

2 Table des matières INTRODUCTION A LA MODÉLISATION MATHÉMATIQUE ET A LA SIMULATION NUMÉRIQUE Introduction générale Un exemple de modélisation Quelques modèles classiques Équation de la chaleur Équation des ondes Le Laplacien Équation de Schrôdinger Système de Lamé Système de Stokes Équations des plaques Calcul numérique par différences finies Principes de la méthode Résultats numériques pour l'équation de la chaleur Résultats numériques pour l'équation d'advection Remarques sur les modèles mathématiques Notion de problème bien posé Classification des équations aux dérivées partielles 29 MÉTHODE DES DIFFÉRENCES FINIES Introduction Différences finies pour l'équation de la chaleur Divers exemples de schémas Consistance et précision Stabilité et analyse de Fourier Convergence des schémas Schémas multiniveaux Le cas multidimensionnel Autres modèles Équation d'advection Équation des ondes 59

3 FORMULATION VARIATIONNELLE DES PROBLÈMES ELLIP- TIQUES Généralités ; Introduction Formulation classique Le cas de la dimension un d'espace Approche variationnelle Formules de Green Formulation variationnelle Théorie de Lax-Milgram Cadre abstrait Application au Laplacien 77 ESPACES DE SOBOLEV Introduction et avertissement Fonctions de carré sommable et dérivation faible Quelques rappels d'intégration Dérivation faible Définition et principales propriétés Espace H 1 (il) Espace H^(Q.) Traces et formules de Green Un résultat de compacité Espaces H m (ÇÏ) Quelques compléments utiles Démonstration du Théorème de densité Espace H(div) \ Espaces W m ' p (ft) Dualité Lien avec les distributions 107 ÉTUDE MATHÉMATIQUE DES PROBLÈMES ELLIPTIQUES Introduction Étude du Laplacien Conditions aux limites de Dirichlet Conditions aux limites de Neumann Coefficients variables Propriétés qualitatives Résolution d'autres modèles Système de l'élasticité linéarisée Équations de Stokes 147

4 MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS Approximation variationnelle Introduction Approximation interne générale Méthode de Galerkin Méthode des éléments finis (principes généraux) Éléments finis en dimension N = Éléments finis Pj Convergence et estimation d'erreur Éléments finis P Propriétés qualitatives Éléments finis d'hermite Éléments finis en dimensiontv > Éléments finis triangulaires Convergence et estimation d'erreur Éléments finis rectangulaires Éléments finis pour Stokes Visualisation des résultats numériques 205 PROBLÈMES AUX VALEURS PROPRES Motivation et exemples Introduction Résolution des problèmes instationnaires Théorie spectrale Généralités Décomposition spectrale d'un opérateur compact Valeurs propres d'un problème elliptique Problème variationnel Valeurs propres du Laplacien Autres modèles Méthodes numériques Discrétisation par éléments finis Convergence et estimations d'erreur 232 PROBLÈMES D'ÉVOLUTION Motivation et exemples Introduction Modélisation et exemples d'équations paraboliques Modélisation et exemples d'équations hyperboliques Existence et unicité dans le cas parabolique Formulation variationnelle Un résultat général Applications Existence et unicité dans le cas hyperbolique 250

5 8.3.1 Formulation variationnelle Un résultat général Applications Propriétés qualitatives dans le cas parabolique Comportement asymptotique Principe du maximum Propagation à vitesse infinie Régularité et effet régularisant Équation de la chaleur dans tout l'espace Propriétés qualitatives dans le cas hyperbolique Réversibilité en temps Comportement asymptotique et équipartition de l'énergie Vitesse de propagation finie Méthodes numériques dans le cas parabolique Semi-discrétisation en espace Discrétisation totale en espace-temps Méthodes numériques dans le cas hyperbolique Semi-discrétisation en espace Discrétisation totale en espace-temps INTRODUCTION À L'OPTIMISATION Motivation et exemples : Introduction Exemples Définitions et notations Optimisation en dimension finie Existence d'un minimum en dimension infinie Exemples de non-existence Analyse convexe ; Résultats d'existence CONDITIONS D'OPTIMALITÉ ET ALGORITHMES Généralités Introduction Différentiabilité Conditions d'optimalité Inéquations d'euler et contraintes convexes Multiplicateurs de Lagrange Point-selle, théorème de Kuhn et Tucker, dualité Point-selle Théorème de Kuhn et Tucker Dualité Applications Énergie duale ou complémentaire 328

6 Commande optimale Optimisation des systèmes distribués Algorithmes numériques..." Introduction Algorithmes de type gradient (cas sans contraintes) Algorithmes de type gradient (cas avec contraintes) Méthode de Newton MÉTHODES DE LA RECHERCHE OPÉRATIONNELLE (Rédigé en collaboration avec Stéphane Gaubert) Introduction Programmation linéaire Définitions et propriétés Algorithme du simplexe Algorithmes de points intérieurs Dualité? Polyèdres entiers Points extrémaux de compacts convexes Matrices totalement unimodulaires Problèmes de flots Programmation dynamique Principe d'optimalité de Bellman Problème en horizon fini Problème du chemin de coût minimum, ou d'arrêt optimal Algorithmes gloutons Généralités sur les méthodes gloutonnes Algorithme de Kruskal pour le problème de l'arbre couvrant de coût minimum Séparation et relaxation Séparation et évaluation (branch and bound) Relaxation de problèmes combinatoires 393 ANNEXE : ESPACES DE HILBERT 403 ANNEXE : ANALYSE NUMÉRIQUE MATRICIELLE Résolution des systèmes linéaires Rappels sur les normes matricielles Conditionnement et stabilité Méthodes directes Méthodes itératives Méthode du gradient conjugué Calcul de valeurs et vecteurs propres Méthode de la puissance Méthode de Givens-Householder 443

7 Méthode de Lanczos 446 Bibliographie "451 Index 454 Index des applications 458 Index des notations 459