EQUATIONS, INEQUATIONS ET SYSTEMES D EQUATION TD N 13 - CORRIGE

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1 EQUATIONS, INEQUATIONS ET SYSTEMES D EQUATION TD N 13 CORRIGE Exercice 1 1) (a 2) + 2 x (a 1) = 2 x a 3 a 2 + 2a 2 = 2a 3 3a 4 = 2a 3 a = a = 1 2) (6 x a 5) (3 x a + 4) = 0 6a 5 3a 4 = 0 3a 9 = 0 3a = 9 a = 3 3) 4 x (3 x a 2) 10 x a = 3 x a 1 12a 8 10a = 3a 1 2a 3a = a = 7 a = 7 Exercice y 3x 5y < 8 2x + 3y > x 5y + 8 = x x + 3y + 3 = 0 Equations, inéquations et systèmes d équation TD n 13 Corrigé 1 / 7 Sup de Cours Etablissement d'enseignement privé RNE L 73, rue de Marseille Bordeaux

2 2x + 7y 10 x + y < 2 5 y 4 x + y 2 = x + 7y 10 = x Exercice 3 (Amiens, 1994) Soit x le prix du menu. Prix payé par 13 personnes : 13x Prix payé par 31 personnes : 31x L énoncé peut être traduit par : 31x = 13x Résolution : 31x = 13x x = 756 x = 42 Le prix du menu est donc fixé à 42 F. Equations, inéquations et systèmes d équation TD n 13 Corrigé 2 / 7 Sup de Cours Etablissement d'enseignement privé RNE L 73, rue de Marseille Bordeaux

3 Exercice 4 (Nantes, 1994) Soit x le nombre de billes rouges et y le nombre de billes bleues. Les deux informations données se traduisent par un système de deux équations à deux inconnues : x + y = 100 équivalent à x + y = 100 y + 30 = 2 (x + 20) 2x y = 10 Après addition membre à membre, on obtient le système équivalent suivant : x + y = 100 d où x + y = 100 et y = 70 3x = 90 x = 30 x = 30 Il y a donc 30 billes rouges et 70 billes bleues. Exercice 5 (Poitiers, 1993) 1) Les schémas proposés peuvent être traduits par un système de deux équations à deux inconnues (x est la masse de X et y celle de Y) : x + y = 110 soit x + y = 110 qui a pour solution le couple (105, 5) x = y x y = 100 2) x et y désignent les contenances respectives de p et V (en cl). 3x = y soit 3x y = 0 qui a pour solution le couple (4, 12) x + 8y = 100 x + 8y = 100 Donc p contient 4 cl et V 12 cl. Exercice 6 Soit n le premier naturel de la suite ; les autres sont n + 1, n + 2, n + 3. D'après l'énoncé : n + n n n + 3 = 238. Soit 4n + 6 = 238 qui est équivalent à 4n = 232, d'où n = 58. Les 4 nombres sont 58, , 61. La somme de 4 nombres consécutifs est de la forme 4n + 6, ou encore 4 x (n + 1) + 2. Un nombre n'est donc la somme de 4 entiers consécutifs que s'il est égal à un multiple de 4 1 augmenté de 2, comme par exemple : 14 ; 38 ; 442 ;... Exercice 7 Le périmètre du champ est égal à deux fois la longueur plus deux fois la largeur. On a donc 2x + 2y = 80. Equations, inéquations et systèmes d équation TD n 13 Corrigé 3 / 7 Sup de Cours Etablissement d'enseignement privé RNE L 73, rue de Marseille Bordeaux

4 Si on double sa largeur initiale, on remplace y par 2y et si on diminue sa longueur de 13 mètres, on remplace x par x 13. On a alors 2 (x 13) + 2 x 2y = 88. Les deux informations données se traduisent par un système de deux équations à deux inconnues : 2x + 2y = 80 équivalent à x + y = 40 d où y = 40 x 2(x 13) + 4y = 88 (x 13) + 2y = 44 (x 13) + 2 (40 x) = 44 D où y = = 17 mètres. x x = 44 x = x = 23 mètres Exercice 8 1) Soit x le poids de café A et y le poids de café B. Les informations données se traduisent par un système de deux équations à deux inconnues : x + y = 80 (1) 2x + 2y = 160 7x + 2y = 470 (2) 7x + 2y = 470 Par soustraction de (1) et de (2), on obtient 5x = 310, donc x = 62 et y = 18. Le mélange est donc composé de 62 kg de café de qualité A et de 18 kg de café de qualité B. 2) On sait que x + y = 80, donc y = 80 x. Prix à payer : p = 7x+ 2y = 7x + 2 (80 x) = 7x x= 5x p = 5 x Le prix à payer s'exprime donc par : 5x ) Dans un repère (avec x en abscisse et p en ordonnée), tracer la droite p = 5x Lire sur le graphique à quelle valeur de x correspond p = 470. Exercice 9 Soit x la somme de départ. Ecrivons les sommes successivement possédées après chaque foire. Après la 1 ère foire : 2x 30 Après la 2 ème foire : 3 (2x 30) 54 = 6x 144 Après la 3 ème foire : 4 (6x 144) 72 = 24x 648 Equations, inéquations et systèmes d équation TD n 13 Corrigé 4 / 7 Sup de Cours Etablissement d'enseignement privé RNE L 73, rue de Marseille Bordeaux

5 Donc 24 x 648 = 48, soit 24 x = 696, donc x = 29 F. La somme de départ était donc 29 F Exercice 10 Soit cdu = 100c+ 10d + u le nombre proposé. Si on permute les deux derniers chiffres, on obtient : cud = 100c + 10u + d Si on permute les deux premiers chiffres, on obtient : dcu = 100d + 10c + u Les trois informations se traduisent par le système de 3 équations à 3 inconnues : c + d + u = c+ 10d + u (100c + 10u + d) = 9 100c+ 10d + u (100d + 10c + u) = 90 Ce système est équivalent à : c + d + u = 24 équivalent à c + d + u = 24 9d 9u = 9 d u = 1 90c 90d = 90 c d = 1 Nous allons résoudre ce système par substitution. De la 2 ème équation, on tire u = d 1 et de la 3 ème c = d + 1. Le système initial est donc équivalent à : (d + 1) + d + (d 1) = 24 soit d = 8 u = d 1 u = 7 c = d + 1 c = 9 Le nombre initial est donc 987. Exercice 11 Soit q le quotient obtenu lors des deux divisions. L égalité canonique de la division (dividende = quotient x diviseur + reste avec un reste positif et strictement inférieur au diviseur) permet décrire : N = q x pour la première division et N = q x pour la deuxième division. On a donc q x = q x D où 113q 108q = 31 11, soit 5q = 20. Finalement q = 4. Si le quotient est 4, le nombre N est N = 4 x = 463. Equations, inéquations et systèmes d équation TD n 13 Corrigé 5 / 7 Sup de Cours Etablissement d'enseignement privé RNE L 73, rue de Marseille Bordeaux

6 Exercice 12 1) Si x est le nombre (entier) de chaises à 60 pièce et y le nombre (entier) de fauteuils à 90 pièce : la condition «au moins deux chaises» se traduit par x 2 la condition «plus de fauteuils que de chaises» se traduit par y > x la condition «la dépense ne doit pas dépasser 900» se traduit par 60x + 90y 900 D où le système x N y N x 2 y > x 60x + 90y x La dernière condition équivaut à y c'estàdire y 0,5x + 7, Pour trouver les solutions de ce système en utilisant les représentations graphiques, il faut tracer les trois droites d 1 d équation x = 2, d 2 d équation y = x et d 3 d équation y = 0,5x + 7,5. Condition x 2 : on élimine tous les points dont l abscisse est strictement inférieur à 2. Condition y > x : la droite d 2 passe par l origine. On étudie le cas du point T(0, 2). Pour ce point y = 2 et x = 0 donc en ce point y > x. On en déduit que pour tout point du demi plan ouvert limité par d 2 et contenant T, on a y > x. On élimine l autre demi plan ainsi que d 2. Condition y 0,5x + 7,5 : la droite d 3 ne passe pas par l origine. A l origine, y = 0 et 0,5x + 7,5 = 7,5. Donc en ce point y < 0,5x + 7,5. On en déduit que pour tout point du demi plan fermé limité par d 3 et contenant O, on a y 0,5x + 7,5. On élimine l autre demi plan. Les points dont les coordonnées satisfont aux trois conditions du système sont ceux qui sont dans le triangle ABC, côtés [AB] et [AC] compris et côté [BC] non compris. Il reste les conditions x N et y N : on ne doit retenir que les points dont les coordonnées sont entières. Les solutions sont donc (2, 3) ; (2, 4) ; (3, 4) ; (2, 5) ; (3, 5) ; (4, 5) ; (2, 6) et (3, 6). Equations, inéquations et systèmes d équation TD n 13 Corrigé 6 / 7 Sup de Cours Etablissement d'enseignement privé RNE L 73, rue de Marseille Bordeaux

7 d 1 y d 2 A R B T J D C d 3 O I x 2) La dépense maximale est de 900. Elle est obtenue si un des points dont les coordonnées sont solution appartient à d 3. C est le cas du point R (3, 6). La dépense maximale est donc de 900. La dépense minimale lorsqu on est au point «le plus éloigné» de la droite d 3. C est le cas du point D (2, 3). Le coût est alors de 2 x , c'estàdire 480. Equations, inéquations et systèmes d équation TD n 13 Corrigé 7 / 7 Sup de Cours Etablissement d'enseignement privé RNE L 73, rue de Marseille Bordeaux