Introduction. Application au pipeline graphique. M2-Images. Transformations - Pipeline graphique. J.C. Iehl. September 29, 2010

Transcription

1 Transformations - Pipeline graphique September 29, 2010

2 Objectif : pipeline graphique rappel : plusieurs manières d organiser les calculs, mais, plusieurs parties communes. manipuler les changements de repères, projections,...

3 Changement de repères Matrices de rotation Rappel : Composition de transformations Objectif : géométrie représentation d un point, d une direction : un point, noté p, un vecteur, noté v, un rayon, noté : r(t) = o + t d représentation de l observateur : une position, O et 3 directions : à droite ( X ), en haut ( Y ), et devant ( Z), c est à dire un repère orthonormé. le rayon et les objets doivent tous être représentés dans ce repère.

4 Changement de repères Matrices de rotation Rappel : Composition de transformations Rappels : points, vecteurs et repères espace affine : un point : une position, pas de direction, ni de longueur, un vecteur : une direction et une longueur mais pas de position. connaissant une origine, on peut construire un vecteur représentant un point. u = v u = v et dir( u) = dir( v).

5 Changement de repères Matrices de rotation Rappel : Composition de transformations Opérations : addition, soustraction, etc. p + u est un point, q p est un vecteur, (noté pq), si u = q p q = p + u et p = q u, p + q n a pas de sens. 1 p = p, 0 p = 0, k p n est défini que si k = 0 ou k = 1?

6 Changement de repères Matrices de rotation Rappel : Composition de transformations Opérations : produits scalaire et vectoriel produit scalaire : u v = u v cos θ u = ( u v) v u v u = u u = u ( u v) v u v utile pour projetter un vecteur sur un autre ( u ), calculer le cosinus de l angle entre 2 vecteurs, etc. quel est le produit scalaire de 2 vecteurs perpendiculaires?

7 Changement de repères Matrices de rotation Rappel : Composition de transformations Opérations : produits scalaire et vectoriel u v = u x u y u z v x v y v z = u x v x + u y v y + u z v z et u = u 2 x + u 2 y + u 2 z = ( u u)

8 Changement de repères Matrices de rotation Rappel : Composition de transformations Opérations : produits scalaire et vectoriel produit vectoriel : u v = u v sin θ u v perpendiculaire aux vecteurs u et v, (perpendiculaire au plan défini par les 2 vecteurs) utile pour calculer la normale d un triangle, la surface d un triangle, etc.

9 Changement de repères Matrices de rotation Rappel : Composition de transformations Opérations : produits scalaire et vectoriel u v = u x u y u z v x v y v z = u y v z u z v y u z v x u x v z u x v y u y v x très utile pour construire un repère orthonormé (O, x, y, z)!

10 Changement de repères Matrices de rotation Rappel : Composition de transformations Coordonnées cartésiennes dans un repère (O, x, y, z) : u = u x x + u y y + u z z noté u = (u x, u y, u z ) p = O + Op = O + p x x + p y y + p z z noté p = (p x, p y, p z ) avec : u x = u x, u y = u y, u z = u z et Op = p O

11 Repère orthonormé et produit vectoriel Changement de repères Matrices de rotation Rappel : Composition de transformations dans un repère (O, x, y, z) : x y = + z, x y = 0 y x = z, y x = 0 y z = + x, y z = 0 z y = x, z y = 0 z x = + y, z x = 0 x z = y, x z = 0 connaissant 2 vecteurs quelconques, comment construire un repère orthonormé?

12 Changement de repères Matrices de rotation Rappel : Composition de transformations Changement de repères soit un vecteur u : coordonnées dans le repère (O, x, y, z) : u = ( u x) x + ( u y) y + ( u z) z et dans le repère (Q, i, j, k)? u = ( u i) i + ( u j) j + ( u k) k

13 Changement de repères Changement de repères Matrices de rotation Rappel : Composition de transformations on connait p dans le repère (O, x, y, z), on veut connaître ses coordonnées dans le repère (Q, i, j, k) : p = O + Op, mais aussi p = Q + Qp donc p = Q + QO + Op rappel : ab = b a

14 Changement de repères Matrices de rotation Rappel : Composition de transformations Changement de repères, et avec des matrices? rappel : espace affine, transformation affine une transformation T est linéaire si : T ( u + v) = T ( u) + T ( v), T (k u) = kt ( u) une transformation T est affine si : l image par T d un point est un point, l image par T d un vecteur est un vecteur.

15 Changement de repères Matrices de rotation Rappel : Composition de transformations Changement de repères, et avec des matrices? soit T une transformation affine et un repère (O, x, y, z) : u = (u 1, u 2, u 3 ) = u 1 x + u 2 y + u 3 z T ( u) = u 1 T ( x) + u 2 T ( y) + u 3 T ( z) p = (p 1, p 2, p 3 ) = O + p 1 x + p 2 y + p 3 z T (p) = T (O) + p 1 T ( x) + p 2 T ( y) + p 3 T ( z)

16 Changement de repères Matrices de rotation Rappel : Composition de transformations Changement de repères, et avec des matrices? T est complètement déterminée par T (O), T ( x), T ( y), T ( z). T ( u) = T (p) = T ( x) T ( y) T ( z) T (O) T ( x) T ( y) T ( z) T (O) u 1 u 2 u 3 0 p 1 p 2 p 3 1 = T = T u 0 p 1

17 Changement de repères Matrices de rotation Rappel : Composition de transformations Changement de repères, et avec des matrices? notation homogène : [ T h T ( x) T ( y) T ( z) T (O) = [ ] u h u = w 0 [ p h = p w 1 ] ] rappels : T ( u) = T ( u h )/u h w T (p) = T (p h )/p h w

18 Changement de repères Matrices de rotation Rappel : Composition de transformations Changement de repères, et avec des matrices? translation d un point p par un vecteur u = (u 1, u 2, u 3, 0) donc T = u u u T ( x) = x T ( y) = y T ( z) = z T (O) = O + u

19 Changement de repères Matrices de rotation Rappel : Composition de transformations Changement de repères, et avec des matrices? on connait p dans le repère (O, x, y, z), on veut connaître ses coordonnées dans le repère (Q, i, j, k) : rappel : p = O + p x x + p y y + p z z p = Q + p i i + p j j + p k k Q = O + q x x + q y y + q z z T (Q) = O + (q x, q y, q z ) i = i x x + i y y + i z z T ( i) = (i x, i y, i z ) j = j x x + j y y + j z z T ( j) = (j x, j y, j z ) k = kx x + k y y + k z z T ( k) = (k x, k y, k z ) quelle relation entre (p x, p y, p z ) et (p i, p j, p k )?

20 Changement de repères Matrices de rotation Rappel : Composition de transformations Changement de repères, et avec des matrices? p = Q + p i i + p j j + p k k = (O + q x x + q y y + q z z) + p i (i x x + i y y + i z z) + p j (j x x + j y y + j z z) + p k (k x x + k y y + k z z) p = O + (q x + p i i x + p j j x + p k k x ) x + (q y + p i i y + p j j y + p k k y ) y + (q z + p i i z + p j j z + p k k z ) z

21 Changement de repères Matrices de rotation Rappel : Composition de transformations Changement de repères, et avec des matrices? ou p x p y p z 1 p x p y p z 1 = i x j x k x q x i y j y k y q y i z j z k z q z = [ T ( i) T ( j) T ( k) T (Q) p i p j p k 1 ] p i p j p k 1

22 Changement de repères Matrices de rotation Rappel : Composition de transformations Changement de repères, et avec des matrices? p i p j p k 1 = i x j x k x q x i y j y k y q y i z j z k z q z quelle relation avec T ( x), T ( y), T ( z) et T (O)? p i p j p k 1 = [ T ( i) T ( j) T ( k) T (Q) p x p y p z 1 ] 1 p x p y p z 1

23 Changement de repères Matrices de rotation Rappel : Composition de transformations Matrices de rotation R x (θ) = R y (θ) = R z (θ) = cos θ sin θ 0 0 sin θ cos θ cos θ 0 sin θ sin θ 0 cos θ cos θ sin θ 0 0 sin θ cos θ rotation autour d un axe quelconque R( u, θ)?

24 Changement de repères Matrices de rotation Rappel : Composition de transformations Rappel : Composition de transformations repère 1 repère 2 repère 3 T 12 T 23 on connait p dans le repère 1, quelles sont ses coordonnées dans le repère 3? p 2 = T 12 p p 3 = T 23 p 2 p 3 = T 23 (T 12 p) p 3 = T 23 T 12 p p 3 = Tp avec T = T 23 T 12

25 Observateur et projection Visibilité Visibilité d un point Visibilité d une primitive Applications au pipeline graphique opérations courantes : on connait la position de chaque sommet d un triangle dans (O, x, y, z). on connait la position et l orientation de l observateur dans (O, x, y, z). quelle est la position des sommets du triangle dans le repère de l observateur (E, u, v, w)? déterminer que les sommets du triangle sont visibles?

26 Observateur et projection Visibilité Visibilité d un point Visibilité d une primitive Quelques précisions sur l obervateur définir sa position et son orientation, définir sa projection, et la résolution de l image? déterminer la direction d un rayon passant par le centre du pixel (x, y)? déterminer qu un sommet est visible? déterminer qu une primitive (triangle) est visible? succession de transformations simples...

27 Observateur et projection Visibilité Visibilité d un point Visibilité d une primitive Quelques précisions sur l observateur plusieurs repères : repère de l objet (matrice Modele ), repère de la scène (matrice Vue ), repère de l observateur (matrice Projection ), repère de projection de l observateur (matrice Fenetre ), repère de l image. connaissant les matrices de passage, repère par repère : sur quel pixel se projette un sommet d une primitive? quelle direction dans le repère de la scène correspond à la direction du pixel (x, y)?

28 Observateur et projection Visibilité Visibilité d un point Visibilité d une primitive Matrice de projection pour simplifier / réaliser toutes les manipulations précédentes la matrice de projection doit être inversible... ce qui n est pas le cas par définition. et alors? trouver une transformation affine équivalente.

29 Observateur et projection Visibilité Visibilité d un point Visibilité d une primitive Matrice de projection orthographique on se place dans un repère canonique, un cube unitaire [ 1 1] 3. une projection orthographique conserve la taille des objets, un point (x, y, z) se projette sur le pixel (x, y). et z reprèsente la distance du point. transformation affine : T ( x) = x T ( y) = y T ( z) = z T (O) = O représentation : matrice identité!

30 Observateur et projection Visibilité Visibilité d un point Visibilité d une primitive Matrice de projection perspective idée : se ramener au cas de la projection orthographique? solution : une pyramide de vision n est finalement qu un cube déformé! même transformation utilisée par OpenGL et DirectX.

31 Observateur et projection Visibilité Visibilité d un point Visibilité d une primitive Matrice de projection perspective 2n r l 0 r+l 0 2n t b r l 0 t+b t b 0 f +n 0 0 f n fn f n transformation affine de la scène vers un cube unitaire [ 1 1] 3. volume de vision : z min = near et z max = far, x min = left, x max = right, y min = bottom, y max = top.

32 Observateur et projection Visibilité Visibilité d un point Visibilité d une primitive Matrice de projection perspective

33 Observateur et projection Visibilité Visibilité d un point Visibilité d une primitive Transformation Fenetre dernière étape de la chaine de transformations : passer du cube unitaire [ 1 1] 3 projectif aux coordonnées du pixel. c est à dire passer d un intervalle [ 1 1] à [0 n] (pour n = largeur, hauteur, profondeur 1). composition d une mise à l échelle et d une translation : [ 1 1] [0 2] [0 n]

34 Observateur et projection Visibilité Visibilité d un point Visibilité d une primitive Transformation Fenetre l espace Fenetre n est pas un plan, mais un cube [0 largeur] [0 hauteur] [0 1]. créer un rayon dans ce repère et le transformer pour obtenir son origine et sa direction dans le repère de la scène (ou d un objet). o Fenetre (x, y) = (x, y, 0) t e Fenetre (x, y) = (x, y, 1) t dfenetre (x, y) = e Fenetre (x, y) o Fenetre (x, y)

35 Observateur et projection Visibilité Visibilité d un point Visibilité d une primitive Pipeline graphique et visibilité rappels : les objets sont décrits par un ensemble de primitives, les sommets (ou les points de contrôle) des primitives sont connus dans un repère local à l objet. passer les sommets dans le repère projectif, vérifier qu ils sont visibles, déterminer les coordonnées du pixel correspondant (passage dans le repère fenêtre). les pixels de l image doivent avoir la couleur de l objet le plus proche (visible à travers le pixel).

36 Observateur et projection Visibilité Visibilité d un point Visibilité d une primitive Pipeline graphique et visibilité pour chaque objet : pour chaque primitive de l objet : pour chaque sommet de la primitive : projetter le sommet : passage repère local repère projection homogène, déterminer la visibilité du sommet. déterminer la visibilité de la primitive, déterminer l ensemble de pixels couvrant la partie visible de la primitive, pour chaque pixel : déterminer sa couleur.

37 Observateur et projection Visibilité Visibilité d un point Visibilité d une primitive Visibilité on dessine les objets dans un ordre quelconque : pour obtenir une image correcte, il faut déterminer l objet le plus proche visible à travers chaque pixel. remarque : pour éviter de confondre un pixel en cours de calcul et un pixel déjà écrit dans l image (et le z-buffer) : fragment : pixel en cours de calcul + élement de surface de la primitive visible + profondeur, pixel : fragment écrit dans l image (et le z-buffer). image de profondeur (ou z-buffer) conserve la profondeur de l objet visible à travers chaque pixel.

38 Observateur et projection Visibilité Visibilité d un point Visibilité d une primitive Visibilité : algorithme afficher plusieurs objets : pour chaque objet :... pour chaque fragment : déterminer sa profondeur, n écrire le fragment dans l image et le z-buffer que si sa profondeur est inférieure à la profondeur déjà écrite dans le z-buffer.

39 Observateur et projection Visibilité Visibilité d un point Visibilité d une primitive Visibilité : détails même algorithme que la recherche de la plus petite valeur d un ensemble : min= max (valeur plus grande que les valeurs de l ensemble) pour i [0..n) si ensemble[i] < min min ensemble[i] quelle valeur utiliser pour la profondeur max?

40 Observateur et projection Visibilité Visibilité d un point Visibilité d une primitive Visibilité d un point par définition : un point p est visible si sa projection est dans le cube [ 1..1] 3 du repère projectif. mais le repère projectif est homogène : p h = P(V (Mp))

41 Observateur et projection Visibilité Visibilité d un point Visibilité d une primitive Visibilité d un point est visible si : p h = x h y h z h w h w h < x h < w h w h < y h < w h w h < z h < w h alors p se projette dans le repère fenêtre : p f = F (p h /w h ) et p f [0..largeur] [0..hauteur] [0..1]

42 Observateur et projection Visibilité Visibilité d un point Visibilité d une primitive Visibilité d une primitive plusieurs sommets : vérifier que tous les sommets sont visibles... si ce n est pas le cas : soit découper la primitive et retester chaque morceau, soit trouver les fragments qui remplissent la partie visible de la primitive.

43 schema.

44 et alors? plusieurs solutions pour déterminer les objets visibles. solution 1 : projetter les sommets des primitives, redécouper les primitives partiellement visibles, fragmenter les primitives totalement visibles dans le repère Fenêtre. solution 2 : projetter les sommets des primitives, fragmenter les primitives dans le repère projectif homogène.

45 et alors? plusieurs solutions pour déterminer les objets visibles. solution 3 : déterminer l équation de la droite passant par chaque pixel, trouver les objets intersectants la droite et dessiner le plus proche.

46 et alors? quelle solution est utilisée : par une carte graphique? par un lancer de rayons? par REYES? et avec des primitives non planes?

47 et alors? solution utilisée : par une carte graphique : solution 2 par un lancer de rayons : solution 3 par REYES : généralisation de la solution 1 (primitives non planes).

48 et alors? REYES est une généralisation de la fragmentation homogène utilisée par les cartes graphiques. différences : les primitives ne sont pas forcément planes, les primitives de modélisation ne sont pas les mêmes que celles utilisées pour la fragmentation, les primitives utilisées pour la fragmentation sont des quads de taille inférieure à un pixel (micro-polygones). on redécoupe les primitives tant qu elles ne sont pas totalement visibles et que l on ne peut pas générer correctement les micro-polygones.