Mécanique des fluides

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1 Mécanique des fluides La statique des fluides : étude des fluides macroscopiquement au repos La dynamique des fluides : étude des fluides macroscopiquement en mouvement I. Les propriétés d'un fluide. Qu'est-ce qu'un fluide? On désigne par «fluides», les milieux constitués d'un grand nombre de particules matérielles libres qui peuvent s'écouler. Les liquides et les gaz sont des fluides mobiles et visqueux. Leurs propriétés sont identiques dans toutes les directions de l'espace (fluides isotropes). Un fluide est parfait lorsqu'il s'écoule sans frottements.. La pression Origine : chocs des molécules sur une paroi et interactions de contact entre molécules Pression statique : Force exercée selon la normale (= perpendiculaire) à une surface : p : Pa F : N S : m La pression est une fonction continue lorsqu'on passe d'un fluide à un autre la pression absolue est mesurée par rapport au vide (toujours > 0) la pression relative est mesurée par rapport à la pression atmosphérique : 3. Les unités de pression Usuellement on utilise Ie bar L'unité de pression dans le système international dérive de la définition de la pression : Une force divisée par une surface : Cette unité porte le nom de Pascal (Pa) Autres unités utilisées : mcf = hauteur en mètre de colonne de fluide (mmhg pour le mercure) atmosphère (atm) ; Torr ; Pound square inch (Psi) bar = 05 Pa = 750 mmhg = 0,987 atm atm = 760 mmhg = 035 Pa Torr = mmhg = 33 Pa Psi = 6,9 * 03 Pa

2 4. Autres grandeurs caractéristiques d'un fluide La masse volumique : ρ (rho) (ou µ) = masse par unité de volume de fluide. ρ = Unité : kg/m3,3 g/cm3 =>,3 * 03 kg/m3 cm3 => ml ml => 0-3 l m3 => 000 l Attention : elle varie avec la température et la pression. La densité = d (sans unité) = masse volumique d'un fluide exprimée par rapport à la masse volumique d'un fluide de référence. (Le fluide de référence est en général l'eau pour les liquides et l'air sec pour les gaz) La compressibilité : nulle pour un liquide La viscosité : propriété d'un fluide de s'opposer à son écoulement II. La relation fondamentale de la statique des fluides. Expression générale de la pression statique dp = différence de pression entre points dz = différence d'altitude entre points p = masse volumique du fluide g = accélération de la pesanteur. Application aux fluides incompressibles Conditions d'application : la masse volumique du fluide est constante et la température est constante et homogène Altitude En appliquant l'équation générale entre les points Mt et M/ on obtient : M M Z Z dp ρ g dz P P ρg(z Z ) Ou encore : p ρgz p ρgz Cette relation est souvent ramenée à l'expression générale : P + ρgz = Constante 0 Conséquence : La pression dans un liquide augmente avec la profondeur. Elle ne dépend pas de la forme du récipient, mais seulement de la hauteur de liquide A retenir : toute surface libre d'un liquide (en contact avec l'air) est à la pression atmosphérique. (ex : liquide dans une citerne, lac de barrage, sortie robinet ouvert...) (en posant h Z Z p p ρgh)

3 III. Dynamique des fluides incompressibles. Débit d un fluide. a. Définition. Le débit d un fluide est la quantité de fluide qui traverse la section droite d une conduite par unité de temps. On distingue : Le débit massique (q m ) : masse m de fluide qui traverse la section droite d une conduite en un temps Δt ; exprimé en kg/s : Le débit volumique (q v ) : volume V de fluide qui traverse la section droite en un temps Δt ; exprimé en m 3 /s : b. Relation entre débits massique et volumique. A partir de la définition de la masse volumique : Un liquide étant non compressible et peu dilatable, son écoulement est «iso métrique» Un écoulement est permanents (=stationnaire) si les paramètres qui le caractérisent sont constituants au cours du temps (l aspect du mouvement ne varie pas au cours du temps). En régime permanents :. Equation de continuité. Soit un tube de section S dans lequel s écoule un fluide. L expression du débit volumique est : D où : avec V = volume du fluide = où dx représente l épaisseur d une «tranche» de fluide. L écoulement d un fluide non compressible étant iso volume : Conséquence : la vitesse d écoulement augmente si la section de la conduite diminue et inversement. 3. La relation de Bernoulli : application à un cas idéal. Dans les hypothèses suivantes : S = section du tube (m²) v = vitesse du fluide (m/s) Le fluide considéré est incompressible (masse volumique constante) Le fluide est non visqueux (pas de frottements donc pas de pertes) Pas de turbulence dans l écoulement Le régime d écoulement est stationnaire Pas de pompe ni de turbine dans le circuit hydraulique Le travail fourni à un fluide lors de son écoulement est égal à la variation de son énergie interne (principe de conservation de l énergie).

4 L étude porte sur un tube de fluide entre les points A et B. x B V = volume du fluide v = vitesse du fluide Z B m = masse du fluide B v B Z = altitude p = pression ρ = masse volumique g = accélération de la pesanteur x A Selon le principe de conservation de l énergie. La différence d énergie mécanique du fluide est égale à Z A v A A l énergie mécanique reçue par le fluide entre A et B. m(v B v A ) mg(z B z A ) (P B P A ) V 0 /v 0 ρ(v B v A ) ρg(z B z A ) (P B P A ) 0 Ce que l on généralise pour obtenir la relation de Bernoulli exprimant la loi de conservation de l énergie : La constante a la dimension d une pression Cette constante représente l idée de la «quantité d énergie» ou «charge» contenue par un fluide en un point de la conduite. Cette énergie peut s estimer par un nombre en hauteur de liquide appelée hauteur manométrique. La hauteur manométrique d un point est obtenue en divisant l équation précédente par ( ) : hauteur : H T 4. Théorème de Bernoulli généralisé. La constante a la dimension d une p T ρg Dans les circuits hydrauliques réels, les frottements ne sont pas négligeables et ils engendrent des pertes d énergie que l on appelle «pertes de charge». Pour un fluide s écoulant de A vers B. Dans le cas où le circuit hydraulique comporte des pompes (générateurs) ou des bobines (récepteurs), le fluide échange de l énergie avec elles. L utilisation d une pompe consiste à surélever un point du circuit hydraulique d une hauteur correspondant à la hauteur manométrique de la pompe (inverse pour la bobine). IV. Les pertes de charge Même si le débit d un fluide est identique le long d une canalisation, les frottements sur les parois et les modifications du circuit provoquent des échauffements et des pertes d énergie ou «pertes de charge». Les pertes d énergie se traduisent par des chutes de pression. On distingue : Les pertes de charge «régulières» ou «systématiques» qui existent dans toutes les canalisations aussi lisses soient-elles. Les pertes de charge «singulières» ou «accidentelles» qui apparaissent à la faveur d une modification du circuit hydraulique. Plus l écoulement d un fluide est turbulent, plus les pertes de charge liées aux frottements seront importantes.

5 . Les pertes de charge régulières ou systématiques. Pour une canalisation de longueur L, de diamètre D dans laquelle circule un fluide de masse volumique à une vitesse d écoulement v : Pertes de charge en pression : ; pertes de charges en hauteur : h ( = coefficient de pertes de charge linéaire déterminé à partir d abaques appelées «abaques de Colebrook»).. Les pertes de charge régulières ou systématiques. Elles sont en général proportionnelles au carré de la vitesse et la constante de proportionnalité est déterminée expérimentalement. Plus généralement, les constructeurs donnent directement les valeurs de pertes de charge des dispositifs utilisés. 3. Les pertes de charge régulières ou systématiques. Les calculs très précis sont inutiles car le dimensionnement des installations intègre un coefficient de sécurité (en cas de phénomène imprévu).

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