CHAPITRE 11 : PROPORTIONNALITE ET FONCTION LINEAIRE.

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1 CHAPITRE 11 : PROPORTIONNALITE ET FONCTION LINEAIRE. De nombreuses situations de la vie courante font intervenir la proportionnalité. L allongement du ressort en fonction de la masse suspendue en Physique, le prix de l essence en fonction du volume acheté, le périmètre d un disque en fonction de son rayon en géométrie etc. Ces grandeurs varient simultanément et sont fonction l une de l autre. Mais toutes les situations ne sont pas proportionnelles : l aire du disque en fonction du rayon, la taille d une personne en fonction de son âge etc. I SUITES DE NOMBRES PROPORTIONNELLES : 1.1 Définition : Deux suites de nombres réels (ayant le même nombre de termes) sont proportionnelles si on peut passer de chaque terme de la première suite au terme correspondant de la deuxième par un même opérateur multiplicatif. L opérateur multiplicatif qui permet de passer de chaque terme de la première suite à chaque terme de la deuxième est aussi appelé coefficient de proportionnalité. On représente souvent la correspondance entre les deux suites par un tableau. Exemple : x / ,5 51 x 3/ par exemple. Cas général : x 1/a x 1 x x n y 1 y y n x a On a les égalités : y 1 = a x 1 ; y = a x ; ; y n = a x n. Le coefficient de proportionnalité entre la deuxième et la première suite est 1/a soit l inverse du coefficient de proportionnalité a entre la première et la deuxième suite. Les égalités (1) traduisent le fait que si deux suites de nombres sont proportionnelles, il existe une fonction appelée fonction linéaire, f : R R x a x (notée encore f (x) = a x) telle que la deuxième suite soit l image de la première par cette fonction. Les suites de nombres proportionnelles possèdent les propriétés numériques et graphiques ci-dessous. Exercice 1 : Donner une description algébrique des fonctions qui permettent de mathématiser les situations suivantes. Ces fonctions représentent-elles des situations de proportionnalité? a/ aire d un carré en fonction de son côté x. b/ prix TTC d un article coûtant x hors taxes. (TVA à 5,5 %). Page 1

2 Exercice : Les tableaux suivants sont-ils des tableaux de proportionnalité? Nombre de stylos Prix en euros 1 3 Promo 10 1,0 3,60 10 Km parcourus avec la 0 0 voiture louée : Prix en euros 4, Masse de tomates Prix en euros ,30 11,50 13,80 3 Temps de parcours (h) Distance parcourue (km) Exercice 3 : Compléter le tableau de proportionnalité suivant : 1, , Propriétés numériques des suites proportionnelles : 1/ propriétés relatives à l ordre : Si deux suites de nombres sont proportionnelles et si le coefficient de proportionnalité est positif, l ordre dans lequel sont rangés les nombres de la deuxième suite est le même que celui dans lequel sont rangés les nombres de la première suite. La proportionnalité respecte l ordre. Si deux suites de nombres sont proportionnelles et si le coefficient de proportionnalité est négatif, l ordre dans lequel sont rangés les nombres de la première suite est l inverse de celui dans lequel sont rangés les nombres de la deuxième suite. Page

3 1/ propriété additive de linéarité : = 19 x / ,5 8,5 51 x 3/ ,5 = 8,5 Si deux suites sont proportionnelles, l image d une somme est la somme des images. x 1/a x 1 x x 1 + x y 1 y y 1 + y x a Dans le langage des fonctions, f ( x 1 + x ) = f ( x 1 ) + f ( x ). Cette propriété est également vérifiée avec la soustraction : f ( x 1 - x ) = f ( x 1 ) - f ( x ). Preuve : y 1 = a x 1 ; y = a x donc y 1 + y = a x 1 + a x = a ( x 1 + x ). 3/ propriété multiplicative de linéarité : x x / x 3/ x Cette propriété est aussi appelée propriété d homogénéité. x k x 1/a x y k x k y x a x k Dans le langage des fonctions, f ( k x ) = k f ( x ). Preuve : y = a x donc k y = k a x = a ( k x ). Deux suites qui vérifient les deux propriétés précédentes pour tous les nombres sont des suites proportionnelles, et la fonction associée est une fonction linéaire. Au contraire, il suffit de trouver, parmi tous les nombres composant les deux suites, un seul exemple où l une des propriétés de linéarité n est pas vérifiée pour que les deux suites ne soient pas proportionnelles. Page 3

4 Exercice 4 : 6 m de tissu coûtent 8. Combien coûtent 9 m? 4/ propriétés des rapports égaux : x / x 3/ (coefficient de proportionnalité) et Cas général : x 1/a x 1 x x n y 1 y y n x a y1 y y On a les égalités : (1)... n a. () x1 x xn Et à condition qu aucun des nombres ne soit nul. x y 1 1 x xn y y a n 5/ propriété dite des «produits en croix» : x / x 3/ ; ; Cas général : x 1/a x 1 x x n y 1 y y n x a A partir des égalités y x 1 1 y... x y x n n, on a : x 1 y =x y ou x 1 y 8 = x 8 y 1 etc. Exercice 5 : 6 m de tissu coûtent 8. Combien coûtent 13 m? Page 4

5 6/ variations des accroissements» : Pour deux suites proportionnelles, les variations égales entre deux nombres de la première suite correspondent à des variations égales entre les nombres de la deuxième suite x / x 3/ Remarque : valeur du coefficient de proportionnalité (on retrouvera cette propriété pour les fonctions affines avec a f ( x1 ) f ( x ) avec x1 x. ). x x 1 7/ propriété graphique : On considère les couples de nombres formés par un nombre de la première suite et son image dans la deuxième. On place dans un repère, créé par deux axes gradués dans le plan, les points dont les coordonnées sont créées par ces couples : Exemple : Prix en euros Masse de tomates Prix en euros ,30 11,50 13,80 3 masse en kg Les points correspondants sont alignés sur une droite passant par l origine. La représentation graphique d une fonction linéaire f telle que f (x) = a x est la droite passant par l origine et par le point de coordonnées (1 ;a). Exercice 6 : Les courbes suivantes représentent-elles des situations de proportionnalité? Page 5

6 Exercice 7 : On a représenté le prix d un tissu en fonction du nombre de mètres achetés : Quel est le prix de 1 m? Combien de mètres peut-on acheter avec 5? Prix ( ) Tissu (m) Page 6

7 II APPLICATIONS :.1 Des exercices concrets : Exercice 8 : Il faut 35 kg de pommes pour obtenir 00 L de cidre. Quelle quantité de cidre obtiendra- t-on avec 1 tonne de pommes? Quelle quantité de pommes faut-il pour fabriquer L de cidre? Exercice 9 : Une plaque de bois rectangulaire de 30 cm sur 90 cm pèse,5 kg. Combien pèse une plaque rectangulaire de 15 cm sur 45 cm découpée dans la même planche? Exercice 10 : Dans un immeuble, les charges sont réparties proportionnellement aux surfaces des logements. L immeuble comporte trois studios de 35 m² chacun, deux F de 60 m² chacun, deux F3 de 75 m² chacun et trois F4 de m² chacun. Le montant annuel des charges pour tout l immeuble est Calculer le montant des charges pour chaque appartement. Exercice 11 : Avec une peinture blanche et une peinture verte, on réalise deux mélanges. Le mélange A est obtenu avec 5 litres de peinture blanche et 3 litres de peinture verte. Le mélange B est obtenu avec 7 litres de peinture blanche et 4 litres de peinture verte. Quel est le mélange le plus vert? Exercice 1 : Six vaches produisent en moyenne L de lait en 30 jours. Combien de jours faut-il à 18 vaches pour produire L de lait?. vitesse moyenne : d Soit v la vitesse parcourue, d la distance parcourue et t la durée de parcours : on a v. t d On en déduit aussi d v t et t. La vitesse s exprime en général en m/s ou m s - 1 ou bien en v km/h ou km h 1. Exemples : vitesse du son : environ 330 m/s ; un cas particulier la vitesse de la lumière environ km/s. Exercice 13 : 1/ Convertir 4,6 h en heures et minutes. / Convertir en écriture décimale 3 h 33 min. 3/ Convertir en écriture décimale 3 h 34 min. 4/ Un coureur met 10,5 s pour un m. Calculer sa vitesse en m/s, en m/h, en km/h. Exercice 14 : Un cycliste circule à la vitesse moyenne de 5 km/h. Combien de temps met-il pour parcourir 55 km? Exercice 15 : Un cycliste monte un col à la vitesse moyenne de 15 km/h. Il descend par la même route à la vitesse moyenne de 30 km/h. Quelle est sa vitesse moyenne sur la totalité du parcours? Exercice 16 : 1/ Le TGV Paris-Lyon met 1h55 min pour relier les deux villes à la vitesse moyenne de km/h. Quelle est la distance ferroviaire Paris-Lyon? / Lorsque deux TGV roulent à la même vitesse de 75 km/h, quelle distance les sépare si on sait qu ils se suivent à 8 minutes? Page 7

8 .3 Notion importante : les pourcentages : Les pourcentages sont un moyen commode utilisé par tous pour évoquer une proportion : 0 pour cent, c est comme 40 pour 00, 10 pour 50 etc.. Le référent choisi est simple :. Exercice 17 : calculer un pourcentage A l école, 150 des 50 élèves mangent à la cantine. Quel est le pourcentage (la proportion) d élève mangeant à la cantine? 85 Prendre 85 % d un nombre n, c est le multiplier par. 85? n Exercice 18 : utiliser un pourcentage 1/ Calculer mentalement : 10 % de 500 g, 50 % de 600 km, 5 % de 160 h, 15 % de 60. Calculer 10 % d un nombre, c est le diviser par 10. Calculer 50 % d un nombre, c est le diviser par. Calculer 5 % d un nombre, c est le diviser par 4. Exercice 19 : utiliser un pourcentage A l école, 80 % des 50 élèves aiment pratiquer un sport. Combien d élèves aiment pratiquer un sport? p Prendre p % d un nombre n, c est le multiplier par..4 Les pourcentages et les réductions : Dans un grand magasin, les articles sont soldés à moins 35 %. Si un article coûtait, il vaut maintenant 35 = 65. Si un autre article coûtait 00, il vaut maintenant 00 x35 = Si un article coûtait 4, il vaut maintenant ,70 7, Si un article coûtait x, il vaut maintenant : x x x 0,35x 0,65x Ainsi, effectuer une baisse (réduction, diminution, solde etc.) de 35 % sur un prix revient à multiplier ce prix par 0,65. La fonction linéaire f associée à cette situation est définie par f ( x ) = 0,65 x. p Diminuer un nombre de p %, revient à multiplier ce nombre par 1. p La fonction linéaire f associée à cette situation est définie par f ( x ) = 1 x. Page 8

9 Exercice 0 : Dans un grand magasin, les articles sont soldés à moins 5 %. 1/ Un manteau coûtait 90 avant les soldes, quel est son nouveau prix? / Un pull coûte 56,5 après les soldes, quel était son prix avant les soldes?.5 Les pourcentages et les augmentations : A la bourse, les actions sont en augmentation de 15 %. Si une action cotait, elle vaut maintenant + 15 = 115. Si une autre action cotait 00, elle vaut maintenant 00 + x15 = Si une action cotait 4, elle vaut maintenant ,30 48, Si une action cotait x, elle vaut maintenant : x x x 0,15x 1,15x Ainsi, effectuer une augmentation de 15 % sur un prix revient à multiplier ce prix par 1,15. La fonction linéaire g associée à cette situation est définie par g ( x ) = 1,15 x. p Augmenter un nombre de p %, revient à multiplier ce nombre par 1. p La fonction linéaire g associée à cette situation est définie par g ( x ) = 1 x. Exercice 1 : Dans une grande entreprise, les salaires des cadres supérieurs sont augmentés de 5 % suite aux bons résultats. 1/ Un salarié cadre était payé 5 90 avant l augmentation, quel est son nouveau salaire? / Le PDG est payé 8 95 après l augmentation, quel était son salaire avant l augmentation? Exercice : Quelle masse de café Arabica doit-on ajouter à 00 kg de Robusta pour obtenir un mélange contenant 75 % de la masse totale en café Arabica? Exercice 3 : Un marchand a gagné 0 % sur le prix d achat d un objet. Pour gagner 5 %, il aurait dû le vendre 400 de plus. Combien avait-il lui-même payé cet objet? Combien l a-t-il vendu réellement? Exercice 4 : Justifier la réponse. Un produit coûte x hors taxe. Le commerçant propose une réduction de 17%. Que préférez-vous, la réduction sur le prix HT ou sur le prix TTC? Dans les deux cas, il faut payer la TVA à 19,6 %. Exercice 5 : Pièges classiques : justifier la réponse. 1/ Un ami vous demande Il fait augmenter votre capital de 15 % la première année et reprend 15 % ensuite avant de vous rendre votre argent. Etes-vous gagnant, perdant, ni l un ni l autre? / Un commerçant solde ses articles à 30 % la première semaine, puis à 0 % la deuxième semaine. La baisse totale est de 50 %, ou plus, ou moins? 3/ Un commerçant augmente de 5 % ses articles puis de 5 % encore le mois suivant. L augmentation totale est de 10 %, ou plus ou moins? Page 9

10 .6 Les échelles : On représente une réalité physique (terrain, carte, voiture etc.) par un dessin, un schéma, une maquette établis en respectant les proportions entre les dimensions. Il y a proportionnalité entre les dimensions dans la réalité et les dimensions sur la représentation de cette réalité. Exemple : avec une échelle de 1 /0 000 e, cm sont représentés par 1 cm sur la représentation ou encore 00 m sont représentés par 1 cm. 1/0 000 est le coefficient de proportionnalité entre les dimensions réelles et les dimensions de la représentation. Les unités des deux dimensions sont identiques. Exercice 6 : Une maquette d une usine rectangulaire en emprise au sol au 1/40 e mesure 90 cm de long et 45,5 cm de large. 1/ Quelles sont ses dimensions réelles? / Calculer l aire A de l usine en réalité. En déduire l aire A de sa maquette. 3/ La hauteur réelle de l usine en forme de pavé droit est de 1,5 m. Quelle est la hauteur de la maquette? 4/ Calculer le volume V de cette usine en réalité. En déduire le volume V de la maquette. 5/ On appelle x la hauteur de l usine. Calculer le volume réel V ( x ) de l usine en fonction de x. Quelle est la nature de V? 6/ Le recyclage maximal de l air contenu dans l usine est de 9 17,8 m 3.Quelle valeur maximale de la hauteur x permet la construction de cette usine? III FONCTIONS AFFINES : Rappel : Pour tout nombre a, lorsqu à tout nombre x, on lui associe le nombre a x, on définit alors la fonction linéaire de coefficient a. Pour tous nombres a et b : Définition : Pour tous nombres a et b, lorsqu à tout nombre x, on lui associe le nombre a x + b, on définit alors la fonction affine de coefficient a. Remarque : Une fonction linéaire est une fonction affine particulière avec b = 0. Propriété : la représentation graphique d une fonction affine telle que f ( x ) = a x + b une droite passant par le point de coordonnées (0 ;b). b est appelée l ordonnée à l origine pour la droite. y = a x + b est l équation de la droite représentant la fonction f. Proportionnalité des accroissements : Une fonction affine ne représente pas une situation de proportionnalité mais les variations des accroissements sont proportionnelles : f ( x1 ) f ( x ) a avec x1 x. x x 1 Exercice 7 : Une fonction admet pour représentation graphique une droite passant par les points A (4 ;6) et B(7 ;10,5). Exprimer algébriquement cette fonction. Page 10

11 CORRIGE DES EXERCICES CHAPITRE 11: Exercice 1 : Donner une description algébrique des fonctions qui permettent de mathématiser les situations suivantes. Ces fonctions représentent-elles des situations de proportionnalité? a/ A( x) c² x², si on ne passe pas de la longueur d un côté (première suite) au terme correspondant de la deuxième (aire) par un même coefficient de proportionnalité. 5,5 b/ p( x) x x x 0,055x 1,055x. on passe du prix hors taxe (première suite) au terme correspondant de la deuxième (prix TTC) en multipliant par un même coefficient de proportionnalité 1, 055. Exercice : 1/ non, 10 1,0 1 et non10! Ou bien les produits en croix ne sont pas égaux , ,60 10 Ou bien. etc / non, l image de 0 doit être 0! 3/ oui, on passe de la masse au prix en multipliant par un même nombre :,30. 1kg coûte,30. 4/ oui, on passe de la durée de parcours à la distance en multipliant par un même nombre : 80. Le véhicule se déplace à la vitesse moyenne de 80 km/h. Exercice 3 : a 1, 1, x 3/ Exercice 4 : 3 1, / 1 1, /3 x /3 Longueur en m 6 9 Prix en 8? 6 m coûtent 8 donc 3 m 4 donc 9 m coûtent = 1. Ou bien : 6 1,5 9 donc 8 1, Ou bien : 6 m coûtent 8 donc 1 m (retour à l unité) coûte et 9 m coûtent : x 8 9 Ou bien : alors x soit x = Ou bien par le coefficient de proportionnalité : et Page 11

12 Ou bien avec un graphique : Prix ( ) longueur de tissu (m) On trace la droite passant par l origine et par le point de coordonnées ( 6;8), on se place sur l axe des abscisses en 9 et on cherche l image de 9 tel que le point d abscisse 9 appartienne à la droite. L ordonnée cherchée est 1 soit 1. Ou bien avec les produits en croix (on cherche la 4 ème proportionnelle): x Alors 8 9 x soit x = 1. 6 Exercice 5 : Longueur en m 6 13 Prix en 8? 8 6 x 13 alors 8 13 x soit 6 5 x x 17, 33 (valeur approchée au centième par défaut). 3 Exercice 6 : Seules les droites passant par l origine représentent des fonctions en lien avec la proportionnalité donc seule f convient. Exercice 7 : L image du nombre 1 est,5 environ donc 1 m coûte,50 environ. Ou bien, on lit les coordonnées du point de la droite dont l abscisse est 1. On trouve environ,5. L antécédent de l image 5 est,5 environ, donc pour 5 on peut acheter,50 m de tissu environ. Ou bien on lit les coordonnées du point de la droite dont l ordonnée vaut 5. Page 1

13 Exercice 8 : Masse de pommes (kg) y Quantité de cidre (L) 00 x La situation peut se résumer avec un tableau de proportionnalité : 00 x 00 0 alors x soit x 615, 4 kg (valeur approchée par excès au dixième) y 1500 alors y soit y 437, 5kg. 00 Exercice 9 : On coupe dans la même plaque donc les hauteurs sont égales, il ya donc proportionnalité entre les aires et les masses. Aire de la plaque (cm²) masse (kg),5 x,5 700 x 675 alors,5 675 x soit x 0, 65 kg. 700 Exercice 10 : Dans un immeuble, les charges sont réparties proportionnellement aux surfaces des logements. L immeuble comporte trois studios de 35 m² chacun, deux F de 60 m² chacun, deux F3 de 75 m² chacun et trois F4 de m² chacun. Le montant annuel des charges pour tout l immeuble est Calculer le montant des charges pour chaque appartement. 050 La situation peut se résumer avec un tableau de proportionnalité de coefficient : 30 : 675 total Aire du logement (m²) Charges ( ) x Y z t 0 50 On en déduit facilement : x = ; y = ; z = 50 ; t = Exercice 11 : Il suffit de comparer les proportions en se ramenant à l unité ou à un multiple commun 35 L: x 7 Mélange A Peinture blanche (L) Peinture verte (L) 3 x 1 x 5 Mélange B Peinture blanche (L) Peinture verte (L) 4 y 0 Ou bien 3 x alors x et 5 4 y 4 3 alors y. le mélange le plus vert est le mélange A Page 13

14 Exercice 1 : C est une proportionnalité multiple avec le nombre de vaches et le nombre de jours et le volume de lait ensuite. x 3 Nombre de vaches Nombre de jours x Litres de lait x 3 = x 7000 alors x x soit x 180 jours Exercice 13 : 1/ 0,6 h = 0, minutes donc 4 heures et 36 min / 0,55h donc 3,55 h / 0,57h (par excès au centième) donc 3,57 h environ / v 9,76 m / s (par excès au centième) v 9,76 9, m/ h 10,5 Soit 35,136 km/h. Exercice 14 : Un cycliste circule à la vitesse moyenne de 5 km/h. Combien de temps met-il pour parcourir 55 km? 55 t, h ou encore h et 1 min. 5 Exercice 15 : d v t. si d est la distance parcourue : à l aller : d 15 t1 alors d et au retour d 30 t alors t 30 d t1 15 d d d d d 30 Alors v d 0 km/h. t 3 1 t d d d d d 3d La vitesse moyenne n est donc pas égale à la moyenne des vitesses. Exercice 16 : 55 1/ d v t (1 ) 45, 5km 60 8 / d v t 75 ( ) 36, 6km (valeur approchée par défaut au dixième) 60 Page 14

15 Exercice 17 : 150 0, 6 donc 60 % des élèves mangent à la cantine. 50 Exercice 18 : 1/ 10 % de 500 g : 50 g, 50 % de 600 km : 300 km 5 % de 160 h : 40 h, 15 % de 60 : = 9. Exercice 19 : élèves aiment pratiquer un sport. Exercice 0 : 1/ baisser un prix de 5 %, c est le multiplier par 0,75. Son nouveau prix est 90 0,75 17, ,5 / soit x l ancien prix : x 0,75 56, 5 donc x 75. 0,75 Exercice 1 : 1/ augmenter un nombre de 5 %, c est le multiplier par 1,05. Son nouveau salaire est 590 1, , / soit x l ancien salaire: x 1, donc x ,05 Exercice : Soit x la masse totale de café : 00 kg représente 5 % du mélange donc 00 0,5x soit x 800 donc 0, , il faut 600 kg d Arabica. Exercice 3 : Soit x le prix initial : 1,5x 1,0x 400 donc 0,05x 400 donc x = Il l a vendu : , Exercice 4 : Justifier la réponse. Un produit coûte x hors taxe. Le commerçant propose une réduction de 17%. Que préférez-vous, la réduction sur le prix HT ou sur le prix TTC? Dans les deux cas, il faut payer la TVA à 19,6 %. Réduction sur le prix HT puis TVA : 0,83x 1, 196 ou bien TVA puis réduction sur le prix HT : 1,196x 0,83. Cela revient au même! Exercice 5 : 1/ ,15 0, , 50. Vous êtes perdant! / 0,70 0,80 0, 56, cela correspond à une baisse de 44%! 3/ 1,05 1,05 1, 105, cela correspond à une hausse de 10,5 %! Exercice 6 : Une maquette d une usine rectangulaire en emprise au sol au 1/40 e mesure 90 cm de long et 45,5 cm de large. 1/ Les dimensions réelles sont : cm 36m. et 45, cm 18,m. 1 / A L l 36 18, 655,m². A' k² A 655, 0,4095m². 40 Page 15

16 1,5 3/ La hauteur de la maquette est : 0,315m 31,5cm / V L l h 36 18, 1,5 8190m. V ' k V ,180m. (par excès) / V( x) L l h 36 18, x 655,xm. V est la fonction qui a x lui associe 655, x en multipliant toujours par le même nombre 655,. V est une fonction linéaire de coefficient 655,..3 6/ V( x) 655,xm. Donc 655,x 917, 8 donc x =14 m. 3 Exercice 7 : La fonction admet pour représentation graphique une droite, c est donc une fonction affine telle que : f ( x ) = a x + b f ( x1 ) f ( x ) 6 10,5 4,5 et a 1, 5 donc f ( x ) = 1,5 x + b x x Comme f ( 4 ) = 6 alors f ( 4 ) = 1,5 4 + b = 6 donc 6 b 6 donc b = 0 et donc f ( x ) = 1,5 x. (fonction linéaire, cas particulier des fonctions affines). Page 16