Chapitre n - Proportionnalité et pourcentage

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1 Chapitre n - Proportionnalité et pourcentage Objectifs Connaître la notion de proportionnalité Reconnaître les situations qui relèvent de la proportionnalité et les traiter en choisissant un moyen adapté : - utilisation d un rapport de linéarité, - utilisation du coefficient de proportionnalité, - passage par l image de l unité (ou «règle de trois»), Connaître la notion de pourcentage et le sens de l'expression «% de» Savoir appliquer un taux de pourcentage. I. Proportionnalité.. Étymologie et Définition Du grec pro (pour) et portio (part, rapport) repris en latin par proportio (rapport et analogie) et onis (tout) : par analogie au tout. Donc le mot proportion désigne le rapport entre les parties d'une chose Alain Rey, Dictionnaire historique de la langue française, éditions Le Robert Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on peut passer de la première à la seconde en la multipliant par un même nombre non nul, appelé coefficient de proportionnalité. Lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, on dit que l on a une situation de proportionnalité. Exemple : Le prix payé est proportionnel au nombre de crayons achetés. Le coefficient de proportionnalité (,3) permet d'obtenir le prix payé à partir du nombre de crayons achetés. On a donc une situation de proportionnalité. On peut la représenter par un tableau de proportionnalité. : => Lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, on peut appliquer les propriétés de la proportionnalité pour trouver les valeurs prises par l'une à partir des valeurs prises par l'autre. Remarque : lorsque deux grandeurs ne sont pas proportionnelles (exemples : masse et âge, taille et âge), on ne peut pas appliquer les propriétés de la proportionnalité. II. Savoir utiliser une situation de proportionnalité Trois méthodes Exemple : calculons le prix de 23,2 g de café (échantillon n 2), sachant que le prix d'un échantillon de café de g (échantillon n ) est de 0, 'Passage par l'unité' et 'règle de trois' a. Passage par l'unité Principe : il s'agit de calculer le prix d g de café. Il suffit ensuite de multiplier ce prix «à l unité» appelé coefficient de proportionnalité par le nombre de grammes de café pour obtenir le prix : Lycée les Méharées page / 5

2 - étape on passe par l'unité: le prix de g de café est 0,5, donc g coûte 0,025. En effet : prix del ' échantillon de café n prix d ' g de café= massede l ' échantillon de café n = 0,5 =0,025 - étape 2 : g de café coûte 0,025, donc 23,2 g de café coûtent 3,078. En effet : prix de23,2 g de café= prix de g de café masse de l ' échantillonde café n 2=0,025 23,2=3,078 b. Règle de 3 (produit en croix) Les deux étapes de la méthode précédentes peuvent être regroupées en une seule étape, avec la méthode dite de la 'règle de 3' : Prix de 23,2 g de café = masse de l ' échantillonde café n 2 ( = 23,2 ( 0,5 ) = 3,078 prix del ' échantillon decafé n massede l ' échantillon de café n ) L'application de la 'règle de 3' peut être présentée dans un tableau de proportionnalité à quatre cases. Pour trouver la valeur de la 4ème case, nous effectuons un 'produit en croix' : Masse de l'échantillon de café (en g) Prix de l'échantillon de café (en ) 0,5 23,2 = 23,2 0,5 = 3, Rapport de linéarité g de café coûtent 0,5. Pour trouver le prix de g de café, on utilise le tableau de proportionnalité et le rapport de linéarité. Ici, on passe de la première colonne à la seconde en multipliant la première par 0. Donc, si la masse de café est multipliée par 0 ( = x 0), le prix du café sera lui aussi multiplié par 0 (0,5 x 0 = 5) : le prix de g de café est de Pour passer de la seconde colonne à la troisième, on multiplie la seconde colonne par soit 3, etc. Masse du paquet de café (en g) Prix du paquet de café (en ) ,5 0,5 x 0 = Coefficient de proportionnalité Les nombres de la deuxième ligne s'obtiennent en multipliant par un MEME nombre ceux de la première ligne. Ce nombre s'appelle coefficient de proportionnalité. Lycée les Méharées page 2 / 5

3 Masse du paquet de café (en g) Prix du paquet de café (en ) , prix du paquet de café=masse du paquet decafé coefficient de proportionnalité = masse du paquet decafé (. ) => Un paquet de 60 g de café coûte.. III. Notion d échelle Définition : Lorsque sur un plan les distances sont proportionnelles aux distances réelles, on dit que le plan est «à l échelle». Le coefficient de proportionnalité permettant de passer des distances réelles aux distances sur le plan (exprimées avec la même unité) s appelle l échelle du plan. IV. Proportionnalité et taux de pourcentage 4.. Définition Un pourcentage est un nombre qui correspond à l'expression du rapport entre les effectifs de deux ensembles au moyen d'une fraction de cent (dont le dénominateur est ). En général, ce nombre est suivi du signe %. «pourcent» (ou %) cela veut littéralement dire «pour», soit «sur», donc. Exemples : Ici, nous avons colorié % de cette ligne ( carreau sur ) 50% signifie "50 pour ", c'est à dire "50 sur " (50% de cette boîte est coloriée) 25 % signifie "25 pour ", c'est à dire "25 sur " (25% de cette boîte est coloriée) % signifie " pour ", c'est à dire " sur ", soit l'integralite Lycée les Méharées page 3 / 5

4 => Si l'on dit que dans une corbeille de fruits secs il y a 25 % d'amandes (en masse), cela veut dire que la masse d'amande est proportionnelle à la masse totale de fruits secs et que dans g de fruits secs, il y a 25 g d'amandes. => Si l'on dit qu'une boisson fruitée contient 40 % d'eau (en volume), cela veut dire que le volume d'eau est proportionnel au volume total de la boisson et que dans L de boisson, il y a.. L d'eau. => Si l'on dit qu'un sac de billes contient 70 % de billes vertes, cela veut dire que le nombre de billes vertes et proportionnel au nombre total de billes et que si le sac contient billes, il y a en qui sont vertes Calculer un pourcentage => Pour calculer le pourcentage que représente une partie par rapport au tout, on divise la valeur partielle par la valeur totale et on multiplie par. Exemple : dans un gâteau pesant g, il y a 40 g de sucre. Le pourcentage P de sucre contenu dans le gâteau masse du sucre est de %. En effet : P (en %) = masse totale du gâteau x = 40 x = On peut également utiliser la méthode du coefficient de proportionnalité : Masse du gâteau (en g) 40 x Masse de sucre (en g) 40 ou la 'règle de 3' (produit en croix): Masse du gâteau (en g) Masse de sucre (en g) = Pour g de gâteau, la masse de sucre est de g, donc P = % Pour g de gâteau, la masse de sucre est de g, donc P = % Appliquer un pourcentage à un nombre Prendre % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par (multiplier par et diviser par ). Exemples : % de 300 = x 300 = 3 x % de 70 = x 70 = 7 0 x % de = x = 2 % de 80 = 2 x =. 5% de 40 = x 40 =.. 4 % de = x.. =. 50 % de 230 = x 230 = % de 60 = x. =.. 0 % de = 0 x =.. % de 470 = x.. = % de 50 =. x 50 = % de =. x.. = Application : si un yaourt de 25 g contient % de fruits, alors, pour calculer la masse de fruits contenus dans ce yaourt, on prend % de 25, c'est à dire que l'on multiplie 25 par : 25 x = 25 Il. y a donc 25 g de fruits dans le yaourt Lycée les Méharées page 4 / 5

5 Remarque : pour prendre % d'un nombre, on peut également utiliser les méthodes du coefficient de proportionnalité et de la règle de Nombre décimal, fraction et pourcentage Une portion d'un tout peut s'écrire de plusieurs manières : On passe à une fraction de En français Comme une fraction Comme un nombre décimal Comme un pourcentage Un quart 4 0,25 ( 25 % 4 = 25 ).% Onze vingtièmes ( =.. = ) On divise par 4.5. Parties d'un tout et pourcentage Si l'on somme les pourcentages correspondants à toutes les parties d'un tout, on obtient %. Exemple du sac de billes : Billes Nombre Pourcentage correspondant (%) Rouges Vertes 85 Bleues x =. (%) x =. (%) =. (%) TOTAL (somme) 250. (%) La somme des pourcentages de tous les billes fait..% Lycée les Méharées page 5 / 5