Produit cartésien de deux intervalles (Document de préparation #1)

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1 Produit cartésien de deux intervalles (Document de préparation #1) Le produit cartésien de deux intervalles A et B, noté A x B, est l'ensemble de tous les couples dont la première coordonnée est un élément de l'intervalle A et dont la seconde coordonnée est un élément de l'intervalle B. Il est très facile de représenter graphiquement le produit cartésien de deux intervalles. Il suffit en effet de considérer les points du plan dont l'abscisse est dans A et dont l'ordonnée est dans B. Exemple 1 Représenter graphiquement le produit cartésien [-4, 3[ x ]-2, 5]. Solution : 1

2 Voilà! Il n'est pas plus compliqué de représenter graphiquement le produit cartésien de deux intervalles. Aimeriez-vous essayer à votre tour? Voici l'occasion de vous exercer. Exemple 2 Solution : Représenter graphiquement le produit cartésien ]2, x ]-3, 4]. 2

3 Si vous avez bien suivi les étapes menant à la représentation graphique d'un produit cartésien, vous avez certainement obtenu un résultat semblable à celui-ci: 3

4 2 Notation fonctionnelle Vous savez déjà ce qu'est une fonction, c'est-à-dire une relation qui a la particularité d'associer à toute valeur de l'ensemble de départ au plus une valeur de l'ensemble d'arrivée. Dans cette section, vous vous familiariserez avec les deux façons les plus courantes de définir une fonction: la définition en compréhension; la notation fonctionnelle. Définition en compréhension d'une fonction On définit souvent une fonction en compréhension. La définition en compréhension d'une fonction comporte: le nom de la fonction, c'est-à-dire la lettre qui sert à la désigner ; l'ensemble de départ, c'est-à-dire l'ensemble d'où proviennent les valeurs de x; l'ensemble d'arrivée, c'est-à-dire l'ensemble d'où proviennent les valeurs de y; la règle de la fonction, c'est-à-dire la condition liant les x et les y des couples de la fonction. Exemple Il ne faut pas vous étonner de lire f(x) au lieu de / dans la règle de la fonction. En effet, f (x) désigne tout simplement l'image de x par la fonction f: f (x) est donc l'équivalent de y. C'est une notation particulière aux fonctions. Vous en prendrez vite l'habitude. 4

5 Notation fonctionnelle Maintenant que vous savez en quoi consiste la description en compréhension d'une fonction, voici une autre façon de définir une fonction: on l'appelle la notation fonctionnelle. Cette nouvelle façon de définir une fonction s'apparente grandement à la définition en compréhension. Avec un exemple, il vous sera très facile de repérer les mêmes renseignements que ceux que vous trouvez dans une description en compréhension. Exemple En somme, on trouve dans la notation fonctionnelle exactement les mêmes renseignements que dans la description en compréhension: le nom de la fonction, son ensemble de départ, son ensemble d'arrivée et la règle de correspondance qui permet d'établir ses couples. Comme l'indique son nom, la notation fonctionnelle est réservée exclusivement aux relations qui sont des fonctions, c'est-à-dire aux relations qui associent à chaque valeur de x au plus une valeur de y. La notation fonctionnelle vous paraît un peu compliquée? C'est tout simplement une question d'habitude. Voici un exemple qui vous aidera à vous y retrouver. Exemple 1 5

6 Solution Avant de déterminer la notation fonctionnelle de la relation f, dressons la liste des renseignements fournis dans sa description en compréhension: En utilisant la notation fonctionnelle, on obtient: Vous avez bien suivi? Voici l'occasion d'en faire la preuve. À vous de compléter l'exemple qui suit. Exemple 2 Solution Dressons d'abord la liste des renseignements fournis dans la définition en compréhension: Nom de la fonction : Ensemble de départ: Ensemble d'arrivée: Règle de la fonction: Nous disposons maintenant de tous les renseignements nécessaires pour établir la notation fonctionnelle: 6

7 Si vous avez prêté attention aux détails, vous avez certainement obtenu la notation suivante: Comme vous le voyez, la notation fonctionnelle n'a rien de compliqué! Nous pourrons désormais utiliser l'une ou l'autre de ces deux façons de définir une fonction. Voyons immédiatement à l'aide d'un exercice si vous avez bien assimilé la description en compréhension et la notation fonctionnelle d'une fonction. 7

8 La fonction affine (Document de préparation #1) Commençons notre étude des principaux types de fonctions par la fonction affine, avec laquelle vous avez déjà eu l'occasion de vous familiariser. On reconnaît facilement cette fonction à son équation de la forme f (x) = ax+ b. Sa représentation graphique est une droite dont l'inclinaison dépend de la valeur de a dans la règle de la fonction. Cette valeur de a, qu'on appelle le taux de variation de la fonction, correspond tout simplement à la pente de la droite. Quant au paramètre b, il désigne la valeur de l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire la valeur de la seconde coordonnée du point de rencontre de la droite avec l'axe vertical. Vous pouvez observer sur les figures ci-dessous que: a > 0 plus la valeur de a s'éloigne de 0, plus la droite se rapproche de la verticale; plus la valeur de a se rapproche de 0, plus la droite se rapproche de l'horizontale. a < 0

9 Caractéristiques de la fonction affine Analysons maintenant les caractéristiques de la représentation graphique d'une fonction affine dont la règle est f ( x ) = ax + b (pour a 0), considérée dans RxR. Notez que cette même valeur sert à délimiter l'intervalle sur lequel la fonction est positive et l'intervalle sur lequel elle est négative. Étudions maintenant, à l'aide de quelques exemples, les caractéristiques de fonctions affines limitées par un produit cartésien donné. 9

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12 Pause calculatrice 12

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15 La fonction quadratique (Document de préparation #1) On reconnaît facilement la fonction quadratiques sa règle sous la forme canonique f{x) = a( x - h) 2 + k ou sous la forme générale f(x) = ax 2 + bx + c. Sa représentation graphique est une parabole dont l'orientation dépend du signe de la valeur du paramètre a Le paramètre a indique le facteur de dilatation verticale de la courbe: plus la valeur de a se rapproche de 0, plus la parabole est évasée; plus la valeur de a s'éloigne de 0, plus la parabole est étroite. Les valeurs des paramètres h et k désignent les coordonnées du sommet de la parabole: h désigne la valeur de x au sommet et k, la valeur de y au sommet. Ces deux paramètres indiquent la mesure de la translation horizontale et de la translation verticale à effectuer sur chacun des points de la parabole d'équation f (x) - ax 2. Nous reviendrons sur ces transformations géométriques dans un exemple. Observons pour le moment l'influence de la valeur du paramètre a sur l'ouverture et sur l'orientation de la courbe. 15

16 Caractéristiques de la fonction quadratique 16

17 Dans le cas où la fonction quadratique comporte un seul zéro, l'unique point de rencontre de la parabole avec l'axe des x coïncide avec le sommet de la parabole. La fonction est alors positive sur tout son domaine ou négative sur tout son domaine : Si la fonction quadratique ne comporte aucun zéro, la parabole correspondante ne croise pas du tout l'axe des x. On peut alors observer une fonction strictement positive sur tout son domaine ou une fonction strictement négative sur tout son domaine: Vous connaissez à présent toutes les propriétés de la fonction quadratique. Vous pouvez utiliser ces connaissances pour déterminer quelques caractéristiques de la représentation graphique d'une fonction quadratique limitée au produit cartésien d'un ensemble de départ et d'un ensemble d'arrivée. 17

18 Pause calculatrice 18

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21 La fonction valeur absolue (Document de préparation #1) On reconnaît facilement la fonction valeur absolue à son équation de la forme. Rappel La valeur absolue d'un nombre x, que l'on note x, est égale à la valeur que l'on obtient si l'on ne tient pas compte du signe de ce nombre. La valeur absolue d'un nombre est donc toujours positive, quel que soit le nombre donné. Considérons la fonction valeur absolue la plus simple, c'est-à-dire celle dont la règle est f ( x ) = x. Déterminons les coordonnées de quelques points de la représentation graphique de cette fonction, puis situons-les sur un plan cartésien. On reconnaît facilement la représentation graphique d'une fonction valeur absolue: il s'agit de deux demi-droites qui se rencontrent en un point, le sommet, en formant un «V». Ce «V» peut être orienté aussi bien vers le haut que vers le bas, selon le signe de la valeur du paramètre a. Observez, encore une fois, que plus la valeur de a se rapproche de 0, plus le «V» est évasé; plus la valeur de a s'éloigne de 0, plus le «V» est étroit. En observant les représentations graphiques ci-dessous, vous remarquerez que la valeur numérique de a nous donne un indice sur la pente des deux demi-droites. En effet, l'une des demi-droites a pour pente a> et l'autre, - a. 21

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23 Caractéristiques de la fonction valeur absolue Analysons maintenant les caractéristiques de la représentation graphique d'une fonction valeur absolue. Comme pour la fonction quadratique, la représentation graphique de la fonction valeur absolue comporte un sommet dont les coordonnées sont (h, k) et un axe de symétrie dont l'équation e s t x = h. 23

24 Dans le cas où la fonction valeur absolue comporte un seul zéro, l'unique point de rencontre de la courbe avec l'axe des x coïncide avec le sommet de la représentation graphique. La fonction est alors soit positive, soit négative, sur tout son domaine. Si la fonction valeur absolue ne comporte aucun zéro, la courbe ne croise pas du tout l' axe des x. La fonction est alors soit strictement positive, soit strictement négative, sur tout son domaine. Vous connaissez à présent toutes les propriétés de la fonction valeur absolue. Vous pouvez utiliser ces connaissances pour déterminer quelques caractéristiques de la représentation graphique d'une fonction valeur absolue limitée au produit cartésien d'un ensemble de départ et d'un ensemble d'arrivée. Exemple 1 24

25 Solution La fonction f définie par la règle f (x) = -2 x est une fonction valeur absolue. Les valeurs des paramètres a, h et k nous permettront de tracer la représentation graphique de cette fonction : Effectuons tour à tour les transformations géométriques qui nous permettront d'obtenir la représentation graphique de f dans R x R : Maintenant que nous avons représenté la fonction dans R x R, il ne nous reste plus qu'à limiter la représentation graphique en fonction de l'ensemble de départ et de l'ensemble d'arrivée. Voici la représentation de la fonction f dans -, 4] x -, 3[: 25

26 Nous pouvons à présent répondre aux questions. Pour déterminer le domaine de f, il faut calculer les valeurs de x pour lesquelles l'image par la fonction f serait 3, car ce sont précisément ces points ouverts qui délimitent en hauteur la courbe représentant la fonction: Les zéros de f sont les valeurs de x qui correspondent à une image de 0. Pour déterminer ces valeurs, on pose f (x) égal à 0 dans la règle de la fonction et l'on résout l'équation ainsi obtenue: Les zéros de la fonction sont donc 3 et -1. Le minimum de f est inexistant puisque la courbe se prolonge indéfiniment vers le bas. L'intervalle de décroissance de f est l'intervalle situé à droite du sommet. Il s'agit de l'intervalle,4 Les intervalles sur lesquels f est négative sont délimités par les zéros de la fonction. Il s'agit des intervalles -, -1] et [3, 4]. On obtient l'image par f de la valeur -5 en substituant à x la valeur -5 dans la règle de la fonction : 26

27 L'image par f de la valeur -5 est donc -8. Comme vous pouvez le constater, les fonctions valeur absolue n'ont rien de compliqué. Vous saurez certainement compléter l'exemple suivant. Exemple Solution 27

28 Observons les transformations géométriques qui mènent à la représentation de la fonction g dans R x R: Il ne vous reste plus qu'à limiter la représentation graphique de la fonction à l'aide de son ensemble de départ et de son ensemble d'arrivée. Tracez ci-dessous la représentation de la fonction g dans -, 5[ x R : 28

29 Calculons en premier lieu les zéros de la fonction en posant g (x) = 0 dans la règle. 29

30 Le terme constant étant positif, on doit considérer deux solutions: 30

31 La fonction partie entière (Document de préparation #1) La règle d'une fonction partie entière est de la forme f (x) = a [ b ( x - h)] + k. La représentation graphique d'une fonction partie entière est assez spectaculaire, puisqu'elle a la forme d'un escalier. On définit la partie entière d'un nombre x, notée [x], comme étant x lui-même si x est un entier, et l'entier immédiatement inférieur à x si x n'est pas un entier. Considérons la plus simple des fonctions partie entière, soit la fonction dont la règle est f(x) = [x]. Tout nombre de l'intervalle [0,1[ a pour image O, car l'entier immédiatement inférieur à tout nombre compris entre 0 et 1 est 0. Tout nombre de l'intervalle [1, 2[ a pour image 1, car l'entier immédiatement inférieur à tout nombre compris entre 1 et 2 est 1. Tout nombre de l'intervalle [2, 3[ a pour image 2, car l'entier immédiatement inférieur à tout nombre compris entre 2 et 3 est 2. 31

32 Le sens de l'escalier, de même que la nature des extrémités, fermées ou ouvertes, des segments, dépendent des valeurs des paramètres a et b, comme vous pouvez l'observer sur les figures suivantes: La règle de la fonction partie entière comporte quatre paramètres. Outre les paramètres a, h et k dont vous connaissez déjà les effets sur la représentation graphique d'une fonction, on y trouve le paramètre b dont l'inverse de la valeur indique le facteur de changement d'échelle horizontal. Cette valeur de correspond à la longueur de chacun des paliers de la représentation graphique. Il ne faut pas confondre cette valeur avec celle du paramètre a qui, elle, indique l'espacement vertical entre deux paliers de la représentation graphique. Nous nous attarderons à ces transformations géométriques lors d'un prochain exemple. Concentrons-nous pour le moment sur les caractéristiques de la fonction partie entière considérée dans R x R. 32

33 Caractéristiques de la fonction partie entière L'image d'une fonction partie entière est limitée à certaines valeurs. Par exemple, la fonction f(x) = [x], considérée précédemment, a pour image, car tous les nombres entiers, et seulement ces nombres, peuvent être l'image d'une valeur réelle quelconque:. 33

34 Exemple 1 Solution (

35 Il ne reste plus qu'à limiter la représentation graphique de la fonction à l'aide de son ensemble de départ et de son ensemble d'arrivée. Voici la représentation de la fonction f dans [-3, : 35

36 Exemple 2 Solution Avant toute chose, déterminons les valeurs des paramètres qui nous permettront de tracer la représentation graphique de la fonction g: Vous avez peut-être remarqué que le facteur de changement d'échelle horizontal, 2, est l'inverse de la valeur de b,. C'est toujours l'inverse de la valeur de b qui détermine le facteur de changement d'échelle horizontal. 36

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38 La fonction racine carrée (Document de préparation #1) Comme son nom l'indique, la fonction racine carrée est une fonction qui comporte une racine carrée:. Considérons la fonction racine carrée la plus simple, c'est-à-dire celle dont la règle est. Déterminons les coordonnées de quelques points de la représentation graphique de cette fonction, puis situons-les sur un plan cartésien. La représentation graphique d'une fonction racine carrée a la forme d'une demi-parabole horizontale dont le sommet a pour coordonnées (h, k). 38

39 Caractéristiques de la fonction racine carré Voyons maintenant quelques exemples de fonctions racine carrée dont la représentation graphique est limitée par le produit cartésien d'un ensemble de départ et d'un ensemble d'arrivée. Exemple 1 Effectuons les transformations géométriques qui nous permettront d'obtenir la représentation graphique de la fonction f dans R x R: 39

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43 Exemple 2 Solution Les valeurs des paramètres de la fonction nous permettront d'en tracer la représentation graphique : Effectuons tour à tour les transformations géométriques qui nous permettront d'obtenir la représentation graphique de la fonction g dans R x R: 43

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46 La fonction rationnelle (Document de préparation #1) Dans la règle de la fonction rationnelle, la variable x se trouve au dénominateur:. La représentation graphique d'une fonction rationnelle a la forme d une hyperbole. Considérons la fonction rationnelle la plus simple, c'est-à-dire celle dont la règle est. Déterminons les coordonnées de quelques points de la représentation graphique de cette fonction, puis situons-les sur un plan cartésien. 46

47 Caractéristiques de la fonction rationnelle 47

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50 Exemple 2 50

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54 Croissance d une fonction (Document de préparation #1) 54

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57 Pause calculatrice (Document de préparation #1) 57

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60 Réciproque d une fonction définie à l aide de son graphique (Document de préparation #2) La réciproque d'une fonction f, que l'on note f -1 est la relation qu'on obtient lorsqu'on intervertit les rôles de x et de y. Il est fort simple d'obtenir la réciproque d'une fonction f à l'aide de son graphique. Il suffit en effet, pour chaque couple apparaissant sur la représentation graphique, de permuter les coordonnées. Lisez bien ce qui suit, et vous verrez que ce n'est pas compliqué! Pour représenter la réciproque d'une fonction à l'aide d'un plan cartésien : on détermine les coordonnées de quelques couples qui composent la fonction; on permute les coordonnées de chacun de ces couples; on situe, sur un plan cartésien, les couples ainsi obtenus. La réciproque d'une fonction peut être une fonction, mais ce n'est pas toujours le cas. C'est ce que vous aurez l'occasion de découvrir en explorant les exemples suivants. Exemple 1 Représenter à l'aide d'un graphique la réciproque de la fonction f illustrée ci-dessous et déterminer si la relation f -1 est fonctionnelle ou non. 60

61 Il ne nous reste plus qu'à situer sur un plan cartésien les points ainsi obtenus pour tracer le graphique de la réciproque de la fonction f. Notez qu'un point ouvert dans la fonction donne également un point ouvert dans sa réciproque. De la même façon, un point fermé dans la fonction donne un point fermé dans sa réciproque. Déterminons à présent s'il s'agit ou non d'une fonction. Pour ce faire, on trace des droites verticales en différents endroits du plan. Comme ces droites rencontrent au plus un point de la représentation graphique, alors f 1 est bien une fonction. 61

62 Voyons si vous pourrez compléter l'exemple suivant avant de vous attaquer à un exercice. Exemple 2 Représenter à l'aide d'un graphique la réciproque de la fonction g illustrée ci-dessous et déterminer si la relation gr 1 est fonctionnelle ou non. Pour obtenir les couples correspondants de la réciproque, on intervertit simplement leurs coordonnées. 62

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64 Réciproque d une fonction définie en compréhension ou à l aide de la notation fonctionnelle (Document de préparation #2) Dans cette section, vous apprendrez à déterminer la réciproque d'une fonction lorsque celle-ci est décrite en compréhension ou à l'aide de la notation fonctionnelle. Pour définir en compréhension ou à l'aide de la notation fonctionnelle la réciproque d'une fonction : on remplace, par commodité, f(x) par la variable y dans la règle de correspondance; on intervertit les variables x et y dans la règle de correspondance; on isole la variable y dans la nouvelle expression pour obtenir la règle de correspondance de f 1 ; on énonce le résultat en compréhension ou à l'aide de la notation fonctionnelle en ayant soin de permuter l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée. Cette méthode vous permettra de déterminer la réciproque de quelques-unes des fonctions que vous avez déjà étudiées: la fonction affine; la fonction quadratique; la fonction racine carrée. Réciproque d'une fonction affine Il est facile de déterminer la réciproque d'une fonction affine lorsqu'on connaît les règles du jeu. Observez bien l'exemple ci-dessous pour découvrir la marche à suivre. Exemple 1 64

65 À partir de cet exemple, nous pouvons faire une observation au sujet des réciproques des fonctions affines. Règle La réciproque d'une fonction affine d'équation f ( x ) = ax + b où a 0 est toujours une fonction affine. Réciproque d'une fonction quadratique Nous abordons maintenant la réciproque des fonctions quadratiques. Ces dernières se comportent de façon capricieuse, donnant quelquefois une réciproque fonctionnelle, quelquefois une réciproque non fonctionnelle. Rien de tel qu'un exemple pour bien saisir les subtilités de telles fonctions. Exemple 1 65

66 Voyons à quoi ressemblent le graphique de la fonction f et celui de sa réciproque: 66

67 On constate que la réciproque d'une fonction quadratique est une relation racine carrée. Bien sûr, cette réciproque n'est pas une fonction, car plusieurs droites verticales croisent la courbe en plus d'un point. Dans certains cas, cependant, la réciproque d'une fonction quadratique est une fonction. C'est ce que vous permettra de découvrir l'exemple qui suit. Exemple 2 67

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74 Résolution d équation comportant une valeur absolue (Document de préparation #3) Vous savez déjà comment résoudre des équations du premier et du deuxième degrés. Il est maintenant temps pour vous d'apprendre à résoudre d'autres types d'équations. Nous commencerons par les équations comportant une valeur absolue. Vous vous souvenez sûrement que la valeur absolue d'un nombre est la valeur de ce nombre lorsqu'on ne tient pas compte de son signe. Calculer la valeur absolue d'un nombre consiste donc à transformer ce nombre en une valeur positive. Si le nombre est déjà positif ou nul, sa valeur absolue est ce même nombre; s'il est négatif, on change simplement son signe afin qu'il devienne positif. On représente la valeur absolue par deux barres verticales placées de part et d'autre du nombre ou de l'expression. 74

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78 Résolution d équation comportant une racine carré (Document de préparation #3)

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81 Recherche de la règle d une fonction affine (Document de préparation #4)

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83 Recherche de la règle d une fonction quadratique (Document de préparation #4)

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86 Recherche de la règle d une fonction valeur absolue (Document de préparation #4)

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89 Recherche de la règle d une fonction racine carré (Document de préparation #4)

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92 Résolution de problème nécessitant l application de notions liées aux fonctions réelles (Document de préparation #5)

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95 Pause calculatrice

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