MPS COURS N 2 MATH. Construction de la gamme de Pythagore

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1 MPS COURS N 2 MATH Construction de la gamme de Pythagore 1. Où on définit l'intervalle l'octave. - 1 ère et 2 ème harmoniques L octave est l intervalle de son entre la première et la deuxième harmonique : Une octave est l intervalle entre 2 notes de fréquence F et 2F. Augmenter une note d une octave revient à multiplier sa fréquence par 2. Diminuer une note d une octave revient à diviser sa fréquence par 2. On va repérer les notes sur une échelle (figure 1 en annexe): On appelle DO 0 la note de fréquence 32,7 hertz (abréviation Hz) DO 1 sera une octave au dessus de DO 0 soit de fréquence 65,4 Hz (32,7 2) 2. Où on définit les intervalles la quinte et la quarte. - 3 ème harmonique et 4 ème harmonique La quinte est l intervalle de son entre la deuxième et la troisième harmonique. C est l intervalle entre les notes de fréquence 2F et 3F. La quarte est l intervalle de son entre la troisième et la quatrième harmonique. C est l intervalle entre les notes de fréquence 3F et 4F. Augmenter une note d une quinte revient à multiplier sa fréquence par Diminuer une note d une quinte revient à multiplier sa fréquence par Augmenter une note d une quarte revient à multiplier sa fréquence par Diminuer une note d une quarte revient à multiplier sa fréquence par Question 1: Déterminer les fréquences des différents DO jusqu'à DO 6 Notes DO 0 DO 1 DO 2 DO 3 DO 4 Fréquence (Hz) 32,7 65,4.... Fréquence (2 n D) D 2D=2 1 D 4D=2 2 D 8D=2. D 16D=2. D D représentera 32,7 Hz (fréquence du DO 0 ) Les notes dont la fréquence est dans [D;2D[ sont dans l'octave N 0. Celles dont la fréquence est dans [2D;4D[ sont dans l'octave N 1. Les notes dont la fréquence est dans [4D;8D[ sont dans l'octave N 2 etc : Question 3: Justifier qu ajouter successivement une quinte et une quarte revient à ajouter une octave ( 1 octave = 1 quinte + 1 quarte). Question 4: Compléter les phrases suivantes par des fractions irréductibles: Les notes dont la fréquence est dans [. ; [ sont dans l'octave N n. Question 2: L'oreille humaine perçoit les sons entre 20 Hz et Hz. Quel est le Do le plus aigu que l'oreille puisse entendre? Combien d'octaves peut-on entendre? Augmenter une note de 2 quintes revient à multiplier la fréquence de la note par = = 3 2 (écriture fractionnaire, décimale, puissances de 3 et 2) Augmenter une note de 3 quintes revient à multiplier la fréquence de la note par = = 3 2 Augmenter une note de 4 quintes et la diminuer de 3 octaves revient à multiplier la fréquence de la note par = = 3 2

2 3. Où on définit les notes de la gamme diatonique : cycle de quintes. On définit les notes suivantes : DO + 1 quinte = SOL DO + 2 quintes = RE DO + 3 quintes = LA DO + 4 quintes = MI DO + 5 quintes = SI DO - 1 quinte = FA Question 5: Placer ces notes dans la figure 1, en précisant le n d octave. On va ramener toutes ces notes dans l octave 0 (Figure 2). Dans cette figure, la flèche indique la longueur de la quinte ; utiliser cette flèche pour placer SOL. On place RE en ajoutant une quinte à SOL qu on ramène dans l octave en lui enlevant une octave. En partant de DO 0, on obtient : DO 0 +1 quinte a pour fréquence D 3/2 = 1,5 D = D = 49,05 Hz. Cette note est dans l octave 0, donc SOL 0 a pour fréquence D. Le coefficient de SOL 0 est 3/2 (ou 1,5 ou ). Indiquer sur la figure 1 la fréquence et le coef de SOL 0. De la même façon, on a : DO 0 +2 quintes a pour fréquence D 3/2 3/2 = 2,25 D = D 73,6 Hz. Cette note est dans l octave 1, donc RE 1 a pour fréquence D. Le coefficient de RE 1 est 9/4 (ou 2,25 ou ). Indiquer sur la figure 1 la fréquence et le coef de RE 1. Question 6: Indiquer sur la figure 1, en précisant le n d octave, la fréquence et le coef de LA, MI, SI et FA. LA a pour fréquence Hz et pour coef = 3.2 MI a pour fréquence Hz et pour coef = 3.2 SI a pour fréquence Hz et pour coef = 3.2 FA a pour fréquence Hz et pour coef = 3.2 RE 1 a pour fréquence 2,25 D ( 73,6 Hz) et coefficient 9/4 = ; donc RE 0 a pour fréquence 1,125 D ( 36,8 Hz) et coefficient 9/8 = Question 7: Construire (sur la figure 2) de la même façon les autres notes de la gamme diatonique (LA, MI, SI, FA). En même temps, Calculer pour chacune de ces notes (de l octave 0) la fréquence et le coefficient ; placer les coef (sous forme de fraction et décimale) dans la figure 2. Notes DO RE MI FA SOL LA SI DO Fréq.(Hz) 32,7 36,8 49,05 65,4 Coef /1 1, /8 1, / /1

3 4. Où on définit de nouveaux intervalles : le ton, le limma,le comma et le dièse. On voit que les notes sur l octave délimitent deux sortes d intervalles : L intervalle *DO ;RE] appelé le TON et l intervalle *MI ;FA] appelé le LIMMA. Question 9: Vérifier que : 1 Quinte = 1 Quarte + 1 TON et 1 Quarte = 2 TONS + 1 LIMMA Ajouter 1 quarte puis 1 ton, c est multiplier par.../.../ =.../ = coef Quinte Ajouter 2 tons puis 1 limma, c est multiplier par (.../ )².../ =.../ = coef Quarte Pour passer de DO (coef=1) à RE (coef=9/8), on multiplie par 9/8 = Pour passer de MI (coef= ) à FA (coef=..), on multiplie par.. = 3.2 Augmenter une note d un ton revient à multiplier sa fréquence par 9/8= Diminuer une note d un ton revient à multiplier sa fréquence par 8/9= Augmenter une note d un limma revient à multiplier sa fréquence par. Diminuer une note d un limma revient à multiplier sa fréquence par. Question 10: Vérifier que : 2 Limmas est un intervalle plus petit qu un ton : Ajouter 2 limma, c est multiplier par (.../ )²=.../ =. < = coef ton Question 8: Vérifier que les intervalles [RE ;MI], [FA ;SOL], [SOL ;LA] et [LA ;SI] sont des TONS et l intervalle [SI ;do] est un LIMMA. Coef MI = 3.2, Coef RE = 3.2 Pour passer de RE à MI, on multiplie par (3.2 )/(3.2 )=3.2 = 1 TON Coef SOL = 3.2, Coef FA = 3.2 Pour passer de FA à SOL,on multiplie par (3.2 )/(3.2 )=3.2 = 1 TON Coef LA = 3.2, Coef SOL = 3.2 Pour passer de LA à SOL,on multiplie par (3.2 )/(3.2 )=3.2 = 1 TON Coef SI = 3.2, Coef LA = 3.2 Pour passer de LA à SI, on multiplie par (3.2 )/(3.2 )=3.2 = 1 TON Coef do = 3.2, Coef SI = 3.2 Pour passer de SI à do, on multiplie par (3.2 )/(3.2 )=3.2 = 1 LIM. On appelle COMMA l intervalle 1 TON 2 LIMMA. Vérifier qu un comma a pour coefficient Coef de 1 TON 2 LIMMA = (3.2 )/(3.2 )² = 3.2 Augmenter une note d un comma revient à multiplier sa fréquence par Diminuer une note d un comma revient à multiplier sa fréquence par L intervalle DIESE est égal à 1 LIMMA + 1 COMMA. Le coefficient d un DIESE est = = 2187/2048 1, Augmenter une note d un dièse (diéser une note Note # ) revient à multiplier sa fréquence par Diminuer une note d un dièse (bémoliser une note Note b ) revient à multiplier sa fréquence par

4 Question 11: Calculer les coefficients de D0 #, RE #, FA #, SOL #, LA # et RE b, MI b, SOL b, LA b, SI b de l octave 0. Notes # DO # RE # FA # SOL # LA # Coef. Notes b RE b MI b SOL b LA b SI b Coef. 5. Où on construit la gamme chromatique sur la figure 2. On avait vu que DO + 5 quintes = SI. Continuons le cycle des quintes : Soit N la note = SI quinte. Le coef de N est /2 = ,84. N est dans l octave 1 : c est N 1. Le coef de N 0 est donc /2 = ,42. On peut vérifier que ce coef correspond à FA # : N = FA #. Placer FA # (=DO + 6 quintes) sur la figure 1. Construire FA # sur la figure 2 en ajoutant une quinte à SI puis en retirant 1 octave. 6. Les gammes majeures. La gamme de DO majeur est : DO-RE-MI-FA-SOL-LA-SI-DO. Les notes sont séparés par les intervalles : DO<- TON->RE<- TON->MI<- LIM->FA<- TON->SOL<- TON->LA<- TON->SI<- LIM->DO Une gamme majeure doit avoir les mêmes intervalles : La gamme de RE MAJEUR RE<- TON->MI<- TON->FA # <- LIM->SOL<- TON->LA<- TON->SI<- TON->DO # <- LIM->RE De la même façon on pourra vérifier (chez soi) que : DO + 7 quintes = DO # DO + 8 quintes = SOL # DO + 9 quintes = RE # DO + 10 quintes = LA # DO - 2 quintes = SI b DO - 3 quintes = MI b DO - 4 quintes = LA b DO - 5 quintes = RE b DO - 6 quintes = SOL b Placer toutes ces notes sur les figures 1 et 2. Ne pas oublier que 1 TON = 2 LIMMAS + 1 COMMA. Question 11: Déterminer les gammes majeures de MI et SI : MI<- TON-> <- TON-> <- LIM-> <- TON-> <- TON-> <- TON-> <- LIM->MI SI<- TON-> <- TON-> <- LIM-> <- TON-> <- TON-> <- TON-> <- LIM->SI

5 FIGURE 1 FIGURE 2 Intervalles Octave Quinte Quarte Dièse Ton Limma Comma Coef multiplicateur 2 1,5 = 3/2 = ,33..=4/3= Tableau des intervalles