b Fonction de transfert :

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1 II Filtre d ordre

2 II. Filtre d ordre E6 II. Filtres passe-haut d ordre a Exemple et étude asymptotique : À Basses Fréquences (ABF) le condensateur est un coupecircuit, donc i = 0 et = u R = 0. À Hautes Fréquences (AHF), le condensateur se comporte comme un fil, donc = ue. Ce circuit est bien un filtre passe-haut. b Fonction de transfert : H(jω) = U s R = U e R + jcω (par application du Diviseur de tension) H(jω) = jrcω + jrcω On peut introduire le temps caractéristique τ RC, et écrire : H(jω) = u e i C jτω + jτω Ou mieux, poser la pulsation propre ω 0 τ = RC et, la fréquence réduite x f f 0 = ω ω 0. Alors : H(jω) = jx + jx c Diagramme de Bode : α) Réponse en gain : ( ) x Comportement asymptotique en BF et en HF, sachant que G db 0 log H = 0 log : + x pour x (ω ω 0 ) : G db G db (ABF) = 0 log(x) asymptote à +0 db/déc passant par (0, 0). pour x = (ω = ω 0 ) : G db = 0 log( ) = 3 db. pour x (ω ω 0 ) : G db G db (AHF) = 0 asymptote horizontale passant par (0, 0). Cl : Les pulsations supérieures à la pulsation ω 0 (x > ) sont transmises avec une atténuation inférieure à 3 db, alors que les pulsations inférieures à ω 0 (x < ) sont atténuées de 0 db/déc. Ce filtre est un passe-haut d ordre, de pulsation de coupure ω 0 et dont la bande passante à 3 db est [ω 0, + [. b) Réponse en phase : φ = ϕ s ϕ e = arg (H) = arg (jx) arg ( + jx) = π arctan(x) pour x (ω ω 0 ) : φ φ(bf) = π asymptote à π R pour x = (ω = ω 0 ) : φ = π 4 pour x (ω ω 0 ) : φ φ(hf) = 0 asymptote horizontale. X G_dB X Réponse en gain et en phase avec diagrammes asymptotiques pour un passe-haut d ordre [email protected] http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/

3 E6 III. Filtres d ordre III Filtres d ordre http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/ [email protected]

4 E6 III. Filtres d ordre III. Filtres passe-bas d ordre a Exemple et étude asymptotique : À Basses Fréquences (BF) la bobine est un fil et le condensateur est un coupe-circuit, donc i = 0 et = u e. À Hautes Fréquences (HF), la bobine est un fil (donc i = 0) et le condensateur se comporte comme un fil, donc = 0. Ce circuit est bien un filtre passe-bas. b Fonction de transfert : H(jω) = U s jcω = U e R + jlω + jcω u e (Diviseur de tension) H(jω) = On peut introduire la pulsation propre (ω 0 LC ) et le facteur de qualité d un circuit (RLC) série; alors : H(jω) = + j x Q + (jx) R L C + jrcω + LC (jω). c Diagramme de Bode : α) Réponse en gain : Comportement asymptotique en BF et en HF, sachant que G db 0 log H = 0 log ( x ) + x Q pour x (ω ω 0 ) : G db G db (ABF) = 0 log() = 0 asymptote horizontale à 0 db. pour x = (ω = ω 0 ) : G db = 0 log(q). pour x (ω ω 0 ) : G db G db (AHF) = 40 log(x) asymptote à 40 db/déc. ) = 0 log (( x ) + x Q Cl : Les pulsations très supérieures à la pulsation ω 0 (x > ) sont atténuées de 40 db/déc, alors que les pulsations très inférieures à ω 0 (x < ) sont transmises avec une atténuation inférieure à 3 db. ( Q = Lω 0 R = ) RCω 0 Par contre, le facteur de qualité influe sur le comportement de la courbe au voisinage de ω = ω 0 ; l écart entre la courbe et le diagramme asymptotique pouvant devenir très important pour les grandes valeurs de Q. Étudions cette zone «sensible»... Le gain présente un maximum lorsque f(x) = ( x ) + x passe par un minimum. Q df La dérivée de cette fonction f(x) est : (x dx = x + Q ). Cette dérivée s annule pour : - x = 0, ce qui correspond au régime continu et n a ici aucun intérêt (puisque nous étudions un régime sinusoïdal), - x r = Q = ω r, ce qui correspond à la pulsation de résonance en tension aux bornes du ω 0 condensateur (improprement parfois appelée «surtension» aux bornes de C) : ω r = ω 0 Q Cette résonance (G db > 0 H = G > ) en tension aux bornes de la capacité n existe que pour Q > (car x r > 0!). http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/ [email protected]

5 III. Filtres d ordre E6 Deux cas sont donc à envisager : () Q > le gain en décibels présente un maximum positif pour une pulsation de résonance (en tension) ω r légèrement inférieure à la pulsation ω 0 (avec ω r ω 0 lorsque Q ) () Q < la courbe de gain ne présente pas de maximum : elle est toujours «en dessous» de ses asymptotes. Le cas () (existence d un maximum de G db ) n est pas du tout intéressant si l on désire réaliser un filtre car le gain d un filtre ne doit avoir que de faibles variations sur sa bande passante!! Ce circuit sera utilisé en tant que filtre passe-bas du nd ordre lorsque Q =. Alors, il s agit bien d un filtre passe-bas, de pulsation de coupure ω 0 (car G db (ω 0 ) G db (max) = 3 db) et dont la bande passante à 3 db est : [0;ω 0 ]. α) Réponse en phase : Comme H(jω) = + jrcω + LC (jω) = x + j Q = D = D x j D = Q D : ( φ = ϕ s ϕ e = arg (H) = arg x j x ) x Q et comme sinφ = < 0, donc : π < φ < 0 Q D Comme la fonction arctan est définie à π près, l expression littérale de φ dépend digne de son cosinus : - Si ( x ) > 0 (soit x < ), alors cos φ > 0 (soit π ( ) < φ < 0) et donc : φ = arctan x Q( x ) Donc, si x, la courbe admet une asymptote horizontale : φ(abf) = 0 -Si ( x ) < 0 (soit x > ), alors cos φ < 0 (soit π < φ < π ( ) ) x et donc : φ = π arctan Q( x ) Donc, si x, la courbe admet une asymptote horizontale : φ(ahf) = π La «rotation» de phase s effectue pour l essentiel autour de x = (ω = ω 0 ) ; elle est d autant plus rapide que Q, le facteur de qualité du circuit (RLC) série, est élevé. 40 db/dec 0 X 0 0 X III..b.α Courbe de réponse en gain et diagramme asymptotique ( pour un) filtre passe-bas d ordre Q = 5,,, III..b.β Courbe de réponse en phase et diagramme asymptotique ( pour un) filtre passe-bas d ordre Q = 5,,, [email protected] http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/ 3