ENSEIRB - Année 1. Traitement du Signal Numérique : Pierre Hanna. Traitement du Signal Numérique p.1/50

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1 ENSEIRB - Année 1 Traitement du Signal Numérique : Pierre Hanna Traitement du Signal Numérique p.1/50

2 ENSEIRB Informatique Année 1 Introduction au Traitement du Signal Numérique 14 (?) séances de 2h50 : alternance 1 séance cours/td (salle TD) 1 séance TD/TP (salle machine), fonctionnement par projets. Développement en C et/ou Scilab (clone matlab). Traitement du Signal Numérique p.2/50

3 Évaluation Note de contrôle continu Présence, participation Sources des TDs/TPs Rapports de projets Traitement du Signal Numérique p.3/50

4 Introduction Intérêt: Multimedia : Image, Son, Vidéo Télécommunications Réseaux plein d autres... = utile dans votre future carrière!! Traitement du Signal Numérique p.4/50

5 Définition Signal : support de l information émise par une source destinée à un récepteur Traitement du signal : Analyse (détection, estimation, extraction paramètres) Transformations (filtrage) Adaptation (compression, codage) Traitement du Signal Numérique p.5/50

6 Classification des signaux 1 ou plusieurs dimensions déterministe ou pas périodique ou pas s(t) = s(t + kt) t durée finie ou infinie (support borné) s(t) = 0 t [0;T] causal s(t) = 0 t < 0 Traitement du Signal Numérique p.6/50

7 Signaux de base (1) Signaux sinusoïdaux s(t) = Acos(ωt + φ) A amplitude de la sinusoïde φ la phase à l origine (t = 0) ω la pulsation (ω = 2π f ). amplitude a(t) temps Traitement du Signal Numérique p.7/50

8 Signaux de base (2) Impulsions de Dirac δ(t) = 0 si t 0 δ(t) 0 si t = 0 Porte ou Carré Π T (t) = 1 si 0 t < T Signaux aléatoires plus tard... Traitement du Signal Numérique p.8/50

9 Energie/RMS Energie : rapport signal sur bruit (SNR) : E = t2 t 1 s 2 (t)dt SNR = E s E b SNR db = 10log 10 (SNR) Traitement du Signal Numérique p.9/50

10 Puissance puissance moyenne: RMS (Root Mean Square) P = 1 t 1 t 2 t2 t 1 s 2 (t)dt Arms = 1 T s 2 (t)dt Traitement du Signal Numérique p.10/50

11 Signal numérique Intérêts : traitements : suite d opérations logiques ou arithmétiques traitements informatiques ou électroniques pas de bruit ajouté lors de transmission Traitement du Signal Numérique p.11/50

12 Programme Numérisation Transformée de Fourier Analyse spectrale Transformée en Z, Convolution Filtres Signaux aléatoires Traitement du Signal Numérique p.12/50

13 Représentation temporelle d un signal amplitude a(t) temps s(t): amplitude du signal en fonction du temps Traitement du Signal Numérique p.13/50

14 Représentation informatique du signal Question: Comment représenter ce signal analogique avec des nombres binaires (des 0 et des 1)? Traitement du Signal Numérique p.14/50

15 Représentation informatique du signal Question: Réponse: Comment représenter ce signal analogique avec des nombres binaires (des 0 et des 1)? Numérisation du signal Traitement du Signal Numérique p.14/50

16 Étapes du traitement numérique Transformer le signal analogique en signal électrique : capture/acquisition du signal (microphones) étape analogique. Convertir le signal électrique en une suite de valeurs numériques binaires: conversion analogique-numérique CAN Lancer le programme de calcul mathématique censé opérer le traitement voulu. Convertir les codes binaires résultant du calcul en un signal électrique : conversion numérique-analogique CNA Reconvertir le signal électrique dans la grandeur physique initiale : haut parleurs, écrans vidéo, transducteurs industriels. Traitement du Signal Numérique p.15/50

17 Étapes du traitement numérique Traitement du Signal Numérique p.16/50

18 Signal numérique = conversion en un signal numérique (numérisation) Le signal numérique est non continu (discrétisé): Non défini à tout instant Non défini pour toutes les amplitudes Ce procédé de numérisation est effectué en trois étapes : Échantillonnage Quantification Codage Traitement du Signal Numérique p.17/50

19 Échantillonnage consiste à passer d un signal à temps continu à une suite discrètes de valeurs. Ces valeurs sont mesurées à des intervalles réguliers : échantillonnage uniforme. intervalles irréguliers : échantillonnage non uniforme Cas général : échantillonnage uniforme Traitement du Signal Numérique p.18/50

20 Échantillonnage s(nt e ) = s(t) u(t) où la fonction u est une somme de fonctions de Dirac: u(t) = δ(t nt e ) n= Traitement du Signal Numérique p.19/50

21 Échantillonnage : principe amplitude temps s signal d origine Traitement du Signal Numérique p.20/50

22 Échantillonnage : principe amplitude temps s top d horloge réguliers Traitement du Signal Numérique p.20/50

23 Échantillonnage : principe amplitude temps s top d horloge réguliers Traitement du Signal Numérique p.20/50

24 Échantillonnage : principe amplitude temps s signal numérisé Traitement du Signal Numérique p.20/50

25 Discrétisation : échantillonnage amplitude s[n] = s(n T e ) T e = 1/F e temps échantillonnage fréquence d échantillonnage F e (inverse de la période T e ) Traitement du Signal Numérique p.21/50

26 Échantillons Chaque mesure est un échantillon (sample) Le temps T e séparant deux échantillons est le temps d échantillonnage La fréquence d échantillonnage F e ou taux d échantillonnage (sampling rate) est l inverse de cette période. Traitement du Signal Numérique p.22/50

27 Unités, unités normalisées L unité de temps est la seconde. L unité des fréquences est le Hertz (s 1 ). unités normalisées : Unité normalisée en temps : T e secondes Unité normalisée en fréquence : F e Hertz Le signal échantillonné s(nt e ) pourra s écrire s[n], ou encore s n. Traitement du Signal Numérique p.23/50

28 Fréquence d échantillonnage Traitement du Signal Numérique p.24/50

29 Fréquence d échantillonnage = Fréquence d échantillonnage limite Traitement du Signal Numérique p.25/50

30 Théorème de Shannon Un signal analogique de largeur de bande finie 2F Hz ne peut être reconstitué exactement à partir de ses échantillons que si ceux-ci ont été prélevés avec une période T e : T e = 1 F e 1 2F Traitement du Signal Numérique p.26/50

31 Fréquence d échantillonnage limite Il faut que la fréquence d échantillonnage soit supérieure ou égale à deux fois la fréquence maximum F du signal. Cette fréquence limite est appelée fréquence de Nyquist: F f Nyquist = F e 2 Traitement du Signal Numérique p.27/50

32 Repliement/Aliasing Exemple d une fréquence d échantillonnage F e trop faible : Signal rouge original de fréquence F F e = 4F 3 = la reconstruction la plus normale d une sinusoïde passant par les échantillons : sinusoïde de fréquence F 3 (signal vert). Traitement du Signal Numérique p.28/50

33 Repliement/Aliasing (2) = illustration dans le domaine temporel du repliement des fréquences. s ori = a 0 cos[2π n 4F 3 F] Traitement du Signal Numérique p.29/50

34 Repliement/Aliasing (2) = illustration dans le domaine temporel du repliement des fréquences. s ori = a 0 cos[2π n 4F 3 F] s ori = a 0 cos[2π n 4F 3 ( 4F 3 F 3 )] Traitement du Signal Numérique p.29/50

35 Repliement/Aliasing (2) = illustration dans le domaine temporel du repliement des fréquences. s ori = a 0 cos[2π n 4F 3 F] s ori = a 0 cos[2π n 4F 3 ( 4F 3 F 3 )] s ori = a 0 cos[2πn 2π n 4F 3 F 3 ] Traitement du Signal Numérique p.29/50

36 Repliement/Aliasing (2) = illustration dans le domaine temporel du repliement des fréquences. s ori = a 0 cos[2π n 4F 3 F] s ori = a 0 cos[2π n 4F 3 ( 4F 3 F 3 )] s ori = a 0 cos[2πn 2π n 4F 3 s ori = a 0 cos[ 2π n 4F 3 F 3 ] F 3 ] Traitement du Signal Numérique p.29/50

37 Repliement/Aliasing (2) = illustration dans le domaine temporel du repliement des fréquences. s ori = a 0 cos[2π n 4F 3 F] s ori = a 0 cos[2π n 4F 3 ( 4F 3 F 3 )] s ori = a 0 cos[2πn 2π n 4F 3 s ori = a 0 cos[ 2π n 4F 3 s ori = a 0 cos[2π n 4F 3 F 3 ] F 3 ] F 3 ] = équivalent à une sinusoïde de fréquence F 3 Traitement du Signal Numérique p.29/50

38 Repliement/Aliasing (3) Cas général : F = F e F s ori = a 0 cos[2π n F e F] Traitement du Signal Numérique p.30/50

39 Repliement/Aliasing (3) Cas général : F = F e F s ori = a 0 cos[2π n F e F] s ori = a 0 cos[2π n F e (F e F)] Traitement du Signal Numérique p.30/50

40 Repliement/Aliasing (3) Cas général : F = F e F s ori = a 0 cos[2π n F] F e s ori = a 0 cos[2π n (F e F)] F e s ori = a 0 cos[2πn 2π n F] F e Traitement du Signal Numérique p.30/50

41 Repliement/Aliasing (3) Cas général : F = F e F s ori = a 0 cos[2π n F] F e s ori = a 0 cos[2π n (F e F)] F e s ori = a 0 cos[2πn 2π n F] F e s ori = a 0 cos[2π n F] F e Traitement du Signal Numérique p.30/50

42 Repliement/Aliasing (3) Cas général : F = F e F s ori = a 0 cos[2π n F e (F e F)] s ori = a 0 cos[2π n F e F] = sinusoïde de fréquence F = F e F représentée par F e F ou par F Si F > F e 2 alors F F e F Si F < F e 2 alors F F = Principe du repliement ou aliasing Traitement du Signal Numérique p.30/50

43 Influence sur le spectre Repliques de fréquences : amplitude fréquence F e F F 0 e F F F F e F e + F F e F + F e Traitement du Signal Numérique p.31/50

44 Influence sur le spectre repliement de bande: F e fmax amplitude F 0 e fmax fmax F e F e + fmax F e fmax F e + fmax fréquence Traitement du Signal Numérique p.32/50

45 Influence sur le spectre Si le théorème d échantillonnage est respecté: amplitude fréquence F e fmax F e fmax F e + fmax 0 fmax F e fmax F e F e + fmax Traitement du Signal Numérique p.33/50

46 Filtre anti-repliement/aliasing Ne pas prendre en compte les fréquences f > F e 2 = Avant la conversion analogique numérique : filtre anti-repliement ou anti-aliasing Réponse du filtre passe-bas anti-repliement : Traitement du Signal Numérique p.34/50

47 Reconstruction... condition de Nyquist: F e > 2 F max (F max : plus grande fréquence présente dans le signal a) théorème de Shannon: exemples: le signal continu a(t) peut être reconstruit parfaitement (sans erreur) à partir du signal discret a[n] si et seulement si la condition de Nyquist est respectée CD: F e = Hz F max < Hz DAT : F e = Hz DVD: F e = Hz F max < Hz Parole : F e = 8000 Hz radio FM numérique : F e = 32000Hz Musique professionnelle : multipistes numériques jusqu à Hz Traitement du Signal Numérique p.35/50

48 Quelle fréquence d échantillonnage? Une voix parlée est compréhensible si les fréquences comprises entre 20 et 4000 Hz sont perçues. Questions: Quelle fréquence d échantillonnage doit-on choisir pour numériser une voix parlée? Que se passe-t-il si on choisit plus? Que se passe-t-il si on choisit moins? Traitement du Signal Numérique p.36/50

49 Choix de la fréquence d échantillonnage Sur-échantillonnage : trop de valeurs représentent le signal temps d échantillonnage important taille des données importante Plus de temps de traitement (calcul) pour un résultat proche Sous-échantillonnage : trop peu de valeurs représentent le signal Variations du signal entre deux échantillons sont perdues Qualité du signal insuffisante = Compromis à trouver Traitement du Signal Numérique p.37/50

50 Choix de la fréquence d échantillonnage Applications fmax F e Géophysique 500 Hz 1 khz Biomédical 1 khz 1 khz Mécanique 2 khz 4 khz Parole 4 khz 8 khz Audio 20 khz 40 khz Vidéo 4 MHz 8 MHz Traitement du Signal Numérique p.38/50

51 Quantification Échantillonnage : temps continu temps discret Quantification : amplitude continue amplitude discrète La précision de cette étape de quantification est donnée par un nombre de bits Ce nombre de bits indique le nombre de valeurs discrètes utilisées pour quantifier l amplitude du signal analogique Traitement du Signal Numérique p.39/50

52 Discrétisation : quantification 1 amplitude s[n] 0 quantification temps Traitement du Signal Numérique p.40/50

53 Opération de quantification valeur nq si valeur comprise entre (n 1 2 )q et (n+ 1 2 )q Opération de quantification : fonction en marche d escaliers s q (t) s(t) Traitement du Signal Numérique p.41/50

54 Opération de quantification quantification sur N bits Le nombre de paliers est alors 2 N Intervalle de valeurs des échantillons A Si quantification uniforme, la largeur q d un palier est: q = A 2 N Traitement du Signal Numérique p.42/50

55 Erreur de quantification erreur de quantification faible nombre de bits important nombre de bits = signal indésirable ajouté au signal utile Traitement du Signal Numérique p.43/50

56 Bruit de quantification s(t) = s q (t)+e(t) Traitement du Signal Numérique p.44/50

57 Erreur de quantification (2) L erreur e comprise dans un intervalle dépendant de la largeur q: q 2 e q 2 Traitement du Signal Numérique p.45/50

58 Erreur de quantification (3) Rapport signal/bruit théorique : à peu près 6 db par bit. convertisseur 16 bits doit afficher un rapport signal/bruit autour de 98 db convertisseur 8 bits autour de 50 db. Traitement du Signal Numérique p.46/50

59 Quantification En général quantification linéaire (ou uniforme) quantification logarithmique Plus le nombre de bits est important, plus la qualité est bonne (erreur faible) Plus le nombre de bits est important, plus la taille des données est importante (exemples : 8 bits, CD: 16 bits, DVD Audio: 24 bits) Traitement du Signal Numérique p.47/50

60 Quantification non linéaire quantification logarithmique: codage µ-law ADPCM (Adaptive-Delta Pulse-Code Modulation) au lieu de coder ã[n], calcul du multi-ensemble des différences = n {δ[n] = ã[n] ã[n 1]}, puis calcul l histogramme des occurences de δ dans, et codage de δ avec un nombre de bits utilisés inversement proportionnel au nombre de ses occurrences dans (Huffman) Traitement du Signal Numérique p.48/50

61 Représentation discrète amplitude temps discrétisation (numérisation) = échantillonnage + quantification Pulse-Code Modulation (PCM) Traitement du Signal Numérique p.49/50

62 Représentation discrète amplitude temps discrétisation (numérisation) = échantillonnage + quantification [0, 1, 3, 4, 4, 4, 3, 1, 0, -1, -3, -4, -4, -4, -3, -1, 0, 1, 3] Traitement du Signal Numérique p.49/50

63 Représentation des échantillons signal numérique nombres: arithmétique: entière / flottante calcul: non signé / signé bits: 8 / 16 / 24 / 32 / 64 représentation machine: little / big endian exemples: CD (Compact Disc): entiers 16 bits signés big-endian DVD (Digital Versatile Disc): entiers 24 bits signés Traitement du Signal Numérique p.50/50

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