Le chat et le papillon

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1 Le chat et le papillon Anton Zorich 28 mars 2007 Dynamique linéaire 2 Suite de Fibonacci Un peu d algèbre linéaire Suite de Fibonacci: la réponse Exercice en calcul mental Effet papillon 10 La petite sœur de la suite de Fibonacci Programme pour Maple Calcul erroné Itérations de l application linéaire Divergence de trajectoires Effet papillon Systèmes chaotiques 17 Tore en dimension deux Construction d un tore Difféomorphismes de tore Torsion de Dehn Application d Anosov Le chat d Arnold Instabilité de trajectoires Chaos Travaux de Henri Poincaré L histoire du chat et du papillon Théorie ergodique 32 Conservation d une mesure Théorème de récurrence de Poincaré Récurrence de l esprit de Poincaré Ergodicité Théorème ergodique Billards dans les polygones 39 Billards Table en L

2 Gaz de deux molecules Trajectoires fermées Un challenge Dépliage d une trajectoire Billard dans un rectangle Billards dans les polygones rationnels Surfaces plates Point conique Géodésiques sur le cône Billards dans des polygones rectangulaires 55 Billard sur une table en L Polygones rectangulaires Polygones rectangulaires et les sphères plates Nombre de diagonales généralisées L intuition naïve ne sert pas Joueurs de billard Bibliographie

3 Dynamique linéaire 2 / 62 Suite de Fibonacci La suite de Fibonacci est la suite de nombres entiers {a 0, a 1, a 2,...} où les premiers deux nombres sont a 0 = 0 et a 1 = 1, et chaque nombre suivant est défini comme la somme de deux nombres précédents : Pour quelques premiers termes on obtient a n+1 = a n + a n 1 a 1 = 1 ; a 0 = 0 1 = = = = / 62 On obtient {a 0, a 1, a 2,...} = = {0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,...} Pour analyser le comportement de a n pour n 1 on peut exprimer la relation de récurrence en forme matricielle : ( ) ( ) ( ) an an = a n 1 0 a n 1 Notre formule matricielle implique que ( ) an+1 = A n Le comportement du vecteur a n ( an+1 a n grandes puissances A n de la matrice A. ) ( a1 a 0 ) où A = ( ) pour n 1 est donc déterminé par le comportement de 4 / 62 3

4 comme vecteurs propres : A v 1 = λ 1 v 1, A v 2 = λ 1 v 2 5 / 62 Un peu d algèbre linéaire L équation caractéristique a deux solutions distinctes, det(a λi 2 ) = det λ 1 = ( 1 λ λ ) = λ 2 λ 1 = 0 λ 2 = correspondant à deux valeurs propres de la matrice A. On peut choisir les vecteurs ( ) ( ) 1/2 + 5/2 1/2 5/2 v 1 := v 1 2 := 1 Clairement, ( un+1 u n ) = λ n 1 v 1 et sont des solutions du système Remarquons que ( wn+1 w n ) = λ n 2 v 2 ( ) ( ) an+1 = A n a1 a n a 0 1. la somme de deux solutions de l équation (1) est aussi une solution et que le produit d une solution par un scalaire est aussi une solution. 2. Remarquons également que les deux premiers termes (vecteur de départ) d une suite (1) définissent de façon unique tous les termes suivantes. (1) 6 / 62 4

5 Représentons le vecteur de départ de la suite de Fibonacci comme une combinaison linéaire ( ) ( ) ( ) ( ) a1 1 λ1 λ2 a = = = c c a 0 des vecteurs de départ des deux suites géométriques {u 0, u 1, u 2,...} = {λ 0 1, λ1 1, λ2 1,...} et {w 0, w 1, w 2,...} = {λ 0 2, λ1 2, λ2 2,...} correspondant aux valeurs propres λ 1 et λ 2. Les coefficients c 1 = 5/5, c 2 = 5/5 sont les solutions du système linéaire c 1 v 1 + c 2 v 2 = a. D après la remarque 1, la suite a n définie comme a n := c 1 u n + c 2 w n = c 1 λ n 1 + c 2 λ n 2 satisfait l équation a n+1 = a n + a n 1. 7 / 62 Suite de Fibonacci : la réponse ( a1 ) Par construction le vecteur de départ de cette dernière suite coïncide avec le vecteur de départ a 0 de la suite de Fibonacci. Donc, d après la remarque 2, cette suite n est rien d autre que la suite de Fibonacci et nous avons trouvé la formule générale pour son terme numéro n : a n := ( ) n ( ) n Comme λ 2 = (1 5)/ < 1, on remarque que pour n 1 nous avons λ n 2 0 et donc ( ) n a n / 62 5

6 Exercice en calcul mental En particulier, log 10 a n log 10 ( 5/5) + n log 10 ((1 + 5)/2) 0.209n ce qu implique que a n contiens approximativement [0.209n ] chiffres décimales, où [x] denote la partie entier. Par exemple, pour n = 1000 cela nous donne [ ] = 209 chiffres. Le nombre exacte a 1000 = contient exactement 209 chiffres! 9 / 62 Effet papillon 10 / 62 La petite sœur de la suite de Fibonacci ( ) (1 5)/2 Rappelons que v 2 := est un vecteur propre de la matrice A = 1 ( ) correspondant à la valeur propre λ 2 = Nous avons constaté que la suite définie par l équation w n+1 = w n + w n 1 avec les donnés initiales w 0 = 1 ; w 1 = λ 2 est une suite géométrique : {w 0, w 1, w 2, w 3,...} = {λ 0 2, λ 1 2, λ 2 2, λ 3 2,...}. Comme λ < 1 la suite tend vers 0 (et assez vite). Essayons de calculer w n en utilisant l ordinateur. Voilà un programme pour Maple pour calculer w / 62 6

7 Programme pour calculer w 100 en Maple Fibonacci := proc(u0,u1,n::nonnegint) local ancien, nouveau, tampon, i; if n = 0 then return u0 elif n = 1 then return u1 else ancien := u0; nouveau := u1; for i from 2 to n do tampon := nouveau; nouveau := nouveau + ancien; ancien := tampon end do end if; return nouveau end proc; 12 / 62 Calcul erroné Ce programme dons la valeur w tandis qu en réalité w Vous pouvez utiliser votre ordinateur (calculatrice) préféré et votre logiciel préféré pour calculer w 100 par récurrence pour constater que les résultats sont catastrophiquement faux. Pour comprendre ce qui se passe, on peut étudier l application linéaire ( ) 1 1 A : R 2 R 2, A = 1 0 et ses itérations plus attentivement. 13 / 62 7

8 Itérations de l application linéaire Par exemple, on peut étudier l image d un cercle unitaire. Le cercle est transformé en une ellipse où les directions des demi-axes correspondent aux directions des vecteurs propres et les longueurs des demi-axes correspondent aux valeurs propres de la matrice A. Quand on passe aux itérées A n de l application linéaire les directions des demi-axes ne changent pas tandis que leurs longueurs changent radicalement. Pour n grand notre ellipse devient presque un long segment de la droite l 1 engendrée par v 1. Grosso modo, pour un grand n la n-ème itérée de notre application projette tout l espace sur la droite l 1 parallèlement v 2 et puis dilate énormément les longueurs dans la direction de l / 62 Divergence de trajectoires Notre logiciel mémorise les données de départ avec une petite erreur ε : au lieu de v 2 nous avons v 2 + ε v 1. Un vecteur v = ε v 1 + v 2 avec 0 < ε 1 est envoyé sur le vecteur A n v = ελ n 1 v 1 + λ n 2 v 2 Quand on applique suffisamment d itérations l erreur devient la partie dominante! 15 / 62 8

9 Effet papillon Nous avons observé le phénomène d une forte instabilité de trajectoire. Une erreur arbitrairement petite au départ fait échapper la trajectoire à l infini au lieu d atterrir à l origine. Cet effet est connu comme l effet papillon : le battement d aile d un papillon au Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas? En systèmes dynamiques on étudie le comportement des applications après beaucoup d itérations (comportement de flots après avoir laisser beaucoup de temps s écouler, etc.). 16 / 62 Systèmes chaotiques 17 / 62 Tore en dimension deux Dans l exemple précédent nous avons étudié les itérations d une application linéaire de R 2 dans R 2. Tandis que la matrice de l application linéaire est nondégénérée, det = 1, l application obtenue après plusieurs itérations agit presque comme une projection sur la droite suivie par une gigantesque dilatation de cette droite. Il ne faut pas penser que l effet papillon se produise seulement pour les espaces noncompacts comme R m. Considérons un tore T 2 : une surface qui a la forme d une bouée circulaire (chambre à aire,...). 18 / 62 9

10 Construction d un tore On peut coller un tore d un rectangle en identifiant les côtés opposés. En identifiant les côtés horizontaux on obtient un cylindre. (correspondants aux bords du cylindre) on obtient un tore. Ensuite, en identifiant les côtés verticaux Plus formellement on peut considérer le tore T 2 comme le plan R 2 quotienté par l action du groupe Z Z des translations entières. Chaque matrice 2 2 à coefficients entiers définit une application du tore dans lui-même. Quand le déterminant de la matrice est égal à ±1 cette application est bijective. 19 / 62 Difféomorphismes de tore Considérons quelques exemples d applications du tore dans lui-même. Le première application s appelle la torsion de Dehn. On découpe notre tore en cylindre, puis on fait tordre le cylindre par un tour complet, et on recolle le bord de nouveau. Si on superpose le tore obtenu sur le tore du départ, on obtient une application f : T 2 T 2. En feuilletant notre tore en cercles verticaux on voit que chaque cercle est envoyé en lui-même par une rotation. 20 / 62 10

11 Torsion de Dehn Une application de ce type correspond à la matrice H = servant de patron à notre tore dans un parallélogramme : ( ) 1 1. L application f 0 1 H envoie le carré Notons, que les côtés opposés du carré et du parallélogramme sont identifiés. En découpant le parallélogramme en deux triangles on peut le recoller pour obtenir un carré. En superposant le deuxième carré sur le premier on obtient une application du tore dans lui-même. 21 / 62 ( ) 1 0 La deuxième application f S : T 2 T 2 correspond à la matrice S =. Cette application 0 1 reflète le carré par rapport à l axe vertical et superpose le résultat sur le carré de départ : C D D C B A A B En découpant notre tore le long un méridien en cylindre horizontal il suffit de mettre le cylindre à l envers et recoller de nouveau pour obtenir notre application. 22 / 62 11

12 ( ) 0 1 La dernière application f R : T 2 T 2 correspond à la matrice R =. Cette application 1 0 tourne notre carré de 90 dans le sens contraire à celui des aiguilles d une montre et le superpose sur le carré de départ. C D B A B A C D En particulier, cette application envoie les parallèles du tore dans les méridiens, et les méridiens dans les parallèles. 23 / 62 Application d Anosov Considérons finalement la composition f A := f H f S f R de ces applications : on applique d abord la dernière en tournant notre tore, puis on le met à l envers, et finalement on applique la torsion de Dehn. L application composée correspond au produit de matrices ( ) 1 1 A = H S R = 1 0 Dans les coordonnées naturelles du tore la différentielle Df A de cette application est constante et égale à Df A = A. 24 / 62 12

13 Le chat d Arnold Pour illustrer l action de l application A sur le tore on peut dessiner (suivant Vladimir Arnold) un chat dans un carré et observer comment le dessin est transformé par l application A : T 2 T / 62 Le chat d Arnold Pour illustrer l action de l application A sur le tore on peut dessiner (suivant Vladimir Arnold) un chat dans un carré et observer comment le dessin est transformé par l application A : T 2 T / 62 13

14 Instabilité de trajectoires Théorème (Anosov 1967). Soit à une application du tore C 1 -proche de l application A. Dans les coordonnées appropriées l application à a la même forme que A. Donc si l on comprend la structure de A, on comprend la structure des toutes les applications suffisamment proches! Lançons une orbite P 0, P 1 = f A (P 0 ), P 2 = f A (f A (P 0 )),... à partir d un point P 0 T 2. Comment va se comporter l orbite Q 0, Q 1, Q 2,... lancé d un point Q 0 proche de P 0? Un petit voisinage de P 0 est envoyé sur son image par une application linéaire de matrice A. Nous avons déjà étudié le comportement des itérations de A. 27 / 62 Instabilité de trajectoires Pour la plupart des points de depart les orbites vont diverger avec un taux exponentiel de divergence (l orbite noire et l orbite bleu). Mais si on réussit à déplacer le point de départ précisément dans la direction du vecteur propre v 2 (la direction contractante), les deux orbites vont se rapprocher avec un taux de convergence exponentiel (l orbite noire et l orbite rouge). 28 / 62 14

15 Chaos Pour des raisons historiques, on appelle souvent ce comportement le comportement chaotique : les orbites qui ont commencé en des points très voisins se séparent très vite et on ne peut plus alors observer de rapport entre eux. Pour terminer nos considérations sur les applications du tore T 2 T 2 induites par les applications linéaires définies par les matrices 2 2 à coefficients entiers, essayons de formaliser quelques propriétés importantes des applications f H, f S, f R, f A 29 / 62 Travaux de Henri Poincaré... en faisant d abord quelques remarques d ordre historique. Comme date de naissance de la théorie des systèmes dynamiques en tant que domaine distinct des mathématiques on peut proposer l apparition en 1890 de l article de Henri Poincaré Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique dédié à la recherche sur la stabilité du système solaire. Malgré une erreur dramatique (retrouvée par Poincaré même après que l article a déjà obtenu le prix du roi Oscar II de Suède) cette oeuvre a fondé la base de la théorie et prédit des phénomènes démontrés rigoureusement beaucoup plus tard. 30 / 62 15

16 L histoire du chat et du papillon L histoire de la terminologie : (1952) Ray Bradbury décrit dans sa nouvelle Un coup de tonnerre un papillon qui a été écrasé dans le passé et les changements de l histoire provoqués par cet accident ; (1963) Edward Lorenz découvre l attracteur étrange ; ( ) Vladimir Arnold utilise le dessin d un chat pour illustrer la conservation de l aire par le flot hamiltonien (jeu de mot : en anglais CAT est l abréviation de Continuous Automorphism of the Torus ). (1972)Le météorologue Edward Lorenz présente l effet papillon devant l Association Américaine pour le progrès des Sciences avec une célèbre question : Le battement d aile d un papillon au Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas? (1975) Li et Yorke introduisent la notion de chaos. 31 / 62 Théorie ergodique 32 / 62 Conservation d une mesure Notons que toutes les matrices Df H, Df S, Df R, Df A sont de déterminant ±1. Cela implique que toutes les applications f H, f S, f R, f A préservent l aire : l aire d un petit disque U est égale à l aire de la petite ellipse f 1 (U) obtenue comme préimage de U. L aire totale du tore est finie ; elle est égale à 1. Dans la situation favorable plus générale nous avons une mesure µ (analogue del aire) sur un espace M (analogue du tore) préservée par l application f : M M, telle que la mesure totale µ(m) de l espace M est finie. 33 / 62 16

17 Théorème de récurrence de Poincaré On dit qu un point P 0 est récurrent si pour chaque voisinage U(P 0 ) l orbite P 0, f(p 0 ),...,f k (P 0 ),... revient à U(P 0 ). Théorème (H. Poincaré 1890) L ensemble des points récurrents d un homéomorphisme du tore qui respecte l aire est dense dans le tore. Ce théorème implique un corollaire paradoxal : si on ouvre une cloison séparant une chambre remplie d un gaz et une chambre avec vacuum, après quelque temps toutes les molécules du gaz vont de nouveaux se rassembler dans la premiere chambre. La résolution du paradoxe est dans la valeur de quelque temps : ce temps dépasse le temps d existence du système solaire / 62 Récurrence de l esprit de Poincaré Ce paradoxe montre qu il faut être attentif en utilisant le théorème de récurrence de Poincaré. L histoire avec le retour du portrait de Poincaré confirme cette subtilité encore une fois. Deux articles de vulgarisation publiés dans Pour la Science et dans Science et Vie décrivent le théorème de Poincaré par un exemple où l on voit cette récurrence! Au lieu de dessiner un chat dans un tore, les auteurs ont pris un portrait de H. Poincaré, puis ont appliqué la transformation A : T 2 T 2 et ont itéré le procédé. Dès la troisième itération, le portrait est déjà bien mélangé, mais, de manière miraculeuse, après 240 itérations, l esprit d Henri Poincaré est de retour! Dans son article consacré à ce phénomène Etienne Ghys écrit : Nous allons essayer d expliquer ici pourquoi cet exemple, même s il est frappant, n illustre en aucun cas le théorème de Poincaré! 35 / 62 17

18 36 / 62 Ergodicité ( ) 1 1 Finalement, pour l application f A correspondant à la matrice A = on peut démontrer que si 1 0 un sous-ensemble mesurable X T 2 du tore reste invariant sous l action de f A, l ensemble X est d aire soit 1 soit 0. Dans cette situation on dit que la mesure invariante par l application f A est ergodique, ou que l application f A est ergodique par rapport à la mesure invariante. On ne peut pas affirmer que X coïncide avec tout le tore : par exemple, le point O qui vient du sommet du carré est un point fixe, et donc l ensemble X = {O} est invariant par rapport à f A. Mais la mesure de cet ensemble est nulle (l aire d un point est zéro). Exercice : démontrer que les applications f H, f S, f R ne sont pas ergodiques. 37 / 62 18

19 Théorème ergodique Soit X un espace topologique et f : X X une application ergodique par rapport à la mesure invariante µ ; on suppose que µ(x) = 1. Théorème ergodique Pour chaque fonction mesurable F : X R et pour presque chaque point P 0 de X (i.e. pour tous les points n appartenant pas à un certain sous-ensemble de mesure nulle) la moyenne de la fonction F le long l orbite P 0,...,P n 1 (où P k = f (k) (P 0 )) coïncide avec la moyenne de F par rapport à l espace X : 1 lim n + n (F(P 0) + F(P 1 ) + + F(P n 1 )) = Fdµ X 38 / 62 Billards dans les polygones 39 / 62 Billards Considérons le comportement d une bille sur une table de billard. La bille rebondit sur le bord du billard par la règle optique : l angle d incidence est égal à l angle de réflexion. Nous ne sommes pas obligés de nous restreindre aux tables rectangulaires : il est intéressant d étudier les billards aussi dans les autres polygones. 40 / 62 19

20 Table en L Moon Duchin joue au billard 41 / 62 Gaz de deux molecules Le modèle simplifié du gaz de Boltzmann nous amène au billard dans un triangle rectangle. Considérons deux billes percées (nos molécules ) mises sur une barre commune. On suppose que la barre est posée entre deux murs. Les collisions des billes avec les murs et entre elles sont élastiques (sans perte d énergie). m 1 m 2 x 1 x 2 x 0 a Notons par m 1 et m 2 les masses de billes. En négligeant les tailles des billes, l état de notre système de billes est décrit par les coordonnées 0 < x 1 x 2 a des billes, où a est la distance entre les murs. 42 / 62 20

21 En normalisant les coordonnées par { x 1 = m 1 x 1 x 2 = m 2 x 2 on remarque que dans les coordonnées x 1, x 2 l espace de configuration est représenté par un triangle rectangle. x 2 = m 2 x 2 m 1 m 2 x 1 x 2 x 0 x 1 = m 1 x 1 Lemme Dans les coordonnées x 1, x 2 la dynamique du système de deux billes correspond à la dynamique du billard. 43 / 62 Trajectoires fermées Il est facile de trouver une trajectoire fermée dans un triangle aigu. Exercice Démontrer que la ligne brisée joignant les pieds des trois hauteurs d un triangle aigu est une trajectoire fermée de billard (elle s appelle la trajectoire de Fagnano). Démontrer que la trajectoire de Fagnano représente un triangle inscrit de périmètre minimal. 44 / 62 21

22 Un challenge C est difficile à croire, mais le problème similaire pour un triangle obtus est toujours ouvert! Problème ouvert. Est-ce que le billard dans (presque) chaque triangle obtus admet une trajectoire périodique? Il semble que la réponse est affirmative (voir, par exemple, la recherche complexe de Richard Schwartz et de Pat Hooper ( res/billiards/index.html) Si c est le cas, estimer le nombre N(L) de trajectoires périodiques de longueur inférieure à L 1 quand L +. Est-ce que le billard dans un polygone générique est ergodique? 45 / 62 Dépliage d une trajectoire Un polygone Π est appelé un polygone rationnel si tous les angles de Π sont des multiples rationnels p i q i π de π. On connaît les propriétés des billards dans les polygones rationnels beaucoup mieux que les propriétés des billards génériques. Étudions l exemple modèle d un billard dans un rectangle. Au lieu de considérer la réflexion de la trajectoire on peut considérer la réflexion miroir de la table. C est facile de vérifier que la trajectoire se prolonge en ligne droite. En pliant les deux copies de rectangles le long du côté commun on obtient la vraie trajectoire du billard. 46 / 62 22

23 Billard dans un rectangle On peut continuer le dépliage. La trajectoire du billard se déplie en ligne droite dans le plan R 2 pavé avec les rectangles. A D A B C B D A D A C B C D A D 47 / 62 Remarquons que pour chaque trajectoire il y a au plus quatre directions v 1, v 2, v 3, v 4 telles qu à chaque moment la bille bouge dans une des directions v i, i = 1,..., 4. On associe une copie de la table de billard à chaque direction ; après chaque réflexion on continue la trajectoire sur la copie de la table qui correspond à la direction après la réflexion. A D A B C B D A D A C B C D A D 48 / 62 23

24 Billard dans un rectangle En identifiant les côtés opposés du rectangle quadruple on obtient un tore. Nous avons réussi à déplier la trajectoire du billard en ligne droite sur le tore! 49 / 62 Billards dans les polygones rationnels Nous allons utiliser cette observation pour compter les trajectoires fermées du billard dans un rectangle et pour démontrer l ergodicité d un tel billard. Mais avant remarquons qu on peut appliquer la même idée de dépliage fini à tout polygone rationnel. Considérons par exemple le triangle rectangle avec les angles π/8, 3π/8, π/2. Il est facile de vérifier qu une trajectoire générique d un billard dans tel triangle contient 16 directions (au lieu de 4 pour le rectangle). En utilisant 16 copies on peut déplier notre triangle en octogone régulier. 50 / 62 24

25 Surface plate de genre 2 En identifiant les côtés verticaux et puis les côtés horizontaux d un octogone on obtient un tore avec un trou rectangulaire. En identifiant encore une paire de côtés opposés on obtient un tore avec deux trous distants. En identifiant ces deux trous on obtient une surface de genre deux. 51 / 62 Surfaces plates La surface obtenu par recollement des côtés opposés de l octogone est plate car elle est fabriquée à partir d une feuille de papier. Les lignes droites sur cette surface se projettent en trajectoires de billard si on découpe la surface et si on plie l octogone en triangles. Les collègues vigilants vont contester : d après le théorème de Gauss-Bonnet (un très joli théorème géométrique) il n y a pas de surfaces plates sauf le tore! C est vrai, mais... notre surface plate de genre deux contient un point conique : tous les sommets de l octogone sont identifiés, donc l angle autour de notre point conique est égal à 6π au lieu du 2π habituel. 52 / 62 25

26 Point conique Dans un voisinage d un point conique la surface a la forme d une selle de singe. On peut bricoler un tel voisinage en utilisant six demi-disques. 53 / 62 Géodésiques sur le cône Exercice. On peut fabriquer un cône (un cornet) à partir d un morceau de papier. Donc, on peut définir les lignes droites (géodésiques) sur le cône. Est-ce qu un rayon droit remontant vers le sommet du cône va toujours redescendre? Décrivez le nombre de tours, la hauteur. Y a t-il des oscillations? 54 / 62 26

27 Billards dans des polygones rectangulaires (en collaboration avec J. Athreya et A. Eskin) 55 / 62 Billard sur une table en L Moon Duching joue au billard 56 / 62 Polygones rectangulaires P4 P3 P7 P6 P5 P1 P2 57 / 62 27

28 Polygones rectangulaires et les sphères plates On peut compter les trajectoires de billard lancées d un coin et arrivant dans un autre coin. On peut compter également les trajectoires fermées. Remarquons, que deux copies du billard identifiées par les côtés donnent une sphère plate. Les géodésiques sur une telle sphère plate se projettent en trajectoires de billard. Donc pour compter les trajectoires du billard, on peut compter les géodésiques sur la sphère plate correspondante. 58 / 62 Nombre de diagonales généralisées P j P j P i P i On peut démontrer que pour un polygone générique d angles π/2 et 3π/2 le nombre de trajectoires joignant deux angles droits est approximativement le même que pour un rectangle : 1 2π (borne pour la longueur)2 l aire de la table Ce nombre ne dépend pas de la forme de la table. 59 / 62 28

29 L intuition naïve ne sert pas... P 4 P 5 P 0 P 1 P 3 P 2 Pourtant, pour un polygone typique en L, le nombre de trajectoires joignant un angle droit fixé avec l angle 3π/2 est approximativement 2 (borne pour la longueur)2 π l aire de la table ce qui est 4 (au lieu de 3) fois plus grand que le nombre de trajectoires joignant deux angles droits. 60 / 62 Billards dans des polygones rectangulaires : l image artistique 61 / 62 29

30 Bibliographie [1] Françoise Dal bo, Des trajectoires pour approcher les nombres + les références, Pour la Science, à paraître en juin [2] Nombres de Fibonacci, Diagonales, CNED Rennes, No. 4, ; réf. P7000RD24. [3] Billards, Diagonales, CNED Rennes, No. 4, ; réf. P7000RD44. [4] Etienne Ghys, Variations autour du théorème de récurrence de Poincaré, Le Journal de Maths (des élèves de l école Normale supérieure de Lyon), 1 (1994), No. 1, les références / 62 30